第1节 角、相交线与平行线(含命题)(精讲册)-【练客中考】2025年安徽中考数学提优方案

三角形知识脉络图 线段和直线 角的换算：余角和补角 AB+AC>BC.BC-AB<AC ∠ACD>∠ABC,∠ACD>∠BAC 基本 F定义一∠ABD=∠CBD 性质 三角形 角平 ∠ACD=∠ABC+∠BAC 及其 线段、角、 分线 性质一DE=DF 相交线 中线高线.角平分线中位线一重要线段 性质 逆定理一 若DE=DF 与平行线 则BD平分∠ABC 相交线一同位角，内错角同旁内角 AB=AC 平行线一平行线的判定与性质 ∠ABC=∠ACB(等边对等角) 性 AD是中线、高线、角平分 命题一真、假命题；逆命题 线（三线合一） 等腰 三角形 对应角相等，∠A=∠D 有两条边相等的三角形】 ∠B=LE,∠C=∠F 有两个角相等的三角形」 性 对应边相等，AB=DE, 质 三 BC=EF.AC=DF 具有等腰三角形的所有性质 腰三角形 全等三角形 的性质 对应线段相等 AB=AC=BC 性 与判定 周长、面积对应相等 ∠ABC=∠ACB=∠BAC=60 等边 判 SSS.SAS.ASA.AAS 三边都相等的三角形 三角形 HL(只造用直角三角形) 三个角都相等的三角形 有一个角为60°的等腰三角形 对应角相等，LA=∠D ∠B=∠E.∠C=∠F ∠A+∠C=∠ABC=90° 对应边成比例 勾股定理：AB+BC=AC 斜边上中线： AB_BC_AC RD-AD-CD-AG 质]B DE EF DF 直角 对应线段成比例 若∠A=30° 则BC=7AC 三角形 周长比等于相似比 相似三角形 有一个角为90°的三角形 的性质 面积比等于相似比的平方 判 有两个角互余的三角形 与判定 满足AB+BC=AC的三角形 角三角形 两角分别相等 两边对应成比例且夹角相等 三边对应成比例 具有等腰、直角三角形的 所有性质，∠A=∠C=45 性 B 质 正弦，余弦，正切 AC=2AB=2BC 锐角三 等腰 直角 角函数 三角形 锐角三角函数 L特殊角的三角函数值 顶角为90°的等腰三角形 及其应用 两条直角边相等的直角三角形 判 解直角三角形的实际应用 有一个角为45°的直角三角形 有两个角为45°的三角形 59 练宫中密安敏数学特讲册 第四章 三角形 第一节 角、相交线与平行线（含命题） 核心知识精讲练 知识点)线段和直线 知识精讲 例1已知C为直线AB上一点，AB=8,BC=6, 1.两个基本事实 M,N分别是AB,BC的中点，求线段MN的长. (1)两点确定一条直线 (2)两点之间，线段最短 2.两点间的距离：连接两点间线段的长度 3.线段的中点 如图，若M是AB的中点，则AM=BM= AB 4M方 4线段的和差 如图，若C是线段AB上一点，则AB=AC+BC,AC= AB-BC,BC=AB-AC B 知识点2角及角平分线 知识精讲 例2如图，0为直线AB上一点，OC平分 1.度、分、秒的换算 ∠AOE,∠D0E=90°，有下列四个结论： 度，分、秒之间是60进制，1°=① ①∠AOD与∠BOE互为余角： ② ②若∠B0E=5816',则∠C0E=6052'; 2.余角 (1)如果两个角的和等于③ ,那么我们称这 ③∠BOE=2∠COD: 两个角互为余角，简称互余 ④OD平分∠COA. (2)同角（或等角）的余角④ 其中正确的是 3.补角 (1)如果两个角的和等于⑤ ,那么我们称这 两个角互为补角，简称互补 ) (2)同角（或等角）的补角⑥ 例2题图 4.角平分线 A.①②③④ B.①②③ (1)概念：如果一条射线把这个角分成两个相等的 C.①2④ D.②③④ 角，那么这条射线叫作这个角的平分线2022年版课 变式2如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分 标新增] 线，AB=8,AC=5,Sam=12,则△ACD的面积 (2)性质：角平分线上的点到角两边的距离⑦) 为 (3)逆定理：角的内部到角两边的距离相等的点在角 平分线上 变式2图 60 第四章三角形练区中密 知识点③》相交线 知织精讲 例3如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC 1.三线八角 于点D,AC的垂直平分线交BC于点E.若 ∠BAG=1O4°，则∠DAE的度数为 图示 对顶角⑧ ∠1与∠3，∠2与 对顶角 例3题图 ∠4，∠5与∠7，∠6与∠8互为对顶角 A.22 B.24 C.26 D.28 邻补角之和为⑨ ,∠1与∠2或 邻补角 变式3-1(2024北京)如图，直线AB和CD相 ∠4，∠5与∠6或∠8互为邻补角. 交于点0，OE⊥OC.若∠A0C=58°，则∠E0B 同位角有：∠1与∠5，∠2与0 同位角 ∠3与① ,∠4与2 的大小为 ( 内错角 内错角有：∠3与∠5，∠4与B 同旁内角同旁内角有：∠3与∠6，∠4与4 2.垂线与垂线段 (1)垂线的性质 变式3-1图 ①过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 A.29° B.32 C.45 D.58o ②在连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 变式3-2如图，在矩形ABCD中，对角线AC ⑤ 最短 与BD相交于点O,若AE是OB的垂直平分 (2)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线 段的长度 线，且AB=3,则BC的长为 (3)线段的垂直平分线 ①性质：线段垂直平分线上的点到该线段两端点的距 离相等 ②逆定理：到线段两端点距离相等的点在该线段的垂 变式3-2图 直平分线上 D知识点4》平行线的判定及性质【重点] 知巩精讲 例4将一副直角三角板按如图所示摆放， 1.平行线的公理及推论 ∠GEF=60°，∠MNP=45°，AB∥CD,则下列结 (1)公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这 条直线平行 论不正确的是 (2)推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么 这两条直线也互相平行 【知识拓展】在同一平面内，垂直于同一条直线的两 条直线平行 2.平行线的判定与性质 C M 例4题图 （)月位角相等餐两直线平行 A.GE∥MP B.∠EFN=150 C.∠BEF=60 D.∠AEG=∠PMW （2)内结角相等警两直线平行 (③)同旁内角互补餐两直线平行 61 练宫中考■安徽数学特讲册 变式4-1如图，给出下列条件：①∠B+∠BCD=3平行线间的距离 180°：②∠1=∠2：③∠3=∠4：④∠B=∠5； (1)两条平行线中，一条直线上的点到另一条直线的 垂线段的长度 ⑤∠B=∠D.其中一定能判定AB∥CD的条件 (2)两条平行线之间的距离处处相等 是 (填写所有正确的序号). 课堂笔记 24人5 变式4-1图 变式4-2已知直线a,b,c在同一平面内，且a∥ b∥c,a与b之间的距离为5cm,b与c之间的 距离为3cm,则a与c之间的距离是 知识点⑤命题 如风精讲 例5已知命题：若ac2>bc2,则a>b, 1.命题 (1)这个命题是 命题（填“真”或 (1)判断一件事情的语句叫作命题 “假”)： (2)每个命题有条件和结论两部分 (2)写出它的逆命题： 2.真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命 题叫作真命题 (3)要用反证法证明这个命题，第一步应该先 3.假命题：如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这 假设 样的命题叫作假命题 变式5对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠ 4.反例：要说明一个命题是假命题，可以举出一个例子， ∠2.”能说明它是假命题的反例是 使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例 A.∠1=∠2=40° 子称为反例 B.∠1=∠2=45 5.互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论 C.∠1=50°，∠2=50 分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为 D.∠1=40°，∠2=50 互逆命愿，其中一个命题称为另一个命题的逆命题 安微真题随堂测 (建议用时：15分钟) 命题点角及角平分线 2.(2024毫州三模改编)两个直角三角板如图摆 拓展训练 放，其中∠BCA=∠DGE=90°，∠E=45°，∠A= 1.(2024准北三模)如图，∠A0C=∠B0D=90° 30°，AC与DG交于点F.若∠EDB=58.1°，则 ∠A0D=126°，则∠B0C的大小为 () ∠FDA的大小为 () ) 第1题图 D 第2题图 A.36 B.44° C.54° D.63° A.63.1°B.73.1° C.76.9°D.58.1 62 第四章三角形练区中唐 0命题点2》利用平行线性质求角度(2021.5) 7.(2024合肥四十五中三模)一副直角三角 3.(2021安徽5题4分)两个直角三角板如图摆 板如图摆放，点C,F均在直线1上，∠A= 放，其中∠BAC=∠EDF=90°，∠E=45°， ∠EFD=90°，若DE∥I,∠1=35°，则 ∠C=30°，AB与DF交于点M.若BC∥EF,则 ∠BMD的大小为 ∠CEF的度数为 B D 第3题图 CF A.60 B.67.5C.75 D.82.5° 第7题图 拓展训练 A.5° B.10° C.20 D.25° 4.(2024合肥包河区一模)已知直线m∥n, 8.(2024合肥新站区一模)如图，一束平行于 将一块含45角的直角三角板ABC按如图 主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光 方式放置，其中斜边BC与直线n交于点 线与一束经过光心O的光线相交于点P, D.若∠1=25°，则∠2的度数为 () 点F为焦点.若∠1=155°，∠3=55°，则 ∠2的度数为 第4题图 第8题图 A.60° B.65 C.70° D.75 A.25° B.30° C.35 D.40 5.(2024合肥包河区二模)如图，一束太阳光 9.(2024合肥瑶海区三模)如图是某款婴儿 线照射直角三角板ABC(∠BAC=30°)后 手推车的平面示意图，若AB∥CD,∠1= 投射在地面上得到线段BD,若∠1=32°， ∠2=50°，则∠ABD= () 130°，∠3=35°，则∠2的度数为 (） 第5题图 A.12 B.15 C.18 D.20 第9题图 6.(2024阜阳三模)如图，把矩形ABCD沿EF A.75° B.80° C.85 D.90° 折叠，若∠1=52°，则∠AEF= () 命题点3)命题(2020.9) 拓展训练 B 10.(2024合肥包河区二模)命题“如果a,b 第6题图 互为相反数，那么a+b=0”的逆命题为： A.1280 B.120° C.116 D.112 4 但军提示 请完成《课后提什练》P34习题 63当n>0时，M=0+2-4002-2=402+ 例1(1)1<AC<11(2)75°(3)70 变式1-12a变式1-280 1 10=-4000n-200)2+10, 例2(1)①1②8(2)①70°②10(3)①4 故n=200时，NL有最大值，为10. ® 变式2-15变式2-2130° 当m<0时M=2+2-0-2=2-= 1 安徽真题随堂测 1 1D2.B3.C4B53 6.17.B8.D 4000n-200)2-10, 9.B :n<200时，N忆随n的增大而减小，-30≤ n≤400. 第三节特殊三角形及其性质 当a=-30时，有最大值，为品+3<10 核心知识精讲练 ①相等②1③60°④3⑤60· ⑥90°⑦-半 精 综上所述，主索到射灯光线的最大竖直距离为 ⑧一半⑨相等①45° 10m. 例1(1)22(2)40°(3)36°(4)15 讲 (i)100. 变式1-1C 册 D 变式1-2(4) (2)75°(3)①3②8 例2(1)12或7+7(2)①8 ②80°③24 (3)0号，24②4(4)等腰直角三角形 第2题解图 变式2-1D变式2-2√10 3.解：(1)答：甲种有机产品每天的销量为112袋，乙 安徽真题随堂测 种有机产品每天的销量为118袋. 1.C2.B3.B4.B5.B6.C7.A (2)当乙种有机产品的销售单价n为60时，这两种 第四节全等三角形 有机产品每天销售的总利润最大，最大利润是 3125元. 核心知识精讲练 4.解：(1)(x2-60x+800);(-x2+30x):(-x2+ ①相等②相等③相等④相等 20x). 例1(1)3(2)40° (2)当育苗区的边长为10m时，A,B两种花卉的总 例2(1)AB=DE(2)∠A=∠D 产值相等. (3)LACB=∠DFE (3)答：A,B,C三种花卉的总产值之和的最大值为 (4)AB=DE (5)AB=DE AC=DF 168000元. (6)略 第四章三角形 变式2-1证明：略. 变式2-2(1)∠BE=60°.(2)证明：略. 第一节角、相交线与平行线（含命题） 变式2-3证明：如解图，延长FE交DA延长线于点 核心知识精讲练 M,作FH⊥AD于点H,则四边形CDHF是矩形. ①60'②60”③90°④相等⑤180°⑥相等 E是AB中点， ⑦相等⑧相等⑨180°⑩∠6①∠72∠8 ..AE BE. B∠6④∠5⑤垂线段 AD∥BC, 例1解：线段MN的长为7或1. 即AM∥BC, 例2B变式25例3D .∠AME=∠BFE, B 2 变式3-1B ∠MAE=∠FBE, 变式2-3解图 变式3-23√5例4C变式4-1①③④ △AME≌△BFE(AAS),∴.AM=BF 变式4-22cm或8cm .AD =2CF,CF DH,..AH DH =CF, 例5(1)真(2)若a>b,则ac2>bc2(3)a≤b .AM +AH BF CF,MH BC. 变式5B ,FH=CD,∠MHF=∠BCD=90° 安徽真题随堂测 ∴.△MFH≌△BDC(SAS),∴.∠AMF=∠CBD. 1.C2.C3.C4.C5.A6.C7.C8.B9.C 又.·∠AMF=∠BFG,.∠CBD=∠BFG, 10.如果a+b=0,那么a,b互为相反数 .∴.BG=FG 第二节三角形及其性质 安徽真题随堂测 核心知识精讲练 1D2.C3c422 ①大于②小于③180°④和⑤大于⑥相等 5.(1)证明：略. ⑦1：2 (2)解：MN=5,