精品解析：辽宁省营口市2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

辽宁省营口市2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在平面直角坐标中，点与点关于原点成中心对称，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的小正方形中任意一个涂黑，则三个被涂黑的小正方形能构成轴对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 2024年6月30日，由中国船舶自主研发的18兆瓦中速全集成海上风电机组在营口华能仙人岛热电厂成功完成吊装，标志着创造风轮直径260米、单机功率18兆瓦“两个全球第一”纪录的风电机组即将在我市投入商业化应用．如图所示的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则至少要旋转（　　） A. B. C. D. 4. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 5. 把抛物线向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线是（    ） A. B. C. D. 6. 正多边形的一部分如图所示，若，则该正多边形的边数为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 7. 小红拿出一张正方形的纸片，在上面剪出一个扇形和一个圆，尝试后发现圆恰好是该圆锥的底面，（圆心与圆锥顶点同在如图虚线上）测量后得知，圆锥母线长，则以下这张正方形纸片的边长是（　　） A. B. C. D. 8. 二次函数的顶点为，图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（ ） A. B. C. D. 9. 新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱．2022年某款新能源汽车销售量为22万辆，销售量逐年增加，2024年预估销售量为万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率，可设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为（ ） A. B. C D. 10. 在“探索二次函数的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式，则的最大值等于（　　） A. B. C. 2 D. 5 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 蛟龙去，灵蛇来，中央广播电视总台乙巳蛇年春晚以如图所示的“巳巳如意纹”为主标识，寓意“事事如意，生生不息”．“巳巳如意纹”是______图形．（填“轴对称”或“中心对称”） 12. 方程的解为______． 13. 某农业研究院进行一项新品种果树苗在相同条件下移植实验．下表为实验结果： 移植棵数 成活数 成活率 通过表中数据．估计在相同条件下种植一棵该种果树苗成活的概率约为________（精确到）． 14. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点P是以抛物线的顶点C为圆心，2为半径的圆上的动点，点Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是_______． 15. 已知二次函数．若当时，的最大值为5，则的值为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1）； （2）． 17 请按以下要求用无刻度直尺作图（保留作图痕迹）： （1）如图1，将绕点O逆时针旋转90°得，画出； （2）如图2，设绕点Q逆时针旋转得，画出点Q． 18. 化学课上，小红学到：将二氧化碳气体通入澄清石灰水，澄清石灰水就会变浑浊以下为四个常考的实验： A．高锰酸钾制取氧气： B．碳酸钙制取二氧化碳： C．电解水： D．一氧化碳还原氧化铜： （1）若小红从四个实验中任意选一个实验，实验产生的气体不会使澄清石灰水变浑浊的概率是多少？ （2）若小红从四个实验中任意选两个实验，请用列表或树状图的方法求两个实验产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率． 19. 某品牌纪念品每套成本为30元，当售价为40元时，平均每天的销售量为500套，经试销统计发现，如果该品牌纪念品售价每上涨1元，那么平均每天的销售量将减少10套，为了维护消费者利益，物价部门规定：该品牌纪念品售价不能超过进价的200%．设这种纪念品每套上涨x元． （1）平均每天的销售量为______套（用含x的代数式表示）： （2）商家想要使这种纪念品的销售利润平均每天达到8000元，求每套纪念品应定价多少元？ 20. 已知二次函数（m常数）． （1）求证：无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； （2）已知该二次函数的图象与x轴交于A，B两点，且，求m的值． 21. 如图，内接于，D是上一点，．E是外一点，，连接． （1）若，求长； （2）求证：是的切线． 22. 探究观景拱桥中安装的“脚手架”是否符合要求 素材一 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥， 其横截面如图所示， 量得该拱桥占地面最宽处米， 最高处点C距地面5米 (即米) ． 素材二 桥洞两侧壁上各有一盏景观灯E、F， 两灯直射地面分别形成反光点H、G（E、F分别在抛物线上且关于对称， H、G在线段上) ， 量得矩形的周长为27.5米现公园管理人员对拱桥加固维修， 在点H、G处搭建一个高3.55米的矩形“脚手架”． 已知“脚手架”最高处距景观灯至少为0.35米可保证安全． 问题解决 任务一 确定观景拱桥的形状 分别以所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 求出该抛物线的解析式． 任务二 探究方案合理性 请问该“脚手架”的安装是否符合要求？ 如果符合， 请说明理由； 如果不符合， 求出脚手架至少应调低多少米？ 23. 在中，，，点为的中点，点在直线上（不与点重合），连接，线段绕点逆时针旋转，得到线段，过点作直线，过点作，垂足为点，直线交直线于点． （1）如图，当点与点重合时，请直接写出线段与线段的数量关系； （2）如图，当点在线段上时，求证：； （3）连接，的面积记为，的面积记为，当时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 辽宁省营口市2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在平面直角坐标中，点与点关于原点成中心对称，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了关于原点成中心对称的点的坐标.关于原点成中心对称点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，据此进行解答即可. 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴点的坐标为， 故选：A 2. 如图，在的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的小正方形中任意一个涂黑，则三个被涂黑的小正方形能构成轴对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，轴对称图形，熟记概率公式和能识别轴对称图形是解题的关键．分别将7个空白处涂黑，判断出所得图案是轴对称图形的个数，再根据概率公式进行计算． 【详解】解：如图①②③任意一处涂黑时，图案为轴对称图形， 共有7个空白处，将①②③处任意一处涂黑，图案为轴对称图形，共3处， 构成轴对称图形的概率是， 故选：B 3. 2024年6月30日，由中国船舶自主研发的18兆瓦中速全集成海上风电机组在营口华能仙人岛热电厂成功完成吊装，标志着创造风轮直径260米、单机功率18兆瓦“两个全球第一”纪录的风电机组即将在我市投入商业化应用．如图所示的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则至少要旋转（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用旋转设计图案，旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．该图形被平分成部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转度的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】解：如图所示的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则至少要旋转 故选：B． 4. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，利用根的判别式的值判断即可． 【详解】解：A. ，，方程有不相等的实数根，故该选项不符合题意； B. ，，方程有不相等的实数根，故该选项不符合题意； C. ，，方程有相等的实数根，故该选项符合题意； D. ，，方程有不相等的实数根，故该选项不符合题意； 故选：C． 5. 把抛物线向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移问题，熟练掌握平移规律“上加下减，左加右减”是解题的关键．按照“上加下减，左加右减”的规律解答即可． 【详解】把抛物线向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线是 故选：A． 6. 正多边形的一部分如图所示，若，则该正多边形的边数为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理．连接，，根据圆周角定理得到，即可得到结论． 【详解】解：连接，， 、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， 点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ， ， 这个正多边形的边数． 故选：B． 7. 小红拿出一张正方形的纸片，在上面剪出一个扇形和一个圆，尝试后发现圆恰好是该圆锥的底面，（圆心与圆锥顶点同在如图虚线上）测量后得知，圆锥母线长，则以下这张正方形纸片的边长是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形判定与性质，圆锥的母线长，勾股定理，依题意，列式，得出圆锥的底面圆的半径是，再证明四边形是正方形，则，正方形的对角线的长，即可作答． 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径是， 依题意，， 解得， 如图：过点分别作 ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴ ∴正方形的对角线的长 则正方形的边长是， 故选：B 8. 二次函数的顶点为，图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，由二次函数的顶点为，求出对称轴为，设图象与轴负半轴交点坐标，与轴正半轴交点坐标为，根据图象可知，则，解出不等式组即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的顶点为， ∴对称轴为， 设图象与轴负半轴交点坐标，与轴正半轴交点坐标为， 根据图象可知， ∴， ∴ ∴，解得：， 即正数解的范围是：， 故选：． 9. 新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱．2022年某款新能源汽车销售量为22万辆，销售量逐年增加，2024年预估销售量为万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率，可设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意，找出题目中的等量关系是解题的关键． 设这款新能源汽车的年平均增长率为x，由题意得等量关系初销售量、增长率、末产量的关系列出方程即可解答． 【详解】解：设这款新能源汽车的年平均增长率为x， 由题意，得：． 故选：D． 10. 在“探索二次函数的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式，则的最大值等于（　　） A. B. C. 2 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，根据坐标系中的四个点画出二次函数的图象，根据图象判断经过A、D、C三点的抛物线当时，y的值最大，利用待定系数法求得二次函数的系数即可求解． 【详解】解：∵A、B、C的纵坐标相同， ∴抛物线不会经过A、B、C三点， ∴抛物线经过可能经过A、D、C或者B、D、C或者A、B、D， 如图，经过A、D、C三点的抛物线，当时，y的值最大， 把代入得 ， 解得， ∴经过A、D、C三点的抛物线的解析式为， 当时，， 故的最大值等于2， 故选：C． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 蛟龙去，灵蛇来，中央广播电视总台乙巳蛇年春晚以如图所示的“巳巳如意纹”为主标识，寓意“事事如意，生生不息”．“巳巳如意纹”是______图形．（填“轴对称”或“中心对称”） 【答案】中心对称 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】解：依题意，寓意“事事如意，生生不息”．“巳巳如意纹”是中心对称图形， 故答案为：中心对称． 12. 方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 先移项化一般式，再用因式分解法求解． 【详解】解： 或 解得：． 故答案为：． 13. 某农业研究院进行一项新品种果树苗在相同条件下移植实验．下表为实验结果： 移植棵数 成活数 成活率 通过表中数据．估计在相同条件下种植一棵该种果树苗成活的概率约为________（精确到）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，熟练掌握用频率估计概率的条件和方法是解答的关键．根据表格频率接近，即可求解； 【详解】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率， ∴估计在相同条件下种植一棵该种果树苗成活的概率约为， 故答案为． 14. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点P是以抛物线的顶点C为圆心，2为半径的圆上的动点，点Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，抛物线与坐标轴轴的交点，三角形中位线定理，连接，设的延长线交于E，先求出点，点，点，由此得是的中位线，则，因此当为最大时，为最大，根据点与圆的位置关系可知为最大，然后再求出的长即可得出的最大值． 【详解】解：连接，设延长线交于E，如图所示： 对于抛物线，当时，，当时，，或， ∴点，点，点， ∴， ∵点Q是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当为最大时，为最大， 根据点与圆的位置关系可知：点A到上各点的距离中，为最大， ∴当点P与点E重合时，为最大，最大值为， 在中，由勾股定理得：， ∵的半径为2， ∴， ∴， ∴的最大值为． 故答案为：． 15. 已知二次函数．若当时，的最大值为5，则的值为______． 【答案】1或 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴，再分与时两种情况，根据二次函数的性质列式解答即可．本题考查了二次函数的最值问题，根据二次函数的性质，要注意分与两种情况讨论求解，有一定的难度． 【详解】解：依题意，二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴当时，抛物线开口向上，在对称轴直线右侧y随x的增大而增大， 当时y有最大值5， ， 解得：， 当时，抛物线开口向下，时y有最大值5， ， 解得， 故答案为：1或． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确求解是解题的关键． （1）运用配方法解一元二次方程，即可作答． （2）运用因式分解法解一元二次方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ，． 17. 请按以下要求用无刻度直尺作图（保留作图痕迹）： （1）如图1，将绕点O逆时针旋转90°得，画出； （2）如图2，设绕点Q逆时针旋转得，画出点Q． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可． （2）连接，，利用网格分别作线段，，的垂直平分线，交点即为所求的点． 小问1详解】 解：如图1，即为所求． 【小问2详解】 如图2，点即为所求． 【点睛】本题考查作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 18. 化学课上，小红学到：将二氧化碳气体通入澄清石灰水，澄清石灰水就会变浑浊以下为四个常考的实验： A．高锰酸钾制取氧气： B．碳酸钙制取二氧化碳： C．电解水： D．一氧化碳还原氧化铜： （1）若小红从四个实验中任意选一个实验，实验产生的气体不会使澄清石灰水变浑浊的概率是多少？ （2）若小红从四个实验中任意选两个实验，请用列表或树状图的方法求两个实验产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率． 【答案】（1） （2）两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率为 【解析】 【分析】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率： （1）直接利用概率公式计算，即可求解； （2）根据题意，画出树状图，可得总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有2种，再根据概率公式计算，即可求解． 【小问1详解】 解：实验A和C产生的气体不会使澄清石灰水变浑浊， P（不会使澄清的石灰水变浑浊）． 【小问2详解】 解：树状图如下： 总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有2种：，所以两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率为． 19. 某品牌纪念品每套成本为30元，当售价为40元时，平均每天的销售量为500套，经试销统计发现，如果该品牌纪念品售价每上涨1元，那么平均每天的销售量将减少10套，为了维护消费者利益，物价部门规定：该品牌纪念品售价不能超过进价的200%．设这种纪念品每套上涨x元． （1）平均每天的销售量为______套（用含x的代数式表示）： （2）商家想要使这种纪念品的销售利润平均每天达到8000元，求每套纪念品应定价多少元？ 【答案】（1） （2）每套纪念品应定价50元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由题意即可得出结论； （2）设这种纪念品每套上涨元，则每套纪念品应定价为元，平均每天的销售量为套，根据这种纪念品的销售利润平均每天达到8000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，平均每天的销售量为套， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设这种纪念品每套上涨元，则每套纪念品应定价为元，平均每天的销售量为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 答：每套纪念品应定价50元． 20. 已知二次函数（m是常数）． （1）求证：无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； （2）已知该二次函数的图象与x轴交于A，B两点，且，求m的值． 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，二次函数性质； （1）令，可得关于的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式可证得结论； （2）令，可得关于的一元二次方程，表示出方程的根，即可得到、两点的横坐标值，然后根据，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， ， ∴一元二次方程有实数根， ∴无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； 【小问2详解】 解：当时，， 得， ，， ， 或． 21. 如图，内接于，D是上一点，．E是外一点，，连接． （1）若，求的长； （2）求证：是的切线． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据可得，然后证明，根据全等三角形的性质可得答案； （2）连接，首先证明，再根据三角形内角和定理和圆周角定理求出，然后计算出即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，连接， 由（1）得：， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是切线． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，切线的判定等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 22. 探究观景拱桥中安装的“脚手架”是否符合要求 素材一 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥， 其横截面如图所示， 量得该拱桥占地面最宽处米， 最高处点C距地面5米 (即米) ． 素材二 桥洞两侧壁上各有一盏景观灯E、F， 两灯直射地面分别形成反光点H、G（E、F分别在抛物线上且关于对称， H、G在线段上) ， 量得矩形的周长为27.5米现公园管理人员对拱桥加固维修， 在点H、G处搭建一个高3.55米的矩形“脚手架”． 已知“脚手架”最高处距景观灯至少为0.35米可保证安全． 问题解决 任务一 确定观景拱桥的形状 分别以所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 求出该抛物线的解析式． 任务二 探究方案合理性 请问该“脚手架”的安装是否符合要求？ 如果符合， 请说明理由； 如果不符合， 求出脚手架至少应调低多少米？ 【答案】任务一：；任务二：不符合， 求出脚手架至少应调低0.15米 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数的图象及性质，待定系数法求二次函数解析式，根据抛物线特点得到二次函数解析式以及得出E点坐标是解决本题的关键． 任务一：根据所建直角坐标系得到顶点，设此函数解析式为，根据B点坐标为，结合待定系数法求解，即可解题； 任务二：假设出E点坐标为，再利用矩形的周长为27.5米，即可得出的长，进而得出的长，再结合“脚手架”最高处距景观灯至少为0.35米可保证安全求解，即可解题． 【详解】解：任务一：由题意知，顶点C得坐标为， 故可设此函数解析式为， 由米，得出B点坐标为，代入解析式得： ， 解得：， 该抛物线的解析式为：． 任务二：设E的坐标为，其中， 则，． 由已知得：， 即， 解得：（不合题意，舍去）， 把代入． ∴， 而， ∴该“脚手架”的安装不符合要求， 脚手架至少应调低（米）． 23. 在中，，，点为的中点，点在直线上（不与点重合），连接，线段绕点逆时针旋转，得到线段，过点作直线，过点作，垂足为点，直线交直线于点． （1）如图，当点与点重合时，请直接写出线段与线段的数量关系； （2）如图，当点在线段上时，求证：； （3）连接，的面积记为，的面积记为，当时，请直接写出的值． 【答案】（1）． （2）见解析． （3）或． 【解析】 【分析】（1）可先证，得到，根据锐角三角函数，可得到和的数量关系，进而得到线段与线段的数量关系． （2）可先证，得到，进而得到，问题即可得证． （3）分两种情况：①点D在线段上，过点作垂直于，交于点，过点作垂直于，交于点，设，利用勾股定理，可用含的代数式表示，根据三角形面积公式，即可得到答案．②点D在线段的延长线上，过点作垂直于，交延长线于点,令交于点,连接,设，可证，进一步证得是等腰直角三角形，，利用勾股定理，可用含的代数式表示，根据三角形面积公式，即可得到答案 【小问1详解】 解：． 理由如下： 如图，连接． 根据图形旋转的性质可知． 由题意可知，为等腰直角三角形， 为等腰直角三角形斜边上的中线， ，． 又， ． 在和中， ． ，． ． ． ． 【小问2详解】 解：为等腰直角三角形斜边上的中线， ． ， ． ，， ． ，． ，． 在和中， ． ． ． 【小问3详解】 解：当点D在线段延长线上时，不满足条件，故分两种情况： ①点D在线段上，如图，过点作垂直于，交于点；过点作垂直于，交于点． 设，则． 根据题意可知，四边形和为矩形，为等腰直角三角形． ，． 由（2）证明可知， ． ． ． 根据勾股定理可知 ， 的面积与的面积之比 ②点D在线段的延长线上，过点作垂直于，交延长线于点,令交于点,连接,由题意知，四边形，是矩形， ∵ ∴ 即 又∵， ∴ ∴ 而 ∴ ∴是等腰直角三角形， 设，则， ∴ 中， 的面积与的面积之比 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质、勾股定理以及图形旋转的性质，灵活利用全等三角形的判定及性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$