第一章 §1.1 集 合（教师用书word）【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 人教B版 鲁京辽贵（遵义））

§1.1　集　合 考试要求　1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用维恩图表示集合间的基本关系和基本运算． 知识梳理 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N (N＋或N*) Z Q R 2.集合的基本关系 (1)子集：一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)． (2)真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作AB或BA. (3)相等：给定两个集合A和B，如果组成它们的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作A＝B. (4)空集：把不含任何元素的集合称为空集，记作∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．集合的基本运算 表示 运算 集合语言 图形语言 记法 并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 补集 {x|x∈U，且x∉A} ∁UA 常用结论 1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集． 2．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A. 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1,0,1}．(　×　) (2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　×　) (3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.(　×　) (4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B)．(　√　) 教材改编题 1．(2022·新高考全国Ⅱ)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{x||x－1|≤1}，则A∩B等于(　　) A．{－1,2} B．{1,2} C．{1,4} D．{－1,4} 答案　B 解析　由|x－1|≤1，得－1≤x－1≤1，解得0≤x≤2，所以B＝{x|0≤x≤2}，所以A∩B＝{1,2}，故选B. 2．下列集合与集合A＝{2 022,1}相等的是(　　) A．(1,2 022) B．{(x，y)|x＝2 022，y＝1} C．{x|x2－2 023x＋2 022＝0} D．{(2 022,1)} 答案　C 解析　(1,2 022)表示一个点，不是集合，A不符合题意； 集合{(x，y)|x＝2 022，y＝1}的元素是点，与集合A不相等，B不符合题意； {x|x2－2 023x＋2 022＝0}＝{2 022,1}＝A，故C符合题意； 集合{(2 022,1)}的元素是点，与集合A不相等，D不符合题意． 3．设全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}，则A∪B＝________，∁U(A∩B)＝________. 答案　{x|x≥－1}　{x|x<2或x≥3} 解析　因为A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}＝{x|x≥2}， 所以A∪B＝{x|x≥－1}，A∩B＝{x|2≤x<3}， ∁U(A∩B)＝{x|x<2或x≥3}. 题型一　集合的含义与表示 例1　(1)(2022·衡水模拟)设集合A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则集合A∩B的元素个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　如图，函数y＝x与y＝x2的图象有两个交点， 故集合A∩B有两个元素． (2)已知集合A＝{1，a－2，a2－a－1}，若－1∈A，则实数a的值为(　　) A．1 B．1或0 C．0 D．－1或0 答案　C 解析　∵－1∈A， 若a－2＝－1，即a＝1时，A＝{1，－1，－1}，不符合集合元素的互异性； 若a2－a－1＝－1，即a＝1(舍去)或a＝0时， A＝{1，－2，－1}， 故a＝0. 