2025年中考数学一轮高频考点专题复习-特殊三角形问题（二次函数综合）

2025年中考数学高频考点专题复习-特殊三角形问题（二次函数综合） 1．如图，抛物线与x轴交于点与点，与y轴交于点，P为第一象限抛物线上的点． （1）求该抛物线的函数解析式． （2）当△PBC的面积最大时，求P点的坐标． （3）在X轴上是否存在点N，使△NBC是等腰三角形，若存在直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在说明理由    2．已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=2x2−(1+2c)x+c（c>，c是常数）的图像与x轴分别交于点A，点B（点B在点A右侧），与y轴交于点C，连接BC． (1)证明：△BOC是等腰直角三角形； (2)抛物线顶点为D，BC与抛物线对称轴交于点E，当四边形AEBD为正方形时，求c的值． 3．已知：如图，二次函数的图象与轴交于、两点，其中点坐标为，点，另抛物线经过点，为它的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）求的面积． （3）是否存在在抛物线上的点使得的面积为15，如果存在求出点的坐标，若不存在请说明理由． 4．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，y与轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A（-1 ，0），C（0，3）． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点M，使得MA+MC的值最小，求此点M的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在P点，使△PCD是等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于点，交y轴于点，在y轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)抛物线对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由． 6．如图，抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）． (1)求二次函数的表达式及顶点坐标； (2)连接BC，在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使△BCE是直角三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 7．二次函数y=ax2＋bx＋c图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点A(1，0)和点B(0，l)．若此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C. （1）试求a，b所满足的关系式； （2）当△AMC的面积为△ABC面积的倍时，求a的值； （3）是否存在实数a，使得△ABC为直角三角形．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 　 8．如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴分别交于点和点，抛物线经过点，且与直线的另一个交点为． （1）求的值和抛物线的解析式； （2）是平面内一点，将绕点沿逆时针方向旋转90°后，得到，点、、的对应点分别是点、、，若的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点的横坐标． 9．如图，直线：与抛物线：相交于点，两点． (1)求A，两点的坐标． (2)将直线向上移个单位长度后，直线与抛物线仍有公共点，求的取值范围． (3)点为抛物线上位于直线上方的一动点，过点作直线的垂线段，垂足为点．当时，求点的坐标． 10．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C． （1）求这个二次函数的关系解析式； （2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由； 11．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为(2，0)，与y轴交于点C，抛物线对称轴为直线x．连接AC，BC，点P是抛物线上在第二象限内的一个动点．过点P作x轴的垂线PH，垂足为点H，交AC于点Q．过点P作PG⊥AC于点G． （1）求抛物线的解析式． （2）求周长的最大值及此时点P的坐标． （3）在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 12．定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则这两个函数互为“N”函数． （1）写出的“N”函数的表达式； （2）若题（1）中的两个“N”函数与正比例函数的图像只有两个交点，求k的值； （3）如图，二次函数y1与y2互为“N”函数，A、B分别是“N”函数y1与y2图象的顶点，C是“N”函数与y轴正半轴的交点，连接、、，若点且为直角三角形，求点C的坐标． 13．如图．已知二次函数y=﹣x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于点B． （1）求此二次函数关系式和点B的坐标； （2）在x轴的正半轴上是否存在点P．使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图，二次函数的图象经过A(2，0)，B(0，－6)两点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积． （3）在x轴上是否存在一点P，使△ABP为等腰三角形，若存在，求出P的坐标，若不存在，说明理由. 15．抛物线经过A、、三点．点D为抛物线的顶点，连接、、、． (1)求抛物线的解析式； (2)在y轴上是否存在一点E，使为直角三角形？若存在，请你直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 16．已知：一次函数的图象与x轴、y轴的交点分别为B、C，二次函数的关系式为y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）． （1）说明：二次函数的图象过B点，并求出二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标； （2）若二次函数图象的顶点，在一次函数图象的下方，求a的取值范围； （3）若二次函数的图象过点C，则在此二次函数的图象上是否存在点D，使得△ABD是直角三角形？若存在，求出所有满足条件的点D坐标；若不存在，请说明理由． 17．如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标． 18．如图，已知抛物线于x轴交于A（－1,0）、B（3,0）两点，与y轴交于点C（0,3）． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形，若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．（1）；（2）当的面积最大时，求点的坐标为：；（3）在轴上存在点，使是等腰三角形，符合条件的点的坐标为：、、 2．(1)略 (2)当四边形AEBD为正方形时，求c的值为． 3．（1）；（2）；（3）存在，，，， 4．(1) (2)点M坐标（1，2） (3)存在，点P坐标为（1，6），（1，），（1，），（1，） 5．(1)； (2)存在，P点的坐标为：. 6．(1)y=x2-4x+3；顶点坐标为（2，-1）； (2)存在，E 7． （1）a＋b=－1；（2）a=－4＋；（3）不存在. 8．（1）2，；（2）点的横坐标或． 9．(1)点A的坐标为，点的坐标为 (2) (3)点的坐标为或 10．（1）；（2）存在，点P，使△PAC的面积最大；（3）存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形．Q点坐标为：Q1（2，3），Q2（3，1），Q3（﹣1，﹣1），Q4（﹣2，1）． 11．（1）yx2x+3；（2），P(，)；（3）存在，Q1(，3)，Q2(﹣1，2) 12．（1）；（2）k的值为3或－1；（3）点C的坐标为（0，）或（0，5）． 13．（1）y=﹣x2+x+3，点B的坐标为（0，3）．（2）点P的坐标为：（，0）． 14．（1）y＝－x2＋4x－6； （2）S△ABC＝6； （3）点P坐标为（-2，0）或或或 15．(1)； (2)存在，符合题意的点E的坐标为或或或． 16．（1）A（-1，0）；（2）；（3）存在，点D的坐标为(0,2)或（3,2） 17．（1）y=-x2-2x+3；（2）存在，P（-1，）或P（-1，-）或P（-1，6）或P（-1，）；（3）当a=-时，S四边形BOCE最大，且最大值为，此时，点E坐标为（-，） 18．(1) 抛物线的解析式为y=-x2+2x+3．(2) 点P坐标为(，)或（2，3）． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$