精品解析：辽宁省沈阳市东北育才学校2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试卷

2024-2025学年度上学期第二次月考高二年级数学科试题 答题时间：120分钟 满分：150分 命题人及校对人：王成栋 陈永余 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 拋物线的焦点到准线的距离是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线方程可得焦点与准线，根据点到直线距离，可得答案. 【详解】由抛物线，则焦点为，准线为， 所以焦点到准线的距离为. 故选：C. 2. 过点作圆的切线，则切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知，点在圆上，且，由此可得出所求切线的方程. 【详解】圆的标准方程为，圆心为， 因为，所以，点在圆上，则， 所以，所求切线与轴垂直，故所求切线的方程为. 故选：D. 3. 已知，则（ ） A. 7 B. 21 C. 35 D. 42 【答案】B 【解析】 【分析】根据组合数性质 建立方程解得的值，利用组合数的计算公式，可得答案. 【详解】由，则或，解得或， 所以. 故选：B. 4. “或”是“方程表示的焦点在轴的双曲线”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由方程表示的焦点在轴的双曲线求出的范围，再根据充分必要条件的概念判断即可. 【详解】方程表示的焦点在轴的双曲线， 所以“或”是“方程表示的焦点在轴的双曲线”成立的必要不充分条件. 故选：B 5. 已知椭圆，直线与椭圆相交于两点.若线段的中点为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，并得到，利用点差法得到，由点斜式写出直线方程，化一般式即可. 【详解】设， 若，则的中点在轴上，而的中点坐标为，显然不合要求，故， 则，两式相减得， 即， 由于弦的中点坐标为，故， 所以，即，故， 故直线的方程为，即. 故选：A 6. 如图，正四棱锥的棱长均为分别为的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点到平面距离的向量法，即可建立空间直角坐标系求解. 【详解】取底面的中心为，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，则， ，设平面的法向量为， 则，取，得， 所以点到平面得距离. 故选：D 7. 已知且．则的最小值（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将的最小值转化为线段上一点到原点的距离与到轴的距离之和最小，根据最短路径问题求解. 【详解】 设原点关于直线的对称点为，过点向轴做垂线，垂足为， 与直线交于点，由的几何意义可知， 该式表示线段上一点到原点的距离与到轴的距离之和最小， 由平面几何知识可知，该点取点的时候，最小， 最小值为，即点的纵坐标， 由点与原点关于直线对称可知， 所以的最小值为. 故选：C 8. 已知为椭圆的焦点且是椭圆上两点，且，，则的周长为（ ） A. 26 B. 28 C. 30 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】不妨设，则，在和中，分别利用勾股定理列方程求出，再根据椭圆定义求得的周长. 【详解】不妨设，则， 由椭圆定义可得， 由于，所以， 在和中， 由勾股定理得和， 即和， 解得， 故的周长为. 故选：C 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知定圆，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段的中垂线交直线于点Q，则点Q的轨迹可能为（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆 【答案】ABD 【解析】 【分析】是线段的中垂线上的点，可得．对点的位置分类讨论，利用线段垂直平分线的定义与性质、圆锥曲线的定义即可判断出结论． 【详解】因为是线段的中垂线上的点，， 若在圆内部，且不为圆心，则，， 所以点轨迹是以，为焦点的椭圆，故A正确； 若在圆外部，则，， 所以点轨迹是以，为焦点的双曲线，故B正确； 若在圆上，则的中垂线恒过圆心，即的轨迹为点． 若为圆的圆心，即与重合时，为半径的中点， 所以点轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，故D正确， 不存在轨迹为抛物线的可能，故C错误， 故选：ABD 10. 已知为坐标原点，点在拋物线上，过点的直线交于、两点（在的左侧），则（ ） A. B. 直线与抛物线相交 C. 若抛物线的焦点为，则 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，可判断A选项；求出直线方程，将直线方程与抛物线的方程联立，结合可判断B选项；设直线的方程为，将直线方程与抛物线方程联立，计算出的值，可判断C选项；利用两点间的距离公式结合基本不等式可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为点在拋物线上，所以，，可得， 则抛物线的方程为，故A正确： 对于B选项，因为、，则，所以直线的方程为， 联立，可得，， 所以，直线与抛物线相切，故B错误； 对于C选项，由题意直线的斜率存在且不为0， 设直线方程为，设点、，， 联立可得，，解得或， 由韦达定理可得，，易知点， ， 所以，即，C对； 对于D选项，因为，，所以 ，D错. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 11. 现有数字下列说法正确的是（ ） A. 可以组成个没有重复数字的六位数 B. 可以组成个没有重复数字的六位偶数 C. 可以组成个六位数 D. 可以组成个相邻两个数字不相同的八位数 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据分步乘法计数原理即可求解；对于B，根据分类加法计数原理即可求解；对于C，分析出六位数中可能有1个1，2个1，3个1三种情况，再根据分类加法计数原理即可求解；对于D，利用插空法和分步乘法计数原理，并减去0在首位的情况即可求解. 【详解】对于A，由题意，可选取的数字为：0，1，2，3，4，5， 且首位不能为0， 第一步，先排首位有种不同排法， 第二步，再排其他5位数，有种排法， 所以由分步乘法计数原理可知， 可以组成个没有重复数字的六位数，故A正确； 对于B，由题意，末位只能为：0，2，4， 当末位为0时，有种排法； 当末位为2时，有种排法； 当末位为4时，有种排法， 所以由分类加法计数原理可知， 可以组成312个没有重复数字的六位偶数，故B错误； 对于C，由题意，六位数中可能有1个1，2个1，3个1三种情况. 当六位数中有1个1时，由A选项知有600种排法； 当六位数中有2个1时，分为有0与无0两种情况， 有0时，有种排法， 无0时，有种排法； 当六位数中有3个1时，分为有0与无0两种情况， 有0时，有种排法， 无0时，有种排法， 所以由分类加法计数原理可知， 可以组成个六位数，故C正确； 对于D，因为相邻两个数字不相同，即3个1不能相邻，故用插空法： 第一步，先排，除1外的5个数字，有，每种排法留出6个空位， 第二步，再将3个1插入6个空位，有种排法， 所以由分步乘法计数原理可知，共有2400种排法， 又因为0不能在首位，而0在首位时，有种排法， 所以可以组成个相邻两个数字不相同的八位数，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题考查有限制条件的排列、组合和不相邻问题，解题关键是遵循特殊位置优先排、不相邻问题插空排. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在“鳖臑”中，平面，侧棱，底面中，，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】作出异面直线与所成角，解直角三角形求得所成角的余弦值. 【详解】设是的中点，连接， 由于是的中点，所以， 所以平面，由于平面，所以， 异面直线与所成角， 在中，， 在中，， 所以. 故答案为： 13. “曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设、，则、两点间的曼哈顿距离，已知点，点在圆上运动，若点满足，则的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】设点，根据题中定义求出点的轨迹方程，数形结合，结合圆的几何性质可求得的最大值. 【详解】设点，当，时，则有，可得； 当，时，则有，可得； 当，时，则有，可得； 当，时，则有，可得. 如下图所示： 则点的轨迹为正方形，且点、、、， 因为，，所以，、、三点共线，且， 当点与点重合时，取最大值，且， 所以，， 当且仅当为直线与圆的交点，且、方向相同时，等号成立， 因此，的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：利用二次曲线的定义求解线段和的最小值，有如下方法： （1）求解椭圆、双曲线有关的线段长度和、差的最值，都可以通过相应的圆锥曲线的定义分析问题； （2）圆外一点到圆上的点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解. 14. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且斜率为2的直线与的一条渐近线在第四象限相交于点，四边形为平行四边形.若直线的斜率，则的离心率的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】联立的方程与渐近线方程，可得坐标，根据两点斜率公式结合平行求解的斜率，即可化简得，进而可求解离心率. 【详解】由题意可得，， 由于为平行四边形，故, 直线的方程为，渐近线方程， 联立， 故, 所以， 因此，化简得， 故离心率为， 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点分别是． （1）求的外接圆（为圆心）的标准方程： （2）若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【答案】（1） （2），轨迹是以为圆心，半径为的圆. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解圆的方程即可. （2）根据题干设的坐标是，点的坐标是，再由， 列出方程代入即可求得轨迹方程. 