思维升华　解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题． 跟踪训练1　(1)(多选)若集合M＝{x|x－2<0，x∈N}，则下列四个命题中，错误的命题是(　　) A．0∉M B．{0}∈M C．{1}⊆M D．1⊆M 答案　ABD 解析　对于A，因为M＝{x|x－2<0，x∈N}，所以0∈M，所以A错误； 对于B，因为{0}是集合，且0∈M，所以{0}⊆M，所以B错误； 对于C，因为1∈M，所以{1}⊆M，所以C正确； 对于D，因为1是元素，1∈M，所以D错误． (2)(2023·聊城模拟)已知集合A＝{0,1,2}，B＝{ab|a∈A，b∈A}，则集合B中元素的个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案　C 解析　因为A＝{0,1,2}，a∈A，b∈A， 所以ab＝0或ab＝1或ab＝2或ab＝4， 故B＝{ab|a∈A，b∈A}＝{0,1,2,4}， 即集合B中含有4个元素． 题型二　集合间的基本关系 例2　(1)(2022·宜春质检)已知集合A＝{x|y＝ln(x－2)}，B＝{x|x≥－3}，则下列结论正确的是(　　) A．A＝B B．A∩B＝∅ C．AB D．B⊆A 答案　C 解析　由题设，可得A＝{x|x>2}， 又B＝{x|x≥－3}， 所以A是B的真子集， 故A，B，D错误，C正确． (2)设集合A＝{x|－1≤x＋1≤2}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，当x∈Z时，集合A的真子集有________个；当B⊆A时，实数m的取值范围是________． 答案　15　(－∞，－2)∪[－1,0] 解析　A＝{x|－2≤x≤1}， 若x∈Z，则A＝{－2，－1,0,1}， 故集合A的真子集有24－1＝15(个)． 由B⊆A， 得①若B＝∅，则2m＋1<m－1，即m<－2， ②若B≠∅，则 解得－1≤m≤0， 综上，实数m的取值范围是(－∞，－2)∪[－1,0]． 思维升华　(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、维恩图等来直观解决这类问题． 跟踪训练2　(1)(多选)已知非空集合M满足：①M⊆{－2，－1,1,2,3,4}，②若x∈M，则x2∈M.则集合M可能是(　　) A．{－1,1} B．{－1,1,2,4} C．{1} D．{1，－2,2} 答案　AC 解析　由题意可知3∉M且4∉M，而－2或2与4同时出现， 所以－2∉M且2∉M， 所以满足条件的非空集合M有{－1,1}，{1}． (2)函数f(x)＝的定义域为A，集合B＝{x|－a≤x≤4－a}，若B⊆A，则实数a的取值范围是________________． 答案　(－∞，－3]∪[5，＋∞) 解析　由x2－2x－3≥0，得x≥3或x≤－1， 即A＝{x|x≥3或x≤－1}． ∵B⊆A， 显然B≠∅， ∴4－a≤－1或－a≥3， 解得a≥5或a≤－3， 故实数a的取值范围是(－∞，－3]∪[5，＋∞)． 题型三　集合的基本运算 命题点1　集合的运算 例3　(1)(2021·全国乙卷)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T等于(　　) A．∅ B．S C．T D．Z 答案　C 解析　方法一　在集合T中，令n＝k(k∈Z)，则t＝4n＋1＝2(2k)＋1(k∈Z)，而集合S中，s＝2n＋1(n∈Z)，所以必有T⊆S，所以S∩T＝T. 方法二　S＝{…，－3，－1,1,3,5，…}，T＝{…，－3,1,5，…}，观察可知，T⊆S，所以S∩T＝T. (2)设全集U＝R，A＝{x|－2≤x<4}，B＝{x|y＝}，则图中阴影部分表示的集合为(　　) A．{x|x≤－2} B．{x|x>－2} C．{x|x≥4} D．{x|x≤4} 答案　C 解析　观察维恩图，可知阴影部分的元素由属于B而不属于A的元素构成，所以阴影部分表示的集合为(∁UA)∩B. ∵A＝{x|－2≤x<4}，U＝R， ∴∁UA＝{x|x<－2或x≥4}， 又B＝{x|y＝}⇒B＝{x|x≥－2}， ∴(∁UA)∩B＝{x|x≥4}． 命题点2　利用集合的运算求参数的值(范围) 例4　(2023·衡水模拟)已知集合A＝{x|y＝ln(1－x2)}，B＝{x|x≤a}，若(∁RA)∪B＝R，则实数a的取值范围为(　　) A．(1，＋∞) B．[1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞，1] 答案　B 解析　由题可知A＝{x|y＝ln(1－x2)}＝{x|－1<x<1}， ∁RA＝{x|x≤－1或x≥1}， 所以由(∁RA)∪B＝R，得a≥1. 思维升华　对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用维恩图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况． 跟踪训练3　(1)(2022·全国甲卷)设全集U＝{－2，－1，0,1,2,3}，集合A＝{－1,2}，B＝{x|x2－4x＋3＝0}，则∁U(A∪B)等于(　　) A．{1,3} B．{0,3} C．{－2,1} D．{－2,0} 答案　D 解析　由题意得集合B＝{1,3}，所以A∪B＝{－1,1,2,3}， 所以∁U(A∪B)＝{－2,0}．故选D. (2)(2023·驻马店模拟)已知集合A＝{x|(x－1)(x－4)<0}，B＝{x|x>a}，若A∪B＝{x|x>1}，则a的取值范围是(　　) A．[1,4) B．(1,4) C．[4，＋∞) D．(4，＋∞) 答案　A 解析　由题意可得A＝{x|1<x<4}． 因为A∪B＝{x|x>1}， 所以1≤a<4. 题型四　集合的新定义问题 例5　(1)(多选)当一个非空数集F满足条件“若a，b∈F，则a＋b，a－b，ab∈F，且当b≠0时，∈F”时，称F为一个数域，以下说法正确的是(　　) A．0是任何数域的元素 B．若数域F有非零元素，则2 023∈F C．集合P＝{x|x＝3k，k∈Z}为数域 D．有理数集为数域 答案　ABD 解析　对于A，若a∈F，则a－a＝0∈F，故A正确； 对于B，若a∈F且a≠0，则1＝∈F，2＝1＋1∈F，3＝1＋2∈F，依此类推，可得2 023∈F，故B正确； 对于C，P＝{x|x＝3k，k∈Z},3∈P,6∈P，但∉P，故P不是数域，故C错误； 对于D，若a，b是两个有理数，则a＋b，a－b，ab，(b≠0)都是有理数，所以有理数集是数域，故D正确． (2)已知集合M＝{1,2,3,4}，A⊆M，集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”，且规定：当集合A只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0.设集合A的累积值为n. ①若n＝3，则这样的集合A共有________个； ②若n为偶数，则这样的集合A共有________个． 答案　2　13 解析　①若n＝3，据“累积值”的定义得A＝{3}或A＝{1,3}，这样的集合A共有2个； ②因为集合M的子集共有24＝16(个)， 其中“累积值”为奇数的子集为{1}，{3}，{1,3}，共3个， 所以“累积值”为偶数的集合共有13个． 思维升华 解决集合新定义问题的关键 解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆． 跟踪训练4　设集合U＝{2,3,4}，对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大．最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，依此类推．若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第6位的子集是________． 答案　{2,4} 解析　根据题意，将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列为：∅，{2}，{3}，{4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{2,3,4}． 故排在第6位的子集为{2,4}． 课时精练 1．(2022·全国乙卷)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M满足∁UM＝{1,3}，则(　　) A．2∈M B．3∈M C．4∉M D．5∉M 答案　A 解析　由题意知M＝{2,4,5}，故选A. 2．设集合A＝{x∈N＋|2x<4}，B＝{x∈N|－1<x<2}，则A∪B等于(　　) A．{x|－1<x<2} B．{x|x<2} C．{0,1} D．{1} 答案　C 解析　由2x<4可得x<2， 则A＝{x∈N＋|2x<4}＝{1}， B＝{x∈N|－1<x<2}＝{0,1}， 所以A∪B＝{0,1}． 3．(2022·娄底质检)集合M＝{(x，y)|2x－y＝0}，N＝{(x，y)|x＋y－3＝0}，则M∩N等于(　　) A．{(2，－1)} B．{2，－1} C．{(1,2)} D．{1,2} 答案　C 解析　联立 解得则M∩N＝{(1,2)}． 4．(2023·南京模拟)已知集合A＝{x|x2－6x－7<0}，B＝{y|y＝3x，x<1}，则A∩(∁RB)等于(　　) A．