陕西省榆林市府谷县第四中学2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年陕西省榆林市府谷四中九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（3分）已知x＝1是一元二次方程x2+3x﹣m＝0的一个根，则m的值为（　　） A．1 B．4 C．﹣4 D．﹣1 2．（3分）一个正方体截去四分之一，得到如图所示的几何体，其左视图是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）有20张背面完全相同，正面涂有红色或绿色的卡片，将这20张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，记录颜色后放回，经过大量重复试验后发现，抽到红色卡片的频率稳定在0.4，则红色卡片的数量约为（　　） A．8张 B．4张 C．10张 D．12张 4．（3分）如图，△ABC∽△A1B1C1，AD，A1D1分别是∠BAC，∠B1A1C1的角平分线，若，则的值是（　　） A． B． C．k D．k2 5．（3分）已知点A（m，2）在反比例函数的图象上，则m的值为（　　） A．﹣4 B． C．4 D． 6．（3分）将矩形ABCD和菱形AFDE按如图放置，若图中矩形面积是菱形面积的2倍，则下列结论正确的是（　　） A．∠EAF＝60° B．AB＝AF C．AD＝2AB D．AB＝EF 7．（3分）如图，在△ABC中，点D在AC边上，过点D作DE∥BC交AB于E点，过点E作EF∥AC交BC于F点，连接AF交DE于G点，若AE：BE＝1：2，则△ACF与△EFG的面积比为（　　） A．4：25 B．4：12 C．2：3 D．9：4 8．（3分）若点A（﹣5，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9．（3分）如果两根木杆垂直立在地面上，其中一根的影子的方向为正东方，另一根的影子的方向为正西方，那么这是 　 　投影（填“中心”或“平行”）． 10．（3分）如图，已知四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，试添加一个条件 　 　，使▱ABCD为矩形． 11．（3分）已知关于x的方程mx2﹣3x+1＝0无实数解，则m取到的最小正整数值是 　 　． 12．（3分）如图，Rt△BOC的直角边OC在x轴上，反比例函数的图象经过斜边OB上的点A，且满足，与BC边交于点D，连接OD，若△BOD的面积为2，则k的值为 　 　． 13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，点D、E分别在BC、AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于点F，则△BDF的面积的最大值是 　 　． 三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程） 14．（5分）解方程：x2﹣14x+13＝0． 15．（5分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，连接AC，BD，点E是对角线AC的中点，连接BE，DE．求证：∠EBD＝∠EDB． 16．（5分）若点A（2，﹣3）在反比例函数（k为常数，且k≠1）的图象上，试判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由． 17．（5分）如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，若∠A＝36°，请用尺规作图法在AC上找一点D，使得△ABC∽△BCD．（保留作图痕迹，不写作法） 18. (5分)如图，在平面直角坐标系中.△ABC 的三个顶点的坐标为A(2.6).B(6.2).C(10.2)，在第一象限画出△ABC以原点O为位似中心的位似图形△（点A、B，C的对应点分别是、、)，使△ABC与△的相似比为2:1. 19．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，连接BD，点O为BD的中点，连接CO并延长交AD于点E，EC⊥BD，连接BE．求证：四边形BCDE是菱形． 20．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，连接AC，点F在CD边上，连接BF，交AC于点N，若CF＝2．求证：∠BAC＝∠CBF． 21．（6分）交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，九月份售出300个，十一月份售出507个，且从九月份到十一月份月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 22．（7分）一个不透明的口袋里装着分别标有数字﹣3，﹣1，0，2的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验时把小球搅匀． （1）从中任取一球，求所抽取的数字恰好为负数的概率为 　 　； （2）从中任取一球，记下球上的数字，然后把小球放回；再任取一球，记下球上的数字，请用画树状图（或列表法）的方法，求出两球上的两数之积为非负数的概率． 23．（7分）如图是海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图所示的平面直角坐标系．其中OD为水面，滑梯BC段可看成是反比例函数图象的一段，矩形AOEB为向上攀爬的梯子，梯子的高OA为6米，宽AB为1米，出口C到BE的距离CF为4米． （1）求BC段所在的反比例函数的表达式；（不要求写出自变量x的取值范围） （2）出口C到x轴的距离CD的长是多少？ 24．（8分）如图，小华及数学小组成员将利用所学知识测量一个广告牌EF的高度．在阳光下，小华站在点D处时，其影子末端与广告牌影子末端重合于点H，其中DH＝2m；随后，该小组组员甲在点G处放置一面平面镜，组员甲移动到B点时，恰好在镜子中看到广告牌顶端E的像，此时BG＝3m，BD＝9m，组员甲的眼睛到地面的距离AB为1.5m，小华的身高CD为1.5m．已知AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，点B，G，H，D，F在一条直线上．根据以上信息，求广告牌EF的高度．（平面镜的厚度、大小忽略不计） 25．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝BC，∠D＝45°，CD的垂直平分线交CD于E，交AD于F，交BC的延长线于G，若AD＝a． （1）求证：四边形ABCF是正方形； （2）求BG的长． 26．（10分）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片ABC和ADE中，AB＝AD＝4，BC＝DE＝3，∠ABC＝∠ADE＝90°． 【问题探究】 （1）如图①，连接BD，CE，在纸片ADE绕点A旋转过程中，求证：△ADB∽△AEC； 【问题解决】 （2）如图②，在纸片ADE绕点A旋转过程中，点D恰好落在△ABC的高线BM的延长线上，连接CD，求CE的长； 【问题拓展】 （3）如图③，在纸片ADE绕点A旋转过程中，点D恰好落在△ABC的中线BN的延长线上，连接CE，求△ACE的周长． 2024-2025学年陕西省榆林市府谷四中九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B A C A D D B 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（3分）已知x＝1是一元二次方程x2+3x﹣m＝0的一个根，则m的值为（　　） A．1 B．4 C．﹣4 D．﹣1 【分析】把x＝1代入方程，把问题转化为关于m的方程求解． 【解答】解：∵x＝1是一元二次方程x2+3x﹣m＝0的一个根， ∴1+3﹣m＝0， ∴m＝4． 故选：B． 【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程解的定义． 2．（3分）一个正方体截去四分之一，得到如图所示的几何体，其左视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据左视图的定义即可判断． 【解答】解：左视图如图所示， 故选：B． 【点评】本题主要考查了几何体的三视图，解题的关键是正确理解左视图是从左面观察几何体得出的平面图形，注意：能看到的线用实线，看不到而存在的线用虚线． 3．（3分）有20张背面完全相同，正面涂有红色或绿色的卡片，将这20张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，记录颜色后放回，经过大量重复试验后发现，抽到红色卡片的频率稳定在0.4，则红色卡片的数量约为（　　） A．8张 B．4张 C．10张 D．12张 【分析】根据频率估计概率可得抽到红色卡片的概率为0.4，再由概率公式求解即可． 【解答】解：∵经过大量重复试验后发现，抽到红色卡片的频率稳定在0.4， ∴估计抽到红色卡片的概率为0.4， ∴红色卡片的数量约为20×0.4＝8（张）． 故选：A． 【点评】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 4．（3分）如图，△ABC∽△A1B1C1，AD，A1D1分别是∠BAC，∠B1A1C1的角平分线，若，则的值是（　　） A． B． C．k D．k2 【分析】根据相似三角形的对角线之比等于相似比，列式计算即可． 【解答】解：∵△ABC∽△A1B1C1，AD，A1D1分别是∠BAC，∠B1A1C1的角平分线，， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 5．（3分）已知点A（m，2）在反比例函数的图象上，则m的值为（　　） A．﹣4 B． C．4 D． 【分析】直接把点A（m，2）代入反比例函数y＝﹣，求出m的值即可． 【解答】解：∵点A（m，2）在反比例函数的图象上， ∴2＝﹣， 解得m＝﹣4， 故选：A． 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 6．（3分）将矩形ABCD和菱形AFDE按如图放置，若图中矩形面积是菱形面积的2倍，则下列结论正确的是（　　） A．∠EAF＝60° B．AB＝AF C．AD＝2AB D．AB＝EF 【分析】根据矩形的面积公式以及菱形的面积公式解答即可． 【解答】解：∵矩形ABCD的面积＝AD•AB，菱形AEDF的面积＝， ∴AD•AB＝2×， ∴AB＝EF， 故选：D． 【点评】此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的面积公式解答． 7．（3分）如图，在△ABC中，点D在AC边上，过点D作DE∥BC交AB于E点，过点E作EF∥AC交BC于F点，连接AF交DE于G点，若AE：BE＝1：2，则△ACF与△EFG的面积比为（　　） A．4：25 B．4：12 C．2：3 D．9：4 【分析】先根据平行线分线段成比例定理得到＝＝，则＝，再证明△ADG∽△ACF，利用相似三角形的性质得到＝，接着证明四边形DEFC为平行四边形得到EF＝CD，所以＝2，然后证明△EFG∽△DAG，则＝4，从而得到S△ACF：S△EFG＝9：4． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴＝＝， ∴＝， ∵DG∥CF， ∴△ADG∽△ACF， ∴＝（）2＝（）2＝， 即S△ACF＝9S△ADG， ∵EF∥AC，DE∥CF， ∴四边形DEFC为平行四边形， ∴EF＝CD， ∴＝2， ∵AD∥EF， ∴△EFG∽△DAG， ∴＝（）2＝22＝4， 即S△EFG＝4S△ADG， ∴S△ACF：S△EFG＝9S△ADG：4S△ADG＝9：4． 故选：D． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；利用相似三角形的性质解决三角形面积之间的关系． 8．（3分）若点A（﹣5，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1 【分析】直接利用反比例函数图象的分布，结合增减性得出答案． 【解答】解：∵点A（﹣5，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）在反比例函数 y＝（k＞0）图象上，k+1＞0， ∴A，B点在第三象限，C点在第一象限，每个图象上y随x的增大减小， ∴y3一定最大，y1＞y2， ∴y2＜y1＜y3． 故选：B． 【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，正确把握反比例函数增减性是解题关键． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9．（3分）如果两根木杆垂直立在地面上，其中一根的影子的方向为正东方，另一根的影子的方向为正西方，那么这是 　中心　投影（填“中心”或“平行”）． 【分析】由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影，由平行光线形成的投影是平行投影，由此即可得到答案． 【解答】解：两根木杆垂直立在地面上，其中一根的影子的方向为正东方，另一根的影子的方向为正西方，那么这是中心投影． 故答案为：中心． 【点评】本题考查中心投影，平行投影，关键是掌握中心投影和平行投影的定义． 10．（3分）如图，已知四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，试添加一个条件 　AC＝BD　，使▱ABCD为矩形． 【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形可添加的条件是AC＝BD． 【解答】解：∵AC＝BD，四边形ABCD为平行四边形， ∴四边形ABCD为矩形． 故答案为：AC＝BD． 【点评】本题考查矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解决本题的关键． 11．（3分）已知关于x的方程mx2﹣3x+1＝0无实数解，则m取到的最小正整数值是 　3　． 【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式列出不等式，即可求解． 【解答】解：∵关于x的方程mx2﹣3x+1＝0无实数解， 当m＝0时，原方程为一元一次方程，有解， 当m≠0时，原方程为一元二次方程， ∴Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4m＜0， 解得：， ∴则m取到的最小正整数值是3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键． 12．（3分）如图，Rt△BOC的直角边OC在x轴上，反比例函数的图象经过斜边OB上的点A，且满足，与BC边交于点D，连接OD，若△BOD的面积为2，则k的值为 　　． 【分析】作AM⊥OC，垂足为M，根据题意得出△AOM∽△BOC，相似比，利用面积建立关于k的方程，解出k值即可． 【解答】解：作AM⊥OC，垂足为M， ∵点A、D在反比例函数图象上， ∴S△AOM＝S△DOC＝k（k＞0）， ∵AM∥BC， ∴△AOM∽△BOC， ∵， ∴， ∵S△BOC＝S△BOD+S△DOC＝2+k， ∴， 解得k＝． 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的纵横坐标之积是定值k． 13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，点D、E分别在BC、AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于点F，则△BDF的面积的最大值是 　2　． 【分析】连接DE，过点D作DH⊥AB于H，先证DE∥AB，则△CDE∽△CBA，△DEF∽△ABF，再推出S△ABE＝S△ABD，推出S△AEF＝S△BDF，可得S△BDF＝S△ABD，求出△ABD面积的最大值即可解决问题． 【解答】解：连接DE，过点D作DH⊥AB于H，如图所示： ∵CD＝2BD，CE＝2AE， ∴＝＝2， ∴DE∥AB， ∴△CDE∽△CBA，△DEF∽△ABF， ∴＝＝，＝， ∴＝＝， ∵DE∥AB， ∴S△ABE＝S△ABD， ∴S△AEF＝S△BDF， ∴S△BDF＝S△ABD， ∵BD＝BC＝， ∵AB＝6一定，当DH最大时，△ABD的面积最大， ∵DH≤BD， ∴DH＝BD＝时，DH最大， 即当AB⊥BD时，△ABD的面积最大，最大值＝××6＝5， ∴△BDF的面积的最大值＝×5＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质以及三角形面积等知识，解题的关键是证明DE∥AB，推出S△BDF＝S△ABD． 三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程） 14．（5分）解方程：x2﹣14x+13＝0． 【分析】利用因式分解法解方程． 【解答】解：x2﹣14x+13＝0， （x﹣1）（x﹣13）＝0， x﹣1＝0或x﹣13＝0， x1＝1，x2＝13． 【点评】本题考查解一元二次方程﹣因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解方程． 15．（5分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，连接AC，BD，点E是对角线AC的中点，连接BE，DE．求证：∠EBD＝∠EDB． 【分析】由∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得BE＝DE＝AC，则∠EBD＝∠EDB． 【解答】证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点， ∴BE、DE分别是Rt△ABC、Rt△ADC斜边上的中线， ∴BE＝AC，DE＝AC， ∴BE＝DE， ∴∠EBD＝∠EDB． 【点评】此题重点考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质等知识，推导出BE＝DE＝AC是解题的关键． 16．（5分）若点A（2，﹣3）在反比例函数（k为常数，且k≠1）的图象上，试判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【分析】直接把点A（2，﹣3）代入反比例函数y＝（k为常数，且k≠1）解析式中，求出k的值，把点B（﹣，﹣6）的坐标代入函数解析式进行验证． 【解答】解：∵点A（2，﹣3）在这个函数的图象上， ∴k﹣1＝2×（﹣3）， 解得k＝﹣5； ∴反比例函数的解析式为y＝﹣， 将点B（﹣，﹣6）的坐标代入y＝﹣， 可知﹣6≠12，点B的坐标不满足反比例函数关系式， ∴点B不在函数 y＝﹣的图象上． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数解析式．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内． 17．（5分）如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，若∠A＝36°，请用尺规作图法在AC上找一点D，使得△ABC∽△BCD．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】结合等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，则点D即为所求． 【解答】解：若△ABC∽△BCD， 则∠ACB＝∠BDC． 如图，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D， 则点D即为所求． 【点评】本题考查作图﹣相似变换、等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 18. (5分)如图，在平面直角坐标系中.△ABC 的三个顶点的坐标为A(2.6).B(6.2).C(10.2)，在第一象限画出△ABC以原点O为位似中心的位似图形△（点A、B，C的对应点分别是、、)，使△ABC与△的相似比为2:1. 【解答】 19．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，连接BD，点O为BD的中点，连接CO并延长交AD于点E，EC⊥BD，连接BE．求证：四边形BCDE是菱形． 【分析】根据平行线的性质得到∠EDO＝∠CBO，由点O为BD的中点，得到BO＝DO，根据全等三角形的性质得到BC＝DE，根据平行四边形的判定定理得到四边形BCDE是平行四边形，根据菱形的判定定理得到四边形BCDE是菱形． 【解答】证明：∵AD∥BC， ∴∠EDO＝∠CBO， ∵点O为BD的中点， ∴BO＝DO， 在△BCO与△DEO中， ， ∴△BCO≌△DEO（ASA）， ∴BC＝DE， ∵BC∥DE， ∴四边形BCDE是平行四边形， ∵EC⊥BD， ∴四边形BCDE是菱形． 【点评】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理、菱形的判定定理是解题的关键． 20．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，连接AC，点F在CD边上，连接BF，交AC于点N，若CF＝2．求证：∠BAC＝∠CBF． 【分析】通过证明△ABC∽△BCF，即可解决问题． 【解答】证明：在矩形ABCD中，BC＝AD＝4，AB＝8，CF＝2， ∴＝＝，＝＝， ∴＝， ∵∠ABC＝∠BCF＝90°， ∴△ABC∽△BCF， ∴∠BAC＝∠CBF． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 21．（6分）交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，九月份售出300个，十一月份售出507个，且从九月份到十一月份月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 【分析】设该品牌头盔销售量的月增长率为x，利用该品牌头盔十一月份的销售量＝该品牌头盔九月份的销售量×（1+该品牌头盔销售量的月增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 根据题意得：300（1+x）2＝507， 解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不符合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为30%． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22．（7分）一个不透明的口袋里装着分别标有数字﹣3，﹣1，0，2的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验时把小球搅匀． （1）从中任取一球，求所抽取的数字恰好为负数的概率为 　　； （2）从中任取一球，记下球上的数字，然后把小球放回；再任取一球，记下球上的数字，请用画树状图（或列表法）的方法，求出两球上的两数之积为非负数的概率． 【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中所抽取的数字恰好为负数的结果有2种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两球上的两数之积为非负数的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中所抽取的数字恰好为负数的结果有2种， ∴所抽取的数字恰好为负数的概率为． 故答案为：． （2）列表如下： ﹣3 ﹣1 0 2 ﹣3 （﹣3，﹣3） （﹣3，﹣1） （﹣3，0） （﹣3，2） ﹣1 （﹣1，﹣3） （﹣1，﹣1） （﹣1，0） （﹣1，2） 0 （0，﹣3） （0，﹣1） （0，0） （0，2） 2 （2，﹣3） （2，﹣1） （2，0） （2，2） 共有16种等可能的结果，其中两球上的两数之积为非负数的结果有：（﹣3，﹣3），（﹣3，﹣1），（﹣3，0），（﹣1，﹣3），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（0，﹣3），（0，﹣1），（0，0），（0，2），（2，0），（2，2），共12种， ∴两球上的两数之积为非负数的概率为＝． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 23．（7分）如图是海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图所示的平面直角坐标系．其中OD为水面，滑梯BC段可看成是反比例函数图象的一段，矩形AOEB为向上攀爬的梯子，梯子的高OA为6米，宽AB为1米，出口C到BE的距离CF为4米． （1）求BC段所在的反比例函数的表达式；（不要求写出自变量x的取值范围） （2）出口C到x轴的距离CD的长是多少？ 【分析】（1）先设出函数解析式，然后根据题意可知，点（1，6）在该函数图象上，代入函数解析式即可得到k的值，再写出函数解析式即可； （2）根据题意可以得到点C的横坐标，代入（1）中的解析式即可得到点C的纵坐标，从而可以写出出口C到x轴的距离CD的长． 【解答】解：（1）设BC段所在的反比例函数的表达式为y＝， ∵梯子的高OA为6米，宽AB为1米， ∴点（1，6）在该函数图象上， ∴6＝，得k＝6， ∴BC段所在的反比例函数的表达式为y＝； （2）由题意可得， 点C的横坐标为1+4＝5， 将x＝5代入y＝，得y＝＝1.2， 即出口C到x轴的距离CD的长是1.2米． 【点评】本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式． 24．（8分）如图，小华及数学小组成员将利用所学知识测量一个广告牌EF的高度．在阳光下，小华站在点D处时，其影子末端与广告牌影子末端重合于点H，其中DH＝2m；随后，该小组组员甲在点G处放置一面平面镜，组员甲移动到B点时，恰好在镜子中看到广告牌顶端E的像，此时BG＝3m，BD＝9m，组员甲的眼睛到地面的距离AB为1.5m，小华的身高CD为1.5m．已知AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，点B，G，H，D，F在一条直线上．根据以上信息，求广告牌EF的高度．（平面镜的厚度、大小忽略不计） 【分析】根据镜面反射原理结合相似三角形的判定方法得出△EFH∽△CDH，△EFG∽△ABG，进而利用相似三角形的性质得出EF的长． 【解答】解：设广告牌的高度EF为x m， 依题意知：DB＝9m，BG＝3m，DH＝2m，AB＝CD＝1.5m， ∴GD＝DB﹣BG＝6m， ∵CD⊥BF，EF⊥BF， ∴CD∥EF， ∴△EFH∽△CDH， ∴，即， ∴， ∴DF＝x﹣2， 由平面镜反射规律可得：∠EGF＝∠AGB， ∵AB⊥BF， ∴∠ABG＝90°＝∠EFG， ∴△EFG∽△ABG， ∴＝，即＝， ∴＝， ∴x＝6． 故广告牌的高度EF为6m． 【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确利用已知得出相似三角形是解题关键． 25．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝BC，∠D＝45°，CD的垂直平分线交CD于E，交AD于F，交BC的延长线于G，若AD＝a． （1）求证：四边形ABCF是正方形； （2）求BG的长． 【分析】（1）先根据∠B＝∠A＝∠AFC＝90°，判定四边形ABCF是矩形，再根据AB＝BC，即可得到四边形ABCF是正方形； （2）先判定△CEG≌△DEF（AAS），得出CG＝FD，再根据正方形ABCF中，BC＝AF，即可得到AF+FD＝BC+CG，即AD＝BG＝a． 【解答】解：（1）∵CD的垂直平分线交CD于E，交AD于F， ∴FC＝FD， ∴∠D＝∠FCD＝45°， ∴∠CFD＝90°，即∠AFC＝90°， 又∵AD∥BC，∠A＝90°， ∴∠B＝90°， ∴四边形ABCF是矩形， 又∵AB＝BC， ∴四边形ABCF是正方形； （2）∵FG垂直平分CD， ∴CE＝DE，∠CEG＝∠DEF＝90°， ∵BG∥AD， ∴∠G＝∠EFD， 在△CEG和△DEF中， ， ∴△CEG≌△DEF（AAS）， ∴CG＝FD， 又∵正方形ABCF中，BC＝AF， ∴AF+FD＝BC+CG， ∴AD＝BG＝a． 【点评】本题主要考查了正方形的判定与性质，线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是掌握：有一组邻边相等的矩形是正方形；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 26．（10分）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片ABC和ADE中，AB＝AD＝4，BC＝DE＝3，∠ABC＝∠ADE＝90°． 【问题探究】 （1）如图①，连接BD，CE，在纸片ADE绕点A旋转过程中，求证：△ADB∽△AEC； 【问题解决】 （2）如图②，在纸片ADE绕点A旋转过程中，点D恰好落在△ABC的高线BM的延长线上，连接CD，求CE的长； 【问题拓展】 （3）如图③，在纸片ADE绕点A旋转过程中，点D恰好落在△ABC的中线BN的延长线上，连接CE，求△ACE的周长． 【分析】（1）证明△ADE≌△ABC（SAS），求出 AC＝AE＝5，可得∠DAE＝∠BAC，故∠CAE＝∠BAD，又可得△ADB∽△AEC； （2）由题意得：BM⊥AC，同理（1）可得：△ADB∽△AEC，则有，然后可得 ，进而问题可求解； （3）由题意易得，则有∠ABN＝∠BAN，然后可得△ABN∽△DBA，进而可得，最后根据可进行求解． 【解答】（1）证明：∵AB＝AD＝4，BC＝DE＝3，∠ABC＝∠ADE＝90°， ∴△ADE≌△ABC（SAS）， ∴， ∴∠DAE＝∠BAC， ∴∠DAE+∠DAC＝∠BAC+∠DAC， 即∠CAE＝∠BAD， ∵， ∴△ADB∽△AEC； （2）解：由题意得：BM⊥AC， ∵△ADB∽△AEC， ∴， ∵AB＝4，AC＝5， ∴， ∵AB＝4，BC＝3，AC＝5，且， ∴， ∵AB＝AD＝4， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵∠ABC＝90°，BN是△ABC的中线，AC＝5， ∴， ∴∠ABN＝∠BAN， ∵AB＝AD＝4， ∴∠ABD＝∠ADB＝∠BAN， ∵∠ABN＝∠DBA， ∵△ABN∽△DBA， ∴， 即AB2＝BN•BD， ∴， ∵， ∴， ∴△ACE的周长＝AC+AE+EC＝5+5+8＝18． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$