精品解析：2023年3月辽宁省普通高中学业水平合格性考试数学试卷

2023年3月辽宁省普通高中学业水平合格性考试 数学试卷 本试卷分Ⅰ、Ⅱ两卷，满分100分，考试时间90分钟 第Ⅰ卷（选择题共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 乒乓球是一项深受我国广大人民群众喜爱的体育运动，乒乓球台主要由乒乓球网和台面组成．如图所示，如果将乒乓球台的台面抽象成平面α，将乒乓球网的上边缘抽象成直线，则直线l与平面α的位置关系是（ ）． A B. C. D. l与α相交 3. 已知，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若正数、满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 5. 高二（1）班在体育课上进行足球射门练习，甲同学的命中率为0.6，乙同学的命中率为0.7．若甲、乙各射门一次，则甲、乙都命中的概率是（ ）． A. 0.12 B. 0.18 C. 0.28 D. 0.42 6. 卫生部年月发布的《中国岁以下儿童生长发育参照标准》指出，我国岁以下女童身高的中位数与年龄之间的关系如图所示，从图中可以看出，我国岁以下女童身高增长速度越来越慢．下列最能反映这种变化趋势的函数模型是（ ）． A. B. C. D. 7. 若，且是第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 8. 下列函数在上既是奇函数，又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 9. 随着“碳达峰，碳中和”目标的提出，各地都在积极推进“绿色出行，低碳出行”．某高中环保社团为了了解学生出行选择交通工具的情况，进行一次问卷调查，该校学生共有人，其中男生人，女生人，现用分层抽样的方法从这所学校抽取人，则抽取的男生人数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，平行四边形的两条对角线相交于点．，，且，则（ ） A B. C. D. 11. 我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰，置积尺数，以十六乘之，九面一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体，求其直径的一个近似公式．已知球的半径为，则由此公式可得球的体积约是（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数，则不等式解集是（ ）． A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共64分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．要求直接写出答案，不必写出计算过程或推证过程） 13. 计算：________． 14. 已知复数z满足，则_________． 15. 已知方程的两根为与，则的值是______________． 16. 已知函数，，则的最小值是______． 三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 向量． （1）若，求k的值． （2）若，求． 18. “仓廪实，天下安”，对我们这样一个有着亿人口大国来说，农业基础地位任问时候都不能被忽视和削弱．种子是农业的“芯片”，确保粮食安全，必须攥紧种子“芯片”，某农科院的专家为了丁解新培育的甲，乙两种种子出芽后麦苗的长势情况，从种植有甲、乙两种种子的两块试验田中各取株麦苗测量株高，得到的数据用茎叶图表示如下（单位：），中间一列的数字表示株高的十位数，两边的数字表示株高的个位数． 甲 乙 9 0 8 0 1 1 1 1 4 3 0 1 0 2 2 （1）求甲种麦苗株高的中位数和众数； （2）分别计算两组数据的平均数和方差，并由此判断甲、乙两种麦菌株高的差异性. 19. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． （1）求角C； （2）若，，求b． 20. 如图所示，在直三棱柱中，E为的中点，F为与的交点． （1）求证：平面； （2）若，，，求四棱锥的体积． 21. 已知函数． （1）当时，求值； （2）若函数的定义域为，求的取值范围； （3）当时，恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023年3月辽宁省普通高中学业水平合格性考试 数学试卷 本试卷分Ⅰ、Ⅱ两卷，满分100分，考试时间90分钟 第Ⅰ卷（选择题共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为，，故. 故选：D. 2. 乒乓球是一项深受我国广大人民群众喜爱的体育运动，乒乓球台主要由乒乓球网和台面组成．如图所示，如果将乒乓球台的台面抽象成平面α，将乒乓球网的上边缘抽象成直线，则直线l与平面α的位置关系是（ ）． A. B. C D. l与α相交 【答案】C 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理证明即可. 【详解】由题意得，且平行于乒乓球网的下边缘， 而乒乓球网的下边缘在平面内， 由线面平行的判定定理得成立，故C正确. 故选：C 3. 已知，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】因为，所以，是的充分不必要条件. 故选：A. 4. 若正数、满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为正数、满足， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：B. 5. 高二（1）班在体育课上进行足球射门练习，甲同学的命中率为0.6，乙同学的命中率为0.7．若甲、乙各射门一次，则甲、乙都命中的概率是（ ）． A. 0.12 B. 0.18 C. 0.28 D. 0.42 【答案】D 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率公式计算即可. 【详解】因为甲同学的命中率为0.6，乙同学的命中率为0.7． 所以若甲、乙各射门一次，甲、乙都命中的概率是. 故选：D. 6. 卫生部年月发布的《中国岁以下儿童生长发育参照标准》指出，我国岁以下女童身高的中位数与年龄之间的关系如图所示，从图中可以看出，我国岁以下女童身高增长速度越来越慢．下列最能反映这种变化趋势的函数模型是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的增长速度可得合适的函数模型. 【详解】由图可知，随着的增长，的增长速度越来越慢，C选项中的函数模型较为合适. 故选：C. 7. 若，且是第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据同角三角函数基本关系，由题中条件先求正弦，进而可求出正切. 【详解】因为，且是第二象限角， 所以， 因此. 故选：B. 8. 下列函数在上既是奇函数，又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本初等函数的奇偶性与单调性逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数在上是奇函数，且为减函数，A不满足条件； 对于B选项，函数在上不是奇函数，且为增函数，B不满足条件； 对于C选项，函数在上是偶函数，且不单调，C不满足条件； 对于D选项，函数在上奇函数，且为增函数，D满足条件. 故选：D. 9. 随着“碳达峰，碳中和”目标的提出，各地都在积极推进“绿色出行，低碳出行”．某高中环保社团为了了解学生出行选择交通工具的情况，进行一次问卷调查，该校学生共有人，其中男生人，女生人，现用分层抽样的方法从这所学校抽取人，则抽取的男生人数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用分层抽样可求得抽取的男生人数. 【详解】由题意可知，抽取的男生人数是人. 故选：B. 10. 如图所示，平行四边形的两条对角线相交于点．，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量加法的平行四边形法则可求得结果. 【详解】因为行四边形的两条对角线相交于点，，， 则为的中点，且， 又因为，则，故. 故选：B. 11. 我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰，置积尺数，以十六乘之，九面一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体，求其直径的一个近似公式．已知球的半径为，则由此公式可得球的体积约是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，求出的值即可. 【详解】由题意可得解得，故该球的体积约为. 故选：D. 12. 已知函数，则不等式的解集是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数分别列不等式组，再结合指数函数及幂函数的单调性运算求解. 【详解】因为函数， 则由不等式可得或， 所以或， 所以或. 即得. 故选：C. 第Ⅱ卷（非选择题共64分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．要求直接写出答案，不必写出计算过程或推证过程） 13. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】利用对数的运算性质计算可得结果. 【详解】. 故答案为：. 14. 已知复数z满足，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】将转化为，分子分母同乘以分母的共轭复数即可. 【详解】 . 故答案为： 【点睛】熟练运用复数的除法法则，注意 . 15. 已知方程的两根为与，则的值是______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用韦达定理变形计算即可. 【详解】方程的两根为与，则, 则. 故答案：. 16. 已知函数，，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，结合正弦型函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】因为 ． 因为，所以．． 故答案为：. 三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 向量． （1）若，求k的值． （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行向量的坐标表示计算可得； （2）先根据向量垂直得出参数，再根据模的坐标运算即得. 【小问1详解】 因所以，则． 【小问2详解】 因为，，所以，． ，． 18. “仓廪实，天下安”，对我们这样一个有着亿人口大国来说，农业基础地位任问时候都不能被忽视和削弱．种子是农业的“芯片”，确保粮食安全，必须攥紧种子“芯片”，某农科院的专家为了丁解新培育的甲，乙两种种子出芽后麦苗的长势情况，从种植有甲、乙两种种子的两块试验田中各取株麦苗测量株高，得到的数据用茎叶图表示如下（单位：），中间一列的数字表示株高的十位数，两边的数字表示株高的个位数． 甲 乙 9 0 8 0 1 1 1 1 4 3 0 1 0 2 2 （1）求甲种麦苗株高的中位数和众数； （2）分别计算两组数据的平均数和方差，并由此判断甲、乙两种麦菌株高的差异性. 【答案】（1）中位数为，众数为 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用中位数和众数的定义可求得结果； （2）利用平均数和方差公式可求得两种麦苗株高的平均数和方差，比较大小后可得出结论. 【小问1详解】 甲种麦苗株高由小到大依次为：、、、、、， 中位数为，众数为. 【小问2详解】 甲种麦苗株高的平均数为， 方差为， 乙种麦苗株高由小到大依次为：、、、、、， 乙种麦苗株高的平均数为， 方差， 所以，，， 所以乙麦苗普遍长得高，但是高低质量差异明显. 19. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． （1）求角C； （2）若，，求b． 【答案】（1）60° （2） 【解析】 【分析】（1）应用余弦定理计算结合角的范围即可求角； （2）先计算角，再应用正弦定理求边长即可. 【小问1详解】 因为， 所以． 因为，所以． 【小问2详解】 因为， 由正弦定理得，，． 20. 如图所示，在直三棱柱中，E为的中点，F为与的交点． （1）求证：平面； （2）若，，，求四棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析； （2）12. 【解析】 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定推理得证. （2）根据给定条件，结合线面垂直的判定证得平面，再利用锥体的体积公式计算即可. 【小问1详解】 在直三棱柱中，连接， 由，得F是的中点，而E为的中点，则， 又平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 由，得，则， 由直三棱柱，得平面，而平面，则， 平面，于是平面， 所以四棱锥的体积. 21. 已知函数． （1）当时，求的值； （2）若函数的定义域为，求的取值范围； （3）当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当时，代值计算可得的值； （2）由题意可得，即可求得实数的取值范围； （3）由题意可得对任意的恒成立，由参变量分离法得出，求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，． 【小问2详解】 若函数的定义域为，则对任意的恒成立． 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 【小问3详解】 由题意可知，不等式对任意的恒成立， 所以，，可得， 因为函数、在上均为增函数，所以，函数在上为增函数， 所以，. 因此，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$