[3,7) B．(－1,0]∪[3,7) C．[7，＋∞) D．(－∞，－1)∪[7，＋∞) 答案　B 解析　A＝{x|x2－6x－7<0}＝(－1,7)， B＝{y|y＝3x，x<1}＝(0,3)， 所以∁RB＝(－∞，0]∪[3，＋∞)， 所以A∩(∁RB)＝(－1,0]∪[3,7)． 5．(2022·海南模拟)已知集合A＝{x|x2≤1}，集合B＝{x|x∈Z且x＋1∈A}，则B等于(　　) A．{－1,0,1} B．{－2，－1,0} C．{－2，－1,0,1} D．{－2，－1,0,1,2} 答案　B 解析　因为集合A＝{x|x2≤1}， 所以A＝{x|－1≤x≤1}， 在集合B中，由x＋1∈A，得－1≤x＋1≤1，即－2≤x≤0，又x∈Z，所以x＝－2，－1,0，即B＝{－2，－1,0}． 6．(2022·怀仁模拟)已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x>m}，若A∩(∁RB)＝∅，则实数m的取值范围为(　　) A．(－∞，1] B．(－∞，1) C．[1，＋∞) D．(1，＋∞) 答案　A 解析　由题知A∩(∁RB)＝∅，得A⊆B，则m≤1. 7．(多选)已知集合A＝{1,3，m2}，B＝{1，m}．若A∪B＝A，则实数m的值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　AD 解析　因为A∪B＝A，所以B⊆A. 因为A＝{1,3，m2}，B＝{1，m}， 所以m2＝m或m＝3，解得m＝0或m＝1或m＝3. 当m＝0时，A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，符合题意； 当m＝1时，集合A、集合B均不满足集合元素的互异性，不符合题意； 当m＝3时，A＝{1,3,9}，B＝{1,3}，符合题意． 综上，m＝0或3. 8．(多选)已知全集U的两个非空真子集A，B满足(∁UA)∪B＝B，则下列关系一定正确的是(　　) A．A∩B＝∅ B．A∩B＝B C．A∪B＝U D．(∁UB)∪A＝A 答案　CD 解析　令U＝{1,2,3,4}，A＝{2,3,4}，B＝{1,2}，满足(∁UA)∪B＝B，但A∩B≠∅，A∩B≠B，故A，B均不正确； 由(∁UA)∪B＝B，知∁UA⊆B， ∴U＝A∪(∁UA)⊆(A∪B)，∴A∪B＝U， 由∁UA⊆B，知∁UB⊆A， ∴(∁UB)∪A＝A，故C，D均正确． 9．(2023·金华模拟)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6}，S＝{1,3,5}，T＝{2,3,6}，则S∩(∁UT)＝________，集合S共有________个子集． 答案　{1,5}　8 解析　由题意可得∁UT＝{1,4,5}， 则S∩(∁UT)＝{1,5}． 集合S的子集有23个，即8个． 10.(2023·石家庄模拟)已知全集U＝R，集合M＝{x∈Z||x－1|<3}，N＝{－4，－2,0,1,5}，则维恩图中阴影部分的集合为________． 答案　{－1,2,3} 解析　集合M＝{x∈Z||x－1|<3}＝{x∈Z|－3<x－1<3}＝{x∈Z|－2<x<4}＝{－1,0,1,2,3}， 则维恩图中阴影部分表示的集合是M∩(∁RN)＝{－1,2,3}． 11．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，则m的值可能是________． 答案　0，－， 解析　由x2＋x－6＝0，得x＝2或x＝－3， 所以A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}， 因为A∪B＝A，所以B⊆A， 当B＝∅时，B⊆A成立，此时方程mx＋1＝0无解，得m＝0； 当B≠∅时，得m≠0，则集合B＝{x|mx＋1＝0}＝， 因为B⊆A，所以－＝－3或－＝2， 解得m＝或m＝－， 综上，m＝0，m＝或m＝－. 12．已知集合A＝{x|(x＋3)(x－3)≤0}，B＝{x|2m－3≤x≤m＋1}．当m＝－1时，则A∪B＝________；若A∩B＝B，则m的取值范围为________． 答案　[－5,3]　[0,2]∪(4，＋∞) 解析　A＝{x|－3≤x≤3}， 当m＝－1时，B＝{x|－5≤x≤0}， 此时A∪B＝[－5,3]． 由A∩B＝B可知B⊆A. 若B＝∅，则2m－3>m＋1解得m>4； 若B≠∅，则解得0≤m≤2， 综上所述，实数m的取值范围为[0,2]∪(4，＋∞)． 13．(多选)已知全集U＝{x∈N|log2x<3}，A＝{1,2,3}，∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，则集合B可能为(　　) A．{2,3,4} B．{3,4,5} C．{4,5,6} D．{3,5,6} 答案　BD 解析　由log2x<3得0<x<23，即0<x<8，于是得全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}， 因为∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，则有A∩B＝{3},3∈B，C不正确； 若B＝{2,3,4}，则A∩B＝{2,3}，∁U(A∩B)＝{1,4,5,6,7}，矛盾，A不正确； 若B＝{3,4,5}，则A∩B＝{3}，∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，B正确； 若B＝{3,5,6}，则A∩B＝{3}，∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，D正确． 14．某小区连续三天举办公益活动，第一天有190人参加，第二天有130人参加，第三天有180人参加，其中，前两天都参加的有30人，后两天都参加的有40人．第一天参加但第二天没参加活动的有________人，这三天参加活动的最少有________人． 答案　160　290 解析　根据题意画出维恩图，如图所示， a表示只参加第一天的人， b表示只参加第二天的人， c表示只参加第三天的人， d表示只参加第一天与第二天的人， e表示只参加第一天与第三天的人， f表示只参加第二天与第三天的人， g表示三天都参加的人， ∴要使总人数最少，则令g最大，其次d，e，f也尽量大，d＋g＝30，f＋g＝40， ∴a＋e＝160，即第一天参加但第二天没参加的有160人， ∴gmax＝30，d＝0，f＝10，a＋d＋g＋e＝190， ∴c＋e＝140， ∴emax＝140，∴c＝0，a＝20， 则这三天参加活动的最少有a＋b＋c＋…＋g＝20＋90＋0＋0＋140＋10＋30＝290(人)． 15．(多选)1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称“戴德金分割”)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机．将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M，N)为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是(　　) A．M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x>0}满足戴德金分割 B．M没有最大元素，N有一个最小元素 C．M有一个最大元素，N有一个最小元素 D．M没有最大元素，N也没有最小元素 答案　BD 解析　对于选项A，因为M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x>0}，M∪N＝{x∈Q|x≠0}≠Q，故A错误； 对于选项B，设M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x≥0}，满足戴德金分割，则M没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确； 对于选项C，若M有一个最大元素m，N有一个最小元素n，若m≠n，一定存在k∈(m，n)使M∪N＝Q不成立；若m＝n，则M∩N＝∅不成立，故C错误； 对于选项D，设M＝{x∈Q|x<}，N＝{x∈Q|x≥}，满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确． 16．我们将b－a称为集合{x|a≤x≤b}的“长度”．若集合M＝{x|m≤x≤m＋2 022}，N＝{x|n－2 023≤x≤n}，且M，N都是集合{x|0≤x≤2 024}的子集，则集合M∩N的“长度”的最小值为________． 答案　2 021 解析　由题意得，M的“长度”为2 022，N的“长度”为2 023， 要使M∩N的“长度”最小，则M，N分别在{x|0≤x≤2 024}的两端． 当m＝0，n＝2 024时，得M＝{x|0≤x≤2 022}，N＝{x|1≤x≤2 024}， 则M∩N＝{x|1≤x≤2 022}，此时集合M∩N的“长度”为2 022－1＝2 021； 当m＝2，n＝2 023时，M＝{x|2≤x≤2 024}，N＝{x|0≤x≤2 023}， 则M∩N＝{x|2≤x≤2 023}，此时集合M∩N的“长度”为2 023－2＝2 021. 故M∩N的“长度”的最小值为2 021. 学科网（北京）股份有限公司 $$