精品解析：山东省菏泽第一中学2024-2025学年高一强基部上学期第三次调研考试数学试题

强基部高一第三次调研考试 数学试题 2025.1.1 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数在定义域上为减函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿，当大轮转动一周时小轮转动角度是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 9 5. 已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 若(且)在区间(－1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 声音的强弱可以用声波的能流密度来计算，叫做声强.通常人耳能听到声音的最小声强为（瓦/平方米）.在某特殊介质的实验中对于一个声音的声强，用声强与比值的常用对数来表示声强的“声强级数n”，即，则“声强级数8”的声强是“声强级数5”的声强的（ ） A. 20倍 B. 倍 C. 100倍 D. 1000倍 8. 已知函数，若函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 与是同一个函数 C. 函数的值域为 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 10. 若，，且，下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 已知定义在上的函数满足，当时，，，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 在上单调递增 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图像过点，则____________． 13. 已知函数，用表示不超过的最大整数，则函数的值域为________. 14. 已知函数，当时恒成立，则的最小值为________. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各式的值： （1） （2）已知，，．化简； 16. 已知集合． （1）当时，求和； （2）若是成立的充分不必要条件，这样的实数是否存在？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 17. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，． （1）求函数的解析式； （2）若，求函数的值域 18. 已知函数. （1）求关于的不等式的解集； （2）若在区间上恒成立，求实数的取值范围. 19. 如图，在平面直角坐标系中，角的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A（1，0）点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动． （1）若点B的横坐标为－，求sin的值； （2）若△AOB为等边三角形，写出与角终边相同的角的集合； （3）若，请写出弓形AB的面积S与的函数关系式（注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 强基部高一第三次调研考试 数学试题 2025.1.1 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知可得集合，根据并集的概念求解即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：. 2. 下列函数在定义域上为减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于，由单调性的定义即可判断；对于，画出函数图象即可判断；对于，由函数图象的变换即可判断；对于，由复合函数的单调性即可判断. 【详解】对于，函数的定义域为，，， ，所以不是减函数，故不正确； 对于，，函数图象如下： 所以函数不是减函数，故不正确； 对于，的定义域为，因为是增函数， 所以是减函数，所以是减函数，故正确； 对于，函数定义域为，令， 因为是增函数，是增函数， 所以在上是增函数，故不正确. 故选：. 3. 已知相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿，当大轮转动一周时小轮转动角度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过相互啮合的两个齿轮转动的齿数相同，得到大轮转动一周时，小轮转动的周数，即可求小轮转动的角度. 【详解】因为相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿， 所以当大轮转动一周时时，大轮转动了50个齿， 所以小轮此时转动周， 即小轮转动的角度为. 故选：D 4. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】将所求式子变形为，利用“1”的代换结合基本不等式求解. 【详解】，，， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为5. 故选：A. 5. 已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶函数的定义列式，消去得到的解析式，即可求解. 【详解】因为函数的定义域为，是偶函数， 所以，即， 因为是奇函数，所以， 即， 所以，所以. 故选：. 6. 若(且)在区间(－1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用判断是增函数，得到是增函数，列关系式计算即可得结果. 【详解】因为在区间上是增函数， 知在区间上是增函数，且，故是增函数， 所以解得, 故的取值范围是. 故选：C 7. 声音的强弱可以用声波的能流密度来计算，叫做声强.通常人耳能听到声音的最小声强为（瓦/平方米）.在某特殊介质的实验中对于一个声音的声强，用声强与比值的常用对数来表示声强的“声强级数n”，即，则“声强级数8”的声强是“声强级数5”的声强的（ ） A. 20倍 B. 倍 C. 100倍 D. 1000倍 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知可得，分别计算当时和时的值，即可求解. 【详解】因为，所以， 当时，， 当时，， 所以，即“声强级数8”的声强是“声强级数5”的声强的倍. 故选：. 8. 已知函数，若函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数单调性求函数值域，利用对应关系可得有两个不相等的正实数根，结合判别式和韦达定理可得结果. 【详解】因为在上为增函数，在上为减函数， 所以在为增函数， 所以函数在区间上的值域为， 所以，整理得， 所以为方程的两根，即有两个不相等的正实数根， 所以，解得且， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 【点睛】思路点睛：本题考查函数与方程综合问题，具体思路如下： （1）分析函数的单调性，可得在为增函数，函数在区间上的值域为. （2）根据值域的对应关系可得为方程的两根，即一元二次方程有两个不相等的正实数根，利用判别式和韦达定理可求得实数的取值范围. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 与是同一个函数 C. 函数的值域为 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题可判断A；求出两个函数的定义域可判断B；利用换元法求出的函数值域可判断C；根据抽象函数定义域的求法可判断D. 【详解】对于A，命题“，”的否定是“，”，选项A正确. 对于B，定义域为R，定义域为，定义域不同，不是同一函数，选项B错误. 对于C，令，则， 函数可变形为，对称轴为直线，函数在上为增函数. 当时，，故函数的值域为，选项C正确. 对于D，由函数的定义域为得，，故函数的定义域为，选项D正确. 故选：ACD. 10. 若，，且，下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据基本不等式及其取等条件分别判断各选项. 【详解】A选项：由，且，即，， 当且仅当时，等号成立，即的最大值为，A选项正确； B选项：，当且仅当时，等号成立，即的最小值为，B选项正确； C选项：由，则，所以，即， ，无最大值，C选项错误； D选项：由，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 又与已知矛盾，所以无最小值，D选项错误； 故选：AB. 11. 已知定义在上的函数满足，当时，，，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 在上单调递增 D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，赋值得到，，从而得到；B选项，赋值得到，令得，B错误；C选项，令，其中，结合题目条件得到，C正确；D选项，变形得到，当时，，结合函数单调性得到D正确. 【详解】A选项，中，令得， 又，故， 中，令得， 中，令得，A正确； B选项，中，令得，解得， 中，令得， 又的定义域为，故为奇函数，B错误； C选项，令，其中， 则，即， 又时，，故， 故在上单调递增，C正确； D选项，因为， 所以， 在上单调递增，当时，，故， 所以，即， 故当时，，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图像过点，则____________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：设幂函数，代入点，得，所以，所以答案应填：． 考点：幂函数． 13. 已知函数，用表示不超过的最大整数，则函数的值域为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数性质可得，即可求解，进而根据取整函数的定义求解. 【详解】由于， 且，故，因此， 则，故， 因此值域为， 故答案为： 14. 已知函数，当时恒成立，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】通过分析的零点及在零点两侧函数值的正负，得出在时的零点及在零点两侧函数值的正负，因为，研究二次函数的零点分布情况即可求解. 【详解】设，，则，且在单调递增， 当时，；当时，； 因为当时恒成立，函数为上的连续函数， 所以有一个零点为1，且当时，；当时，，所以. 令，因为，所以有一个零点，且当时，；当时，， 所以，且，所以. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各式的值： （1） （2）已知，，．化简； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用指数函数，对数函数的运算性质得出结果即可； （2）用正余弦，正切的诱导公式化简即可. 【小问1详解】 原式 【小问2详解】 原式 16. 已知集合． （1）当时，求和； （2）若是成立的充分不必要条件，这样的实数是否存在？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）解不等式得到，再计算交集和补集即可． （2）确定，故集合是集合的真子集，得到不等关系，解得答案． 【小问1详解】 得，故集合， 把代入得，解得，故集合， 故； 【小问2详解】 ，且，得集合， 是成立的充分不必要条件，故集合是集合的真子集， 则有解得，故实数的取值范围是． 17. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，． （1）求函数的解析式； （2）若，求函数的值域 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数是定义在R上的奇函数可得，利用奇函数的定义可求时的表达式，从而得到的解析式. （2）计算表达式，利用换元法把问题转化为二次函数在区间上的值域问题，结合对称轴和函数单调性即可得到结果. 【小问1详解】 是定义在上的奇函数，． 时，， 当时，， ． 【小问2详解】 由题意得，， 令，问题等价于求的值域， 函数图象开口向上，对称轴为直线， 在上单调递减，在上单调递增， ， ， 函数的值域为． 18. 已知函数. （1）求关于的不等式的解集； （2）若在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），即，即， 当时,原不等式解得； 当时，原不等式无解； 当时,原不等式解得； 综上所述：当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （2）. 【解析】 【分析】（1）将不等式因式分解，对参数a进行讨论即可； （2）恒成立问题用分离参数的方法，然后利用基本不等式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ,即， 即， ， ， 由题意可知只需即可, 令， 则 当且仅当即时，等号成立. ， 19. 如图，在平面直角坐标系中，角的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A（1，0）点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动． （1）若点B的横坐标为－，求sin的值； （2）若△AOB为等边三角形，写出与角终边相同的角的集合； （3）若，请写出弓形AB的面积S与的函数关系式（注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形）． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的定义直接求解； （2）先求出角，即可写出与角终边相同的角的集合； （3）过O作于H，表示出，，分别表示出扇形面积和三角形面积，即可求出弓形AB的面积. 【小问1详解】 因为角的终边与单位圆相交于B，且点B的横坐标为－，因为B在x轴上方，所以. 由三角函数的定义，可得：. 【小问2详解】 当△AOB为等边三角形时，因为B在x轴上方，则，即， 所以，即与角终边相同的角的集合. 【小问3详解】 弓形AB的面积:. 扇形的圆心角为，所以. 过O作于H，则，， 所以. 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $