精品解析：福建省福州杨桥中学2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷

福州杨桥中学2024-2025学年第一学期期末适应性训练 八年级数学 （考试时间：120分钟；总分：150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列数学经典图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．本题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 A. x≥3 B. x≤3 C. x＞3 D. x＜3 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意得． 解得x≥3， 故选：A． 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的判断，掌握最简二次根式满足的条件是解题关键．根据最简二次根式的被开方数是整数或整式，且不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断即可． 【详解】解：A、被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、被开方数不是整数，不是最简二次根式，不符合题意； C、二次根式在分母位置，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意， 故选：D 4. 在中，，，的对边分别是a，b，c，则下列条件中不能说明是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理．根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，故A选项不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故B选项不符合题意； 设，则，不能构成三角形，故C选项符合题意； 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴最大的角为， ∴是直角三角形，故D选项不符合题意； 故选：C 5. 在下列给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定条件判断即可； 【详解】根据分析可得当，时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形能证明； 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，准确判断是解题的关键． 6. 若，则（ ） A. B. 9 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方法则逆用等知识点，是掌握整体代入法思想是解题的关键． 把变形得到，再把用同底数幂乘法化简，然后把整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选B． 7. 若把分式中的x，y同时扩大10倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的10倍 B. 扩大为原来的倍 C. 不变 D. 缩小为原来的 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是把字母变化后的值代入式子中，然后计算变形，再与原式比较，最终得出结论． 把x，y分别换为，约分得到结果，即可作出判断． 【详解】解：将原式中x，y分别换为10x，10y， 得： ∴分式的值扩大为原来的10倍， 故选：A． 8. 如图，在中，点D是边的中点，点F在边上，且平分，已知，则的长为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查等腰直角三角形的性质，三角形中位线的性质，根据题意得出，再由等角对等边确定，得出点E为中点，利用中位线的性质确定，即可求解，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键 【详解】解：根据题意得， ∵平分，， ∴， ∴， ∴点E为中点， ∵点D是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B 9. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设规定时间为天，分别表示出慢马和快马的行驶时间与速度，根据“快马的速度是慢马的倍”这一等量关系列方程即可解答． 【详解】解：设规定时间为天， ∵慢马所需时间比规定时间多天， ∴慢马的行驶时间为天，慢马速度为， ∵快马所需时间比规定时间少天， ∴快马的行驶时间为天，快马速度为， 又∵快马的速度是慢马的倍， ∴可得方程 ，即选项B符合题意． 10. 如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝5，则AB的长为（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】作E点关于CD的对称点E'，连接PE,E'P,PF，当E',P,F三点共线，E'F⊥AB时，此时EP+FP的值最小，由题意可得∠FE'B=30°，则BE'=2BF，再由BF=5，BE=4，可得10=2CE+4，解得CE=3，可求BC=7． 【详解】解：作E点关于CD的对称点E'，过E'作E'F⊥AB交于点F，交CD于点P，连接PE'， ∴PE=PE'， ∴EP+FP=PE'+PF≥E'F， 当E',P,F三点共线，E'F⊥AB时， 此时EP+FP的值最小， ∵△ABC是正三角形， ∴∠B=60°， ∵E'F⊥AB， ∴∠FE'B=30°， ∴BE'=2BF， ∵BF=5，BE=4， ∴E'B=10， ∵CE=CE'， ∴10=2CE+BE=2CE+4， ∴CE=3， ∴BC=7， 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 空气的平均密度为，用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，把一个数表示成（其中，为整数）的形式的记数方法叫科学记数法，据此解答即可求解，掌握科学记数法的定义是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 已知a+b＝4，ab＝3，则a2b+ab2＝_____． 【答案】12 【解析】 【分析】首先进行因式分解，再把a+b＝4，ab＝3代入，即可求得其值． 【详解】解： a+b＝4，ab＝3 a2b+ab2 =ab(a+b) =3×4 =12 故答案为：12． 【点睛】本题考查了因式分解及代数式求值问题，熟练掌握和运用整体代入法是解决本题的关键． 13. 若一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，这个多边形的边数为，根据多边形的内角和公式计算即可，熟记多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解：这个多边形的边数为， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形的边数是， 故答案为：． 14. 已知的结果为正整数，则正整数的最小值为___． 【答案】2 【解析】 【分析】由题意可知8n是一个完全平方数，从而可求得答案． 【详解】解：， ∵n是正整数，也是一个正整数， ∴n的最小值为2． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了二次根式的运算，根据题意先化简再分析，从最小的平方数开始考虑． 15. 如图，圆柱的底面周长为24厘米，高为5厘米，是底面直径，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的侧面爬行到点的最短路程是___________． 【答案】厘米 【解析】 【分析】本题考查了平面展开，最短路径问题，将图形展开和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知长即蚂蚁爬行的最短路程，再利用勾股定理求解，即可求得答案． 【详解】解：如图所示：由于圆柱体的底面周长为， 则弧， 又因为， 所以， 故答案为：厘米． 16. 如图，在中，，F是的中点，E是上一点，连接，，且．给出下列结论：①平分；②；③为等边三角形；④．其中正确的结论为 ________（填序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据题意利用平行线性质和全等判定即可得到①正确，再利用等边三角形判定无法证明③正确，利用角的转化即可证明④正确． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分，即①正确， 延长与的延长线交，如图： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即②正确， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即④正确， ∵， ∴不是等边三角形，即③不正确， ∴正确结论为：①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查平行四边形性质，中点性质，角平分线定义，平行线性质，等边三角形判定等． 三、解答题（共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）利用乘方的定义、负整数指数幂、零指数幂分别运算，再合并即可； （）利用二次根式的性质先化简，再合并即可； 本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的性质和运算法则进行化简，再把的值代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】（）根据解分式方程的步骤解答即可； （）根据解分式方程的步骤解答即可； 本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【小问1详解】 解：方程两边乘以，得， ∴， 检验：当时，最简公分母， ∴是原方程的解； 【小问2详解】 解：方程两边乘以，得， ∴， 检验：当时，最简公分母， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 20. 如图，在中，点E，F分别在和上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，且，，求的周长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）的周长为． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行四边形的判定和性质． （）由平行四边形的性质结合已知可得，即可得结论； （）由角平分线的定义和平行线的性质可证，即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为． 21. 发现规律： 我们发现，．这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出：． 运用规律 （1）如果，那么的值是_______，的值是_________； （2）如果． ①求的值； ②求的值． 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】（）根据多项式的乘法法则计算即可求解； （）①由多项式的乘法法则可得，，再把值代入展开后的结果中计算即可求解；②先通分，再利用积的乘法的逆运算及完全平方公式的变形运算转化，最后把①所得值代入计算即可求解； 本题考查了分式的求值，整式的运算，掌握分式和整式的运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：①∵， ∴，， ∴ ； ② ． 22. Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5． （1）如图1，点E在边BC上，且∠AEC=2∠B． ①在图1中用尺规作图作出点E，并连结AE（保留作图痕迹，不写作法与证明过程）； ②求CE的长． （2）如图2，点D为斜边上的动点，连接CD，当△ACD是以AC为底的等腰三角形时，求AD的长． 【答案】 （1）①如图，作∠BAE=∠B， ②；（2）2.5 【解析】 【分析】（1）①作出AB的垂直平分线交BC于点E，则可得结论； ②由勾股定理求得BC=4，设CE=x，则BE=AE=4-x，依据勾股定理列出方程求解即可； （2）求得BD=CD=AD=2.5即可． 【详解】解：（1）①略 ②可求得BC=4 ∵∠AEC=∠B+∠BAE， 又∵∠AEC=2∠B， ∴∠BAE=∠B ， ∴BE=AE，． 设CE=x，则BE=AE=4-x， 在Rt△AEC中，， ∴， ∴， ∴ （2）AC为底时，如图2所示，此时AD=CD， ∴∠A=∠DCA ∵∠A+∠B=90°，∠DCA+∠BCD=90°， ∴∠B=∠BCD， ∴BD=CD， 即AD=BD=2.5． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解答此题的关键． 23. 某超市用元购进某种干果后进行销售，由于销售状况良好，超市又调拨元资金购进该种干果，购进干果的数量是第一次的倍，但这次每千克的进价比第一次的进价提高了元． （1）该种干果第一次的进价是每千克多少元？ （2）如果超市按每千克元的价格销售，当大部分干果售出后，余下的千克按售价的折售完，超市销售这种干果共盈利多少元？ 【答案】（1）25元；（2）超市销售这种干果共盈利元 【解析】 【分析】（1）分别设出该种干果第一次和第二次的进价，根据“第二次购进干果的数量是第一次的倍”列出方程，解方程即可得出答案； （2）先求出两次购进干锅的数量，再根据利润公式计算利润即可得出答案. 【详解】解：（1）设该种干果第一次的进价是每千克元，则第二次的进价是每千克元. 根据题意得， 解得. 经检验，是所列方程的解. 