精品解析：重庆市九龙坡区四川外国语大学附属外国语学校2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

重庆实验外国语学校2024-2025（上）期期末考试九年级数学试题 （满分150分，120分钟完成） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. －的相反数的倒数是（ ） A. － B. C. D. 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 3. 如图，，分别交、于点E、F，平分交于点G，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，与是位似图形，点为位似中心，且，则（ ） A B. C. D. 5. 已知实数．则实数m的值应在（ ） A. 1与2之间 B. 2与3之间 C. 3与4之间 D. 4与5之间 6. 如图，图1有4颗星，图2有6颗星，图3有9颗星，……，按照此规律图10的星星颗数为（ ） A. 55 B. 58 C. 65 D. 69 7. 如图，点B在反比例函数图象上，点C与点B关于原点对称，过点B作轴，交反比例函数于点A．连接、，则面积为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 8. 如图，等腰与等边，，，连接，以为圆心，为半径的圆交于，交于．若，平分，则阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 9. 在矩形中，沿对角线将矩形折叠，顶点C落在点E处，，，在上取点F，使得，并延长交于点G，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于x、y、z的单项式（a、b、c均为正整数，x、y、z均不为0），该单项式的次数为n． ①当时，符合条件的单项式共有3个； ②当时，对于任意的n，代数式的值可能有两种不同结果； ③记，当时，对于符合条件的任意x、y、z的值，所有的和恒为正数．以上说法正确的有（ ）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分．请将答案直接填在答题卡对应横线上） 11. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则a的值为________． 12. 如图，正五边形的一条边在正六边形的一条边上，则________度． 13. 四张相同的卡片上分别写有数字，，2，3，将卡片的背面向上洗匀后从中任意抽1张，并将卡片上数字记为k，再从余下的卡片中任意抽1张，并将卡片上数字记为b，则一次函数的图象经过第一、二、四象限的概率为________． 14. 若关于x的不等式组有且只有三个偶数解，且关于y的分式方程有解，则所有满足条件的整数a的和为________． 15. 如图，，点O在上，与相切于点A，与的交点分别为B，C．作，与交于点D，作，垂足为E，连接并延长，交于点F，，则的长为________，的长为________． 16. 一个四位自然数，若满足百位数字与个位数字的差比千位数字与十位数字的差少1，则称这样的四位数为“少点数”，如：4625，，是“少点数”；又如：6973，，不是“少点数”．已知“少点数”，将M的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到新的四位数N，记，．已知能被9整除且为完全平方数，则________，满足条件的“少点数”M中，最大值与最小值的差是________． 三、解答题：（本大题8个小题，第17题16分，其余每个小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. （1）计算：； （2）解二元一次方程组：； （3）化简：； （4）化简：． 18. 三角形角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边对应成比例． 如图1，中，是角平分线，则．小石同学学习了这个定理以后探究：三角形的外角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边的关系，下面是他的探究过程，请按要求完成． 已知：如图2，已知及其外角．的角平分线交的延长线于点F． 求证：． （1）尺规作图：在图2中作的平分线交的延长线于点F，在射线上截取，连接（不写作法保留作图痕迹） （2）证明： 是的角平分线 ______① ， ______② ，______③ 是的角平分线 ______ ④ ， 结合以上探究可知：三角形的一个外角的角平分线外分对边所成两条线段，这两条线段和夹相应的内角的两边______ ⑤． 19. “发展科学技术，迎接美好未来”，重庆实验外国语学校在校开展了科技文化知识竞赛，现从七年级和八年级参加竞赛的学生中各随机抽取了10名学生的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分100分，成绩均不低于70分，90分及90分以上为优秀），并将学生竞赛成绩分为A、B、C三个等级：A：，B：，C：． 下面给出了部分信息： 抽取的七年级10名学生的竞赛成绩为：75，76，84，84，84，86，86，94，95，96； 抽取的八年级10名学生的竞赛成绩在B等级的为：81，83，84，88，88． 两个年级抽取的学生成绩的平均数、中位数、众数如表所示： 抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图如图所示． 学生 平均数 中位数 众数 七年级 86 85 b 八年级 86 a 88 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____，_____，_____度； （2）根据以上数据，你认为哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可） （3）若八年级共有500名学生参赛，请你估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数． 20. 为做好消毒工作，某学校购入了一批洗手液与消毒液．购买洗手液花费800元，购买消毒液花费400元，购买的消毒液瓶数恰好是洗手液瓶数的，每瓶消毒液的价格比每瓶洗手液的价格低4元． （1）求一瓶洗手液价格与一瓶消毒液的价格分别是多少元？ （2）学校决定再次购入一批同样品牌的洗手液与消毒液，购买洗手液的数量与第一次相同，购买消毒液的瓶数比第一次的购入量多瓶，此时洗手液与消毒液双双涨价，每瓶洗手液的价格比第一次的价格高元，每瓶消毒液的价格比第一次的价格高元，最终第二次购买洗手液与消毒液的总费用只比第一次购买洗手液与消毒液的总费用多元，求的值． 21. 如图，中，，，，点D为的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿B→A方向匀速运动，至点A处停止；同时，点Q以相同的速度从点C出发，沿着折线方向匀速运动，至点A处停止．设点P运动时间为x秒（），的面积与的面积之比为，的面积为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质： （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 22. 物流中心与三个菜鸟驿站、、的平面示意图如下图．在的正南方，在的东南方向上且在的北偏东方向上，在的正东方且，已知．（参考数据：，，，）． （1）求驿站、之间的距离； （2）派送员小外计划从出发沿着的路线派送快递到三个驿站，上午完成快递派送．但导航显示路段拥堵严重，于是他改变路线（出发），沿着的路线派送快递到三个驿站．若路段行驶的平均速度为，其余路段的平均行驶速度为且小外在每个驿站均停留存放快递．请通过计算说明他能否在之前完成派送． 23. 已知二次函数图象与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，． （1）求二次函数的解析式； （2）如图1，P是直线上方抛物线上一动点，过P作轴交于点Q．点E、F分别是x轴、y轴上的动点，连接．当的长度最大时，求点P坐标以及四边形周长的最小值． （3）如图2，抛物线的顶点为D，连接，把抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线．点M是新抛物线对称轴上的一动点，直线与直线相交于点N，是否存在点M，使，若存在，请直接写出点M的坐标：若不存在，请说明理由． 24. 如图三角形中，点D在线段上，点E在线段上，连接、交于点F． （1）如图1，，，平分．若．求的长． （2）如图2，是等边三角形．延长至点，连接，连接交于点．若，．猜想、、之间的数量关系并证明． （3）如图3，，，且，，．点、是平面内直线上方的动点且总有，．若，直接写出当线段取得最小值时的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆实验外国语学校2024-2025（上）期期末考试九年级数学试题 （满分150分，120分钟完成） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. －的相反数的倒数是（ ） A. － B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的相反数，再根据倒数的定义即可得． 【详解】的相反数是， 的倒数是3， 则的相反数的倒数是3， 故选：C． 【点睛】本题考查了相反数、倒数，熟记定义是解题关键． 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意； D、该图形是轴对称图形，故该选项符合题意； 故选：D． 3. 如图，，分别交、于点E、F，平分交于点G，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质及角平分线有关计算，先求解，根据平分，得到，结合得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4. 如图，与是位似图形，点为位似中心，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解决此题的关键．分析已知和所求，根据，可得，由与是以点O为位似中心的位似图形，即可得它们的位似比为；根据位似图形的性质可得与的比应等于位似比的平方，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵与是以点O为位似中心的位似图形， ∴， ∴． 故选：D 5. 已知实数．则实数m的值应在（ ） A. 1与2之间 B. 2与3之间 C. 3与4之间 D. 4与5之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的估算，掌握相关运算法则是解题关键．先化简实数，再估算出，即可得出实数m的值的范围． 【详解】解：，且， ， ， 实数m的值应在2与3之间， 故选：B． 6. 如图，图1有4颗星，图2有6颗星，图3有9颗星，……，按照此规律图10的星星颗数为（ ） A. 55 B. 58 C. 65 D. 69 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化类—规律型，根据题目总结出图形的变化规律是解题的关键． 根据题意得出图形中的数量的变化规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，图1有颗星， 图2有颗星， 图3有颗星， 图10有颗星， 故选：B ． 7. 如图，点B在反比例函数图象上，点C与点B关于原点对称，过点B作轴，交反比例函数于点A．连接、，则的面积为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，反比例函数的图象和性质，关于原点对称的点的坐标特征，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据题意设，进而得出，，即可求出的面积． 【详解】解：点B在反比例函数图象上， 设， 点C与点B关于原点对称， ， 轴，交反比例函数于点A， ， 的面积， 故选：C 8. 如图，等腰与等边，，，连接，以为圆心，为半径的圆交于，交于．若，平分，则阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于，交于点，由平行线的性质可得，进而根据三线合一可得，，即得，再根据等腰三角形的性质可得，由角平分线的定义得到，即得，即可得，，最后根据计算即可求解． 【详解】解：过点作于，交于点，如图， ∵， ∴， ∵为等腰三角形，为等边三角形， ∴，， ∴， ∵为等腰三角形，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选： ． 【点睛】本题考查了等腰三角形和等边三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，直角三角形的性质，扇形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 9. 在矩形中，沿对角线将矩形折叠，顶点C落在点E处，，，在上取点F，使得，并延长交于点G，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由矩形的性质和折叠的性质得，利用勾股定理求出，证明得，代入数据求出，进而可求出． 【详解】解∶如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，． 由折叠的性质得，，，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等角对等边等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 10. 已知关于x、y、z的单项式（a、b、c均为正整数，x、y、z均不为0），该单项式的次数为n． ①当时，符合条件的单项式共有3个； ②当时，对于任意的n，代数式的值可能有两种不同结果； ③记，当时，对于符合条件的任意x、y、z的值，所有的和恒为正数．以上说法正确的有（ ）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式的次数，分式运算，因式分解应用，完全平方公式的应用，解题的关键是注意分类讨论．根据时，，得出，，或，，或，，三种情况，即可判断①正确；根据当时，，，，根据a、b、c均为正整数，得出，，，然后分类讨论即可判断②错误；根据当时，，a、b、c均为正整数，得出所有的和为： ，根据x、y、z均不为0，得出，即可判断③正确． 【详解】解：当时，， ∵a、b、c均为正整数， ∴，，或，，或，，三种情况， ∴当时，符合条件的单项式共有3个，故①正确； 当时，，，， ∵a、b、c均为正整数， ∴，，， ∴当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； ∴共有四种结果，故②错误； 当时，，a、b、c均为正整数， 当，，时，， 当，，时，， 当，，时，， 当，，时，， 当，，时，， 当，，时，， ∴所有的和为： ∵x、y、z均不为0， ∴， ∴所有的和为正数，故③正确； 综上分析可知：以上说法正确的有2个． 故选：C． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分．请将答案直接填在答题卡对应横线上） 11. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则a的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据一元二次方程的解的定义，将代入关于x的一元二次方程，列出关于a的方程，通过解该方程求得a值即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程的一个根是， ， 解得：， 故答案为：1． 12. 如图，正五边形的一条边在正六边形的一条边上，则________度． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，利用求多边形的内角和公式，得出正五边形的内角、正六边形的内角是解题关键，根据正多边形的内角的求法，可得、，进而可得答案． 【详解】正五边形的内角， ， 正六边形的内角， ， ， 故答案为：12． 13. 四张相同的卡片上分别写有数字，，2，3，将卡片的背面向上洗匀后从中任意抽1张，并将卡片上数字记为k，再从余下的卡片中任意抽1张，并将卡片上数字记为b，则一次函数的图象经过第一、二、四象限的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，列表法或画树状图法求概率，掌握相关知识点是解题关键．根据一次函数图象经过的象限去，确定，，再画树状图求概率即可． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、四象限， ，， 画树状图如下： 由树状图可知，共有12种情况，其中满足条件的情况有4种， 即一次函数的图象经过第一、二、四象限的概率为， 故答案为： ． 14. 若关于x的不等式组有且只有三个偶数解，且关于y的分式方程有解，则所有满足条件的整数a的和为________． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查的知识点是由不等式组解集的情况求参数、根据分式方程解的情况求值．先根据不等式组“有且只有三个偶数解”求出的取值范围，再解分式方程，并由该方程有解得到且，综合后即可得到所有满足条件的整数的和． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， 原不等式有且只有三个偶数解， ， ， 解分式方程得：， 原分式方程有解， ∴且 ∴且， 综上，且，为整数， 或8， 所有满足条件整数的和是． 故答案为：14． 15. 如图，，点O在上，与相切于点A，与的交点分别为B，C．作，与交于点D，作，垂足为E，连接并延长，交于点F，，则的长为________，的长为________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】连接，根据含30度角的直角三角形的性质得，然后根据证明得到，，再由勾股定理求出的长，即可求出的长；过点作于点，证明求出，进而求出求出，从而顶点，证明求出，然后利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， 与相切于点， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； 如图，过点作于点， ， ， 四边形是矩形， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握这些知识点并能熟练应用是解题的关键． 16. 一个四位自然数，若满足百位数字与个位数字的差比千位数字与十位数字的差少1，则称这样的四位数为“少点数”，如：4625，，是“少点数”；又如：6973，，不是“少点数”．已知“少点数”，将M的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到新的四位数N，记，．已知能被9整除且为完全平方数，则________，满足条件的“少点数”M中，最大值与最小值的差是________． 【答案】 ①. 5 ②. 2727 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解的应用，列代数式，，据此即可求得的值；进一步可知，结合的数值，分情况讨论：，即可求得答案． 【详解】解：根据题意可知，．，； ∴ ∴ ∵能被9整除， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 当时，． ∴， ∵为完全平方数， ∴． ∴（舍去）． ∴， ∴， ∵； 同理，当时，，M不存在； 当时，，M不存在； 当时，，； ∴满足条件的“少点数”M中，最大值与最小值的差． 故答案为：5；2727． 三、解答题：（本大题8个小题，第17题16分，其余每个小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. （1）计算：； （2）解二元一次方程组：； （3）化简：； （4）化简：． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，解二元一次方程组，整式乘法运算，分式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据立方根定义，乘方运算法则进行计算即可； （2）用代入消元法解二元一次方程组即可； （3）根据完全平方公式，整式乘法运算法则进行计算即可； （4）根据分式混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 由①得：， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， ∴原方程组的解为：； （3） ； （4） ． 18. 三角形角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边对应成比例． 如图1，中，是角平分线，则．小石同学学习了这个定理以后探究：三角形的外角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边的关系，下面是他的探究过程，请按要求完成． 已知：如图2，已知及其外角．的角平分线交的延长线于点F． 求证：． （1）尺规作图：在图2中作的平分线交的延长线于点F，在射线上截取，连接（不写作法保留作图痕迹） （2）证明： 是的角平分线 ______① ， ______② ，______③ 是的角平分线 ______ ④ ， 结合以上探究可知：三角形的一个外角的角平分线外分对边所成两条线段，这两条线段和夹相应的内角的两边______ ⑤． 【答案】（1）见解析 （2）；；；；成比例 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质． （1）根据题意作出图形即可； （2）证明，推出，，根据定理得到，再等量代换，即可得证． 【小问1详解】 解：所作图形，如图所示， 【小问2详解】 证明：是的角平分线 ， ，， ， ，， 是的角平分线， ， ，， ． ∴三角形的一个外角的角平分线外分对边所成两条线段，这两条线段和夹相应的内角的两边成比例． 故答案为：；；；；成比例． 19. “发展科学技术，迎接美好未来”，重庆实验外国语学校在校开展了科技文化知识竞赛，现从七年级和八年级参加竞赛的学生中各随机抽取了10名学生的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分100分，成绩均不低于70分，90分及90分以上为优秀），并将学生竞赛成绩分为A、B、C三个等级：A：，B：，C：． 下面给出了部分信息： 抽取的七年级10名学生的竞赛成绩为：75，76，84，84，84，86，86，94，95，96； 抽取的八年级10名学生的竞赛成绩在B等级的为：81，83，84，88，88． 两个年级抽取的学生成绩的平均数、中位数、众数如表所示： 抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图如图所示． 学生 平均数 中位数 众数 七年级 86 85 b 八年级 86 a 88 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____，_____，_____度； （2）根据以上数据，你认为哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可） （3）若八年级共有500名学生参赛，请你估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数． 【答案】（1）；，； （2）八年级的成绩更好，理由见解析； （3）150人 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数的定义和意义，扇形统计图，利用样本估计总体． （1）根据中位数、众数的定义，可求出、的值，用八年级C等级人数所占百分比，可求出； （2）根据平均数、中位数、众数的意义分析即可； （3）用八年级参赛学生总人数乘以样本中成绩为优秀的学生所占百分比求解即可． 【小问1详解】 解：由扇形统计图可知，八年级A等级人数为人， 八年级10名学生的竞赛成绩中位数为第五、六名学生的成绩， ； 七年级10名学生的竞赛成绩中分出现了三次，次数最后， ； 八年级C等级人数为， ， 故答案为：；，； 【小问2详解】 解：八年级的成绩更好， 理由：因为七、八年级学生的竞赛成绩的平均数相同，但是八年级学生的中位数和众数均高于七年级，所以八年级的成绩更好； 【小问3详解】 解：人， 答：估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数为人． 20. 为做好消毒工作，某学校购入了一批洗手液与消毒液．购买洗手液花费800元，购买消毒液花费400元，购买的消毒液瓶数恰好是洗手液瓶数的，每瓶消毒液的价格比每瓶洗手液的价格低4元． （1）求一瓶洗手液价格与一瓶消毒液的价格分别是多少元？ （2）学校决定再次购入一批同样品牌的洗手液与消毒液，购买洗手液的数量与第一次相同，购买消毒液的瓶数比第一次的购入量多瓶，此时洗手液与消毒液双双涨价，每瓶洗手液的价格比第一次的价格高元，每瓶消毒液的价格比第一次的价格高元，最终第二次购买洗手液与消毒液的总费用只比第一次购买洗手液与消毒液的总费用多元，求的值． 【答案】（1）一瓶洗手液的价格为20元，一瓶消毒液的价格是16元 （2）的值为12 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程和分式方程的实际应用．根据题意找准等量关系，列出相应方程是解答本题的关键． （1）设一瓶洗手液的价格为元，则一瓶消毒液的价格是元，根据题意可列出关于的分式方程，求出即可求解． （2）先求出第二次购买洗手液的数量为瓶，第二次购买消毒液的数量为瓶，每瓶洗手液的价格为元，每瓶消毒液的价格为元，再结合题意列出关于的一元一次方程，解出即可． 【小问1详解】 解：设一瓶洗手液的价格为元，则一瓶消毒液的价格是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原方程得解， ∴一瓶消毒液的价格是元， ∴一瓶洗手液的价格为20元，则一瓶消毒液的价格是16元． 【小问2详解】 解：根据题意得：第二次购买洗手液的数量为瓶，第二次购买消毒液的数量为瓶， 每瓶洗手液的价格为元，每瓶消毒液的价格为元， 根据题意可列等式：， 解得，（不符合题意舍去）， ∴的值为12． 21. 如图，中，，，，点D为的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿B→A方向匀速运动，至点A处停止；同时，点Q以相同的速度从点C出发，沿着折线方向匀速运动，至点A处停止．设点P运动时间为x秒（），的面积与的面积之比为，的面积为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质： （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）， （2）作图见解析，函数的一条性质：当，随着的增大而增大（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得，，由共高三角形面积比化为底之比得到，故；由勾股定理得：，根据直角三角形斜边中线得到，则，那么，当点在线段上时，即，过点作于点，由题意得，，则，再根据面积公式得到,；当点在线段上时，即，过点作于点，由题意得，，则，即可表示面积； （2）先作出 反比例函数和正比例函数以及一次函数图象，从函数的增减性角度可以写出一条性质； （3）当时，即函数图象在函数图象下方时，交点的横坐标取值范围． 【小问1详解】 解：由题意得， ∵与共过点作边的高， ∴， ∴， ∵，，， ∴由勾股定理得：， ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∴， 当点在线段上时，即，过点作于点， 由题意得，， ∴， ∴， ∴, 当点在线段上时，即，过点作于点， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， 综上：； 【小问2详解】 解：画出函数，的图象如图， 函数的一条性质：当，随着的增大而增大（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：记函数与函数的交点为 由图象可得：， ∴当时x的取值范围：． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，涉及求函数解析式，一次函数与反比例函数的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，勾股定理等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． 22. 物流中心与三个菜鸟驿站、、的平面示意图如下图．在的正南方，在的东南方向上且在的北偏东方向上，在的正东方且，已知．（参考数据：，，，）． （1）求驿站、之间的距离； （2）派送员小外计划从出发沿着的路线派送快递到三个驿站，上午完成快递派送．但导航显示路段拥堵严重，于是他改变路线（出发），沿着的路线派送快递到三个驿站．若路段行驶的平均速度为，其余路段的平均行驶速度为且小外在每个驿站均停留存放快递．请通过计算说明他能否在之前完成派送． 【答案】（1）驿站、之间的距离约为； （2）他能之前完成派送，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用； （1）过点作于点，设，则，根据，，得出，，进而建立方程，解方程得出，在中，根据即可求解； （2）过点作于点，求得，进而可得所需时间，分别求得所需时间，加上每个驿站均停留的时间，与分钟比较大小，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点， 设，则 ∵在的东南方向上，在的正东方且， ∴，， ∴， ∴ 解得： 在中， 答：驿站、之间的距离约为； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作于点， ∴四边形是矩形， 又∵ ∴四边形是正方形， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵路段行驶的平均速度为， ∴所需时间为小时， 其余路段的平均行驶速度为 ∴所需时间为小时 所以总共用时为：小时 分钟分钟 ∴他能在之前完成派送． 23. 已知二次函数的图象与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，． （1）求二次函数的解析式； （2）如图1，P是直线上方抛物线上一动点，过P作轴交于点Q．点E、F分别是x轴、y轴上的动点，连接．当的长度最大时，求点P坐标以及四边形周长的最小值． （3）如图2，抛物线的顶点为D，连接，把抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线．点M是新抛物线对称轴上的一动点，直线与直线相交于点N，是否存在点M，使，若存在，请直接写出点M的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）的最大值为4；四边形周长的最小值为 （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）先求出，然后用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式为设，则，则，证明得，则，利用二次函数的性质可求出的最大值；作点P关于y轴的对称点，作点Q关于x轴的对称点，连接，交x轴于点E，交y轴于点F，则，，，可得四边形周长的最小值，求出，即可求解； （3）分两种情况：①当点M在x轴下方时，先求出把抛物线向右平移3个单位，再向上平移9个单位得到新抛物线，得出，设．过点D作于点E，交的对称轴于点F，证明，然后利用相似三角形的性质求解即可；②当点M在x轴上方时，过点D作于点E，交的对称轴于点F，证明，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 把，代入，得 ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：解，得 ， ∴． 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴． 设，则， ∴． 作于点H，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，最大值为4， ∴，则． 作点P关于y轴的对称点，作点Q关于x轴的对称点，连接，交x轴于点E，交y轴于点F，则，，， ∴四边形周长的最小值 ． ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴四边形周长的最小值为； 【小问3详解】 解：①当点M在x轴下方时， ∵， ∴． 在射线截取，作于点L， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴把抛物线向右平移3个单位，再向上平移9个单位得到新抛物线， ∴， ∴设． 过点D作于点E，交的对称轴于点F， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ②当点M在x轴上方时，如图，过点D作于点E，交的对称轴于点F， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 综上可知，点M的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，轴对称最短问题，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的平移，难度较大，属中考压轴题． 24. 如图三角形中，点D在线段上，点E在线段上，连接、交于点F． （1）如图1，，，平分．若．求的长． （2）如图2，是等边三角形．延长至点，连接，连接交于点．若，．猜想、、之间的数量关系并证明． （3）如图3，，，且，，．点、是平面内直线上方的动点且总有，．若，直接写出当线段取得最小值时的面积． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，易得，，则可得，则可求出； （2）在上取点，使得，连接，在上截取，证明是等边三角形，利用手拉手证明，再证为等边三角形，利用手拉手证明，再证，得，即可证明； （3）先通过计算求出， ，，利用，得出点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在上方部分，利用，得出点的轨迹为以为圆心，为半径长的圆在上方部分，将沿直线翻折，得到，证明，由勾股定理求出是定值，由，且当、、依次共线时，取最小值，此时取最小值，当取最小值时，过点作于点，证明，则，求出即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， ， ， ， ∵平分， ， ∵， ，， ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：猜想：，证明如下： 在上取点，使得，连接，在上截取， ∵是等边三角形， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由，设，， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴， 解得：， ∴，， 构造的外接圆， 由， 则所对圆心角为， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴点和点重合， ∴的外接圆圆心即为点， ∴点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在上方部分， ∵， ∴如图，点的轨迹为以为圆心，为半径长的圆在上方部分， 设， ∴， ∴， 如图，将沿直线翻折，得到， ∴，，， ∴， ∵，， ∴，是定值， 由，且当、、依次共线时，取最小值， 由， 则当、、依次共线时，取最小值， 当取最小值时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作于点，连接， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴． 【点睛】本题考查三角形综合，涉及全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与形状，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 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