精品解析：湖南省衡阳市第一中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题

高二数学专版 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则z=（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，且，则实数（ ） A. B. C. 5 D. 10 4. 已知，直线，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 设为等差数列的前n项和，若，则（ ） A. 10 B. 15 C. 21 D. 38 6. 已知圆与，动圆M与圆内切，且与圆外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在长方体中，，，为棱的中点，是线段上的动点，则下列式子的值为定值的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列，，，，的前三项成公差为的等差数列，后三项成公比为的等比数列，其中，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某快递公司2020—2024年的快递业务量及其增长率如图所示，则（ ） A. 该公司2020—2024年快递业务量逐年上升 B. 该公司2020—2024年快递业务量的极差为68.5亿件 C. 该公司2020—2024年快递业务量的增长率的中位数为29.9% D. 该公司2020—2024年快递业务量的增长率的平均数为21.58% 10. 记等比数列的公比为q，前n项积为，已知，，，则（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 11. 如图，已知倒心形曲线与轴交于两点，点是曲线上的一个动点，则（ ） A. 点与均在曲线上 B. 点的纵坐标的最小值为 C. 恒成立 D. 曲线内（含边界）共有13个整点（横，纵坐标均为整数的点） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则________. 13. 记数列的前n项和为，且满足，则________. 14. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，以点为圆心且与C的渐近线相切的圆与C在第一象限交于点A，B为的中点，若，则C的渐近线的斜率为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的最小正周期为，且的图象关于点对称. （1）求的解析式； （2）若，且，求的值. 16. 记数列的前n项和为，已知. （1）证明：是等差数列； （2）若，证明：. 17. 如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，，，. （1）求证：平面； （2）若，且，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知是递增的等差数列，，. （1）求的通项公式； （2）设数列的前n项和为，求； （3）记，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与重合，点G是C与E在第一象限的交点，且. （1）求E的方程. （2）设过点的直线l与E交于点M，N，交C于点A，B，且A，B，M，N互不重合. （ⅰ）若l的倾斜角为45°，求的值； （ⅱ）若P为C的准线上一点，设PA，PB，PF2的斜率分别为，证明：为和的等差中项. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学专版 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则z=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法运算求解. 【详解】根据题意，， 则. 故选：A 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，再根据交集的定义求结论. 【详解】不等式，即，解集为， 所以，又集合， 所以. 故选：C. 3. 已知向量，，且，则实数（ ） A. B. C. 5 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件可求得，再根据向量平行的条件，即可求得的值. 【详解】由已知可得：， 因为，所以有，解之得：. 故选：C. 4. 已知，直线，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用两条直线垂直列式求解. 【详解】由直线与垂直， 得，即，解得， 而，所以. 故选：B 5. 设为等差数列的前n项和，若，则（ ） A. 10 B. 15 C. 21 D. 38 【答案】D 【解析】 【分析】先由题中条件，结合等差数列下标之和的性质求出,再根据等差数列的求和公式，即可求出结果. 【详解】因为，所以， 则，即，所以，则, 因此. 故选：D 6. 已知圆与，动圆M与圆内切，且与圆外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件可得，结合椭圆的定义判断点的轨迹形状及位置，利用待定系数法求其方程. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径，设动圆的半径为， 由动圆与圆内切，且与圆外切，得， 则，因此点的轨迹为以为焦点，长轴长的椭圆， 而焦距，即，则短半轴长， 所以动圆圆心的轨迹方程为. 故选：B. 7. 如图，在长方体中，，，为棱的中点，是线段上的动点，则下列式子的值为定值的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算的长度，得到，接着利用向量数量积的几何意义：等于在上的投影向量与的数量积，逐一分析选项ABCD即可得解. 【详解】由题意得，， ∴， ∴. A.如图，过点作于点，    对于A，由向量数量积的几何意义得 ， 由于点是动点， 所以不是定值，所以不是定值，故选项A错误； 对于B，， 由于点是动点，所以不是定值，所以不是定值，故选项B错误； 对于C， ，由于不是定值，故选项C错误； 对于D，由于向量在向量上的投影向量为，所以为定值. 故选：D. 8. 已知数列，，，，的前三项成公差为的等差数列，后三项成公比为的等比数列，其中，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列，等比数列的定义利用表示，由关系可得的关系式，利用基本不等式求的最小值. 【详解】因为数列，，，，的前三项成公差为的等差数列，后三项成公比为的等比数列， 所以，，， 因为，所以， 所以， 又，故， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某快递公司2020—2024年的快递业务量及其增长率如图所示，则（ ） A. 该公司2020—2024年快递业务量逐年上升 B. 该公司2020—2024年快递业务量的极差为68.5亿件 C. 该公司2020—2024年快递业务量的增长率的中位数为29.9% D. 该公司2020—2024年快递业务量的增长率的平均数为21.58% 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图像和极差，中位数，平均数的计算公式依次判断每个选项即可. 【详解】对A：由图可知：2020—2024年快递业务量逐年上升，故A正确； 对B：2020—2024年快递业务量的极差为：（亿件），故B正确； 对C：因为增长率从小到大排序，即 则中位数为，故C错误； 对D：由，故D正确. 故选：ABD 10. 记等比数列的公比为q，前n项积为，已知，，，则（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先用反证法证明可判断A，判断数列是正项递减数列，可得，从而可判断BC；结合基本不等式可判断D. 【详解】因为，所以一个大于1，一个小于1， 因为，若公比，则都大于等于1，矛盾，所以，A不正确； 因为，所以，即， 所以数列是正项递减数列，可得，所以的最大值为，C不正确； ，B正确； 因为，所以，D正确. 故选：BD. 11. 如图，已知倒心形曲线与轴交于两点，点是曲线上的一个动点，则（ ） A. 点与均在曲线上 B. 点的纵坐标的最小值为 C. 恒成立 D. 曲线内（含边界）共有13个整点（横，纵坐标均为整数的点） 【答案】BCD 【解析】 【分析】点坐标代入曲线方程可得选项A错误；分析时函数最值可得选项B正确；利用三角换元结合三角恒等变换求最值可得选项C正确；利用曲线方程和曲线对称性列举出整点可得选项D正确. 【详解】令，可得，则. 对于A，将代入曲线的方程，可得成立， 则点在曲线上， 将代入曲线的方程，可得不成立，则点不在曲线上，故A错误； 对于B，曲线关于轴对称，且点的纵坐标的最小值小于， 当且点在轴下方时，， 即， 当且仅当，即时取等号，所以当时，可以取得最小值， 且最小值为，故B正确； 对于C，曲线关于轴对称，当时，恒成立, 等价于点恒在椭圆内（含边界）， 设，则1， 整理得，即（其中），该式恒成立， 同理当时原不等式也成立，故C正确； 对于D，由曲线的方程可得，再结合选项和曲线的对称性, 可知曲线内（含边界）的整点有，，，，， ，，，，，，，，共13个，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：解决选项C的关键是应用三角换元，结合三角恒等变换化简，利用三角函数值域求最值. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用指数式与对数式的互化关系，结合对数运算计算得解. 【详解】由，得，则， 所以. 故答案为：2 13. 记数列的前n项和为，且满足，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题中递推公式，得到，与原式作差整理，得到数列是等比数列，根据等比数列求和公式，即可求出结果. 【详解】因为，所以，两式作差得， 即，则， 又，即， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列 因此. 故答案为： 14. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，以点为圆心且与C的渐近线相切的圆与C在第一象限交于点A，B为的中点，若，则C的渐近线的斜率为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用点到直线的距离求得圆的半径为，利用双曲线的定义及中位线的性质得，由余弦定理建立方程求得，从而得到渐近线斜率. 【详解】由题意，双曲线的一条渐近线为，则点到渐近线的距离，即圆的半径为，连接，则， 由双曲线的定义知，所以， 在中，为的中点，B为的中点，所以， ，则为. 在中，， 在中，， 因为，所以，所以， 所以渐近线斜率. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的最小正周期为，且的图象关于点对称. （1）求的解析式； （2）若，且，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由周期结合周期公式求，由的对称中心为，根据对称性的性质求，由此可得结论； （2）由条件结合诱导公式二倍角余弦公式求，再由平方关系求，根据两角差余弦公式求结论. 【小问1详解】 因为函数的最小正周期，， 所以， 因为函数的图象关于点对称， 所以，，又， 所以，， 所以； 【小问2详解】 因为， 由（1）可得， 所以，又， 所以，， 所以. 16. 记数列的前n项和为，已知. （1）证明：是等差数列； （2）若，证明：. 【答案】（1） ∵， 又， 两式相减可得， ∴， ∴， ∴是以为公差的等差数列. （2） 由已知得. ∴， ∴. ∴ . 【解析】 【分析】（1）根据通项公式和前项和公式的关系消去，根据等差数列的定义即可判断； （2）利用裂项相消求和即可求出不等式左边，从而判断其范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，，，. （1）求证：平面； （2）若，且，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 因为是边长为2的等边三角形，且，， 所以，. 又，所以. 此时，所以. 又，，平面，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）先由题中条件，求出，根据勾股定理证明，再由，根据线面垂直的判定定理，即可证明结论成立； （2）取的中点，连接并延长交于，结合（1）中结论，证明平面平面，得到，，两两互相垂直，以为原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，根据平面夹角公式的向量表示，即可求出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接并延长交于，则， 又，，平面，平面， 所以平面，平面，所以， 再由（1）可知平面，平面，故， 又平面， 所以平面，可得，，两两互相垂直， 故以为原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 因为，所以， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得； 设平面的一个法向量为， 则，令，可得. 因为， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知是递增的等差数列，，. （1）求的通项公式； （2）设数列的前n项和为，求； （3）记，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，进而求出通项公式. （2）利用并项求和法，结合等差数列前n项和公式求解. （3）求出，探讨数列的单调性，求出其最大项即可得解. 【小问1详解】 在等差数列中，，而， 则是方程的两个根，解此方程得或， 又是递增数列，则，因此数列的公差， 所以的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）得， 因此 . 【小问3详解】 依题意，，， 令，， 当时，；当时，，因此数列的最大项为， 由对任意恒成立，得， 所以实数的取值范围是. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与重合，点G是C与E在第一象限的交点，且. （1）求E的方程. （2）设过点的直线l与E交于点M，N，交C于点A，B，且A，B，M，N互不重合. （ⅰ）若l的倾斜角为45°，求的值； （ⅱ）若P为C的准线上一点，设PA，PB，PF2的斜率分别为，证明：为和的等差中项. 【答案】（1） （2）（ⅰ）； （ⅱ）证明：由题意知，， 设，且直线AB的方程为. 联立整理得，显然， 则，， 所以，，， ， 又，即， 所以为和的等差中项. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义求出焦点坐标，进而得到椭圆的右焦点坐标，再利用椭圆和抛物线的交点坐标满足两个方程来确定椭圆方程. （2）（i）根据直线的倾斜角得到直线方程，然后分别代入椭圆和抛物线方程，利用弦长公式求出和的值，进而求出它们的比值. （ii）设出直线方程，求出交点坐标，再根据斜率公式计算出，然后证明. 【小问1详解】 由已知得C的焦点为，即，所以.① 因为，由抛物线的定义可得，所以. 代入E的方程可得.② 由①②解得，，所以E的方程为. 【小问2详解】 设，，，. （ⅰ）因为直线l的倾斜角为45°，所以，直线l的方程为. 联立整理得，则， 所以. 联立整理得， 则，， 所以. 所以. （ⅱ）略 【点睛】知识点点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $