精品解析：浙江省杭州市江干区杭四吴山2024-2025学年高一上学期期中数学试题

杭州四中（吴山）2024学年第一学期高一年级期中考试 数学试题卷 考生须知： 1.本试卷分试题卷和答题卷，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷上填写班级、姓名、考场号、座位号，并填涂卡号. 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效. 4.考试结束，只上交答题卷. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用列举法写出集合A，再应用交运算求集合. 【详解】由题设，则. 故选：A 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可判断. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：C. 3. 已知函数，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据根式的性质求的定义域，再由复合函数定义域的求法求的定义域. 【详解】由题设，即的定义域为， 对于，有，则，即定义域为. 故选：D 4. 下列函数中，在上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断奇偶性可判断A；求出定义域和单调性可判断B；分别求出函数的定义域可判断C和D. 【详解】对于A，幂函数的定义域为，且在上单调递增， ，即为偶函数， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，的定义域为，且和均在上单调递增， 所以在上单调递增，故B正确； 对于C， 的定义域为，故C错误； 对于D，的定义域为，故D错误. 故选：B. 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶性可排除B和C；根据时，可排除A. 【详解】函数的定义域为，， 所以函数为奇函数，故排除B和C； 当时，，故排除A. 故选：D. 6. 已知函数，且的最大值为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的开口方向和对称轴的位置讨论函数的单调性，写出最大值为成立的条件即可. 【详解】因为的定义域为，所以， 图象的开口方向向上，对称轴方程为， 当时，，即， 所以在单调递减， 的最大值为，最小值为，不合题意； 当时，，即， 所以在单调递减，在单调递增， 又的最大值为，所以， 即，整理得，解得或， 又，所以， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 7. 某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：℃）满足函数关系（…为自然对数的底数，，为常数）.若该食品在30℃的保鲜时间是18小时，在20℃的保鲜时间是36小时，则该食品在0℃的保鲜时间是（ ） A. 54小时 B. 72小时 C. 108小时 D. 144小时 【答案】D 【解析】 【分析】将两组数据代入解析式，利用指对互化和对数的运算法则求出和的值，令，求解即可. 【详解】由题知，即，解得，则， 令，则， 所以该食品在0℃的保鲜时间是144小时. 故选：D. 8. 已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，都有；③.则下列选项不成立的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. ，使得 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知得到函数的奇偶性和单调性，可判断A；解不等式可判断B和C；结合函数单调性判断函数的最值可判断D. 【详解】由条件①得是偶函数，条件②得在上单调递减， 所以在单调递增，又，所以， 所以当时，；当时，. 对于A，，故A正确； 对于B，若，则，即， 解得或，故B正确； 对于C，若，则或， 即或， 解得或，故C错误； 对于D，因为定义在上的函数的图象是连续不断的， 且在上单调递减，在单调递增， 所以，所以对，只需即可，故D正确 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据已知条件得到函数的奇偶性和单调性，利用函数的性质解题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分.有选错的得0分. 9. 已知实数a，b，c满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】应用作差法判断A、B、D，根据不等式的性质判断C. 【详解】A：，又， 所以，则，即，对； B：，且，而符号不定， 所以符号不定，错； C：由题设，若，则，错； D：，则，对. 故选：AD 10. 已知函数图象经过点，则下列命题正确的有（ ） A. 函数为增函数 B. 函数为偶函数 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据幂函数所过点求解析式，进而判断其奇偶性、单调性，依次判断各项正误. 【详解】由题设得，故，则定义域为，故为非奇非偶函数， 且在上单调递增，A对，B错， 当，则，C对； 当，则， 所以，即，D对. 故选：ACD 11. 已知函数，恒成立，则的取值可以为（ ） A. B. 2 C. 5 D. 8 【答案】BC 【解析】 【分析】求出和，得到，将不等式恒成立问题转化为求解一元二次不等式即可. 【详解】的定义域为， 因为 ， 所以， 所以， 所以，即， 所以恒成立， 即恒成立，解得. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛： 本题的关键点是利用函数解析式，得到在定义域内恒成立. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 2024年10月21日，第52个梅森素数被发现，这也是迄今为止发现的最大素数.集合以这52个梅森素数为元素，其非空真子集有________个. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合中元素的个数为，则该集合的非空真子集个数为求解即可. 【详解】因为集合中有52个元素，所以集合的非空真子集的个数为. 故答案为：. 13. 数学学习过程中，要时刻记得这些注意点：遇到集合注意空集，遇到函数注意定义域，遇到含参方程要找定点，遇到向量要注意零向量，函数（且）的图象必过定点_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数的性质求图象所过定点坐标. 【详解】由，故函数图象必过定点. 故答案为： 14. 正实数，满足，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件得关于的方程，再将平方并替换，最后使用基本不等式求解即可. 【详解】依题意，因为， 所以， 所以， 即 ， 当且仅当，即,故取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了基本不等式的应用，解题的关键是根据已知条件得关于的方程，再将平方并替换，最后使用基本不等式求解即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）若，求，； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合并集以及补集定义求解即可； （2）分和求解即可. 【小问1详解】 若，则， 所以，或； 【小问2详解】 若，①当时，，解得； ②当时，，解得， 综上，， 所以的取值范围为. 16. （1）已知是一次函数，且满足，求； （2）已知，求； （3）已知函数，求； 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据已知设，结合已知得到多项式相等求参数，即可得解析式； （2）利用函数关系，列方程组求解析式即可； （3）根据解析式，讨论的取值，进而写出的分段函数形式. 【详解】（1）令，又， 所以， 所以，故； （2）由题设，联立， 所以，则，故； （3）由题设，时，时，时， 所以. 17. 已知函数，. （1）若过点，求； （2）若，当时，函数单调递增，求a的取值范围； （3）当时，若函数图象上除原点外至少存在一对点关于原点对称，求a的范围. 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将自变量取值代入分段函数的相应区间，建立方程待定系数，再求函数值； （2）分段函数单调性，通过函数各段单调性与两段间界点处值的大小分析，建立不等式求解参数范围即可； （3）根据题意，存在点对称问题转化方程有解问题，分类分析端点处函数值的符号，结合零点存在性定理寻找充分条件，然后结合基本初等函数的图象及不等式性质比较大小，证明必要性即可得参数范围. 【小问1详解】 由题意，解得， 所以当时，， 则. 【小问2详解】 根据题意得， 由函数在上单调递增， 则有，解得， 故a的取值范围是. 【小问3详解】 由， 由题意函数图象上除原点外至少存在一对点关于原点对称， 则方程在内有解. 当，则， 则， 令，， 其中， 当时，， 由零点存在性定理可知，在内存在零点， 即方程在内有解，满足题意； 当，，满足题意； 由上分析可知，当时，方程在内有解， 故在内有解， 即函数图象上除原点外至少存在一对点关于原点对称. ①下面证明：当时，方程，即在内无解. 由，得，则； 令，， 由，且， 在同一直角坐标系中，作出两函数的大致图象， 由图象可知，当时，； 则， 故当时，方程在内无解； ②下面证明：当时，方程在内也无解. 当，则， 则， 设，， 由，得，则； 令，， 由，且， 同理，作出函数的图象， 由图象可知，当时，； 则. 故当时，方程在内无解. 综上所述，若函数图象上除原点外至少存在一对点关于原点对称，则a的范围是. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在两点，一是将图象上存在关于原点对称的对点问题，转化为方程有解问题，但要注意分段讨论；二是结合指数函数、幂函数图象性质以及不等式的性质比较大小，分析判断组合函数值的符号，如当，时，由推证. 18. 已知奇函数经过点. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性并用定义进行证明； （3）若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2）单调递增；证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据为奇函数求出的值，根据的图象经过点求出即可求解； （2）利用单调性的定义判断即可； （3）由已知得，根据单调性求出最值即可求解. 【小问1详解】 因为为奇函数，所以， 即，所以，得， 所以，， 因为函数经过点，所以，解得， 所以； 【小问2详解】 ，， ， 因为，，所以， 所以，即， 所以函数在上单调递增； 【小问3详解】 因为存在，使得不等式成立， 则， 由（2）知，函数在上单调递增，且奇函数， 所以函数在上单调递增， 所以当时，； 令，， 的图象开口方向向上，对称轴方程为， 当时，， 所以，解得或，所以； 当时，， 所以，解得或，所以， 综上，或， 所以实数m的取值范围为. 19. 设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素，使得，则称A为“等差集”. （1）若集合，且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B； （2）若集合是“等差集”，求m的值； （3）已知正整数，证明：不是“等差集”. 【答案】（1）或或； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用“等差集”的定义列举即可； （2）利用“等差集”的定义分类讨论解方程求参数即可； （3）利用反证法结合新定义证明即可. 【小问1详解】 因为，且B是“等差集”， 所以B至少含有三个元素， 根据“等差集”的定义可知：， 所以或或； 【小问2详解】 若，则， 又因为各元素为正整数，显然此时，不符题意，舍去； 若，则或， 显然时，，舍去，而时，，符合题意； 若，则， 同上，显然此时，不符题意，舍去； 综上所述：. 【小问3详解】 假设是“等差集”，显然 则存在，使得成立， 整理得， 易知，则，此时， 与集合元素的互异性矛盾，所以假设不成立，证毕. 【点睛】思路点睛：仔细审题，读出有用信息，根据集合的三要素，通过分类讨论可解决第二问，结合正难则反的思想可处理第三问. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 杭州四中（吴山）2024学年第一学期高一年级期中考试 数学试题卷 考生须知： 1.本试卷分试题卷和答题卷，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷上填写班级、姓名、考场号、座位号，并填涂卡号. 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效. 4.考试结束，只上交答题卷. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，在上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，且的最大值为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：℃）满足函数关系（…为自然对数的底数，，为常数）.若该食品在30℃的保鲜时间是18小时，在20℃的保鲜时间是36小时，则该食品在0℃的保鲜时间是（ ） A. 54小时 B. 72小时 C. 108小时 D. 144小时 8. 已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，都有；③.则下列选项不成立的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. ，使得 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分.有选错的得0分. 9. 已知实数a，b，c满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数图象经过点，则下列命题正确的有（ ） A. 函数增函数 B. 函数为偶函数 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知函数，恒成立，则的取值可以为（ ） A. B. 2 C. 5 D. 8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 2024年10月21日，第52个梅森素数被发现，这也是迄今为止发现最大素数.集合以这52个梅森素数为元素，其非空真子集有________个. 13. 数学学习过程中，要时刻记得这些注意点：遇到集合注意空集，遇到函数注意定义域，遇到含参方程要找定点，遇到向量要注意零向量，函数（且）的图象必过定点_________. 14. 正实数，满足，则最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）若，求，； （2）若，求的取值范围. 16. （1）已知是一次函数，且满足，求； （2）已知，求； （3）已知函数，求； 17 已知函数，. （1）若过点，求； （2）若，当时，函数单调递增，求a的取值范围； （3）当时，若函数图象上除原点外至少存在一对点关于原点对称，求a的范围. 18. 已知奇函数经过点. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上单调性并用定义进行证明； （3）若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围. 19. 设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素，使得，则称A为“等差集”. （1）若集合，且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B； （2）若集合是“等差集”，求m的值； （3）已知正整数，证明：不是“等差集”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$