答：该种干果第一次的进价是每千克元 （2）第一次购进该种干果的数量是（千克）， 再次购进该干果的数量是（千克）， 获得的利润为（元）. 答：超市销售这种干果共盈利元. 【点睛】本题考查的是分式方程在实际生活中的应用，难度适中，需要熟练掌握销售利润相关的计算公式. 24. 如图，中，，，，以边为斜边向左上方作直角三角形，其中，． （1）求的长； （2）以为边作，使点，分别落在的边上，请画出示意图，并求出的长． 【答案】（1）6 （2）示意图如下，的长为或 【解析】 【分析】（1）由勾股定理可求的长； （2）分两种情况讨论，由平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质可求解． 【小问1详解】 解：，，， ， ； 【小问2详解】 解：如图，当点在上时， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ； 当点在上时，过点作于， 四边形是平行四边形， ， 又， ， ，， 是等腰直角三角形， ，， 综上所述：的长为或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，． （1）求点A的坐标； （2）如图2，点是轴正半轴上的点，点是轴正半轴上的点，若，求证：； （3）在（2）条件下，如图3，连接，过点A作于，并延长交于，求点的坐标．（用含的式子表示） 【答案】（1） （2）证明：如图，过点A作轴于点P，过点A作轴于点Q，连接， 根据（1）的结论，得点A的坐标为， ∴,, ∵点是轴正半轴上的点，点是轴正半轴上的点， ∴，， ∴ ∵ ∴，即, ∴，即； （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、等腰直角三角形、勾股定理及逆定理的知识，解题的关键是熟练掌握一次函数、勾股定理的性质； （1）过点A作轴于点P，根据等腰直角三角形三线合一的性质分析，即可得到答案； （2）过点A作轴于点P，过点A作轴于点Q，连接，根据勾股定理及逆定理的性质计算，即可得到答案； （3）过点A作轴于点M，连接，过点A作轴于点N，根据，结合勾股定理，分别得到，，从而得到，同理推算出，从而得到等式，设点的坐标，建立等式即可得到答案． 【小问1详解】 如图，过点A作轴于点P， ∵ ∴ ∴点A的坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如下图所示，过点A作轴于点M，连接，过点A作轴于点N， 得， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设点的坐标， 在直角三角形中，, ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，即点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州杨桥中学2024-2025学年第一学期期末适应性训练 八年级数学 （考试时间：120分钟；总分：150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列数学经典图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 A. x≥3 B. x≤3 C. x＞3 D. x＜3 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，的对边分别是a，b，c，则下列条件中不能说明是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 在下列给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 若，则（ ） A. B. 9 C. D. 6 7. 若把分式中的x，y同时扩大10倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的10倍 B. 扩大为原来的倍 C. 不变 D. 缩小为原来的 8. 如图，在中，点D是边的中点，点F在边上，且平分，已知，则的长为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝5，则AB的长为（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 空气的平均密度为，用科学记数法表示为______． 12. 已知a+b＝4，ab＝3，则a2b+ab2＝_____． 13. 若一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数是______． 14. 已知的结果为正整数，则正整数的最小值为___． 15. 如图，圆柱的底面周长为24厘米，高为5厘米，是底面直径，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的侧面爬行到点的最短路程是___________． 16. 如图，在中，，F是的中点，E是上一点，连接，，且．给出下列结论：①平分；②；③为等边三角形；④．其中正确的结论为 ________（填序号）． 三、解答题（共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 如图，在中，点E，F分别在和上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，且，，求的周长． 21. 发现规律： 我们发现，．这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出：． 运用规律 （1）如果，那么的值是_______，的值是_________； （2）如果． ①求的值； ②求的值． 22. Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5． （1）如图1，点E在边BC上，且∠AEC=2∠B． ①在图1中用尺规作图作出点E，并连结AE（保留作图痕迹，不写作法与证明过程）； ②求CE的长． （2）如图2，点D为斜边上的动点，连接CD，当△ACD是以AC为底的等腰三角形时，求AD的长． 23. 某超市用元购进某种干果后进行销售，由于销售状况良好，超市又调拨元资金购进该种干果，购进干果的数量是第一次的倍，但这次每千克的进价比第一次的进价提高了元． （1）该种干果第一次的进价是每千克多少元？ （2）如果超市按每千克元的价格销售，当大部分干果售出后，余下的千克按售价的折售完，超市销售这种干果共盈利多少元？ 24. 如图，中，，，，以边为斜边向左上方作直角三角形，其中，． （1）求的长； （2）以为边作，使点，分别落在的边上，请画出示意图，并求出的长． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，． （1）求点A的坐标； （2）如图2，点是轴正半轴上的点，点是轴正半轴上的点，若，求证：； （3）在（2）条件下，如图3，连接，过点A作于，并延长交于，求点的坐标．（用含的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $