2026年中考数学高频压轴题训练——二次函数压轴题（面积问题）

2026年中考数学高频压轴题训练——二次函数压轴题（面积问题） 一、单选题 1．（2025·福建漳州·模拟预测）已知直线与抛物线交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，若抛物线的对称轴是y轴，则等于（） A．1﹕2 B．1﹕3 C．1﹕4 D．3﹕4 2．（2024·广东·模拟预测）如图所示，二次函数的图象与轴分别交于，两点，与轴交于点，点坐标，过点且垂直轴的直线交抛物线于点．若，则（　　） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，抛物线与直线相交于点A、B，连接、，则的面积是（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 4．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点，连接，则的面积等于（   ） A．2 B．3 C．6 D． 5．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，函数的图象与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，点是上方抛物线上一点，连接交于点，连接，，记的面积为，的面积为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积为（   ） A． B． C．3 D． 二、填空题 7．（22-23九年级上·河南信阳·月考）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且的面积是6．抛物线上有一动点P（不与点C重合），当时，则点P的坐标是 8．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点P是此函数图象上在第一象限内的一动点，当时，点P的坐标为 ． 9．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图为函数和的图象，则图中阴影部分的面积为 ． 10．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线对称轴为直线，且经过点，交轴于点． （1）该抛物线的解析式为 ； （2）为直线下方抛物线上的任意一点，连接，，求面积的最大值为 ． 11．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，抛物线与x轴交于，，交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论： ①； ②； ③； ④当点C坐标为时，抛物线顶点； ⑤若点是抛物线上第一象限上的动点，当最大时，． 其中正确的有 ．（只填序号） 12．（2025·陕西汉中·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，有一抛物线交轴于两点，以为边作等腰直角三角形，取边的中点．若有以点为中心旋转，交轴于两点，交边于两点，且，连接抛物线顶点与点，当时， ． 三、解答题 13．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图①，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)求点坐标和面积； (3)若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接，交于点．设，是否存在最大值？如果存在求出此时点的坐标并求出此时的最大值，否则请说明理由． 14．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，，与轴交于点，且过点．点是抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在直线下方时，求面积的取值范围； (3)直线与线段相交于点，当中有一个角等于时，直接写出点的横坐标______． 15．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中点的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)求四边形的面积； (3)若抛物线上有一动点，使的面积为10，求点的坐标． 16．（25-26九年级上·天津和平·期末）已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．点为第一象限抛物线上的点，连接． (1)直接写出结果；_____，_____，_____； (2)在（1）中的抛物线上的第一象限上是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出点的坐标；若没有，请说明理由． (3)如图，点在轴负半轴上，，点为抛物线上一点，．点，分别为的边上的动点，且，记的最小值为，求的值． 17．（25-26九年级上·重庆开州·期中）如图，抛物线（）与轴交于点、，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点是直线上方抛物线上一动点，当四边形的面积最大时，在轴上是否存在一点，使得的值最大，请求出此时的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，将原抛物线沿射线方向平移个单位后得到新抛物线，是新抛物线对称轴上一点，是新抛物线上一点，使得、、、四点构成的四边形是平行四边形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数综合． 由抛物线的对称轴为y轴，可求得，联立直线与抛物线方程，解得交点、，直线与x轴交点．利用三角形面积公式分别计算和的面积，再求比值即可． 【详解】解：抛物线对称轴为y轴，即顶点横坐标，解得． 代入得抛物线方程得． 联立方程和，得， 解得或． ∴和． 令，代入得， 即． ∵、、． ∴； ∵、、． ∴； ． 故选B． 2．A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用三角形的面积求参数，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 连接，假设，根据二次函数图象和性质表示出相关点的坐标，利用等面积法，列出方程求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 由点坐标，得， 当时，，即， 假设， ∴， ， ， ∴ 即， 整理得， 将代入得， ， 解得或， ∵点位于正半轴， ∴， 解得， ∴符合题意， 故选：A． 3．C 【分析】本题考查了抛物线和三角形面积，令得一元二次方程，求解可得点A，B的坐标，进一步由三角形面积公式可得结论． 【详解】解：对于 令，得 解得，，， ∴，， ∴    ∴． 故选：C． 4．B 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点坐标、平行线的性质及三角形面积的计算，解题的关键是求出抛物线与坐标轴的交点，利用平行线确定点D的坐标，进而计算三角形面积． 先求抛物线与x轴、y轴的交点A、B、C的坐标；由 得点D纵坐标与C相同，代入抛物线求D的横坐标，得的长；再求A到的距离，计算的面积． 【详解】解：∵抛物线， 令，则，解得或， ∴； 令，则， ∴． ∵（x轴）， ∴点D纵坐标为，代入抛物线得，解得（为点C）， ∴， 则，A到的距离为， ∴的面积 故选：B． 5．B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，抛物线与轴的交点及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．先将转化为，过点作轴的平行线交的延长线于点，得到，从而得到，将转化为，利用待定系数法求出直线的函数解析式，设点的坐标为，点的坐标为，表示出的长，进而表示出，最后根据二次函数的图象与性质求得最大值． 【详解】解：由题知， 如图所示，过点作轴的平行线交的延长线于点， 轴， ， ， ， 对于函数， 令，则有， 解得，， ，， ， 令，则有， ， 设直线的函数解析式为，则有： ，解得， 直线的函数解析式为， ， 设点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， ， ， 抛物线开口向下，当时，有最大值，最大值为， 即的最大值为． 故选：B． 6．A 【分析】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称—最短路径问题、勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据轴对称，可以求得使得的周长最小时点的坐标，然后求出点到直线的距离和的长度，即可求得的面积． 【详解】解：联立得， 解得或， 点的坐标为，点的坐标为， ， 作点关于轴的对称点，连接与轴的交于，则此时的周长最小， 点的坐标为，点的坐标为， 设直线的函数解析式为， ∴， 解得， 直线的函数解析式为， 当时，， 即点的坐标为， 过点作于点D， 将代入直线中，得， ∵点的坐标为， ∴直线与轴的夹角是， ∴是等腰直角三角形， ∴， 的面积， 故选：A． 7．或，或， 【分析】令，解方程求得点，的坐标，从而得到线段的长度，令，求得点的坐标，得到的长度，利用三角形的面积公式列出关于的方程，求出值，过点作轴于点，利用等底的三角形的面积的关系，得到的边上的高为3，列出关于的方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：令，则， 解得：或， 二次函数与轴交于、两点（点位于点的左侧）， ，，． ，， ． 令，则， ， ． 的面积是6， ， ， 解得：或4， ， ． 抛物线的解析式为． ， ． 过点作轴于点，如图， 设， ， ， 两个三角形中边上的高相等，为3， ， 或， 解得：或或或． 时，与点重合， 点的坐标为或，或，． 故答案为：或，或，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，要能够利用坐标表示相应线段的长度，理解函数与方程的关系，三角形面积的关系． 8．或/或 【分析】分别求出点A，B，C的坐标，进而求出直线的解析式，作轴于点E，交于点G，设，则，再表示，然后根据， 得出关于t的关系式求出解即可． 【详解】令，则， 解得，， ∴，． 令，则， ∴． 设直线的解析式为， 将和代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 过点P作轴于点E，交于点G， 设，则， ∴． ∵， ∴， 即， 解得：，， ∴点P的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了求二次函数与坐标轴的交点，求一次函数解析式，解一元二次方程，求三角形的面积等，将三角形的面积适当的分割是解题的关键． 9．4 【分析】本题考查二次函数图象的平移、平行四边形的面积等知识，掌握相关知识是解题关键． 连接，根据平移的性质得出阴影部分的面积即可． 【详解】解：各点如图所示，连接， 根据抛物线的对称性和平移可得， 函数的图象是由的图象向上平移一个单位长度得到， ∴, ∴四边形为平行四边形， 由图可知，平行四边形的高为2， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：4． 10． 【分析】本题考查了抛物线的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、三角形面积公式，解题的关键是准确求出二次函数的解析式和直线的解析式． 利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； 根据抛物线的解析式求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，设点的坐标是，则点的坐标为，根据三角形的面积公式可得：，根据抛物线的性质可知有最大值，最大值为． 【详解】解：（1）抛物线对称轴为直线， ， 解得：， 抛物线的解析为， 把点代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析为； （2）如下图所示，过点作轴交直线于点， 当时， 可得：， 点的坐标是， 设直线的解析式是， 把点、的坐标代入， 可得：，解得：， 直线的解析式是， 设点的坐标是，则点的坐标为， ， 点到的距离是，点到的距离是， ， ， 抛物线开口向下， 当时，有最大值，最大值为， 故答案为：，． 11．①②⑤ 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 根据已知点的特点可求对称轴为直线，则；根据函数图象可得时，；由函数的图象可知，，再由可知；求得函数解析式即可解答；由铅锤法求的面积，从而确定当时，三角形面积有最大值． 【详解】解：①由条件可知：对称轴为直线，即，得到，故①正确，符合题意； ②当时，， 由图象可得，故②正确，符合题意； ③抛物线开口向下，交轴的正半轴于点， ，，， 故，③错误，不符合题意； ④根据题意可设二次函数解析式为， 把代入可得， 解得， ， 当时，， 即抛物线顶点，故④错误，不符合题意； ⑤根据，可设函数解析式为， 将点代入， 可得 ， ， 如图，过点作轴交于点， 设直线，过点，， 则 解得：， 直线 ， 直线． 由条件可知：， ， ， 当时，的面积最大， 故⑤正确，符合题意； 故答案为：①②⑤． 12． 【分析】本题考查了二次函数的几何应用，利用二次函数的解析式分别求出点的坐标，再求出直线的解析式，求出点的坐标，过点作于，于，证明，进而得出点的坐标，最后根据解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线， ∴， 把代入，得， 解得，， ∴，， ∴， ∵三角形是以为边作等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入，得， ∴， 如图，过点作于，于，则，，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．(1) (2)，6 (3)存在最大值，最大值为2，此时 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，面积问题，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）令求出坐标，利用即可； （3）设，，根据题意结合图形可得，进而根据二次函数的性质，即可求解； 【详解】（1）解：把代入中，得： ， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：令，得， ∴， ∴， ∵ ， ； （3）解：存在最大值，理由如下， 设，， 如图所示， ， 当时，取得最大值为2，此时， 则． 14．(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）将，代入，利用待定系数法求解； （2）设直线与y轴交于点G，直线与抛物线另一交点为H，设，直线的解析式为，待定系数法求出直线的解析式为，进而可得，再根据列出关于m的二次函数，即可求解； （3）分两种情况：当，即时，可证，根据对应边成比例求出，根据直线的解析式为，设 ，求出，将的解析式与抛物线解析式联立，解方程即可；当时， ，由，，可得直线的解析式为，进而可得直线的解析式为，将的解析式与抛物线解析式联立，解方程即可； 【详解】（1）解： 的图象经过，， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设直线与y轴交于点G，直线与抛物线另一交点为H，如图1， 设直线的解析式为， 将代入，得， 解得， 直线的解析式为， 将与联立，得：， 解得，， ， 点在直线下方， 设，其中，直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ， ， ， ，， 时，取最大值， ； （3）解：由（1）得抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ， ； 当时，， ， ， ，． 分两种情况： 当，即时，如图： 又 ， ， ，即， ， 由，，可得直线的解析式为， 设 ， ， 解得或（舍）， ， 同理可得的解析式为， 联立， 解得， 点的横坐标为或； 当时，如图： ， 由，，可得直线的解析式为， 直线的解析式为， 联立， 解得， 点的横坐标为或； 综上可得，点的横坐标为或或或． 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的性质，求一次函数解析式，勾股定理，解一元二次方程等知识，应用数形结合及分类讨论思想是解题的关键． 15．(1) (2)9 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，掌握相关知识是解题的关键； （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）根据题意求得点，，再根据点，得到，当时，，解得，，得到点 ，点，从而可知，即可利用梯形面积求解； （3）先求出点 ，点，得到，，解得，分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，点在抛物线上， ∴将点 ，点代入中， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）由（1）知，抛物线的解析式为， ∴当时，， ∴点，， ∵点， ∴， ∵二次函数的图象与轴交于，两点， ∴当时，，解得，， ∵点 ， ∴点， ∴， ∴四边形的面积为； （3）解：由（2）知，点 ，点，， ， ， ， 当时，得，解得， ∴或， 当时，得，方程无解， ∴点的坐标为或． 16．(1)，，； (2)存在， (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出、的值，得到抛物线解析式为，即可得到值，由可得，根据正切定义可求出； （2）过点作轴于点，可求直线，设，则，，再由可建立起关于的函数关系式，再由二次函数的性质求解最值； （3）作，且使，连接，证明得到，，，共线时，的值最小，作于点，设，则，得到，求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， ， 解得， 抛物线解析式为； 当时，， 解得，， 抛物线与轴交于、两点， ， ，， 在中，； 故答案为：，，； （2）解：存在， 过点作轴于点， 设直线， ∵点，， ∴， 解得， ∴直线， 设，则， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值， 此时； （3）解：如图，作，且使，连接， ，， ， ，， ， ， ， ，，共线时，的值最小， 作于点， ，， ， ， ， ， 设，则， ， 解得或（舍去）， ， ， ， ∵，， ∴ ∴， ． 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、二次函数与轴的交点、全等三角形的判定与性质、解一元二次方程、锐角三角函数、最值问题、勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 17．(1) (2)在轴上存在一点，使得的值最大，此时的坐标为，的最大值为 (3)当、、、四点构成的四边形是平行四边形时，点的坐标为或 【分析】（1）利用抛物线与轴交于点、代入即可求解抛物线的解析式； （2）首先分析当四边形的面积最大，且的面积为定值，即当的面积最大时，四边形的面积最大，进而推导当最长时，的面积最大，即四边形的面积最大，即可求出点P的坐标，当点P固定后，发现当点P，C，Q三点共线时，为最大值，即利用两点间的距离求解即可； （3）首先分析以、、、四点构成的四边形是平行四边形，存在以为边和以为对角线的两种情况，进而进行分类讨论，发现以为对角线的情况不符合题意，进而只需计算，且的情况即可，首先根据平移求出新抛物线的解析式，即可设，进而利用全等三角形求出点N的坐标，再结合（2）中的长度求解点M的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点、， ∴，解得：， ∴； （2）解：如图，过点P作轴交于点E，    ∵， ∴， 设直线的解析式为，将，代入，易得：， 设，则， ∵四边形的面积最大，且的面积为定值， ∴当的面积最大时，四边形的面积最大， ∵， ∴当最长时，的面积最大，即四边形的面积最大， ∵， 当时，最长，此时， ∴此时轴上存在一点，使得的值最大， ∵在中，， ∴当点P，C，Q三点共线时，为最大值， ∴， ∴在轴上存在一点，使得的值最大，此时的坐标为，的最大值为； （3）解：将原抛物线沿射线方向平移个单位后得到新抛物线， ∴原抛物线向上平移两个单位长度，向右平移两个单位长度即可得到新抛物线， ∴， ∴的对称轴为直线， ①：以为边时，如图，当四边形为平行四边形时，即，，过点P作轴，轴，交于点F，过点N作于点E，    设，由（2）得：，， ∴，， ∵，，轴 ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是新抛物线上一点， ∴， ∴，解得：， ∴； ②：以为边时，如图，当四边形为平行四边形时，即，，过点P作轴，轴，交于点K，过点N作于点J，    设，由（2）得：，， ∴，， 同理可证：， ∴， ∴， ∵是新抛物线上一点， ∴， ∴，解得：， ∴； ③：以为对角线时，如图，作的垂直平分线，发现此时点N，M在同一侧， ∴此情况无法构成平行四边形；    综上所述：当、、、四点构成的四边形是平行四边形时，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数综合题、相似三角形、线段差的最大值，数形结合与构造辅助线是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $