精品解析：福建省福州福清市2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

2024—2025学年第一学期八年级校内期末质量检测 数学学科试卷 （完卷时间120分钟，满分150分） 友情提醒：所有答案必须写在答题卡相应的位置上． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标，其图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 头发是人体的附属纤维组织，是人体的主要组成部分，一根头发的半径约为，则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 已知一个三角形的两边长为4和7，则第三边不可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图是小明在美术课上剪出的蝴蝶，它是一幅轴对称图形，将它放在平面直角坐标系中，其对称轴与y轴重合，若点B的坐标是，则它的对称点A的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列对多项式进行因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 计算的结果正确的是（ ） A. B. 2026 C. D. 8. 若是一个最简分式，则可以是（） A. B. C. x D. 2 9. 如图，在中，是的角平分线，测得，点D到的距离为1，则的面积为（ ） A. B. C. 5 D. 6 10. 已知，如图所示四边形是由和围成的，中间的空白部分四边形恰好是正方形，若和是两个全等的等腰直角三角形，且，则四边形的面积为（） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 要使分式有意义，满足的条件为________． 12. 计算：(x＋2)(x－3)＝___________； 13. 如图，、相交于点C，且，在不添加任何辅助线的前提下，只添加一个条件就能证明，你添加的条件是__________________．（写出一个条件即可） 14. 如图，在正五边形中，连接，则______． 15. 已知，则______． 16. 如图，在四边形中，，，连接，在射线上存在两动点，满足，若，当的值最小时，则______（用，表示） 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，在中，平分，，若，求． 19. 如图，，，垂足分别为，，．求证． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 某市为治理污水，需要铺设一段全长为的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前天完成这一任务，实际每天铺设多长管道？ 22. 如图，在中，． （1）尺规作图：在边上分别找一点D、E，使得为等边三角形（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，求的长度． 23. 甲、乙两位采购员同去一家粮油公司购买两次大米，两次大米的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同．其中，甲每次购买x千克，乙每次用去y元，而不管购买多少大米．设两次购买的大米单价分别为m元/千克和n元/千克（m，n是正数，且）． （1）甲两次所购大米的平均单价是______元/千克； （2）求出乙两次所购大米的总量为多少千克？ （3）比较甲，乙所购大米的平均单价，哪一个较低？ 24. 某校现有两个校门，放学后学生出校门时，其中一个校门经常出现拥堵，为了寻找拥堵原因并解决拥堵问题，兴趣小组开展了研究性活动． 该小组经过实地查看和走访同学后发现：放学后，理想的离校状态满足：校园内各栋教学楼到各个校门都可直线行走；大部分同学选择较近的校门离校，且不考虑离校后到家的路程；一个校门通行一栋教学楼的学生． 该小组画出校园的平面示意图（如图），并继续展开研究． （1）【寻找特例】到校门和距离相等的点都在某一条直线上，请用尺规作图作出这条直线l； （2）【探究规律】发现造成校门拥堵的主要原因是：三栋教学楼都集中在这条直线的右侧，所以大部分同学选择校门离校．请用你所学过的数学知识解释这一现象（请选择一个位置说理）； （3）【解决问题】为了缓解放学时校门拥堵状况，该小组向学校建议新增两个校门（位置如图），就能达到理想的离校状态．请根据以上探究规律，画图并说明该建议的合理性．并指出各栋教学楼的学生离校所对应的校门． 25. 如图1，在中，点为上一点，过点分别作于点，于点，若． （1）请判断的形状，并说明理由； （2）如图2，过点作于点，交于点，若，求证：； （3）在（2）的条件下，若，判断和的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期八年级校内期末质量检测 数学学科试卷 （完卷时间120分钟，满分150分） 友情提醒：所有答案必须写在答题卡相应的位置上． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标，其图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．是轴对称图形，故此选项符合题意； C．不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 2. 头发是人体的附属纤维组织，是人体的主要组成部分，一根头发的半径约为，则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法：．在表示绝对值小于 1 的数的时候，从左边第一个不是 0 的数字前面有几个0， 10的指数就是几．利用科学记数法的表示方法：进行表示即可． 【详解】解：． 故选C． 3. 已知一个三角形的两边长为4和7，则第三边不可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，由三角形三边关系得出第三边，由此即可得出答案，熟练掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解此题的关键． 【详解】解：一个三角形的两边长为 1，4， 第三边，即第三边， 第三边可以是4、5、6，不可能是3． 故选：A． 4. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图是小明在美术课上剪出的蝴蝶，它是一幅轴对称图形，将它放在平面直角坐标系中，其对称轴与y轴重合，若点B的坐标是，则它的对称点A的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，根据点、关于轴对称作答即可；熟练掌握关于轴对称的两点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：因为点、关于轴对称，点B的坐标是， 所以点的坐标为， 故选：A． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，幂的乘方，积的乘方和同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据合并同类项，幂的乘方，积的乘方和同底数幂的乘法法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，原式错误，不符合同意； B．，计算错误，不符合题意； C．，原式错误，不符合同意； D．，原式正确，不符合同意． 故选：D． 6. 下列对多项式进行因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．根据分解因式的方法求解即可． 【详解】解：A．，选项分解错误，不符合题意； B．，选项分解错误，不符合题意； C．，选项分解正确，符合题意； D．，选项分解错误，不符合题意． 故选：C． 7. 计算的结果正确的是（ ） A. B. 2026 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂和负整数指数幂运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．根据零指数幂和负整数指数幂运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 8. 若是一个最简分式，则可以是（） A. B. C. x D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简分式．根据最简分式的定义，分子，分母中不含有公因式，不能再约分．对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】A、，不是最简分式，故本选项不符合题意； B、，不是最简分式，故本选项不符合题意； C、是最简分式，故本选项符合题意； D、不是分式，故本选项不符合题意； 故选：C． 9. 如图，在中，是的角平分线，测得，点D到的距离为1，则的面积为（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质．根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点D到，的距离相等，再根据三角形的面积公式求解． 【详解】∵是的角平分线， ∴点D到，的距离相等， ∴， 的面积为， 故选B． 10. 已知，如图所示四边形是由和围成的，中间的空白部分四边形恰好是正方形，若和是两个全等的等腰直角三角形，且，则四边形的面积为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，正方形的性质以及等腰直角三角形的性质． 四边形是正方形，设其边长为，写出4个直角三角形的面积以及中间四边形的面积相加，即可求得结果． 【详解】因为四边形是正方形，设其边长为， 已知和是两个全等的等腰直角三角形，且， 根据等腰直角三角形的性质可知 ， 四边形的面积为 故选B． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 要使分式有意义，满足的条件为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式分母不为零即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知，即， 故答案为：． 12. 计算：(x＋2)(x－3)＝___________； 【答案】x2﹣x﹣6 【解析】 【分析】多项式乘以多项式就是用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式中的每一项，然后相加即可． 【详解】解：原式=x2﹣3x+2x﹣6=x2﹣x﹣6． 故答案为：x2﹣x﹣6． 【点睛】考点：多项式乘多项式． 13. 如图，、相交于点C，且，在不添加任何辅助线的前提下，只添加一个条件就能证明，你添加的条件是__________________．（写出一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了对顶角相等、三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．先根据对顶角相等可得，再根据定理即可得出答案． 【详解】解：由对顶角相等得：， 由定理可知，添加能证明， 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图，在正五边形中，连接，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和，等腰三角形的性质，由正五边形得，，然后根据等边对等角以及三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴，， ∴， 故答案为：． 15. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算，积的乘方，先把转化，然后代入求值即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在四边形中，，，连接，在射线上存在两动点，满足，若，当的值最小时，则______（用，表示） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，两点之间线段最短，在上截取，连接，，证明，则，当三点共线时，的值最小，然后利用角度和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，在上截取，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， 如图，若在上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 若在延长线上时， 同理可得：， 综上可知：， 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）先算分式乘方，最算分式 除法即可； （）根据多项式乘以多项式运算法则进行计算即可； 本题考查了分式的运算，多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 如图，在中，平分，，若，求． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，首先根据角平分线的定义可求得的度数，再根据等腰三角形的性质求出的度数，最后利用三角形的外角的性质即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 19. 如图，，，垂足分别为，，．求证． 【答案】 证明：，， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 首先证明和是直角三角形，然后证明，最后根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】略 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先计算括号中的异分母分式减法，同时将除法写成乘法，再计算乘法，最后将代入计算即可，掌握分式的运算法则和运算顺序是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式． 21. 某市为治理污水，需要铺设一段全长为的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前天完成这一任务，实际每天铺设多长管道？ 【答案】实际每天铺设25m长管道． 【解析】 【详解】试题分析：解：设原计划每天铺设x m管道，则实际每天铺设， 故，解得x=20．经检验，x=20是原方程的解，且符合题意， ，∴实际每天铺设25m长管道． 考点：分式方程应用 点评：本题难度中等，主要考查学生运用分式方程解决工程问题的实际应用能力．注意检验增根情况． 22. 如图，在中，． （1）尺规作图：在边上分别找一点D、E，使得为等边三角形（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，求的长度． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了作角平分线（尺规作图），等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形角平分线的定义等知识点，熟练掌握尺规作图的基本方法和技巧是解题的关键． （1）按照角平分线的作法作出射线平分，交于点，以A点为圆心，为半径，画弧交与E； （2）由作图痕迹可知，平分，，，可得即为等边三角形，进而可得，进而可得，，然后求出的长度． 【小问1详解】 如图：按照角平分线的作法作出射线平分，交于点，以A点为圆心，为半径，画弧交与E，连接，即为等边三角形． 【小问2详解】 平分，， ， ， 即为等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ． 23. 甲、乙两位采购员同去一家粮油公司购买两次大米，两次大米的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同．其中，甲每次购买x千克，乙每次用去y元，而不管购买多少大米．设两次购买的大米单价分别为m元/千克和n元/千克（m，n是正数，且）． （1）甲两次所购大米的平均单价是______元/千克； （2）求出乙两次所购大米的总量为多少千克？ （3）比较甲，乙所购大米的平均单价，哪一个较低？ 【答案】（1） （2） （3）乙所购大米的平均单价较低 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，解题时首先正确理解题意，然后利用题目的数量关系求出两次平均价格，接着利用分式的混合运算法则计算即可解决问题，熟练掌握分式的运算法则是关键． （1）甲每次购买x千克，两次购买饲料的单价为m元/千克和n元/千克， 由此以得到甲两次用的总钱数和总饲料数，接着就可以求出平均单价； （2）根据总量=总价÷单价可得答案； （3）先求得乙的平均单价，再二者相减比较大小即可． 【小问1详解】 解：∵甲每次购买x千克，两次购买饲料的单价为m元/千克和n元/千克， ∴甲的平均单价为：， 【小问2详解】 解：千克， ∴乙两次所购大米的总量为：； 【小问3详解】 解：∵乙每次用去y元，两次购买饲料的单价为m元/千克和n元/千克， ∴乙的平均单价为：， ∵m，n是正数，且， ∴， ∴乙所购买的饲料的平均单价较低． 24. 某校现有两个校门，放学后学生出校门时，其中一个校门经常出现拥堵，为了寻找拥堵原因并解决拥堵问题，兴趣小组开展了研究性活动． 该小组经过实地查看和走访同学后发现：放学后，理想的离校状态满足：校园内各栋教学楼到各个校门都可直线行走；大部分同学选择较近的校门离校，且不考虑离校后到家的路程；一个校门通行一栋教学楼的学生． 该小组画出校园的平面示意图（如图），并继续展开研究． （1）【寻找特例】到校门和距离相等的点都在某一条直线上，请用尺规作图作出这条直线l； （2）【探究规律】发现造成校门拥堵的主要原因是：三栋教学楼都集中在这条直线的右侧，所以大部分同学选择校门离校．请用你所学过的数学知识解释这一现象（请选择一个位置说理）； （3）【解决问题】为了缓解放学时校门拥堵状况，该小组向学校建议新增两个校门（位置如图），就能达到理想的离校状态．请根据以上探究规律，画图并说明该建议的合理性．并指出各栋教学楼的学生离校所对应的校门． 【答案】（1）直线即为所求： （2） 解：如图，选择点，连接，，交直线于点， ∵直线垂直平分， ∴， ∴，即； （3） 如图所示： 栋教学楼的学生离校所对应的校门为； 栋教学楼的学生离校所对应的校门为； 栋教学楼的学生离校所对应的校门为； 栋教学楼的学生离校所对应的校门为； 栋教学楼的学生离校所对应的校门为； 栋教学楼的学生离校所对应的校门为． 【解析】 【分析】（）连接，然后作的垂直平分线即可， （）连接，，交直线于点，根据垂直平分的性质和三角形的三边关系即可求解； （）分别作出的垂直平分线，同（）即可求解； 本题考查了垂直平分线的作法，三角形的三边关系，掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，连接，作的垂直平分线， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，分别作出的垂直平分线， 同（）根据垂直平分线的性质可得 25. 如图1，在中，点为上一点，过点分别作于点，于点，若． （1）请判断的形状，并说明理由； （2）如图2，过点作于点，交于点，若，求证：； （3）在（2）的条件下，若，判断和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 是等腰三角形，理由如下： ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2） 证明：由（1）可得， 设， ∵，， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， 即 （3） 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余以及等角的余角相等，得出，进而根据等角对等边，即可得出结论； （2）根据（1）可得，设，根据平角的定义得出，进而证明，根据平行线的性质得出，根据等边对等角以及三角形内角和定理得出，即可得出，从而得证； （3）在上取一点，使得，过点作于带你，交的延长线于点，连接，证明得出是等腰直角三角形，进而证明得出，等量代换得出，即可得出结论． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 证明：略； 【小问3详解】 解：如图所示，在上取一点，使得，过点作于带你，交的延长线于点，连接， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ 由（2）可得， ∴， 在中， ∴ ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∵ ∴，，是等腰直角三角形， ∵ ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴， 在中， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 即 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等角的余角相等，三角形内角和定理的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $