精品解析：甘肃省白银市靖远县第四中学2024-2025学年高三上学期12月高考模拟数学试题

高考模拟卷·数学 （120分钟150分） 考生须知： 1．本卷侧重：高考评价体系之应用性． 2．本卷怎么考：①考查数学文化及德智体美劳等的实际应用（题4、17）；②考查与国家经济社会发展、科学技术进步、生产生活相关的实际应用（题5、8）． 3．本卷典型情境题：题4、5、17． 4．本卷测试范围：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在下列统计量中，用来描述一组数据离散程度的量是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 标准差 【答案】D 【解析】 【分析】根据标准差的意义可得答案. 【详解】平均数、众数、中位数都是描述一组数据集中趋势的统计量，故选项A、B、C不正确； 标准差反映了数据分散程度的大小，所以标准差是描述一组数据离散程度的统计量，故选项D正确. 故选：D. 2. 已知，则在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数除法运算化简即可求解. 【详解】由题意得，对应的点位于第二象限． 故选：B 3. 已知集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求出满足条件的集合中的范围，再根据充分必要条件的定义判断即可． 【详解】集合， ，若，则， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A． 4. 如图，这是战国时楚国标准度量衡器，于1954年出土于湖南长沙的木衡铜环权，包括木质秤杆、两个铜盘和九枚铜环权，为等臂衡秤式样，其中铜环权类似于砝码，用于测量物体质量．已知九枚铜环权中质量最小的为1铢，最大的为8两（古制1两=24铢，1斤=16两），且按从小到大的顺序排列后前3项构成等差数列，后7项构成公比为2的等比数列，若某物体的质量恰为第2，5，7枚铜环权的质量和，则该物体的质量为（ ） A. 2两4铢 B. 2两14铢 C. 3两2铢 D. 3两12铢 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列、等比数列的知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设九枚铜环权按从小到大的顺序排列后的质量为， 由题意知，，，得， 则，，，铢两14铢． 故选：B 5. 已知某种塑料经自然降解后残留量与时间（单位：年）之间的关系式为，其中为初始量，若这种塑料经自然降解，残留量不超过初始量的，则至少需要（ ）（参考数据：，） A. 9年 B. 10年 C. 11年 D. 12年 【答案】C 【解析】 【分析】利用给定条件建立不等式，结合对数的运算性质求解即可. 【详解】由题意得，即， 化简得，解得， 则至少需要11年，故C正确 故选：C 6. 已知函数，则图象对应的函数解析式可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据周期2，可设函数解析式为，即可根据求解，即可求解得解. 【详解】图象所对应函数的最小正周期为2， 设图象所对应的解析式为， 由可得，故，， 故， 则． 故选：C 7. 在棱长为2的正方体中，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系．若该正方体内一动点，满足则点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点满足的方程求得点P的轨迹，结合球的性质求得，然后利用直角三角形求出两圆弧所对的圆心角，即可求解点的轨迹长度. 【详解】由知，点在四边形内（含边界）， 由知，点在以的中点为球心，2为半径的球面上， 所以点的轨迹为球被四边形截得的圆弧， 取的中点，则， 则， 因为， 所以，又，平面， 所以平面，平面，所以， 又，，则， 在四边形中，点的轨迹为以O为圆心为半径， 落在内的两段圆弧，且，如图， 如图， 取为的中点，则，，， 所以，所以，所以， 所以点的轨迹长度为． 故选：B 8. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子三次，依次记录向上的点数.记为前两次点数的平均值，为三次点数的平均值，则与的差的绝对值不超过的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分析得，再分类讨论不同取值得到所有满足的样本点个数，从而利用古典概型的概率公式即可得解. 【详解】连续抛掷一枚骰子3次，共有个样本点， 设三次记录的点数依次为，，，则， 即，则，又， 则， 易知不同的取值情况共有种， 当时，满足的样本点有，，，，，，共个； 同理，当时，满足的样本点有个； 当时，满足的样本点有个； 当时，满足的样本点有个； 当时，满足的样本点有个； 当时，满足的样本点有，，，，，共个； 故所求概率为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，利用绝对值不等式的解法分析得的不等关系，从而得解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据各项的描述，结合正方体的结构特征及平面基本性质判断各项命题的真假. 【详解】如下图，正方体所示， 对于A，如图有，面，此时面，假命题； 对于B，两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面，真命题； 对于C，如图有面，面面，面， 所以，又面，则面， 又面，故面面，真命题； 对于D，如图有面，面，面，面， 如上图，面、面相交，假命题． 故选：BC 10. 已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，为抛物线上一点，且点满足，则（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 抛物线的准线方程为 C. 的最小值为 D. 的最小值为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】由，可得，可求得，准线方程为，即可判断A、B；设，可得，可得的最小值为，可判断C；作垂直于准线，垂足为点，当，，三点共线时，取得最小值，即可判断D. 【详解】对于A，由题意知，，所以， 化简得，解得（负值舍去）， 则，，直线的倾斜角为，故A选项正确； 对于B，由对于A的解答分析可知，抛物线， 抛物线的准线方程为，故B选项正确； 对于C，设，又，， 则，，则， 当时，取得最小值，且最小值为，故C选项不正确； 对于D，作垂直于准线，垂足为点，， 当，，三点共线时，取得最小值，且最小值为，故D选项正确． 故选：ABD. 11. 已知是定义在上的可导函数，满足，且，则（ ） A. B. 是奇函数 C. D. 在上单调递减 【答案】ABC 【解析】 【分析】赋值法，令，即可判断选项A；等式两边同乘，得，设，令即可判断选项B；关于求导，得，由知为常函数，即，设（，为常数），从而得到，求导判断单调性求解最值即可. 【详解】令，得，则，A项正确； 等式两边同乘，得， 设，则，易知， 令，得，是奇函数，B项正确； 关于求导，得，由知为常函数， 即，设（，为常数）， 由，得，由，得，即， 则，令得：， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， ，C项正确，D项不正确． 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则_______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据投影向量的定义计算可得. 【详解】，，则，， 所以在上的投影向量为， ，即. 故答案为：4. 13. 已知数列满足，，，记为其前项和，则_____，设数列的各项依次被4除，所得余数形成的数列为，则数列的前2025项和为_____． 【答案】 ①. 4 ②. 2698 【解析】 【分析】根据题设易得，即可求，再写出数列并判断周期性，并利用周期性求数列的前2025项和. 【详解】由题设，所以． 数列依次为，则数列依次为， 数列的前2025项是周期为6的周期数列，， 数列的前2025项和为． 故答案为： 14. 已知为双曲线的左焦点，过坐标原点的直线与双曲线交于，两点，且，，则双曲线的离心率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线的定义及所给条件求出，再由余弦定理化简得出，即可得解. 【详解】记双曲线的右焦点为，连接，，如图所示． 由双曲线及直线对称性，可知四边形为平行四边形，， 由双曲线的定义知，， 则，，，即， 则． 在中，由余弦定理得，化简得，则离心率． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角，，的对边分别为，，，． （1）求； （2）若，的面积为，求． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）方法一，利用两角和的正余弦公式，结合化简求解；方法二，由积化和差公式结合化简求解； （2）由余弦定理求得角，进而求得，再利用正弦定理将用表示，结合三角形面积求得答案. 【小问1详解】 （方法一）由题意得， ， 即， 即．由，得， 即，． （方法二）由积化和差公式得， 即．由， 得，化简得， 即，． 【小问2详解】 ，则， ， 由正弦定理得，， 的面积， 解得，即． 16. 在直角坐标系中，，分别是，轴上一点，且．动点满足，点的轨迹为． （1）求曲线的方程； （2）过点的直线与曲线交于，两点，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）设出点坐标，表达出向量，即可根据关系式得出曲线的方程； （2）作出图象，设出直线与椭圆的交点坐标和点到直线的距离，直曲联立得出一元二次方程，利用韦达定理得出面积的表达式，结合基本不等式即可求出最大值. 【小问1详解】 由题意， ，分别，轴上一点，且． 动点满足， 设，，， ∴，，， 即 ∴，解得：， ∴曲线的方程为：． 【小问2详解】 由题意及（1）得， 在中， 过点的直线与曲线交于，两点， 易知直线的斜率存在，设其方程为，即，设，， 由消去得， 由，得， ，． 设点到直线距离为，的面积为， ，解得： 设，则， ， 当且仅当时取等号， ∴面积的最大值为1． 17. 在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军．现有两种赛制，一种是“单败淘汰制”，具体赛制：抽签决定两两对阵人员，胜者晋级“胜者区”，并进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名；败者进入“败者区”，并进行比赛，决定第三、四名的归属．另一种是“双败淘汰制”，具体赛制：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获得第四名；紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名．已知甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立． （1）若，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁，求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望． （2）依据的取值情况，判断哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由． 【答案】（1）3.128 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）记甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数为随机变量，则的所有可能取值为2，3，4．求出相应的概率，根据数学期望公式即可求解； （2）分别求出“双败淘汰制”和“单败淘汰制”下获胜的概率，即可求解. 【小问1详解】 记甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数为随机变量， 则的所有可能取值为2，3，4． ：甲连负两局得第四名，． ：甲连胜两局进决赛，或负胜负得第三名，或胜负负得第三名， ． ：甲以前三局依次为胜负胜或负胜胜的赛果进入决赛， ． 故的分布列为 2 3 4 0.16 0.552 0.288 ． 【小问2详解】 在“双败淘汰制”下甲夺冠的概率， 在“单败淘汰制”下甲夺冠的概率， ，， 则当时，，“双败淘汰制”对甲夺冠有利； 当时，，“单败淘汰制”对甲夺冠有利； 当时，，两种赛制下甲夺冠的概率一样． 18. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数是减函数，求的取值范围； （3）证明：，． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由导数几何意义求切线方程； （2）由恒成立，然后再分类讨论，转化为求最值问题得参数范围； （3）在（2）中得出时，，然后令得不等式，让得个不等式相加可证 【小问1详解】 当时，，， 则，，所求切线方程为， 即． 【小问2详解】 ，则，由题意知恒成立， 设，则， 当时，，是减函数， 且当时，，当时，， 即不恒成立，不合题意； 当时，易知当时，单调递增， 当时，，单调递减， 由题意知，解得，即． 【小问3详解】 由（2）知，，又当时，是减函数， 即当时，，即． 令，，则， 即． 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，用导数研究不等式恒成立及证明不等式，第（3）小题证明的关键是在（2）中得出一个函数不等式即当时，，变形为，然后赋值：，，个不等式相加 19. 如图所示，用一个不平行于圆柱底面的平面截该圆柱所得的截面为椭圆面，得到的几何体称之为“斜截圆柱”．图一与图二是完全相同的“斜截圆柱”，是底面圆的直径，，椭圆所在平面垂直于平面，且与底面所成的二面角的大小为．在图一中，是椭圆上的动点，点在底面上的投影为点．在图二中，椭圆上的点在底面上的投影分别为点，且点均在直径的同一侧． （1）当时，求的长度． （2）（i）在图二中，当时，若点，，，将半圆均分成7等份，求； （ii）证明：． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据线线垂直可证明平面，进而根据二面角的定义可得，结合锐角三角函数即可求解， （2）（i）根据三角函数的定义可得，，，即可根据正弦的二倍角公式求解， （ii）根据，可得椭圆面的轮廓线即为函数的图象，根据矩形的面积结合拼接可得斜截圆柱的侧面积为， 根据函数图象与坐标轴围成的图形的面积为，即可求解. 【小问1详解】 如图1，取的中点，过点作与该斜截圆柱的底面平行的平面，交于点，交的延长线于点，与交于点． 因为，，所以，． 过点作的垂线，交圆于，两点，过点作交于点，又圆面，圆面，所以． 又因为，所以平面． 因为平面，所以，所以为椭圆面与圆所在平面的夹角，即为椭圆面与底面所成的角，所以，则为等腰直角三角形，． 设，如图2，作圆所在平面的俯视图，则， 由，，得，则，得， 所以，当时，． 【小问2详解】 （i）当时，，则，，，则． （ii）由（1）知，即是关于的函数，即将斜截圆柱的侧面沿着展开，其椭圆面的轮廓线即为函数的图象，如图3所示． 如图4，将，，，，绘制于函数的图象上，并以，为边作矩形，则矩形的面积即为，所以即为这些矩形的面积之和． 而两个该斜截圆柱可拼成一个底面半径为1，高为4的圆柱，因此该斜截圆柱的侧面积为， 所以函数图象与坐标轴围成的图形的面积为． 又因为无论点是否均匀分布在半圆弧上，这些矩形的面积之和都小于函数图象与坐标轴围成的图形的面积，所以，得证 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考模拟卷·数学 （120分钟150分） 考生须知： 1．本卷侧重：高考评价体系之应用性． 2．本卷怎么考：①考查数学文化及德智体美劳等的实际应用（题4、17）；②考查与国家经济社会发展、科学技术进步、生产生活相关的实际应用（题5、8）． 3．本卷典型情境题：题4、5、17． 4．本卷测试范围：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在下列统计量中，用来描述一组数据离散程度的量是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 标准差 2. 已知，则在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图，这是战国时楚国标准度量衡器，于1954年出土于湖南长沙的木衡铜环权，包括木质秤杆、两个铜盘和九枚铜环权，为等臂衡秤式样，其中铜环权类似于砝码，用于测量物体质量．已知九枚铜环权中质量最小的为1铢，最大的为8两（古制1两=24铢，1斤=16两），且按从小到大的顺序排列后前3项构成等差数列，后7项构成公比为2的等比数列，若某物体的质量恰为第2，5，7枚铜环权的质量和，则该物体的质量为（ ） A. 2两4铢 B. 2两14铢 C. 3两2铢 D. 3两12铢 5. 已知某种塑料经自然降解后残留量与时间（单位：年）之间的关系式为，其中为初始量，若这种塑料经自然降解，残留量不超过初始量的，则至少需要（ ）（参考数据：，） A. 9年 B. 10年 C. 11年 D. 12年 6. 已知函数，则图象对应的函数解析式可以为（ ） A B. C. D. 7. 在棱长为2正方体中，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系．若该正方体内一动点，满足则点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 8. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子三次，依次记录向上的点数.记为前两次点数的平均值，为三次点数的平均值，则与的差的绝对值不超过的概率是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B 若，，则 C 若，，则 D. 若，，，，则 10. 已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，为抛物线上一点，且点满足，则（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 抛物线的准线方程为 C. 的最小值为 D. 的最小值为4 11. 已知是定义在上的可导函数，满足，且，则（ ） A. B. 是奇函数 C. D. 在上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则_______． 13. 已知数列满足，，，记为其前项和，则_____，设数列的各项依次被4除，所得余数形成的数列为，则数列的前2025项和为_____． 14. 已知为双曲线的左焦点，过坐标原点的直线与双曲线交于，两点，且，，则双曲线的离心率为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角，，的对边分别为，，，． （1）求； （2）若，的面积为，求． 16. 在直角坐标系中，，分别是，轴上一点，且．动点满足，点的轨迹为． （1）求曲线的方程； （2）过点的直线与曲线交于，两点，求面积的最大值． 17. 在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军．现有两种赛制，一种是“单败淘汰制”，具体赛制：抽签决定两两对阵人员，胜者晋级“胜者区”，并进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名；败者进入“败者区”，并进行比赛，决定第三、四名的归属．另一种是“双败淘汰制”，具体赛制：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获得第四名；紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名．已知甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立． （1）若，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁，求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望． （2）依据的取值情况，判断哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由． 18. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数是减函数，求取值范围； （3）证明：，． 19. 如图所示，用一个不平行于圆柱底面的平面截该圆柱所得的截面为椭圆面，得到的几何体称之为“斜截圆柱”．图一与图二是完全相同的“斜截圆柱”，是底面圆的直径，，椭圆所在平面垂直于平面，且与底面所成的二面角的大小为．在图一中，是椭圆上的动点，点在底面上的投影为点．在图二中，椭圆上的点在底面上的投影分别为点，且点均在直径的同一侧． （1）当时，求的长度． （2）（i）在图二中，当时，若点，，，将半圆均分成7等份，求； （ii）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $