专题01 一元一次不等式的解重难点题型专训（10大题型+15道提优训练）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版2024）

专题01 一元一次不等式的解重难点题型专训（10大题型+15道提优训练） 题型一 不等式的定义 题型二 不等式的性质 题型三 不等式的解集 题型四 一元一次不等式的定义 题型五 列一元一次不等式 题型六 求一元一次不等式的解集 题型七 求一元一次不等式的整数解 题型八 在数轴上表示不等式的解集 题型九 求一元一次不等式解的最值 题型十 一元一次不等式解的新定义运算 知识点01 一元一次不等式定义 只含有一个未知数，且未知数的次数是1．系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式． 注：其标准形式：ax+b＜0或ax+b≤0，ax+b＞0或ax+b≥0(a≠0)． 知识点02 解一元一次不等式 解一元一次不等式步骤： （1）去分母；去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项去括号； （2）去括号：移项时不要忘记变号； （2）移项； 移项时不要忘记变号； （3）合并同类项； （4）化系数为1． 说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方． 知识点03 一次函数与一元一次不等式的关系 任何一元一次不等式都可以转化为 ax+b>0 或 ax+b<0 (a、b 为常数，a≠0）的形式，所 以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于 0 时，求自变量相应的取值范围。 【经典例题一 不等式的定义】 【例1】（23-24七年级下·上海闵行·阶段练习）下列数学表达式，是不等式的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 1．（23-24七年级下·上海奉贤·阶段练习）李老师在黑板上写了下面的式子，你认为哪一个不是不等式（    ） A．＜0 B． C．≥1 D． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）下面的式子：①；②；③；④；⑤；其中是不等式的是： ；（填序号） 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）用适当的不等式表示下列不等关系： （1）x的与x的2倍的和是非负数； （2）一枚炮弹的杀伤力半径不小于300米； （3）三件上衣和四条裤子的总价钱不高于368元； （4）明天下雨的可能性不小于70%； （5）小明的体重不比小亮的轻； 【经典例题二 不等式的性质】 【例2】（24-25七年级下·上海闵行·期中）若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级下·上海崇明行·期末）某商店先后两次购买了某商品，第一次买了5件，平均价格为每件a元，第二次买了4件，平均价格为每件b元．后来商店以每件元的平均价格卖出，结果发现自己赔钱了，赔钱的原因是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海虹口·阶段练习）若，则x的取值范围是 ． 3．（23-24七年级下·上海嘉定·阶段练习）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，它的几何意义是数轴上表示的点与原点（即表示的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离．也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则，两点间的距离就可记作． 回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示数的点与数的点之间的距离的式子是_____；式子的几何意义是_____； (2)根据绝对值的几何意义，当时，_____； (3)探究：的最小值为_____； (4)的最小值为_____，此时满足的条件是_____． 【经典例题三 不等式的解集】 【例3】（23-24七年级下·上海徐汇·课后作业）下列说法中正确的是（　　） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．是不等式的唯一解 D．不是不等式的解 1．（23-24七年级下·上海静安·阶段练习）下列四个数轴上的点表示的数都是，其中一定满足的是（    ）    A．（1）（3） B．（2）（3） C．（1）（4） D．（2）（4） 2．（23-24七年级下·上海静安·期中）以下说法正确的是： . ①由，得；②由，得 ③由，得；④由，得 ⑤和互为相反数；⑥是不等式的解 3．（2024七年级·全国·竞赛）下表所示为三种食品原料的维生素含量（单位/千克）及成本（元/千克）： 维生素的含量 维生素的含量 成本 6 5 4 现在要将三种食物混合成千克的混合物，要求混合物至少需含单位的维生素和单位的维生素．如果所用的食物中的质量分别为千克，千克，千克，当分别取何值时，成本最低？ 【经典例题四 一元一次不等式的定义】 【例4】（2024七年级下·全国·专题练习）若关于的一元一次不等式，则的值（　　） A． B．1或 C．或 D． 1．（23-24七年级下·上海闵行·期中）下列不等式中，一元一次不等式有 （    ） ① ② ③ ④ ⑤ A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 2．（23-24七年级下·上海宝山·阶段练习）已知关于x的不等式是一元一次不等式，那么m的值是 . 3．（23-24七年级下·上海黄浦·期中）解方程组或不等式 （1）                       （2）解不等式，并在数轴上表示解集 【经典例题五 列一元一次不等式】 【例5】（23-24七年级下·上海长宁·期中）一辆汽车从地出发，要在之前到达距离地的地，设平均车速为，根据题意可列不等式为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·上海虹口·期末）为庆祝伟大的中国共产党成立 100 周年，某校德育处举行了以“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”为主题的党史知识竞赛．知识竞赛共 20 道题，每一题答对得 10 分，不答得0分，答错扣 5 分，小聪有 3 道题没答，竞赛成绩超过 90 分．设他答对了 x 道题，则根据题意可列出不等式为（　　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·上海松江·期末）小颖沿着某公园的环形跑道（周长大于 ）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，她从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的里程数数据如图所示，当小颖跑了2圈时，她的运动里程数 （填“>” “=”或“<” ）． 3．（23-24七年级下·上海宝山·阶段练习）为了加强对校内外的安全监控，创建“平安校园”，某学校计划增加15台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中价格、有效监控半径如表所示： 甲型 乙型 价格（单位：元/台） 450 600 有效监控半径（单位：米/台） 100 150 (1)若购买该批设备的资金不超过7200元，请你写出购买的甲型设备数量x（台）应满足的不等式； (2)若要求有效监控半径覆盖范围大于1600米，请你写出购买的甲型设备数量x（台）应满足的不等式． 【经典例题六 求一元一次不等式的解集】 【例6】（2024·上海金山·模拟预测）是下列哪个不等式的一个解（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·上海崇明·期末）如图，这是关于x的不等式的解集，则a的值是（   ） A．0 B． C． D． 2．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）已知x、y满足，且，设，那么k的取值范围是 ． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）下面是小马虎解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务： 去分母，得． 第一步 去括号，得． 第二步 移项，得． 第三步 合并同类项，得． 第四步 系数化为1，得． 第五步 任务一：以上求解过程中，去分母的依据是________________________；第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________________________； 任务二：该不等式的解集为________； 任务三：请你根据平时的学习经验，就解不等式需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【经典例题七 求一元一次不等式的整数解】 【例7】（23-24七年级下·上海嘉定·期末）定义一种新运算：．例如：，那么不等式的正整数解是（　　） A． B．1 C．0和1 D．2 1．（23-24七年级下·上海闵行·期末）已知关于x的不等式只有两个正整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）若代数式的值不小于的值，则满足条件的x的最小整数值为 ． 3．（23-24七年级下·上海青浦·阶段练习）【探究归纳】 解下列不等式：（1）；（2），总结发现不等式（1）的解都是不等式（2）的解，我们称不等式（1）的解集是不等式（2）的解集的“子集”． 【问题解决】 (1)的解集______解集的“子集”（填“是”或“不是”）； (2)若关于的不等式的解集是的解集的“子集”，且是正整数，求的值． 【经典例题八 在数轴上表示不等式的解集】 【例8】（2024·上海虹口·二模）若实数的取值范围在数轴上的表示如图所示，在下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·上海奉贤期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·上海闵行·期末）关于x的一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式可以是 ．（写出一个符合要求的不等式即可） 3．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）下面是小明解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得……第一步 去括号，得……第二步 移项，得……第三步 合并同类项，得……第四步 两边都除以5，得……第五步 (1)小明的解答过程是从第 步开始出错的，这一步正确的结果为 ，此步骤的依据是 ． (2)请你写出此题正确的解答过程，并将解表示在数轴上． 【经典例题九 求一元一次不等式解的最值】 【例9】（2024·上海普陀·二模）已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 1．（23-24七年级下·上海嘉定·阶段练习）按照下面给定的计算程序，当时，输出的结果是______；使代数式的值小于20的最大整数x是（　　）． A．1，7 B．2，7 C．1， D．2， 2．（23-24七年级下·上海徐汇·课后作业）（1）已知的解集中的最大整数为3，则a的取值范围是 ． （2）已知的解集中最小整数为-2，则a的取值范围是 ． 3．（23-24七年级下·上海静安·期末）某城市的一个区域原来每天需要处理生活垃圾吨,刚好被个型和个型预处置点位进行初筛､压缩等处理．已知一个型点位比一个型点位每天多处理吨生活垃圾． （1）求一个型点位每天处理生活垃圾的吨数; （2）由于《城市生活垃圾管理条例》的施行,垃圾分类要求提高,现在每个点位每天将少处理吨生活垃圾．若该区域计划增设型､型点位共个,试问至少需要增设几个型点位才能当日处理完所有生活垃圾? 【经典例题十 一元一次不等式解的新定义运算】 【例10】（24-25七年级下·上海闵行·期中）如果，，那么下列不等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·上海长宁·阶段练习）对于实数定义运算“”：，例如，．当时，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）定义新运算：对于任意实数，都有，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．例如：，那么不等式的解集为 ． 3．（23-24七年级下·上海徐汇·阶段练习）新定义型阅读理解题：已知任意实数，定义的含义为当时，，当时，． (1)若，求的取值范围； (2)求的最大值． 1．（23-24七年级下·上海闵行·阶段练习）关于x的不等式有且只有三个负整数解，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·上海静安·期末）若，则下列不等式组的解集不正确的是（　　） A．的解集是 B．的解集是 C．的解集是 D．无解 4．（23-24七年级下·上海·阶段练习）定义新运算：对于任意实数，都有，如：，那么不等式的正整数解的个数是（ ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·上海普陀·开学考试）春节期间某商场为促销，将定价为50元/件的商品如下销售：一次性购买不超过5件按照原价销售；一次性购买超过5件则按原价的八折出售．旗旗现在有290元，则最多可购买这种商品（    ）件． A．6 B．7 C．8 D．9 6．（23-24七年级下·上海虹口·期中）不等式的非负整数解是 ． 7．（23-24七年级下·上海黄浦·期末）若，则，，，从小到大的顺序为 ． 8．（24-25七年级下·上海浦东新区·课后作业）易错若，则a，，三个数用“<”连接起来为 ． 9．（23-24七年级下·上海虹口·开学考试）朋朋在做练习册作业上解一个一元一次不等式时，发现不等式右边的一个数被墨迹污染看不清了，所看到的不等式是，他查看练习本后的答案知道，这个不等式的解集是，那么被污染的数是 ． 10．（2024七年级·全国·竞赛）七年级（）班在数学知识竞赛中获一等奖的人数占全班人数的，获二等奖的人数占全班人数的，获三等奖的人数占全班人数的，还有不足人未获奖，则七年级（）班共有学生 名． 11．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）解下列不等式： (1) (2) 12．（23-24七年级下·上海闵行·课后作业）下列各数中，哪些是不等式x＋2＜4的解？哪些不是？ －3，－1，0，1，，2，，3，4. 13．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）整数有一个很常用的性质，叫做离散性．意思是说若两个整数a，b满足，则，或者说，即两个不同整数的差的绝对值至少为1． 已知正整数a，b，c，d，e，f满足，． 试解决问题： (1)证明：； (2)． 14．（24-25七年级下·上海静安·期中）学习了“解一元一次不等式”后，杭杭同学解不等式的过程如下： 解：去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 两边都除以得： 杭杭的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程，并把解表示在数轴上． 15．（2024·江苏扬州·二模）阅读感悟： 代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题： 例：已知实数x、y满足，证明：． 证明：因为且x，y均为正， 所以______，______．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） 所以．（不等式的传递性） 解决问题： (1)请将上面的证明过程填写完整． (2)尝试证明：若，则． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元一次不等式的解重难点题型专训（10大题型+15道提优训练） 题型一 不等式的定义 题型二 不等式的性质 题型三 不等式的解集 题型四 一元一次不等式的定义 题型五 列一元一次不等式 题型六 求一元一次不等式的解集 题型七 求一元一次不等式的整数解 题型八 在数轴上表示不等式的解集 题型九 求一元一次不等式解的最值 题型十 一元一次不等式解的新定义运算 知识点01 一元一次不等式定义 只含有一个未知数，且未知数的次数是1．系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式． 注：其标准形式：ax+b＜0或ax+b≤0，ax+b＞0或ax+b≥0(a≠0)． 知识点02 解一元一次不等式 解一元一次不等式步骤： （1）去分母；去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项去括号； （2）去括号：移项时不要忘记变号； （2）移项； 移项时不要忘记变号； （3）合并同类项； （4）化系数为1． 说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方． 知识点03 一次函数与一元一次不等式的关系 任何一元一次不等式都可以转化为 ax+b>0 或 ax+b<0 (a、b 为常数，a≠0）的形式，所 以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于 0 时，求自变量相应的取值范围。 【经典例题一 不等式的定义】 【例1】（23-24七年级下·上海闵行·阶段练习）下列数学表达式，是不等式的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的辩别．熟练掌握不等式的特征，是解答此题的关键．不等式的定义：用符号“<”或“>”表示大小关系的式子，叫做不等式，用符号“”表示不相等关系的式子也是不等式． 根据上述定义分别对各个式子进行分析判断即可得出结论． 【详解】在①；②；③；④；⑤；⑥中， 不等式有②；③；⑤；⑥，共4个； 是等式； ④是代数式． 故选：C． 1．（23-24七年级下·上海奉贤·阶段练习）李老师在黑板上写了下面的式子，你认为哪一个不是不等式（    ） A．＜0 B． C．≥1 D． 【答案】B 【分析】根据不等式的定义和等式的定义解答即可． 【详解】解：A. ＜0是不等式，故此选项不符合题意； B. 是等式，故此选项符合题意； C. 2x+3≥1是不等式，故此选项不符合题意； D.是不等式，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了不等式的定义，凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）下面的式子：①；②；③；④；⑤；其中是不等式的是： ；（填序号） 【答案】①②⑤ 【分析】依据不等式的定义-----用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断即可． 【详解】根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式， 所以①②⑤为不等式，共有3个． 故答案为①②⑤ 【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞＜≤≥≠． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）用适当的不等式表示下列不等关系： （1）x的与x的2倍的和是非负数； （2）一枚炮弹的杀伤力半径不小于300米； （3）三件上衣和四条裤子的总价钱不高于368元； （4）明天下雨的可能性不小于70%； （5）小明的体重不比小亮的轻； 【答案】答案见解析. 【分析】（1）非负数用“≥”表示； （2）、（4）不小于就是大于等于，用“≥”来表示； （3）不高于就是等于或低于，用“≤”表示； （5）不比小亮轻，就是与小亮一样重或者比小亮重．用“≥”表示． 【详解】（1）x+2x≥0； （2）设炮弹的杀伤半径为r，则应有r≥300； （3）设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有3a+4b≤368； （4）用P表示明天下雨的可能性，则有P≥70%； （5）设小明的体重为a千克，小亮的体重为b千克，则应有a≥b． 【点睛】本题考查了不等式的定义．一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞＜≤≥≠． 【经典例题二 不等式的性质】 【例2】（24-25七年级下·上海闵行·期中）若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质“性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，熟练掌握不等式的性质是解题关键．根据不等式的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、由可得，则此项正确，不符合题意； B、由可得，则，则此项错误，符合题意； C、由可得，则此项正确，不符合题意； D、因为，所以由可得，则此项正确，不符合题意； 故选：B． 1．（24-25七年级下·上海崇明行·期末）某商店先后两次购买了某商品，第一次买了5件，平均价格为每件a元，第二次买了4件，平均价格为每件b元．后来商店以每件元的平均价格卖出，结果发现自己赔钱了，赔钱的原因是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查不等式的性质，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，联系实际，进而找到所求的量之间的不等关系． 首先表示9件商品的平均价格为 元，而以每件元的价格把商品全部卖掉，结果赔了钱，所以有，继而得出a和b的关系． 【详解】解：∵9件商品的平均价格为 元， ∵商店以每件元的平均价格卖出，结果发现自己赔钱了， ∴ ， 解得：， 故选：A． 2．（24-25七年级下·上海虹口·阶段练习）若，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质．由，推出，由，得到，由此求得，进一步计算说明当，也成立，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当时，，即， ∴时，成立， 即时，． 综上，时，． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·上海嘉定·阶段练习）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，它的几何意义是数轴上表示的点与原点（即表示的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离．也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则，两点间的距离就可记作． 回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示数的点与数的点之间的距离的式子是_____；式子的几何意义是_____； (2)根据绝对值的几何意义，当时，_____； (3)探究：的最小值为_____； (4)的最小值为_____，此时满足的条件是_____． 【答案】(1)，数轴上表示数的点与数的点之间的距离 (2)或 (3) (4)， 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，不等式的性质等知识点，读懂题目信息，会利用绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）根据的几何意义求解可得； （3）根据，，三种情况确定最小值和此时的取值； （4），根据问题（3）可知，要使的值最小，的值只要取到之间（包括、）的任意一个数，要使的值最小，应取，显然当时能同时满足要求，从而得结论． 【详解】（1）解：数轴上表示数的点与数的点之间的距离的式子是， 式子的几何意义是数轴上表示数的点与数的点之间的距离， 故答案为：，数轴上表示数的点与数的点之间的距离； （2）解：等式的几何意义是表示是到数的距离为的点， 则的值为或， 故答案为：或； （3）解：式子表示数到和的距离之和， 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， 故式子的最小值为，此时满足的条件是， 故答案为：； （4）解：， 根据问题（3）可知，要使的值最小，的值只要取到之间（包括、）的任意一个数， 要使的值最小，应取， 显然当时能同时满足要求， 故的最小值为，此时满足的条件是， 故答案为：，． 【经典例题三 不等式的解集】 【例3】（23-24七年级下·上海徐汇·课后作业）下列说法中正确的是（　　） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．是不等式的唯一解 D．不是不等式的解 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式得解和解集，熟练掌握定义是解题的关键； 根据解集和解得定义去判定即可． 【详解】， ， A、符合条件，是不等式的一个解，故选项符合题意； B、解集是一个范围，而是一个固定值，故选项不符合题意； C、解集是一个范围，所以不是不等式的唯一解，故选项不符合题意； D、符合条件，是不等式的一个解，故选项不符合题意； 故选：A． 1．（23-24七年级下·上海静安·阶段练习）下列四个数轴上的点表示的数都是，其中一定满足的是（    ）    A．（1）（3） B．（2）（3） C．（1）（4） D．（2）（4） 【答案】C 【分析】由得或进而即可求解； 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， ∴（1）（4）符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查绝对值的概念、不等式的应用，掌握相关知识是解题的关键． 2．（23-24七年级下·上海静安·期中）以下说法正确的是： . ①由，得；②由，得 ③由，得；④由，得 ⑤和互为相反数；⑥是不等式的解 【答案】②③④ 【分析】根据不等式的基本性质得出结论即可． 【详解】解：①由，当时，得，故结论①错误； ②由，得，故结论②正确； ③由，得；故结论③正确； ④由，得；故结论④正确； ⑤和互为相反数，当为奇数时，，故结论⑤错误； ⑥是不等式的解，故结论⑥错误； 故正确的结论为：②③④． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟知不等式的基本性质是解本题的关键． 3．（2024七年级·全国·竞赛）下表所示为三种食品原料的维生素含量（单位/千克）及成本（元/千克）： 维生素的含量 维生素的含量 成本 6 5 4 现在要将三种食物混合成千克的混合物，要求混合物至少需含单位的维生素和单位的维生素．如果所用的食物中的质量分别为千克，千克，千克，当分别取何值时，成本最低？ 【答案】时，成本最小为元 【分析】本题考查了不等式组的应用，由题意得，成本为，通过消元法得出的取值范围是解题关键． 【详解】解：依题意有， 即 得：， 得：，解得：， 成本为：， 当时，成本最小为元． 【经典例题四 一元一次不等式的定义】 【例4】（2024七年级下·全国·专题练习）若关于的一元一次不等式，则的值（　　） A． B．1或 C．或 D． 【答案】C 【分析】根据一元一次不等式的定义解答即可． 【详解】解：是关于的一元一次不等式， ， 或． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式． 1．（23-24七年级下·上海闵行·期中）下列不等式中，一元一次不等式有 （    ） ① ② ③ ④ ⑤ A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】B 【详解】分析：根据一元一次不等式的定义“不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1”，进行解答即可． 详解：①不是，因为最高次数是2； ②不是，因为是分式； ③不是，因为有两个未知数； ④是； ⑤是. 综上，只有2个是一元一次不等式. 故选B． 点睛：本题主要依据的知识是一元一次不等式的定义.熟记不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这是解题的关键. 2．（23-24七年级下·上海宝山·阶段练习）已知关于x的不等式是一元一次不等式，那么m的值是 . 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1且系数不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的不等式是一元一次不等式， ∴且， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 3．（23-24七年级下·上海黄浦·期中）解方程组或不等式 （1）                       （2）解不等式，并在数轴上表示解集 【答案】（1）；（2）x＜－2，数轴见解析 【分析】（1）根据加减消元法即可求解；                       （2）先解出不等式的解集，然后在数轴上表示即可． 【详解】（1）           ①×2得4x-2y=-8③ ③-②得3y=15 解得y=5 把y=5代入①得2x-5=-4 解得x=     ∴原方程组的解为        （2） x-6＞2x-4 -x＞2 x＜-2， 解集在数轴上表示如下： 【点睛】此题主要考查方程组与不等式的求解，解题的关键是熟知其运算法则． 【经典例题五 列一元一次不等式】 【例5】（23-24七年级下·上海长宁·期中）一辆汽车从地出发，要在之前到达距离地的地，设平均车速为，根据题意可列不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知，汽车45分钟行驶的路程大于，依此列出不等式即可． 【详解】解：设平均车速为， 45分钟 小时， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确得出不等式关系是解题的关键． 1．（23-24七年级下·上海虹口·期末）为庆祝伟大的中国共产党成立 100 周年，某校德育处举行了以“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”为主题的党史知识竞赛．知识竞赛共 20 道题，每一题答对得 10 分，不答得0分，答错扣 5 分，小聪有 3 道题没答，竞赛成绩超过 90 分．设他答对了 x 道题，则根据题意可列出不等式为（　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】小聪答对题的得分：10x；小聪答错的得分：-5（17-x），不等关系：小聪得分超过90分． 【详解】解：设他答对了x道题，根据题意，得 10x-5（17-x）>90． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，抓住关键词语，找到不等关系是解题的关键． 2．（23-24七年级下·上海松江·期末）小颖沿着某公园的环形跑道（周长大于 ）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，她从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的里程数数据如图所示，当小颖跑了2圈时，她的运动里程数 （填“>” “=”或“<” ）． 【答案】< 【分析】本题考查表示不等关系．注意数形结合． 设环形道的周长为x，因为，由图可知，里程数为时，已超过一圈， 跑了2圈时还没有，即可求解． 【详解】解：设环形道的周长为x， 因为，由图可知，里程数为时，已超过一圈， 跑了2圈时还没有， 所以， 即当小颖跑了2圈时，她的运动里程数． 故答案为：<． 3．（23-24七年级下·上海宝山·阶段练习）为了加强对校内外的安全监控，创建“平安校园”，某学校计划增加15台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中价格、有效监控半径如表所示： 甲型 乙型 价格（单位：元/台） 450 600 有效监控半径（单位：米/台） 100 150 (1)若购买该批设备的资金不超过7200元，请你写出购买的甲型设备数量x（台）应满足的不等式； (2)若要求有效监控半径覆盖范围大于1600米，请你写出购买的甲型设备数量x（台）应满足的不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设购买甲型设备x台，则购买乙型设备台，根据“总价=单价×数量”结合购买该批设备的资金不超过7200元列关于x的一元一次不等式即可； （2）设购买甲型设备x台，则购买乙型设备台，根据要求监控半径覆盖范围不低于1600米可列关于x的一元一次不等式即可． 【详解】（1）解：设购买甲型设备x台，则购买乙型设备台， 根据题意得：． （2）解：设购买甲型设备x台，则购买乙型设备台， 根据题意得：． 【点睛】本题主要考查了列不等式，审清题意、找到不等关系是解答本题的关键． 【经典例题六 求一元一次不等式的解集】 【例6】（2024·上海金山·模拟预测）是下列哪个不等式的一个解（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式，将选项中的不等式解出，即可判断x=2为哪个不等式的解．熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 【详解】解：A．，解得：，故此选项不符合题意； B．，解得：，故此选项不符合题意； C．，解得：，故此选项不符合题意； D．，解得：，故此选项符合题意． 故选：D． 1．（23-24七年级下·上海崇明·期末）如图，这是关于x的不等式的解集，则a的值是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式解集、解一元一次方程，熟练掌握一元一次不等式和在数轴上表示不等式解集得出是解题的关键．先解一元一次不等式得，再根据数轴可得，从而可得，再解方程即可． 【详解】解：解不等式得，， 由数轴可得，， ∴， 解得， 故选：D． 2．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）已知x、y满足，且，设，那么k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式，基本步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．也考查了代数式的变形和一次函数的性质．先把变形得到，由得到，解得，所以的取值范围为，再用变形得到，然后利用一次函数的性质确定的范围． 【详解】解：， ，解得， 又， ， 当时，； 当时，， ， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）下面是小马虎解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务： 去分母，得． 第一步 去括号，得． 第二步 移项，得． 第三步 合并同类项，得． 第四步 系数化为1，得． 第五步 任务一：以上求解过程中，去分母的依据是________________________；第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________________________； 任务二：该不等式的解集为________； 任务三：请你根据平时的学习经验，就解不等式需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】解：任务一：不等式的性质2［或不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变］；二；去括号时，不等式右侧括号里的常数项漏乘系数；任务二：；任务三：不等式两边乘（或除以）同一个负数时，记得改变不等号的方向． 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法； 任务一：根据不等式的性质可得答案； 任务二：先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； 任务三：结合解不等式时，经常犯错的地方提建议即可． 【详解】解：任务一：求解过程中，去分母的依据是不等式的性质2［或不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变］；第二步开始出现错误，这一步错误的原因是：去括号时，不等式右侧括号里的常数项漏乘系数 任务二：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 系数化为1，得． 任务三：不等式两边乘（或除以）同一个负数时，记得改变不等号的方向． 【经典例题七 求一元一次不等式的整数解】 【例7】（23-24七年级下·上海嘉定·期末）定义一种新运算：．例如：，那么不等式的正整数解是（　　） A． B．1 C．0和1 D．2 【答案】B 【分析】根据题目所给新运算的运算法则，将化为代数式，再求解不等式即可． 【详解】解：根据题意可得：， ∵， ∴， 解得：， 符合条件是正整数解有：1． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了求一元一次不等式的正整数解，解题的关键是正确理解题意，根据题目所给新运算，列出不等式求解． 1．（23-24七年级下·上海闵行·期末）已知关于x的不等式只有两个正整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出关于x的一元一次不等式的解集，根据整数解的个数确定a的取值范围． 【详解】解：关于x的不等式ax-a+6＞0只有两个正整数解， ∴a＜0， ∴不等式的解集为x＜， 又∵关于x的不等式ax-a+6＞0只有两个正整数解， ∴2＜≤3， 解得-6＜a≤-3， 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解，掌握一元一次不等式的解法以及整数解定义是正确解答的关键． 2．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）若代数式的值不小于的值，则满足条件的x的最小整数值为 ． 【答案】0 【分析】根据题意得出关于x的不等式，根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得x的范围，继而可得答案． 【详解】解：根据题意得， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 则满足条件得x的最小整数值为0． 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 3．（23-24七年级下·上海青浦·阶段练习）【探究归纳】 解下列不等式：（1）；（2），总结发现不等式（1）的解都是不等式（2）的解，我们称不等式（1）的解集是不等式（2）的解集的“子集”． 【问题解决】 (1)的解集______解集的“子集”（填“是”或“不是”）； (2)若关于的不等式的解集是的解集的“子集”，且是正整数，求的值． 【答案】(1)是 (2)a的值为1或2或3 【分析】本题考查解一元一次不等式，理解题中新定义是解答的关键． （1）先求得两个不等式的解集，再根据题中定义判断即可； （2）先求得两个不等式的解集，再根据题中定义得到关于a的不等式，然后解不等式得到a的取值范围，进而可求解． 【详解】（1）解：解不等式得， 解不等式得， ∴的解集是解集的“子集”， 故答案为：是； （2）解：解不等式得， 解不等式得， ∵不等式的解集是的解集的“子集”， ∴，解得， ∵是正整数， ∴a的值为1或2或3． 【经典例题八 在数轴上表示不等式的解集】 【例8】（2024·上海虹口·二模）若实数的取值范围在数轴上的表示如图所示，在下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，不等式的性质，化简绝对值，根据绝对值的性质与不等式的性质逐一分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，故A不符合题意； ∵， ∴，故B符合题意； ∵， ∴，故C不符合题意； ∵， ∴，故D不符合题意； 故选：B 1．（23-24七年级下·上海奉贤期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式，根据不等式性质求出不等式解集，再将解集在数轴上表示出来即可，注意取得到该数时用实心的点表示，取不到该数时用空心圈表示． 【详解】解：， ， ； 不等式的解集在数轴上表示为： 故选：D． 2．（23-24七年级下·上海闵行·期末）关于x的一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式可以是 ．（写出一个符合要求的不等式即可） 【答案】x＜-4（答案不唯一） 【分析】“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线． 【详解】解：由图示可看出，从-4出发向左画出的折线且表示-4的点是空心圆，表示x<-4； 故答案为：x<-4（答案不唯一） 【点睛】此题主要考查的是在数轴上表示不等式的解集．不等式的解集在数轴上表示的方法：＞，≥向右画；＜，≤向左画，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 3．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）下面是小明解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得……第一步 去括号，得……第二步 移项，得……第三步 合并同类项，得……第四步 两边都除以5，得……第五步 (1)小明的解答过程是从第 步开始出错的，这一步正确的结果为 ，此步骤的依据是 ． (2)请你写出此题正确的解答过程，并将解表示在数轴上． 【答案】(1)一；；不等式的性质2 (2)过程见解析，数轴见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集： （1）根据解一元一次不等式的基本步骤解答即可； （2）求出不等式的解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解：去分母时，常数项漏乘最小公倍数，故小明的解答过程是从第一步开始出错的，这一步正确的结果为，此步骤的依据是不等式的性质2， 故答案为：一；；不等式的性质2； （2） ， ， ， ， ， 在数轴上表示为： ． 【经典例题九 求一元一次不等式解的最值】 【例9】（2024·上海普陀·二模）已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得整数a最小值． 【详解】解：， 解①得， 解②得． 则不等式组的解集是． ∵解集中至少有5个整数解 ∴整数解为：-1,0,1,2,3． ∴． 整数a的最小值是4． 故选C． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定a的范围是本题的关键． 1．（23-24七年级下·上海嘉定·阶段练习）按照下面给定的计算程序，当时，输出的结果是______；使代数式的值小于20的最大整数x是（　　）． A．1，7 B．2，7 C．1， D．2， 【答案】A 【分析】把代入计算，即可求出输出结果；列不等式求解可得出使的值小于20的最大整数x． 【详解】当时，第1次运算结果为， ∴当时，输出结果是1； 由题意，得 ， 解得， ∴使代数式的值小于20的最大整数x是7， 故选A． 【点睛】本题考查了程序框图的计算，以及一元一次不等式的应用，能够理解题意是解题的关键． 2．（23-24七年级下·上海徐汇·课后作业）（1）已知的解集中的最大整数为3，则a的取值范围是 ． （2）已知的解集中最小整数为-2，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】（1）根据不等式的解集中最大的整数是3，可得答案． （2）根据不等式的解集中最小整数为-2，可得答案． 【详解】解：（1）∵的解集中的最大整数为3， ∴， 故答案为：. （2）∵的解集中最小整数为-2， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的解集是解题关键． 3．（23-24七年级下·上海静安·期末）某城市的一个区域原来每天需要处理生活垃圾吨,刚好被个型和个型预处置点位进行初筛､压缩等处理．已知一个型点位比一个型点位每天多处理吨生活垃圾． （1）求一个型点位每天处理生活垃圾的吨数; （2）由于《城市生活垃圾管理条例》的施行,垃圾分类要求提高,现在每个点位每天将少处理吨生活垃圾．若该区域计划增设型､型点位共个,试问至少需要增设几个型点位才能当日处理完所有生活垃圾? 【答案】（1）每个型点位每天处理生活垃圾吨;（2）1个 【分析】（1）设每个型点位每天处理生活垃圾吨,则每个型点位每天处理垃圾吨．根据每天需要处理生活垃圾吨,刚好被个型和个型预处置点位进行初筛､压缩等处理,可列出方程,即可得出答案．　 （2）设需要增设个型点位,则增设个型点位．根据每个点位每天将少处理吨生活垃圾．若该区域计划增设型､型点位共个,可列出不等式,即可求解． 【详解】解:（1）设每个型点位每天处理生活垃圾吨,则每个型点位每天处理垃圾吨． 根据题意,得, 解得:． 答:每个型点位每天处理生活垃圾吨． （2）设需要增设个型点位,则增设个型点位． 现在型点位每天处理（吨）,型点位每天处理（吨） 根据题意,得, 解得:． 答:至少需要增设个型点位． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程和一元一次不等式的实际应用,解题的关键是弄清题意找出等量关系或不等关系,然后列出方程或不等式． 【经典例题十 一元一次不等式解的新定义运算】 【例10】（24-25七年级下·上海闵行·期中）如果，，那么下列不等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的性质等知识点，根据不等式的基本性质逐一判定即可得解，熟练掌握不等式的性质是解决此题的关键． 【详解】解：A、由得到：,选项结论成立，故本选项不符合题意； 由得到：，选项结论成立，故本选项不符合题意； 由得到：，选项结论成立，故本选项不符合题意； 由得到：，选项结论不成立，故本选项符合题意； 故选：D． 1．（23-24七年级下·上海长宁·阶段练习）对于实数定义运算“”：，例如，．当时，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．根据定义的新运算列出不等式求解即可． 【详解】解：根据题意： 当时，解得：， 则，即 解得：，相矛盾，舍去； 当时，解得：， 则，即 解得：， ； 故选：A． 2．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）定义新运算：对于任意实数，都有，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．例如：，那么不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据可得中 5相当于a，x相当于b，代入新定义的运算法则中可得，由此解出不等式即可． 【详解】由题意得，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了定义新运算和解一元一次不等式，解题的关键是读懂题意，掌握新运算的法则，弄清楚a和b的值． 3．（23-24七年级下·上海徐汇·阶段练习）新定义型阅读理解题：已知任意实数，定义的含义为当时，，当时，． (1)若，求的取值范围； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据已知任意实数，定义的含义为当时，，当时，即可解答； （）根据已知任意实数，定义的含义为当时，，当时，分情况讨论即可． 本题考查了一元一次不等式的应用，理解新定义计算公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：①当时，解得， ， ②当时，解得， ∴， ∴， 综上所述，的最大值为． 1．（23-24七年级下·上海闵行·阶段练习）关于x的不等式有且只有三个负整数解，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据一元一次不等式的解的情况求参数，先求出解集，然后根据正数解的情况得到参数的取值，根据解的情况求出参数的取值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于x的不等式有且只有三个负整数解， ∴x的负整数解有：， ∴， 解得：， 故选：C． 2．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴、不等式的基本性质，熟练掌握数轴的定义是解题关键．先根据数轴的定义可得，且，再根据不等式的基本性质逐项判断即可得． 【详解】解：由实数a，b，c在数轴上的对应点的位置可知，，且， A．，是成立的，因此选项A不符合题意； B．由于，而，所以，是成立的，因此选项B不符合题意； C．由于，则，而，则，所以是成立的，因此选项C不符合题意； D．由于，则，而，所以，因此选项D符合题意． 故选：D． 3．（23-24七年级下·上海静安·期末）若，则下列不等式组的解集不正确的是（　　） A．的解集是 B．的解集是 C．的解集是 D．无解 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，先解先解不等式组中每一个不等式的解，然后在求其公共解即可． 【详解】解：A若，，根据“同大取较大”的原则，解集是，故选项A正确，不符合题意； B若，，根据“同大取较大”的原则，解集是，不是，故选项B错误，符合题意； C若，，根据“小大大小中间找”的原则，解集是，故选项C正确，不符合题意； D若，，根据“大大小小解不了”的原则，无解，故选项D正确，不符合题意． 故选：B． 4．（23-24七年级下·上海·阶段练习）定义新运算：对于任意实数，都有，如：，那么不等式的正整数解的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据新定义列出关于的一元一次不等式，解不等式可得． 【详解】解：根据题意，原不等式转化为：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 系数化为，得：， 正整数解有个，为，，． 故选：C． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 5．（23-24七年级下·上海普陀·开学考试）春节期间某商场为促销，将定价为50元/件的商品如下销售：一次性购买不超过5件按照原价销售；一次性购买超过5件则按原价的八折出售．旗旗现在有290元，则最多可购买这种商品（    ）件． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】设旗旗可以购买x件商品，根据该商场的促销策略结合总价不超过290元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中最大的整数值即可得出结论． 【详解】解：设旗旗可以购买x件商品， ∵290＞250， ∴旗旗购买的商品超过5件， 依题意，得： 50×0.8x≤290， 解得：x≤7． 又∵x为整数， ∴x的最大值为7. 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的布列与求解，准确将生活问题转化数学不等式模型求解是解题的关键． 6．（23-24七年级下·上海虹口·期中）不等式的非负整数解是 ． 【答案】 【分析】此题考查了求不等式的非负整数解．先解不等式求出不等式的解集，再找出非负整数解即可． 【详解】解： 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， ∴不等式的非负整数解是． 故答案为：． 7．（23-24七年级下·上海黄浦·期末）若，则，，，从小到大的顺序为 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，有理数的大小比较．熟练掌握不等式的性质，有理数的大小比较是解题的关键． 由，可得，，，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·上海浦东新区·课后作业）易错若，则a，，三个数用“<”连接起来为 ． 【答案】 【解析】略 9．（23-24七年级下·上海虹口·开学考试）朋朋在做练习册作业上解一个一元一次不等式时，发现不等式右边的一个数被墨迹污染看不清了，所看到的不等式是，他查看练习本后的答案知道，这个不等式的解集是，那么被污染的数是 ． 【答案】 【分析】此题考查了不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．设被污染的数为，表示出不等式的解集，根据已知解集确定出的值即可． 【详解】解：设被污染的数为， 不等式为． 解得：， 这个不等式的解集是， ， 解得：， 故答案为：． 10．（2024七年级·全国·竞赛）七年级（）班在数学知识竞赛中获一等奖的人数占全班人数的，获二等奖的人数占全班人数的，获三等奖的人数占全班人数的，还有不足人未获奖，则七年级（）班共有学生 名． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式，设全班共有人，则，再根据必须是、和的公倍数即可求解，解题的关键是根据题意，列出不等式． 【详解】解：设全班共有人， 根据题意有， 解得， 因为必须是、和的公倍数，而、和的公倍数中小于的只有， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）解下列不等式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解不等式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）移项合并同类项进行计算即可； （2）先去分母再移项合并同类项进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 12．（23-24七年级下·上海闵行·课后作业）下列各数中，哪些是不等式x＋2＜4的解？哪些不是？ －3，－1，0，1，，2，，3，4. 【答案】见解析 【分析】将题中所给的数据代入不等式进行判断即可. 【详解】解：把题中各数分别代入不等式x＋2＜4，得－3，－1，0，1，是不等式x＋2＜4的解，2，，3，4不是不等式x＋2＜4的解． 【点睛】不等式的解是指在含有未知数的不等式中，能够使不等式成立的未知数的值； 13．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）整数有一个很常用的性质，叫做离散性．意思是说若两个整数a，b满足，则，或者说，即两个不同整数的差的绝对值至少为1． 已知正整数a，b，c，d，e，f满足，． 试解决问题： (1)证明：； (2)． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了因式分解的应用，关键是根据因式分解得出不等式解答． （1）根据因式分解得出不等式，进而解答即可； （2）根据不等式的性质和比例性质解答即可． 【详解】（1）证明：，，，，都是正整数， ， ， ． （2）由（1）得，， ，， ， ， ， . 14．（24-25七年级下·上海静安·期中）学习了“解一元一次不等式”后，杭杭同学解不等式的过程如下： 解：去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 两边都除以得： 杭杭的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程，并把解表示在数轴上． 【答案】杭杭的解答过程错误，见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，掌握解一元一次不等式的步骤是解题关键．根据解一元一次不等式的步骤“去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1”求解，再将解集在数轴上表示即可． 【详解】解：有错误， ， 去分母：， 去括号：， 移项、合并：， 系数化为1：， 把解集表示在数轴上如下． 15．（2024·江苏扬州·二模）阅读感悟： 代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题： 例：已知实数x、y满足，证明：． 证明：因为且x，y均为正， 所以______，______．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） 所以．（不等式的传递性） 解决问题： (1)请将上面的证明过程填写完整． (2)尝试证明：若，则． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查不等式的性质，关键是掌握不等式的性质． （1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，由此即可证明问题； （2）不等式的两边同时加上同一个数b得，不等式的两边同时除以同一个正数2，由此即可证明问题． 【详解】（1）证明：因为且，均为正， 所以，．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变）， 所以（不等式的传递性）， 故答案为：，； （2）证明：， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$