【小问1详解】 设圆的方程为（其中） 因为三点都在圆上，可得 解得，满足， 所以所求圆的方程为，即 【小问2详解】 设的坐标是，点的坐标是， 因为的坐标是，且， 所以，解得， 又因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，即， 代入得，整理得， 点的轨迹方程是，轨迹是以为圆心，半径为的圆. 16. 已知双曲线，右顶点到的一条渐近线的距离为. （1）求双曲线的方程； （2）点是双曲线上异于实轴端点的任一点，为双曲线的右焦点，直线与双曲线交于B点，直线AO与双曲线交于C点，其中，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据顶点坐标得，然后代入点到直线的距离求得，即可得解. （2）联立直线方程与双曲线方程，韦达定理，求出的面积，利用双曲线的对称性即可求得的面积. 【小问1详解】 因为双曲线右顶点为，所以， 此时，解得，所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 直线方程为， 联立得， 则有，； 设，则， 所以， 根据双曲线的对称性可知，所以. 17. 已知抛物线的焦点为，点在拋物线上，且的面积为（为坐标原点）． （1）求抛物线的标准方程； （2）点、是抛物线上异于原点的两点，直线、的斜率分别为、，若，求证：直线恒过定点． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得出关于实数、的方程组，解出的值，即可得出抛物线的标准方程； （2）设点、，由斜率公式结合抛物线方程推导出，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，可求得的值，化简直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标. 【小问1详解】 由题意得，解得， 所以，抛物线的方程为. 【小问2详解】 设点、，则， 即， 显然，所以，， 若直线垂直于轴，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为， 联立，消去得， 则，且，又， 则，解得，满足， 所以，直线的方程为，故该直线过定点. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，. （1）证明：； （2）点在线段上，当直线与平面所成角的正弦值为时，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）要证，需要证过的平面与垂直即可，根据面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理结合条件即得； （2）建立空间直角坐标系，先根据条件确定点的坐标，再求二面角. 【小问1详解】 如图： 由于平面平面，平面平面， 过点作的垂线交的延长线于点，则平面. 连接交于，连接， ∵，， ∴，∴， 又，， ∴四边形为矩形， ∴，∴， ∴，∴， 又∵， ∴，即， 又平面，平面， ∴，又平面， ∴平面，又∵平面， ∴. 【小问2详解】 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 由于在上，设， 则，∴， 又平面的法向量，设直线与平面所成角为， ∴， 解得或（舍去）， ∴，∴，，， 设平面的法向共，平而的法向共， 则即， 取，得，， ∴， 故平面与平面夹角的余弦值为. 19. 阅读材料：极点与极线，是法国数学家吉拉德·笛沙格（Girard Desargues，1591-1661）于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述，它是圆锥曲线的一种基本特征．已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线．事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点对应的极线方程．特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系． 其中，极点与极线有以下基本性质和定理： ①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线； ②当在外时，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）； ③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹． 根据上述材料回答下面问题：已知椭圆过点，离心率为，其左右顶点分别为．已知点是直线上的一个动点，点对应的极线与椭圆交于点， （1）若，证明：极线恒过定点； （2）在（1）的条件下，若该定点为极线的中点，求出此时的极线方程； （3）若，极线交的椭圆于两点，点在轴上方，直线，直线分别交轴于两点，点为坐标原点，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据点在椭圆上和离心率列方程求解椭圆方程，然后求出极线方程，即可求解直线恒过定点； （2）设，利用点差法求得，即可求出极线方程； （3）联立极线与椭圆方程，韦达定理，进而求出的坐标，结合题意有化简整理即可求解. 【小问1详解】 由题意解得故椭圆方程为． 因为点在直线，设， 则极线为，即. 则，所以，即极线过定点； 【小问2详解】 若定点为的中点，设， 因为两点均在椭圆上，所以， 两式相减得， 因为，所以，得方程， 经检验，，所以极线AB方程； 【小问3详解】 设，此时极线的方程为， 联立，消去并整理得， 设，由韦达定理得， 直线AQ：，解得， 直线，解得． 因为， 所以． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期第二次月考高二年级数学科试题 答题时间：120分钟 满分：150分 命题人及校对人：王成栋 陈永余 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 拋物线的焦点到准线的距离是（ ） A. B. C. D. 3 2. 过点作圆的切线，则切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. 7 B. 21 C. 35 D. 42 4. “或”是“方程表示的焦点在轴的双曲线”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 5. 已知椭圆，直线与椭圆相交于两点.若线段的中点为，则直线的方程为（ ） A B. C. D. 6. 如图，正四棱锥的棱长均为分别为的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知且．则最小值（ ） A. B. C. D. 8. 已知为椭圆的焦点且是椭圆上两点，且，，则的周长为（ ） A. 26 B. 28 C. 30 D. 32 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知定圆，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段的中垂线交直线于点Q，则点Q的轨迹可能为（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆 10. 已知为坐标原点，点在拋物线上，过点的直线交于、两点（在的左侧），则（ ） A. B. 直线与抛物线相交 C. 若抛物线的焦点为，则 D. 11. 现有数字下列说法正确的是（ ） A. 可以组成个没有重复数字的六位数 B. 可以组成个没有重复数字的六位偶数 C. 可以组成个六位数 D. 可以组成个相邻两个数字不相同八位数 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在“鳖臑”中，平面，侧棱，底面中，，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为______． 13. “曼哈顿距离”是人脸识别中一种重要测距方式，其定义如下：设、，则、两点间的曼哈顿距离，已知点，点在圆上运动，若点满足，则的最大值为______． 14. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且斜率为2的直线与的一条渐近线在第四象限相交于点，四边形为平行四边形.若直线的斜率，则的离心率的取值范围为_____. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点分别是． （1）求的外接圆（为圆心）的标准方程： （2）若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 16. 已知双曲线，右顶点到的一条渐近线的距离为. （1）求双曲线的方程； （2）点是双曲线上异于实轴端点的任一点，为双曲线的右焦点，直线与双曲线交于B点，直线AO与双曲线交于C点，其中，求的面积. 17. 已知抛物线焦点为，点在拋物线上，且的面积为（为坐标原点）． （1）求抛物线的标准方程； （2）点、是抛物线上异于原点的两点，直线、的斜率分别为、，若，求证：直线恒过定点． 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，. （1）证明：； （2）点在线段上，当直线与平面所成角的正弦值为时，求平面与平面的夹角的余弦值. 19. 阅读材料：极点与极线，是法国数学家吉拉德·笛沙格（Girard Desargues，1591-1661）于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述，它是圆锥曲线的一种基本特征．已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线．事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点对应的极线方程．特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系． 其中，极点与极线有以下基本性质和定理： ①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线； ②当在外时，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）； ③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹． 根据上述材料回答下面问题：已知椭圆过点，离心率为，其左右顶点分别为．已知点是直线上的一个动点，点对应的极线与椭圆交于点， （1）若，证明：极线恒过定点； （2）在（1）的条件下，若该定点为极线的中点，求出此时的极线方程； （3）若，极线交的椭圆于两点，点在轴上方，直线，直线分别交轴于两点，点为坐标原点，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $