精品解析：重庆市南开中学校2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

重庆南开中学初2025届初三（上）期末考试 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题，（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应的方框涂黑． 1. 4的倒数是（ ） A. B. C. 2 D. 2. 下列新年窗花图片中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，且，点坐标为，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 若为方程的一个解，则代数式的值为（ ） A. 2001 B. 2007 C. 2019 D. 2025 6. 下列说法正确的是（ ） A. 一组对边平行，一组对边相等的四边形为平行四边形 B. 经过半径外端点的直线为圆的切线 C. 垂直于弦的直径平分这条弦 D. 边形的外角和为 7. 已知，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，将绕点旋转至使得，，共线，则边扫过的部分（即阴影部分）面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形ABCD中，E为BC延长线上一点，连接DE，F为BC上一点，且EF＝DE，连接DF．G为CD上一点，且DG＝CF，连接AG并延长交DE于点M，连接CM，若∠DAM＝α，则∠DCM＝（　　） A. 2α B. 45°+α C. D. 10. 已知整式，其中，，，…，为自然数，且．下列说法： ①当，时，则； ②若，不存在任何一个，使得满足条件的整式有且仅有3个； ③当时，满足条件的所有整式有且仅有28个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将正确答案直接填写在答题卡中对应横线上． 11. 若反比例函数图像经过第一、三象限，则k的取值范围是______． 12. 现有外观完全相同的4张刮刮卡，其中“表扬卡”2张，“加分卡”1张，“零食卡”1张，小南从中随机抽取两张刮开，则小南抽到两张都是“表扬卡”的概率是_________． 13. 如图，在中，将绕点旋转至，连接并延长至点，使得，连接，若，，，则_________． 14. 如果关于的不等式组有解且至多有4个整数解，且关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和为________． 15. 如图，以为直径的与相切于点A，以为边作菱形，点在上，与交于点F，连接，与交于点G，连接，若，则_______，_________． 16. 一个四位自然数的各个数位上的数字互不相等，如果前两位数字所组成的两位数与后两位数字组成的两位数的和等于，那么就称这个数为“满分数”．把“满分数”的前两位数字与后两位数字整体交换得到新的四位数，设例如：一个四位数，∵，∴是“满分数”，且，则 _________；若是“满分数”，且是整数，则满足条件的所有的和为_________· 三、解答题：（本大题8个小题，17题共16分，每个小题8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）． （2）先化简，再求值：，其中，． 18. 在学习了平行四边形的相关知识后，数学小组进行了更深入的研究，他们发现，连接平行四边形的一条对角线后，作一组对边被该线所截形成的如内错角的角平分线，角平分线与平行四边形一组对边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是平行四边形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在平行四边形中，用尺规作和的角平分线，分别交，于点，（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知：平行四边形中，，分别平分和，求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，①________． ∵，分别平分和 ∴②______________；． ∴③_______________． 在与中 ∴． ∴④_______________． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 进一步思考，如果将上述条件中的平行四边形变为菱形呢？连接菱形的一条对角线后，作一组对边被该线所截形成的一组内错角的角平分线，角平分线与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是⑤__________． 19. 年月日，中国“春节”申遗成功．中国春节文化源远流长，全国各地衍生出纷繁多样的春节习俗．某校为了解学生对春节文化的了解情况，举办了春节文化知识竞赛，现从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 七年级名学生的竞赛成绩是： ，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，． 八年级名学生竞赛成绩在组的数据是，，，，，，． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 八年级 八年级抽取学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的_____，_____，_____； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的春节文化知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校七年级有名，八年级有名学生参加了此次春节文化知识竞赛，估计该校七、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 20. 春节将至，小南同学决定用零花钱为家里购置一些装饰礼盒和食品礼盒，已知购买3个装饰礼盒和2个食品礼盒共需205元，购买4个装饰礼盒和1个食品礼盒共需190元． （1）每个装饰礼盒和食品礼盒各需多少钱？ （2）临近春节商家促销，两种礼盒售价均有所调整，小南分别花费120元和320元购买装饰礼盒和食品礼盒，且购买的装饰礼盒比食品礼盒数量少，每个装饰礼盒比食品礼盒售价少10元，则小南购买食品礼盒多少个？ 21. 如图，在中，，为边上的高，，，动点从点出发，沿运动，到达点时停止运动，设点运动的路程为，过点作交的边于点，点，的距离为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出点，的距离为3时的值． 22. 寒假来临，小南和小北相约去湖边划船游玩．小南到达游船起点处时，小北还未到达，小南先乘坐游船出发到处欣赏湖中小岛，再到处停靠2分钟接收游客后继续游湖．小南乘坐游船出发2分钟后，小北才到达并决定沿湖先步行到达正东方向处，再跑步去游船停靠点处和小南汇合．已知在北偏东30°方向上且米，在北偏东60°方向上，且在的西北方向180米处． （1）求游船起点处与处的距离（结果保留根号）； （2）游船的平均速度为30米/分，小北的步行速度为60米/分，跑步速度为150米/分，请用计算说明小北能否在处登上游船？（在处停留欣赏湖中小岛时间忽略不计，结果精确到0.1，参考数据：，，） 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点，与轴变于点，与轴交于，两点（点在点的左侧），点是点关于轴的对称点，连接，，． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，点是直线下方抛物线上的一动点，连接交于点，点为线段的中点，点为轴上的一动点，连接，，当有最大值时，求周长的最小值； （3）如图，将该抛物线沿射线方向平移，使得平移后的新抛物线经过点，点是新抛物线上对称轴右侧的一动点，过点作平行于轴的直线，过点作轴交于点，将绕点顺时针旋转角度，得到（点和点分别对应点和点），当时，点恰好落在坐标轴上，写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点横坐标的其中一种情况的过程． 24. 在中，，，点是边上一点，点是边上一点，连接、，且． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，为延长线上一点，连接，且，求证：； （3）如图3，连接，将沿翻折至所在平面内得到，连接交于点，连接、，当最小时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆南开中学初2025届初三（上）期末考试 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题，（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应的方框涂黑． 1. 4的倒数是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了倒数，乘积为1的两个数互为倒数，据此进行解答即可． 【详解】解：4的倒数是， 故选：B 2. 下列新年窗花图片中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形与中心对称图形的概念，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．根据概念正确判断图形是解题关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐一判断即可解答． 【详解】解：A．既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项符合题意， B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意， C．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意， D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意． 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了合并同类项、幂的乘方、单项式的除法、同底数幂的乘法等知识．根据运算法则计算后即可得到答案． 【详解】A. ，故选项错误，不符合题意； B. ，故选项正确，符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意； D. ，故选项错误，不符合题意； 故选：B 4. 如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，且，点坐标为，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查位似图形的性质，注意位似比与坐标比的关系是解题的关键．根据位似图形的性质，以原点为位似中心，在位似中心两侧的两个位似图形，其坐标比等于相似比的相反数。相似比为，则对应的坐标比为，由此可解得点C的坐标． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴和是以点为位似中心，相似比为的位似图形， ∵坐标为， ∴点C的坐标为，即， 故选：C． 5. 若为方程的一个解，则代数式的值为（ ） A. 2001 B. 2007 C. 2019 D. 2025 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解和求代数式的值，根据方程的解得到，把代数式变形后整体代入求值即可． 【详解】解：∵为方程的一个解， ∴， 则， ∴， 故选：D 6. 下列说法正确的是（ ） A. 一组对边平行，一组对边相等的四边形为平行四边形 B. 经过半径外端点的直线为圆的切线 C. 垂直于弦的直径平分这条弦 D. 边形的外角和为 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了多边形外角和、平行四边形的判定、切线的判定、垂径定理等知识，根据相关知识进行判断即可. 【详解】A. 一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，一组对边平行，一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，故选项错误，不合题意； B. 经过半径外端点并且垂直于半径的直线为圆的切线，故选项错误，不合题意； C. 垂直于弦的直径平分这条弦，故选项正确，符合题意； D. 边形的外角和为，故选项错误，不合题意； 故选：C 7. 已知，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的混合运算及无理数的估算是解题的关键． 先根据二次根式的混合运算法则计算得，再根据无理数的估算即可得出结果． 【详解】解： ， ， ∴， ∴， ∴． 故选A． 8. 如图，在中，，，，将绕点旋转至使得，，共线，则边扫过的部分（即阴影部分）面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形旋转及扇形的面积公式等知识点，掌握扇形的面积公式，推导出所求面积即为两扇形面积之差是解答本题的关键． 先推导出边扫过的部分（即阴影部分）面积为，分别求两扇形面积相减即可． 【详解】解：在中，，，， ∵， ∴直角三角形，， ∵， ∴， 由旋转可知，， 由题意得，由图形可知， 边扫过的部分（即阴影部分）面积为 , ∴边扫过的部分（即阴影部分）面积为 故选：B． 9. 如图，在正方形ABCD中，E为BC延长线上一点，连接DE，F为BC上一点，且EF＝DE，连接DF．G为CD上一点，且DG＝CF，连接AG并延长交DE于点M，连接CM，若∠DAM＝α，则∠DCM＝（　　） A. 2α B. 45°+α C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】证明，则，得到，，证明，进一步得到． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B 【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定和性质，证明是解题的关键． 10. 已知整式，其中，，，…，为自然数，且．下列说法： ①当，时，则； ②若，不存在任何一个，使得满足条件的整式有且仅有3个； ③当时，满足条件的所有整式有且仅有28个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】①当，时，可得 ，，，，，，，即可求解； ②若，分类讨论：时；当时，当时，当时，当时，分别进行求解，即可判断； ③分类讨论：当时，当时，当时， 当时，当时，同理可求． 【详解】解：①当，时， ，，…，为自然数， 且， ，，，，，，， ； 故此项正确； ②若， 当时， ， 有个； 当时， ， 可以取、、、，有个； 当时， ， 为，，，，，， 有个； 当时， ， 为，，， ， 有个； 当时， ， 为， 有个； 此时共有：个； 不存在一个，使得满足条件的整式有且仅有3个； 故此项符合题意； ③当时， 当时， 整式：， 有1个； 当时， 时， 整式：； 时， 整式：， 此时共有：个； 当时， 时， 整式：， 有个； 时， 整式为，可以取、，有个； 时， 整式为， 为， 有个； 此时共有：个； 当时， 时， 整式：， 有个； 时， 整式为，可以取、、，有个； 时， 整式为， 为，，， 有个； 时， 整式为， 为， 有个； 此时共有：个； 当时，由②得此时共有：个； 综上所述：共有个， 故此项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了整式中的探究规律，理解题意，分类讨论，找出规律是解题的关键． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将正确答案直接填写在答题卡中对应横线上． 11. 若反比例函数图像经过第一、三象限，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据反比例函数的性质即可得到结论． 【详解】解：∵反比例函数的图像过一、三象限， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质．反比例函数的性质主要有：（1）反比例函数的图像是双曲线；（2）当时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；（3）当时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．注意：反比例函数的图像与坐标轴没有交点．根据反比例函数的图像判断出的取值范围是解答此题的关键． 12. 现有外观完全相同的4张刮刮卡，其中“表扬卡”2张，“加分卡”1张，“零食卡”1张，小南从中随机抽取两张刮开，则小南抽到两张都是“表扬卡”的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及抽到两张都是“表扬卡”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 表扬卡 表扬卡 加分卡 零食卡 表扬卡 （表扬卡，表扬卡） （加分卡，表扬卡） （零食卡，表扬卡） 表扬卡 （表扬卡，表扬卡） （加分卡，表扬卡） （零食卡，表扬卡） 加分卡 （表扬卡，加分卡） （表扬卡，加分卡） （零食卡，加分卡） 零食卡 （表扬卡，零食卡） （表扬卡，零食卡） （加分卡，零食卡） 共有12种等可能的结果，其中抽到两张都是“表扬卡”的结果有2种， 小南抽到两张都是“表扬卡”的概率是． 故答案为：． 13. 如图，在中，将绕点旋转至，连接并延长至点，使得，连接，若，，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键，由中点定义得，由平行线性质得，利用旋转性质得，从而进而证明（），即可得解。 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵将绕点旋转至， ∴， ∴ ∵，， ∴（）， ∴， 故答案为： 14. 如果关于的不等式组有解且至多有4个整数解，且关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元一次不等式组．先解两个不等式，再根据不等式组有解且至多有4个整数解得到，再解分式方程确定的值即可得到答案． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式，得：， ∴， ∵关于的不等式组至多有4个整数解， ∴， ∴， 由，得， ∵关于的分式方程的解为整数， ∴或或或且， ∴所有满足条件的整数有或， ∴所有满足条件的整数的值之和为， 故答案为：． 15. 如图，以为直径的与相切于点A，以为边作菱形，点在上，与交于点F，连接，与交于点G，连接，若，则_______，_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、菱形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点．正确作出辅是解题的关键． 如图：连接，作交延长线于点I，作于点H，交延长线于点J，设，利用勾股定理得到，据此列方程可得，证明、求得、，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：连接，作交延长线于点I，作于点H，交延长线于点J， ∵菱形， ∴， ∴四边形和四边形，四边形都是矩形， ∵与相切于点A， ∴， 设， ∵， ∴，则， 由勾股定理得：，即，解得， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：，． 16. 一个四位自然数的各个数位上的数字互不相等，如果前两位数字所组成的两位数与后两位数字组成的两位数的和等于，那么就称这个数为“满分数”．把“满分数”的前两位数字与后两位数字整体交换得到新的四位数，设例如：一个四位数，∵，∴是“满分数”，且，则 _________；若是“满分数”，且是整数，则满足条件的所有的和为_________· 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查的是新定义运算，整式的加减运算的应用、方程整数解的应用． 根据题意得到，再根据题意得到，，进一步得到是整数，设，其中为正整数，求出或，据此进行分类求解即可． 【详解】解：∵， ∴是“满分数”， ， ∵是“满分数”， ∴，， ∴ ∴， ∴ ∵是整数， ∴设，其中为正整数， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵为整数， ∴或， 当时，，则， 当，时，此时，不符合题意； 当，时，此时，不符合题意； 当，时，此时，不符合题意； 当，时，此时，不符合题意； 当时，此时，即，数字均为，不满足各数位数字互不相等，不符合题意； 当时，，则， 当，时，此时，即，，符合题意，则， 当，时，此时，即，，不满足各个数位上的数字互不相等，故不符合题意； 当，时，此时，即，，符合题意，则， 当，时，此时，即，，符合题意，则， 则 ∴满足条件的所有的和为， 故答案为：， 三、解答题：（本大题8个小题，17题共16分，每个小题8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）． （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算和分式的化简求值． （1）利用零指数幂、立方根、乘方、特殊角的三角函数值进行计算即可； （2）先利用分式的加减法计算括号内的部分，再计算除法，再代入数值计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 当，时， 原式 18. 在学习了平行四边形的相关知识后，数学小组进行了更深入的研究，他们发现，连接平行四边形的一条对角线后，作一组对边被该线所截形成的如内错角的角平分线，角平分线与平行四边形一组对边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是平行四边形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在平行四边形中，用尺规作和的角平分线，分别交，于点，（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知：平行四边形中，，分别平分和，求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，①________． ∵，分别平分和 ∴②______________；． ∴③_______________． 在与中 ∴． ∴④_______________． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 进一步思考，如果将上述条件中的平行四边形变为菱形呢？连接菱形的一条对角线后，作一组对边被该线所截形成的一组内错角的角平分线，角平分线与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是⑤__________． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求， （2），，，，平行四边形 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的作图、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识． （1）根据角平分线的作图步骤作图即可； （2）证明．则．由即证明结论成立，根据证明过程完成填空即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，①． ∵，分别平分和 ∴②；． ∴③． 在与中 ∴． ∴④． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 同理可证，如果将上述条件中的平行四边形变为菱形，连接菱形的一条对角线后，作一组对边被该线所截形成的一组内错角的角平分线，角平分线与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是平行四边形， 故答案为：，，，，平行四边形 19. 年月日，中国“春节”申遗成功．中国春节文化源远流长，全国各地衍生出纷繁多样的春节习俗．某校为了解学生对春节文化的了解情况，举办了春节文化知识竞赛，现从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 七年级名学生的竞赛成绩是： ，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，． 八年级名学生竞赛成绩在组的数据是，，，，，，． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 八年级 八年级抽取学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的_____，_____，_____； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的春节文化知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校七年级有名，八年级有名学生参加了此次春节文化知识竞赛，估计该校七、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 【答案】（1），，； （2）八年级学生的成绩更好，因为八年级学生与七年级学生的平均分相等，八年级学生的众数比七年级学生的众数高，且八年级学生的方差小，说明八年级学生的成绩波动较小，成绩稳定； （3）人． 【解析】 【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数，可知；根据八年级学生成绩达到的人数为人，可知八年级学生的成绩从大到小排列第和名的成绩分别为和，所以可知八年级的中位数为；根据八年级级名学生竞赛成绩在组的数据共有个，可以求出； 根据八年级学生与七年级学生的平均分相等，八年级学生的众数比七年级学生的众数高，且八年级学生的方差小，说明八年级学生的成绩波动较小，成绩稳定； 用样本估计总体，分别求出七年级和八年级达到优秀的人数，两数之和即为该校七、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的人数． 【小问1详解】 解：从七年级名学生的竞赛成绩可以看出，七年级的成绩众数是分， ； 从扇形统计图中可知：八年级学生成绩达到组的占， 八年级学生成绩达到的人数为：， 八年级名学生竞赛成绩在组的数据是，，，，，，， 八年级名学生竞赛成绩在组的人数为， 八年级名学生竞赛成绩在组和组的共有人， 八年级名学生竞赛成绩的众数为， ； 八年级名学生竞赛成绩在组的人数为， 八年级名学生竞赛成绩在组的百分率为， ， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：我认为八年级学生的成绩更好，因为八年级学生与七年级学生的平均分相等，八年级学生的众数比七年级学生的众数高，且八年级学生的方差小，说明八年级学生的成绩波动较小，成绩稳定； 【小问3详解】 解：七年级参加竞赛的人中达到优秀的有人，占总人数的， 估计七年级的名学生达到优秀的有人， 八年级参加竞赛的人中达到优秀的有， 估计八年级的名学生中达到优秀的有人， 估计该校七、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的共有人． 【点睛】本题主要考查了统计表、扇形统计图、平均数、中位数、众数、方差、用样本估计总体．平均数、中位数、众数反映的是一组数据的集中趋势，方差反映的是一组数据的波动大小，方差越小说明这组数据的波动越小． 20. 春节将至，小南同学决定用零花钱为家里购置一些装饰礼盒和食品礼盒，已知购买3个装饰礼盒和2个食品礼盒共需205元，购买4个装饰礼盒和1个食品礼盒共需190元． （1）每个装饰礼盒和食品礼盒各需多少钱？ （2）临近春节商家促销，两种礼盒售价均有所调整，小南分别花费120元和320元购买装饰礼盒和食品礼盒，且购买的装饰礼盒比食品礼盒数量少，每个装饰礼盒比食品礼盒售价少10元，则小南购买食品礼盒多少个？ 【答案】（1）每个装饰礼盒需要元，食品礼盒需要元； （2）小南购买食品礼盒个． 【解析】 【分析】（1）设每个装饰礼盒需要元，食品礼盒需要元，购买3个装饰礼盒和2个食品礼盒共需205元，购买4个装饰礼盒和1个食品礼盒共需190元．据此列方程组，解方程组即可； （2）设小南购买食品礼盒个，则购买的装饰礼盒,每个装饰礼盒比食品礼盒售价少10元，据此列方程，解方程并检验即可． 【小问1详解】 解：设每个装饰礼盒需要元，食品礼盒需要元， 解得 答：每个装饰礼盒需要元，食品礼盒需要元； 【小问2详解】 设小南购买食品礼盒个，则购买的装饰礼盒, 解得， 经检验是分式方程的解且符合题意； 答：小南购买食品礼盒个． 21. 如图，在中，，为边上的高，，，动点从点出发，沿运动，到达点时停止运动，设点运动的路程为，过点作交的边于点，点，的距离为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出点，的距离为3时的值． 【答案】（1） （2） 图象如图， 当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小； （3）或． 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识 （1）分两种情况分别列出函数解析式即可； （2）利用两点法画图作出函数图象，并写出性质即可； （3）根据图象求出答案即可． 【小问1详解】 解：∵在中，，为边上的高， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ 当时， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， 当时，如图， ∵为边上的高， ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴ 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当点，的距离为3时，即时，或． 22. 寒假来临，小南和小北相约去湖边划船游玩．小南到达游船起点处时，小北还未到达，小南先乘坐游船出发到处欣赏湖中小岛，再到处停靠2分钟接收游客后继续游湖．小南乘坐游船出发2分钟后，小北才到达并决定沿湖先步行到达正东方向处，再跑步去游船停靠点处和小南汇合．已知在北偏东30°方向上且米，在北偏东60°方向上，且在的西北方向180米处． （1）求游船起点处与处的距离（结果保留根号）； （2）游船的平均速度为30米/分，小北的步行速度为60米/分，跑步速度为150米/分，请用计算说明小北能否在处登上游船？（在处停留欣赏湖中小岛时间忽略不计，结果精确到0.1，参考数据：，，） 【答案】（1）米； （2）小北能在处登上游船 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定和性质、二次根式的混合运算等知识 （1）过点B作于点E，作于点G，作于点F，证明四边形是矩形，则求出米，米，得到，则米，得到米， 即根据即可求出答案； （2）分别计算游船行驶加上靠岸停留时间，小北到达游船停靠点的时间加上晚出发的时间，比较后即可得到答案． 【小问1详解】 解：过点B作于点E，作于点G，作于点F， 则 ∴四边形是矩形， ∴ 在中，，米， ∴米，米， 在中，，米， ∴， ∴米， 在中，， ∴米， 米 ∴米， 即游船起点处与处的距离为米； 【小问2详解】 ∵（分钟）， 且 ∴小北能在处登上游船 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点，与轴变于点，与轴交于，两点（点在点的左侧），点是点关于轴的对称点，连接，，． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，点是直线下方抛物线上的一动点，连接交于点，点为线段的中点，点为轴上的一动点，连接，，当有最大值时，求周长的最小值； （3）如图，将该抛物线沿射线方向平移，使得平移后的新抛物线经过点，点是新抛物线上对称轴右侧的一动点，过点作平行于轴的直线，过点作轴交于点，将绕点顺时针旋转角度，得到（点和点分别对应点和点），当时，点恰好落在坐标轴上，写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数与几何综合，涉及一次函数，二次函数的图象与性质，二次函数最值，将军饮马问题，勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角函数，一元二次方程，熟练掌握二次函数的最值方法、角度相等问题转换为三角函数相等是解题的关键． （1）先求出点坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式，过点作轴交于点，根据，得出，设，得出，求出的最大值，此时有最大值，求出，作点关于轴的对称点，连接，由两点之间线段最短，得，且当、、共线时，取最小值，计算此时即可； （3）利用平移求出新抛物线为，对称轴为直线，过点作于点，可以求出，①当点在轴负半轴上时，设交轴于点， 证明，则，设，得出，， 利用，即可求出；②当点在轴正半轴上时，设交轴于点，同理得出，， 证明，则，可求出，则，再利用，得出，求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴点的坐标为， 则， ∵，， ∴， 则， ∴点的坐标为， ∵抛物线经过点和， ∴将和代入解析式， 得， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：设直线解析式为， 将，代入， 得， 解得：， ∴直线解析式为， ∵点是点关于轴的对称点， ∴，， ∵为线段的中点，， ∴，即， 过点作轴交于点， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵，二次函数的对称轴为直线， ∴当时，有最大值， 当时，， 此时有最大值，， ∴， 作点关于轴的对称点， 连接， ∴， ∴， 由两点之间线段最短，得，且当、、共线时，取最小值， ∵， 所以周长的最小值； 【小问3详解】 解：∵该抛物线沿射线方向平移，使得平移后的新抛物线经过点，且， ， ∴平移为该抛物线水平向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴新抛物线为， 对称轴为直线， ①当点在轴负半轴上时， 如图，过点作于点，设交轴于点， ∵，，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∵轴，轴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 设， 则，， ∴， 化简得：， 解得：（舍），， 则的横坐标为； ②当点在轴正半轴上时， 设交轴于点， 由旋转得，， 设， 则，， 由旋转得， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 化简得：， 解得：， ∵，， ∴， 即的横坐标为； 综上所述，的横坐标为或． 24. 在中，，，点是边上一点，点是边上一点，连接、，且． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，为延长线上一点，连接，且，求证：； （3）如图3，连接，将沿翻折至所在平面内得到，连接交于点，连接、，当最小时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） 证明：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，过点作交于点，过点作交于点， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，，即， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）勾股定理得出，进而可得，证明，根据全等三角形的性质，得出，进而即可求解； （2）将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，过点作交于点，过点作交于点，则，，证明，即可得证； （3）先证明得出，在中，，得出，进而得出当最小时，则最小，当时，最小，此时如图所示，连接，证明是直角三角形，得出，进而可得是等腰直角三角形，则得证明得出，即可求解． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，而是定值， ∴当最小时，则最小， ∴当时，最小，此时如图所示，连接， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，正切的定义，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $