2.2.3 待定系数法（课件+word）-【步步高】2019版学案导学与随堂笔记数学（人教B版必修1）新课标

2.2.3　待定系数法 学习目标　1.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求一元一次函数、一元二次函数及反比例函数的解析式.2.掌握待定系数法的特征，会用待定系数法求解综合问题． 知识点　待定系数法 思考1　若一个正比例函数y＝kx(k≠0)过点(2,3)．如何求这个函数解析式？[来源:学科网] 答案　∵函数y＝kx过点(2,3)， ∴3＝k·2，即k＝， ∴函数为y＝x. 思考2　在思考1中，求解析式的方法有什么特点？ 答案　先设出(给出)函数解析式的一般形式，再根据已知条件确定解析式中待确定的系数． 梳理　1.待定系数法定义 一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数．这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法． 2．几种基本初等函数的解析式 (1)正比例函数的一般形式是y＝kx(k≠0，k是常数)． (2)一次函数的一般形式是y＝kx＋b(k≠0，k，b是常数)． (3)反比例函数的一般形式是y＝(k≠0，k是常数)．[来源:学科网ZXXK] (4)二次函数有三种常见形式，求解析式时，要根据具体情况，设出适当的形式： ①一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，这是二次函数的标准形式； ②顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)是抛物线的顶点； ③知两根可设为y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实根，即抛物线与x轴两交点的横坐标． 1．待定系数法的适用条件是所求数学问题具有确定的数学表达式．(　√　) 2．用待定系数法求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的解析式时，必须知道三点坐标．(　×　) 类型一　待定系数法求解析式 命题角度1　待定系数法求一次函数解析式 例1　已知f(x)是一次函数，且有2f(2)－3f(1)＝5，2f(0)－f(－1)＝1，求这个函数的解析式． 解　设所求的一次函数是f(x)＝kx＋b(k≠0)，其中k，b是常数. 根据已知条件，得方程组 即 解此方程组，得k＝3，b＝－2. 因此所求的函数是f(x)＝3x－2. 反思与感悟　在函数关系式中有几个独立的系数，需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式． 跟踪训练1　已知函数f(x)是一次函数，且有f(f(x))＝9x＋8，求此一次函数的解析式． 解　设该一次函数是f(x)＝ax＋b(a≠0)，由题意得f(f(x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝9x＋8. 因此有 解方程组，得或 所以一次函数为f(x)＝3x＋2或f(x)＝－3x－4. 命题角度2　待定系数法求二次函数解析式 例2　二次函数的顶点坐标是(2,3)，且经过点(3,1)，求这个二次函数的解析式． 解　设二次函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 方法一　则顶点坐标为， ∴ 又二次函数过点(3,1)， ∴1＝9a＋3b＋c.③ 联立方程①②③解方程组，得a＝－2，b＝8，c＝－5， ∴二次函数解析式为y＝－2x2＋8x－5. 方法二　设二次函数顶点式方程为y＝a(x－2)2＋3(a≠0)， ∵二次函数图象过点(3,1)， ∴1＝a×1＋3， ∴a＝－2， ∴y＝－2(x－2)2＋3，即y＝－2x2＋8x－5. 引申探究　 若二次函数f(x)满足f(2)＝f(4)＝0，且过点(0,6)，求这个二次函数的最值． 解　设二次函数的两根式为y＝a(x－2)(x－4)(a≠0)， ∴6＝a×(－2)×(－4)， ∴a＝， ∴y＝x2－x＋6. 当x＝3时，函数f(x)的最小值为－，无最大值． 反思与感悟　二次函数常见的表达式有三种：一般式、顶点式、两根式，选择合适的表达式能起到事半功倍的效果． (1)一般地，若已知函数经过三点，常设函数的一般式； (2)若题目中出现顶点坐标、最大值、对称轴等信息时，我们可考虑函数的顶点式； (3)若题目中给出函数与x轴的交点或二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根，可设函数的两根式． 跟踪训练2　求下列二次函数的解析式． (1)已知y＝f(x)是二次函数，且图象过点(－2,20)，(1,2)，(3,0)； (2)已知二次函数的顶点为(－1，－2)，且图象经过点(2,25)； (3)已知二次函数与x轴交点为(－2,0)，(3,0)，且函数图象经过点(－1,8)． 解　(1)设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)， ∴解得 ∴y＝x2－5x＋6. (2)设y＝a(x＋1)2－2(a≠0)， ∴25＝a×32－2， ∴a＝3， ∴y＝3x2＋6x＋1. (3)设y＝a(x＋2)(x－3)(a≠0)， ∴a×1×(－4)＝8， ∴a＝－2， ∴y＝－2x2＋2x＋12. 类型二　待