精品解析：广东省揭阳市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷

2024-2025学年度第一学期九年级综合训练题 数学科目试卷 说明：1、全卷共4页，满分为120分，考试用时为120分钟． 2、必须将选择题所选的选项用2B铅笔在答题卡上相应位置涂黑；非选择题的答案必须用黑色字迹的签字笔或钢笔在答卡相应位置上作答，不按要求作答的答案无效．不能使用改正纸和涂改液． 3、考试结束时，将答卡收回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图，这是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于的方程的两个实数根为，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在矩形中，对角线，交于点O，若，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 4. 已知，，在双曲线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，为线段的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在一个不透明的盒子中装有颗黑、白两种颜色的棋子，除颜色外其他都相同，搅匀后从中随机摸出一颗棋子，记下颜色后放回盒子中，记为一次试验，通过大量试验后发现摸到黑色棋子的频率稳定在，则盒子中黑色棋子可能有（ ） A. 5颗 B. 10颗 C. 18颗 D. 26颗 8. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最小整数值为（ ） A. B. C. D. 9. 数学活动课上，小明为了测量学校旗杆的高度，在他脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆顶端，此时，小明画出如图所示的示意图，并估计他的眼睛与地面的距离为，同时测得，，则旗杆的高度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形是边长为2的正方形，点P为线段上的动点，E为的中点，射线交的延长线于点Q，过点E作的垂线交于点H、交的延长线于点F，则以下结论：①；②；③当点F与点C重合时；④当时，；⑤当点P和点B重合时，，成立的个数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知，则_______． 12. 如图，菱形的对角线交于坐标原点．已知点，，则点的坐标为_______． 13. 某公司今年1月份的利润为100万元，3月份的利润上升到144万元，若1至3月利润的增长率相同，则每月增长的百分率是____________． 14. 如图，，点是斜边的中点，，，，则______． 15. 如图，射线与函数图象相交于点，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与相交于点；再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线，交函数图象于点，连接，则的面积是______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 17. 图①、图②、图③均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图①中画出的中线； （2）在图②的边上找到一点E，使； （3）在图③的边上找到一点F，使． 18. 小宇和小辉所在的科学社团研究了四种生活现象，先将“A．冰雪融化”“B．镜花水月”“C．光合作用”“D．葡萄酿酒”的图案制成颜色、质地、大小都相同的4张卡片（为物理现象，主要为化学变化），卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．活动规则：小宇先从中随机抽取一张，记录下抽取的卡片，放回洗匀，小辉再从中随机抽取一张．若他们抽取的两张卡片上都是物理现象，则由小宇分享所抽取的卡片的相关科学知识；若他们抽取的两张卡片上都是化学变化，则由小辉分享所抽取的卡片的相关科学知识；其他情况重抽． （1）小宇随机抽取一张卡片，正面图案是化学变化的概率是______； （2）这个活动规则对他们双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得正前方河流的左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行米至处，测得正前方河流右岸处的俯角为．线段的长为无人机距地面的铅直高度，点在同一条直线上．其中，米． （1）求无人机的飞行高度；（结果保留根号） （2）求河流的宽度．（结果保留根号） 20. 如图1，在正方形中，点是边上一点，且点不与、重合，过点作的垂线交延长线于点，连接． （1）计算的度数； （2）如图2，过点作，垂足为，连接．求证：． 21. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解： 无论取何实数，都有， ，即的最小值为2． 试利用配方法解决下列问题： （1）直接写出的最小值 ； （2）比较代数式与的大小，并说明理由； （3）如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图，在中，，点是边上一动点（不与，重合），，交于点，且． （1）求证： （2）若，求的值 （3）若为直角三角形时，求的值 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点C． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）请直接写出不等式的解集； （3）若点P在反比例函数图象上，且点P的横坐标为，在坐标平面内是否存在一点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期九年级综合训练题 数学科目试卷 说明：1、全卷共4页，满分为120分，考试用时为120分钟． 2、必须将选择题所选的选项用2B铅笔在答题卡上相应位置涂黑；非选择题的答案必须用黑色字迹的签字笔或钢笔在答卡相应位置上作答，不按要求作答的答案无效．不能使用改正纸和涂改液． 3、考试结束时，将答卡收回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图，这是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据俯视图是从上面看的得到的图形，进行判断即可． 【详解】解：从上面看到的图形为： 故选：D． 2. 已知关于的方程的两个实数根为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系， 根据代入求解即可得出答案． 【详解】解：∵关于的方程的两个实数根为， ∴， 故选：D 3. 如图，在矩形中，对角线，交于点O，若，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，根据矩形的对角线互相平分且相等进行解答即可． 【详解】解：∵在矩形中，对角线，交于点O， ∴，， ∵， ∴． 故选：B． 4. 已知，，在双曲线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据函数图象得出此函数在每一象限内的增减 性，再由各点横坐标的值即可得出结论． 【详解】 双曲线在一三象限，在每一象限内随的增大而减小 ，，， 点，在第三象限，在第 一象限 故选：C． 5. 大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，为线段的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：∵P为的黄金分割点，， ∴， ∵的长度为， ∴， ∴， ∴的长度是， 故选：A． 6. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数以及勾股定理，根据锐角三角函数的定义以及勾股定理求出，再由锐角三角函数的定义进行计算即可． 【详解】在中，， 可设，则 由勾股定理得， 故选：B． 7. 在一个不透明的盒子中装有颗黑、白两种颜色的棋子，除颜色外其他都相同，搅匀后从中随机摸出一颗棋子，记下颜色后放回盒子中，记为一次试验，通过大量试验后发现摸到黑色棋子的频率稳定在，则盒子中黑色棋子可能有（ ） A. 5颗 B. 10颗 C. 18颗 D. 26颗 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解． 【详解】解：设盒子中黑色棋子可能有x颗， 经检验，符合题意． ∴盒子中黑色棋子可能有颗． 故选：C． 8. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最小整数值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，解不等式，根据一元二次方程的判别式和定义得出，，解不等式求出的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得：， 又∵方程是一元二次方程， ∴， 即， 故的取值范围为：且， ∴的最小整数值为． 故选：A． 9. 数学活动课上，小明为了测量学校旗杆的高度，在他脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆顶端，此时，小明画出如图所示的示意图，并估计他的眼睛与地面的距离为，同时测得，，则旗杆的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的实际应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 先根据光的反射定律得出，再证明，根据相似三角形对应边成比例即可得出结论． 【详解】解：已知，，， 故， 根据光的反射定律，， 又， ∴， ∴，即， 解得：， 故选：A． 10. 如图，四边形是边长为2的正方形，点P为线段上的动点，E为的中点，射线交的延长线于点Q，过点E作的垂线交于点H、交的延长线于点F，则以下结论：①；②；③当点F与点C重合时；④当时，；⑤当点P和点B重合时，，成立的个数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到，则，再由垂线的定义和平角的定义得到，则，再由，即可证明，故①正确；根据，，可判断②；证明，得到，再证明，设，则，则，，由勾股定理得，解得：，则，故③正确；求出，得到，证明是等腰直角三角形，得到，，则，，同理可得，利用勾股定理，则，故④正确；同理可证明，得到，则；证明，求出，，再证明，求出，则，故⑤错误； 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵，， ∴，故②正确； 当点F与点C重合时，如图2， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴， ∴，故③正确； 如图3所示， ∵，即P是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， 同理可得， ∴， ∴，故④正确； 当点P与点B重合时， 同理可证明， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤错误； ∴正确的有4个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，根据题意画出对应的示意图是解题的关键． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，掌握设比例的值成为解题的关键． 设，则，然后代入计算即可． 【详解】解：设，则， ∴． 故答案为：． 12. 如图，菱形的对角线交于坐标原点．已知点，，则点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，两点的中点坐标，根据菱形的性质可得A、C关于原点对称，从而可得答案． 【详解】解：菱形的对角线交于坐标原点，点， ∴， 故答案为：． 13. 某公司今年1月份的利润为100万元，3月份的利润上升到144万元，若1至3月利润的增长率相同，则每月增长的百分率是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键．设平均每月利润增长的百分率为x，则2月份利润为万元，3月份的利润为万元，然后列方程，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：设平均每月利润增长的百分率为x， 根据题意，得， 解得，（舍去）， ∴平均每月利润增长的百分率为． 故答案为：． 14. 如图，，点是斜边的中点，，，，则______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线，相似三角形的判定和性质，证明和相似得，再根据即可得出的值． 【详解】解：在中，，D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：9． 15. 如图，射线与函数图象相交于点，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与相交于点；再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线，交函数图象于点，连接，则的面积是______． 【答案】1 【解析】 【分析】把点代入，求得，则，设点C的坐标为，过点C作轴于E，于F，过点A作轴于G，求出，再根据作图方法可知，是的平分线，得，解直角三角形求出，得到，再由角平分线的性质得出，即可由三角形的面积求解． 【详解】解：把点代入，得， ∴， ∴， 设点， 如图，过点C作轴于E，于F，过点A作轴于G， ∵， ∴，，， ∴， ∴， 由作图方法可知，是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵点C在第一象限， ∴， ∴， ∴， ∵轴于E，于F，是的平分线， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查尺规基本作图—作角平分线，用待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图象性质，角平分线的性质，解直角三角形，熟练掌握反比例函数的图象性质，角平分线的性质是解题的关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算；将特殊锐角的三角函数值代入、计算零指数幂、化简二次根式，再进一步计算即可． 【详解】解：原式， ， ． 17. 图①、图②、图③均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图①中画出的中线； （2）在图②的边上找到一点E，使； （3）在图③的边上找到一点F，使． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）见详解 【解析】 【分析】（1）找出中点即可； （2）找出格点G、H，与交于点E，证出∽，即可得出结论； （3）找到格点与交于点F，证出∽，根据相似三角形的性质和等高时，三角形面积比等于底之比即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 【小问2详解】 解：如图，点E即为所求， 找出格点G、H，与交于点E，由图知 ∴∽ ∴ ∴点E即为所求； 【小问3详解】 解：如图，点F即为所求， 找到格点M、N，与交于点F，由图知 ∴∽ ∴ ∴ ∴点F即为所求． 【点睛】此题考查的是用无刻度直尺作图，正方形的性质和相似三角形的判定及性质，三角形的中线，掌握利用正方形的性质和相似三角形的判定及性质找出所求点是解决此题的关键． 18. 小宇和小辉所在的科学社团研究了四种生活现象，先将“A．冰雪融化”“B．镜花水月”“C．光合作用”“D．葡萄酿酒”的图案制成颜色、质地、大小都相同的4张卡片（为物理现象，主要为化学变化），卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．活动规则：小宇先从中随机抽取一张，记录下抽取的卡片，放回洗匀，小辉再从中随机抽取一张．若他们抽取的两张卡片上都是物理现象，则由小宇分享所抽取的卡片的相关科学知识；若他们抽取的两张卡片上都是化学变化，则由小辉分享所抽取的卡片的相关科学知识；其他情况重抽． （1）小宇随机抽取一张卡片，正面图案是化学变化的概率是______； （2）这个活动规则对他们双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由． 【答案】（1） （2） 解：公平，理由如下： 将冰雪融化、镜花水月、光合作用、冰雪消融、葡萄酿酒分别用表示，列表如下： 小辉 小宇 A B C D A B C D 由表可知，共有16种等可能的结果，其中他们抽取的两张卡片上都是化学变化的有4种，他们抽取的两张卡片上都是物理变化的有4种． （抽取的两张卡片正面图案均为化学变化）， （抽取的两张卡片上都是物理变化）， 故这个规则对他们双方公平是公平的． 【解析】 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：小宇随机抽取一张卡片，正面图案是化学变化的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 略 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得正前方河流的左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行米至处，测得正前方河流右岸处的俯角为．线段的长为无人机距地面的铅直高度，点在同一条直线上．其中，米． （1）求无人机的飞行高度；（结果保留根号） （2）求河流的宽度．（结果保留根号） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（）由题意得，，，即得，，再解直角即可求解； （）如图，过点作于，则米，米，，解直角可得，即得，进而根据即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，，， ∴，， ∴， ∴米； 【小问2详解】 解：如图，过点作于，则米，米，， 在中，， ∴， ∴米， ∴米， ∴米． 20. 如图1，在正方形中，点是边上一点，且点不与、重合，过点作的垂线交延长线于点，连接． （1）计算的度数； （2）如图2，过点作，垂足为，连接．求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定； （1）根据正方形的性质结合已知条件证明，得出，进而证明是等腰直角三角形，即可求解； （2）连接，证明，根据相似三角形的性质即可得证． 【小问1详解】 解： 四边形是正方形， ，， ，， ， ，即 ， ， ， 是等腰直角三角形． ； 【小问2详解】 证明：如图2，连接， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴是等腰直角三角形，，， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴． 21. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解： 无论取何实数，都有， ，即的最小值为2． 试利用配方法解决下列问题： （1）直接写出的最小值 ； （2）比较代数式与的大小，并说明理由； （3）如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，利用配方法把二次式变形为一个完全平方式和常数的和是解题的关键． （1）原式配方后得到，然后利用完全平方式的非负性即可得出答案； （2）将两式相减后利用配方法即可判断； （3）利用，由可得，代入后配方得，于是得解． 【小问1详解】 解：， 无论取何实数，都有， ，即的最小值为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ； 【小问3详解】 解：四边形的面积为： ， 四边形面积的最大值为． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图，在中，，点是边上一动点（不与，重合），，交于点，且． （1）求证： （2）若，求的值 （3）若为直角三角形时，求的值 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）为直角三角形时，为8或． 【解析】 【分析】（1）先证明，，从而可得结论； （2）如图，过作于， 可得，，，可得，再进一步可得答案； （3）根据可得，又因为，可得，因此，由于为直角三角形，分类讨论：当时，利用得到，即，易得，当，利用得到，然后在中，根据余弦的定义可计算出． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过作于， ∵， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， 结合（2）可得， 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形时，为8或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数的应用，解决本题的关键是要熟练掌握相似三角形的判定和性质． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点C． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）请直接写出不等式的解集； （3）若点P在反比例函数图象上，且点P的横坐标为，在坐标平面内是否存在一点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）反比例函数的解析式为；一次函数解析式为 （2）不等式的解集为或 （3）满足条件的点的坐标为或或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法计算即可得解； （2）由函数图象即可得解； （3）先求出点的坐标，设点，再根据平行四边形的性质，分三种情况，建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：将代入得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为； 将代入反比例函数解析式可得， ∴， 将，代入反比例函数解析式可得， 解得：， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：由图象可得：不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：∵点P在反比例函数图象上，且点P的横坐标为， ∴点的纵坐标为， ∴， 设点， ∵以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形， ∴当为对角线时，与互相平分， ∴， ∴， ∴； 当为对角线时，与互相平分， ∴， 解得：， ∴； 当为对角线时，与互相平分， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，满足条件的点的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $