精品解析：2025届新高考数学模拟试题（五）

2025年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟试题（五） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一，选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解出集合，再根据交集的定义即可得出答案. 【详解】由或，则. 故选：B 2. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法法则即可求出结果. 【详解】因为，所以虚部为 故选：A 3. 已知等差数列的前项和为，则（ ） A. 880 B. 440 C. 110 D. 220 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，根据等差数列前项和公式即可求解. 【详解】因为，所以，故， 故选：B. 4. 已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量公式，即向量在向量方向上的投影向量为即可得到结果. 【详解】向量在向量方向上的投影向量为 故选：B 5. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，判断函数的单调性，计算端点处的函数值，结合零点存在性定理即可求解. 【详解】由于，，且中， 故，在单调递增， 因此至多一个零点， ,,， 因此的零点所在的区间是， 故选：C 6. 一条渐近线方程为，且经过点的双曲线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意双曲线的方程为，将点代入计算可得. 【详解】由题意设双曲线的方程为， 将点代入双曲线方程得， 所以双曲线的方程为，即. 故选：A. 7. 已知四面体中，两两垂直，与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据条件求出平面的法向量，利用向量法求出点到平面的距离. 【详解】如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设，，则， 所以，． 设平面的法向量为，则， 令，得，故． 因为直线与平面所成角的正切值为， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 即，解得， 所以平面的一个法向量为， 故到平面的距离为． 故选：D． 8. 在中，内角所对的边分别为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理边化角和余弦定理计算即可； 【详解】由可得，进而可得，可得， 又，有， 即，因式分解可得可得或， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 二，选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 设的极差为，平均值为，中位数为m，标准差为s.，其中，的极差为Y，平均值为，中位数为P，标准差为t，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据方差及标准差的性质判断A,D,应用平均数及中位数性质判断B,C. 【详解】不妨设， 则知，故A不正确，，D不正确； 由平均值、中位数定义可知，B，C正确. 故选：BC. 10. 若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用赋值法即可逐一求解. 【详解】令，则，故A正确， 令可得，故，故B错误， 令可得，故，故C正确， 令可得，，故D错误， 故选：AC 11. 已知函数，则（ ） A. 当，时，直线与曲线相切 B. 当时，函数的减区间为 C. 当时，若函数有3个零点，则实数的取值范围为 D. 当，时，若（其中），有 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由切线斜率为1求出切点，结合点斜式即可判断A；求导，根据导数正负情况即可判断B；由函数的单调性和极值以及零点即可求解判断C；由函数的零点情况，结合和基本不等式即可求解判断D. 【详解】对于A选项，当，时，，有， 若，解得或， 由，可得与曲线相切，故A选项正确； 对于B选项，， 当时，由，有，故函数的减区间为，故B选项错误； 对于C选项，当时，， 所以由B可知函数在上单调递增，在上单调递减， 又，，极大值， 故若函数有3个零点，则实数的取值范围为，故C选项正确； 对于D选项，当，时，， 由，若（其中）， 则有，有， 可得，有， 又由，有， 可得，故D选项正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：求证的关键1是先由即结合立方和公式化简得到，关键2是利用基本不等式得到关于的不等关系得解. 三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则_____. 【答案】## 【解析】 【分析】分子、分母同时除以，将代入即可求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 13. 甲、乙、丙等5位同学随机站成一排合影留念，甲、乙两人相邻且甲站在丙的左侧，则不同的站法共有________种．（用数字作答） 【答案】24 【解析】 【分析】甲乙捆绑作为一个人与其他人排列，其中甲在丙左侧与甲在丙的右侧的排法数相同，由此可得排法种数. 【详解】甲乙捆绑作为一个人与其他人排列，共有种排法， 因为甲在丙左侧与甲在丙的右侧的排法数相同， 所以甲、乙两人相邻且甲站在丙的左侧的不同的站法共有种. 故答案为：24 14. 已知圆，圆，如果这两个圆有公共点，则实数取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的方程写出圆心和半径，由题意有，即可求参数范围. 【详解】由，则， 由，则， 则， 因为圆与圆有公共点，所以， 即，解得， 所以实数取值范围是. 故答案为：. 四，解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知函数，曲线在点处的切线方程为. （1）求实数的值； （2）求的单调区间和极值. 【答案】（1）， （2） 单调递增区间是，单调递减区间是. 极大值，极小值， 【解析】 【分析】（1）求出导函数，根据导数的几何意义可得，结合，即可求实数的值； （2）由（1）知，根据导函数的符号，可求的单调区间和极值. 【小问1详解】 ， 由题意知，，所以 又因为，所以； 【小问2详解】 由（1）知， 当时；当时，； 当时， 所以的单调递增区间是，单调递减区间是. 当时，取得极大值； 当时，取得极小值， 16. 随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融入我们的日常生活．在教育领域，AI的赋能潜力巨大.为了解教师对AI大模型使用情况，现从某地区随机抽取了200名教师，对使用A、B、C、D四种AI大模型的情况统计如下： 使用AI大模型的种数 性别 0 1 2 3 4 男 4 27 23 16 10 女 6 48 27 24 15 在上述样本所有使用3种AI大模型的40人中，统计使用A、B、C、D的AI大模型人次如下： AI大模型种类 A B C D 人次 32 30 30 28 用频率估计概率. （1）从该地区教师中随机选取一人，估计至少使用两种AI大模型（A、B、C、D中）的概率； （2）从该地区使用3种AI大模型（A、B、C、D中）的教师中，随机选出3人，记使用B的有人，求的分布列及其数学期望； （3）从该地区男，女教师中各随机选一人，记他们使用AI大模型（A、B、C、D中）的种数分别为，比较的数学期望的大小．（结论不要求证明） 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 数学期望为 （3） 【解析】 【分析】（1）用样本频率估计总体概率即可求解； （2）用样本频率估计概率，求出“从该地区使用3种AI大模型的40名教师中随机选1人，该人使用模型B”的概率为，则被抽取的人数，由二项分布概率公式即可求解； （3）求出随机变量对应的概率，利用期望公式分别求出的数学期望，再比较大小即可. 【小问1详解】 记事件M为“从该地区教师中随机选取一人，至少使用两种AI大模型”， 则估计. 【小问2详解】 记事件为“从该地区使用3种AI大模型的40名教师中随机选1人，该人使用模型B”， 根据题中数据，. 的可能取值为， ， ， ． . 的分布列为 0 1 2 3 . 【小问3详解】 由题意可得该地区男，女教师人数分别为：80和120， 则易求， ，故. 17. 如图，已知四边形ABCD是矩形，，三角形PCD是正三角形，且平面平面. （1）若O是CD的中点，证明:； （2）求二面角的正弦值； （3）在线段CP上是否存在点Q，使得直线AQ与平面ABP所成角的正弦值为若存在，确定点Q的位置，若不存在，请说明理由 【答案】（1） 连接， 因为三角形PCD是正三角形，且O是CD的中点，则， 且平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为四边形ABCD是矩形，则， 且平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为坐标原点，分别为轴，过平行于的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 则，所以. （2） （3）存在点Q，点Q为PC的中点 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直可证平面，平面，建系，利用空间向量证明线线垂直； （2）分别求平面ABP与平面的法向量，利用空间向量求二面角； （3）设，利用空间向量结合线面夹角运算求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得：， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 设二面角为， 则，可得， 所以二面角的正弦值为. 【小问3详解】 由（1）可得， 设，可得， 由（2）可知：平面的法向量， 则由， 整理可得，解得或（舍去）， 即，可知存在点Q，点Q为PC的中点. 18. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆的方程． （2）已知是椭圆内一点，过点任作一条直线与椭圆交于，两点，求以为中点的弦所在的直线方程． （3）设点为椭圆的右顶点，是否存在过点的直线交椭圆于，两点，使得直线，的斜率之和等于？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，求椭圆方程； （2）利用点差法求解中点弦所在直线方程； （3）首先设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示，即可求解. 【小问1详解】 由题意得， 将代入椭圆方程得，又，解得，， 故椭圆的方程为． 【小问2详解】 根据题意得中点弦所在直线的斜率存在，且在椭圆内，设，， 所以，， 两式作差，得， 所以． 由是的中点，得，， 所以，所以， 所以，以为中点的弦所在的直线方程为， 即． 【小问3详解】 当直线的斜率为0时，此时和重合或和重合，显然不满足条件． 当直线的斜率不为0时，如图，设直线的方程为，，． 由消去，化简得， ， 则，． 由题意，，则 ， 由，得， 故存在满足条件的直线，直线的方程为． 【点睛】关键点点睛：本题的关键1是点差法解决中点弦问题，关键2是利用直线与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理，解决坐标问题. 19. 已知数列是公差为1的等差数列，且，数列是等比数列，且. （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和： （3）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列与等比数列的基本量求解首项、公比即可得和的通项公式； （2）根据数列的通项，奇数项部分通项进行裂项，偶数项部分错位相减法求和，然后分奇偶项求和即可得数列的前项和； （3）根据等差数列的性质可得，利用含参不等式分离参数可得对恒成立，令，判断其单调性得最值即可得实数的取值范围． 【小问1详解】 由题可知数列是公差为的等差数列， 且，则，解得， 所以， 设等比数列的公比为，且，， 则，解得， 所以， 所以和的通项公式为，． 【小问2详解】 由（1）得为，， 所以， 当为奇数时，则， 因为当为偶数时， 设①， 则②， ①—②： ， 所以， 所以求数列的前项和为 ， 故； 【小问3详解】 由题意可得， 由，得， 所以对恒成立， 令，则 当时，，当时，，当时，， 所以最大， 所以． 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和； （2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和； （3）对于型数列，利用分组求和法； （4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟试题（五） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一，选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的前项和为，则（ ） A. 880 B. 440 C. 110 D. 220 4. 已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 6. 一条渐近线方程为，且经过点的双曲线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 7. 已知四面体中，两两垂直，与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，内角所对的边分别为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二，选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 设的极差为，平均值为，中位数为m，标准差为s.，其中，的极差为Y，平均值为，中位数为P，标准差为t，则（ ） A. B. C. D. 10. 若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 当，时，直线与曲线相切 B. 当时，函数的减区间为 C. 当时，若函数有3个零点，则实数的取值范围为 D. 当，时，若（其中），有 三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则_____. 13. 甲、乙、丙等5位同学随机站成一排合影留念，甲、乙两人相邻且甲站在丙的左侧，则不同的站法共有________种．（用数字作答） 14. 已知圆，圆，如果这两个圆有公共点，则实数取值范围是______. 四，解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知函数，曲线在点处的切线方程为. （1）求实数的值； （2）求的单调区间和极值. 16. 随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融入我们的日常生活．在教育领域，AI的赋能潜力巨大.为了解教师对AI大模型使用情况，现从某地区随机抽取了200名教师，对使用A、B、C、D四种AI大模型的情况统计如下： 使用AI大模型的种数 性别 0 1 2 3 4 男 4 27 23 16 10 女 6 48 27 24 15 在上述样本所有使用3种AI大模型的40人中，统计使用A、B、C、D的AI大模型人次如下： AI大模型种类 A B C D 人次 32 30 30 28 用频率估计概率. （1）从该地区教师中随机选取一人，估计至少使用两种AI大模型（A、B、C、D中）的概率； （2）从该地区使用3种AI大模型（A、B、C、D中）的教师中，随机选出3人，记使用B的有人，求的分布列及其数学期望； （3）从该地区男，女教师中各随机选一人，记他们使用AI大模型（A、B、C、D中）的种数分别为，比较的数学期望的大小．（结论不要求证明） 17. 如图，已知四边形ABCD是矩形，，三角形PCD是正三角形，且平面平面. （1）若O是CD的中点，证明:； （2）求二面角的正弦值； （3）在线段CP上是否存在点Q，使得直线AQ与平面ABP所成角的正弦值为若存在，确定点Q的位置，若不存在，请说明理由 18. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆的方程． （2）已知是椭圆内一点，过点任作一条直线与椭圆交于，两点，求以为中点的弦所在的直线方程． （3）设点为椭圆的右顶点，是否存在过点的直线交椭圆于，两点，使得直线，的斜率之和等于？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由． 19. 已知数列是公差为1的等差数列，且，数列是等比数列，且. （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和： （3）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若对恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $