2026年中考数学高频压轴题训练二次函数压轴题（相似三角形问题）

2026年中考数学高频压轴题训练二次函数压轴题（相似三角形问题） 一、单选题 1．（2025·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，点是线段上方抛物线上一点，过点作轴，且与延长线相交于点，连接交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，顶点为．下列结论：①；②；③；④若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，且是等边三角形，则．其中正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，函数的图象与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，点是上方抛物线上一点，连接交于点，连接，，记的面积为，的面积为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏徐州·模拟预测）已知二次函数的图象的顶点为，在轴上方的抛物线上有两点，点和点连接．过点作轴的垂线，交于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025九年级下·江西·学业考试）如图，二次函数的图象与反比例函数的图象交于三点，且点与点关于原点对称，则下列结论中正确的有（   ） ①；②；③；④当时，；⑤点所在直线与点所在直线互相垂直． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．（24-25九年级下·河北秦皇岛·开学考试）将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象有4个交点时，则b的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26九年级上·四川绵阳·月考）如图，已知抛物线的图象与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，在轴正半轴有一点满足，点为直线下方抛物线上的一个动点，连接，过点作交轴于点为轴上一个动点，为轴上一个动点，平面内有一点，连接，，，，当最大时，则的最小值 ． 8．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）如图，一次函数图象与坐标轴分别交于点，．若为二次函数图象上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点．则线段的最小值为 ． 9．（25-26九年级上·北京·月考）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，若点M是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积的最大值为 ． 10．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，抛物线与轴相交于，两点，当抛物线与轴围成的区域（阴影部分）面积最小时，a的值为 ． 11．（25-26九年级上·辽宁盘锦·月考）如图，关于x的二次函数的图象与x轴相交于点A和点B，与y轴相交于点C．点P在抛物线对称轴上，点Q在坐标平面内，若以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，则点Q的坐标为 ． 12．（25-26九年级上·河南焦作·月考）已知二次函数 的图象向右平移个单位得到抛物线 的图象，则阴影部分的面积为 ． 三、解答题 13．（25-26九年级上·四川自贡·期末）如图，抛物线与轴交于，两点，并经过，交轴于点． (1)请求出抛物线解析式； (2)如图1，连接，点在抛物线上，连接，若，求点的坐标； (3)如图2，直线与抛物线交于点，，连接，分别交轴的正，负半轴于点，，若，求证：直线经过定点，并求出这个定点的坐标． 14．（25-26九年级上·山东济宁·月考）已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且． (1)求a，c的值； (2)若该二次函数的最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． ①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标； ②如图，在第三象限内二次函数的图像上有一动点P，连接，与直线交于点E，当的值最大时，求点P的坐标，及的值． 15．（2025·宁夏吴忠·三模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴相交于点，点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，与交于点Q，与抛物线交于点P． (1)求该二次函数的解析式； (2)是否存在点 P，使得，若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由； (3)连接， 求四边形面积的最大值． 16．（24-25九年级下·江苏南通·月考）在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且在直线的上方． (1)求抛物线的表达式． (2)如图，过点作轴，交直线于点，连接、，当面积最大时，求点的坐标． (3)如图，连接、、，与交于点，过点作交于点．记、、的面积分别为，，．设，求在（）的条件下的值． 17．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，且在直线的上方． (1)求抛物线的解析式； (2)过点P作轴于点D，交直线于点E，若，求点P的坐标； (3)连接、，与交于点G，当取得最大值时，连接，点M是上方抛物线上一点，点H是延长线上一点，连接，，若平分，，求点M的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的性质，相似三角形的判定与性质，设与交于点，求出，，则有解析式为，设，则，然后证明，由性质得，最后由二次函数的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设与交于点， 由得，当时，， 解得：，， ∴，， ∴， 当时，， ∴， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 当时，则的最大值为， 故选：． 2．C 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，等边三角形的性质，锐角三角函数的性质；由二次函数的图象的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴的右侧，，，，可得①符合题意；由，可得②符合题意，根据，可得，可得③不正确；由，记的横坐标分别为，可得，结合，可得，可得④符合题意. 【详解】解：∵二次函数的图象的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴的右侧， ∴，，， ∴，故①符合题意； ∵顶点的坐标为， ∵对称轴为直线， ∴，则，故②正确， ∵二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间， ∴， ∴，， ∴，故③不正确； 如图，为等边三角形， ∴，，，， ∴， 记的横坐标分别为， ∴， ∴， 当，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故④符合题意； 故正确的有①②④， 故选：C． 3．B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，抛物线与轴的交点及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．先将转化为，过点作轴的平行线交的延长线于点，得到，从而得到，将转化为，利用待定系数法求出直线的函数解析式，设点的坐标为，点的坐标为，表示出的长，进而表示出，最后根据二次函数的图象与性质求得最大值． 【详解】解：由题知， 如图所示，过点作轴的平行线交的延长线于点， 轴， ， ， ， 对于函数， 令，则有， 解得，， ，， ， 令，则有， ， 设直线的函数解析式为，则有： ，解得， 直线的函数解析式为， ， 设点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， ， ， 抛物线开口向下，当时，有最大值，最大值为， 即的最大值为． 故选：B． 4．D 【分析】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，求出对称轴为直线，过点P和点Q分别作直线的垂线，垂足分别为E、F，则，证明，由相似三角形的性质可得，解方程即可得到答案． 【详解】解；∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线； 如图所示，过点P和点Q分别作直线的垂线，垂足分别为E、F， ∵点和点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得（已检验）， 故选：D． 5．D 【分析】本题考查了二次函数和反比例函数综合，待定系数法求函数解析式，求反比例函数系数，两点间距离公式，勾股定理的逆定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由函数图象得；点与点关于原点对称得到，求出，将代入求出，得到；由得到当时，；根据两点之间距离公式和勾股定理逆定理得到是直角三角形， 推出点所在直线与点所在直线互相垂直． 【详解】解：由函数图象得抛物线开口向下， ， 故结论①正确； 点与点关于原点对称， 由函数图象得， 将代入得， ， 故结论②正确； 令，则， ， 将代入得， 解得， ， 故结论③正确； ， 由函数图象得，当时，， 故结论④正确； 如图，连接， ， ， ，，， ， ， 是直角三角形， ， ， 点所在直线与点所在直线互相垂直， 故结论⑤正确； 综上所述，正确的结论有个， 故选：D． 6．A 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、一次函数图象与系数的关系、二次函数的性质、二次函数图象与几何变换，由题意得，抛物线与x轴的交点坐标分别为，，将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的解析式为，当直线过点B时，直线与新函数的图象恰好有3个交点，此时可得；当直线与抛物线相切时，直线与新函数的图象恰好有3个交点，即方程有两个相等的实数根，此时可得，则可得当直线与新函数的图象有4个交点时，b的取值范围为解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：令， 解得，， 抛物线与x轴的交点坐标分别为，， 将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的解析式为， 当直线过点B时，直线与新函数的图象恰好有3个交点， 将代入， 得， 解得， 当直线与抛物线相切时，直线与新函数的图象恰好有3个交点， 即方程有两个相等的实数根， 整理得， ， 解得， 当直线与新函数的图象有4个交点时，b的取值范围为， 故选：A． 7． 【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，勾股定理． 先求出A、B、C、E的坐标，然后求出的解析式为，连接，作轴交于Q，根据，可得设，则，，故当时，，此时P的坐标为．将P点关于y轴对称得到坐标为，将G点关于x轴对称得到坐标为，连接交于y轴于点M，交于x轴于点N，则，然后利用两点间距离公式求解即可． 【详解】解：当时，，故， ， 当时，或，故，， ，， ，， ，则， 设解析式为， 代入，，得， 解得， ∴的解析式为， 连接，作轴交于Q， ， 设，则， ， ， 当时，，此时P的坐标为． 将P点关于y轴对称得到坐标为，将G点关于x轴对称得到坐标为， 连接交于y轴于点M，交于x轴于点N， 则． 故答案为：． 8． 【分析】过作轴交直线于，由等腰三角形的判定及性质、勾股定理得，设，则，则有，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：过作轴交直线于， 轴， ， 对于， 当时，， 当时，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 当时，， ． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，勾股定理，等腰三角形的判定及性质；能将求的最小值转化为求的最小值是解题的关键． 9．4 【分析】本题考查二次函数以一次函数的综合应用，涉及二次函数的图象与性质，一次函数解析式的求解，熟练掌握二次函数的最值的求解是解决本题的关键． 先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，再通过设点的坐标，将四边形的面积表示为关于点横坐标的函数，最后根据二次函数的性质求出面积的最大值． 【详解】解：连接，过点作轴交于点， 令，则，因式分解可得， 解得，， 所以，， 那么． 令，则，所以． 设直线的解析式为， 把，代入可得， 将代入，得，解得， 所以直线的解析式为． 设，则． 所以． ， 其中． ． 则． 对于二次函数， 可得． 把代入， 可得． 故答案为：4． 10． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 根据题意分析出顶点纵坐标越大时，阴影部分面积越小，表示出顶点的纵坐标，然后利用二次函数的图象和性质继续分析即可． 【详解】解：根据题意得，， ∴取任何数时，抛物线与轴都有两个交点， 根据抛物线的性质的，此时抛物线开口大小固定，抛物线顶点纵坐标为负值， 当抛物线的顶点纵坐标越大时，阴影部分面积越小， ∴顶点纵坐标为， ∴顶点纵坐标可看作关于的二次函数，开口向下，顶点纵坐标为最大值， ∴此二次函数的顶点横坐标为， 故答案为：． 11．或或或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，菱形的性质，两点距离计算公式，先求出点A，点B和点C的坐标，进而可得对称轴为直线；设，分当为对角线时，则，当为对角线时，则，当为对角线时，则三种情况，讨论求解即可． 【详解】解：在中，当时，，则， 当时，则，解得或，则， ∴对称轴为直线； 设， 当为对角线时，则， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵菱形的两条对角线的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴； 当为对角线时，则， ∴， ∴， 解得或， ∴或 ∵菱形的两条对角线的中点坐标相同， ∴，或 ∴或， ∴点Q的坐标为或； 当为对角线时，则， ∴， ∴， 解得或， ∴或 ∵菱形的两条对角线的中点坐标相同， ∴，或 ∴或， ∴点Q的坐标为或； 综上所述，点Q的坐标为或或或或； 故答案为：或或或或． 12． 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，图形的面积，设点为抛物线的顶点，点为抛物线的顶点，连接，则四边形的面积和阴影部分的面积相等，由二次函数 ，得该函数的顶点的坐标为，故有点到轴的距离为，然后利用面积公式即可求解，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是关键． 【详解】解：如图，设点为抛物线的顶点，点为抛物线的顶点，连接，则四边形的面积和阴影部分的面积相等， ∵二次函数 ， ∴该函数的顶点的坐标为， ∴点到轴的距离为， ∵， ∴四边形的面积是， ∴阴影部分的面积是， 故答案为：． 13．(1) (2)或 (3)证明见解析，定点坐标 【分析】（1）使用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）作，垂足为，设点坐标为，可得，．容易证明，则，根据点在轴上下方分别计算出坐标即可； （3）设点坐标为，点坐标为，联立直线与抛物线的方程，根据一元二次方程根与系数的关系求出，．使用待定系数法求出直线的解析式为，从而得到点的坐标为，同理点的坐标为．结合，求出和的关系，进而求出定点的坐标． 【详解】（1）解：将，代入，得， ， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：作，垂足为，设点坐标为， ①当点在轴上方时，如图， 将代入，得， ∴点坐标为， ∵， ∴，， ∴点坐标为， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 化简，得， 解得，或， 当时，点与点重合，故舍去， ∴，此时点坐标为； ②当点在轴下方时，如图， 同理①可得，，，且， ∴， 化简，得， 解得，或（点与点重合，舍去）， ∴，此时点坐标为； 综上所述，点坐标为或； （3）解：设点坐标为，点坐标为， 当直线与抛物线相交时， ， 化简，得， 由韦达定理可得，，， 设直线的解析式为， 将，代入，得， ， 解得，， ∵点在抛物线上， ∴， 变形，得， ∴，， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 同理可得，点的坐标为， ∵点在轴正半轴，点在轴负半轴， ∴，， ∵， ∴， 化简，得， ∵，， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，为定值， ∴直线过定点． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，熟练掌握函数与方程的关系是解题关键． 14．(1)， (2)①该二次函数的解析式为；，；②，的值为 【分析】（1）先求得，则可得和关于对称轴对称，由此可得，进而可求得； （2）①根据抛物线顶点坐标公式得，由此可求得，进而可得抛物线的表达式为，进而可得，； ②先求得直线的表达式为，过P作y轴平行线交直线于Q，过B作y轴平行线交直线于H，则，先证明得到，设，则，，利用坐标与图形性质得到，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵的图像经过， ∴， ∴和关于对称轴对称， ∴， ∵， ， ∴， ∴，； （2）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴该二次函数的解析式为， 当时，， 解得，， ∴，； ②设直线的表达式为：， 则， 解得， ∴直线的表达式为， 过P作y轴平行线交直线于Q，过B作y轴平行线交直线于H， 则， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ∴， ∵，， ∴当时，取得最大值，最大值为， 此时， 即点P坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，二次函数与几何综合，利用待定系数法求二次函数和一次函数的表达式，利用数形结合思想和相似三角形的性质求解是解题的关键． 15．(1) (2)存在，点 P 的坐标为或 (3)四边形面积的最大值为． 【分析】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与面积的综合，相似三角形的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，涉及分类讨论思想． （1）用待定系数法求解即可； （2）先求出直线解析式为，设点坐标为，可得，分两种情况考虑：；，利用等腰三角形的性质建立方程即可求得点的坐标； （3）由（2）可知，则四边形面积，当时，四边形面积的最大值为． 【详解】（1）解：抛物线过与点， ， ， 抛物线的解析式为； （2）解：存在， 设直线解析式为， 则有，解得：， 即直线解析式为； 设点坐标为， 轴， 点的坐标为， ； 当时； 如图，连接， 则，， ， ，， ， ， ， ， ， 即， 解得：，（舍去）， 此时； 当时， 则，， 则有， ； 过点作于，则， ， ， 解得：，（舍去）， 此时； 综上，点 P 的坐标为或； （3）解：由（2）可知， 四边形面积， ∵， ∴当时，四边形面积的最大值为． 16．(1)； (2)； (3)． 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，相似三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质，数形结合和准确计算是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）先求出，则有直线的解析式为，设点，则，，所以，故，然后通过二次函数的性质即可求解； （）证明，则，所以，，则，作交轴于，作轴交于，然后求出直线的解析式为，当时，，则有，证明，所以，设，则，，则，然后通过二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，将点，点的坐标代入得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：抛物线与轴交于点， 当时，得：， ∴， 设直线的解析式为，将点，点的坐标代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 由点是抛物线上一动点，且在直线的上方， 设点， ∵轴， ∴轴， ∴，， ∴， ∴ ， 当时，面积最大 ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 作交轴于，作轴交于， ∵直线的解析式为，， ∴直线的解析式为， 将代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴，， ∵，轴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 当时，． 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）先求出，再求出直线的解析式，设，则，，，然后根据，得到关于m的方程，即可求解； （3）根据题意可得，过作轴，交延长线于点，可得，过点作轴交于点，设，则，可得，证明，可得，从而得到当时，有最大值，此时，过点作轴于点，连接，过点作轴于点，，交延长线于点，在的延长线上取一点，使，连接，证明，可得，，再证明，可得，从而得到，进而得到轴，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，， 解得 抛物线的解析式为． （2）解：当时，， ． ． 设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得 直线的解析式为． 设，则， 轴， ，． ． ． ， ． 解得，（此时，重合，不合题意舍去）， ． （3）解：， ． ， ． 过作轴，交延长线于点． ． ． 过点作轴交于点． 设，则， ． 轴，轴， ． ，． ． ． ． 当时，有最大值． ． 过点作轴于点，连接，过点作轴于点，，交延长线于点，在的延长线上取一点，使，连接． ，． ，． ， ． ． 平分， ． ． ，． ． ， ． ． ． ． 轴． 点的纵坐标与点纵坐标相同，即． ， 解得，（舍）． 点的坐标为． 【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、相似三角形的判定和性质、二次函数的图象和性质角平分线的性质，桔多多一元二次方程等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $