第5节 二次函数性质综合题(精讲册)-【练客中考】2025年安徽中考数学提优方案

练召中雪■安徽数学转讲册 第五节 二次函数性质综合题 重难类型突破 P类型》性质综合题 【思路点拨】 例1(2024安徽23题14分)已知抛物线y=-x2+bx(b为常数) (2)(i)把点B的坐标代入抛 的顶点横坐标比抛物线y=-x2+2x的顶点横坐标大1. 物线，得出h关于t的表达式， 再把h用含t的式子表示，先 (1)求b的值： 计算出t的值 (2)点A(x1,y1)在抛物线y=-x2+2x上，点B(x,+t,y1+h)在抛 物线y=-x2+bx上 (i)若h=3t,且x1≥0，b>0,求h的值； (i)若x=t-1,求h的最大值， (i)在(i)的基础上将用t -1代换，根据二次函数的性 质求最值 48 第三章岛教练写中鹰 类型2与图象的变化有关 【思路点拨】 例2(2024合肥包河区一模改编)点A的坐标为(4,0)，抛物线 (1)设AB交y轴于点M,先根 M1:y=ax2+bx(a≠0)过点A,B为第四象限内抛物线上一点，其纵 据题意画出抛物线M1,由 tan∠OAB=2,先求出点M的 坐标为-6，tan∠OAB=2. 坐标，再求直线AB的表达式， (1)求抛物线M,的表达式； 求出点B的坐标 (2)已知C为直线AB下方的抛物线上一动点，过点C作CD∥x轴 交直线AB于点D,设点C的横坐标为h,点E(0,-4),连接AE. (i)当CD取最大值时，求h的值； (ii)将抛物线M1向上平移m(m>1)个单位长度得到抛物线M2,当 艺抛物线M,与直线AE有两个交 (2)(i)先设出点C的坐标，点 C与点D的纵坐标相同，把点 范围。 D纵坐标代入直线AB表达式 求出点D的横坐标 (i)判断抛物线与直线的交点 情况时，如果限制了区间不能 直接联立方程判断，要根据区 间的端点对应的坐标，求出相 应的未知数，再确定范国。 ①设平移后的抛物线表达式 为y=2x2-8x+m,求出直线 4让上横坐标为号和子的两点 P和Q的坐标，分别计算出当 抛物线M2过点P,Q时m的 值，再判断此时抛物线M2与 线段PQ的交点情况，②求平 移后的抛物线与直线AE有唯 一公共点时对应的m值 49 练宫中害■委徽数学转讲册 类型3》与面积有关 【思路点拔】 例3(2024合肥四十五中一模改编)抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点 (2)涉及求抛物线的最小值 A,B,与y轴交于点C,点A的坐标为(-1,0)，点B的坐标为(3,0) 时，要先判断对称轴在区间 (1)求抛物线的表达式； 位置， 方法参考P43 (2)当a-2≤x≤a+1时，抛物线有最小值5，求a的值； (3)若P是第四象限内抛物线上一动点，连接PB,PC,求△PBC的 面积S的最大值， (3)求面积最值的方法参考 P45微专题二 50 第三章教 练宫中喜门 安徽真题 随堂测 (建议用时：40分钟) 命题点1性质综合题(2024.23,2021.22) 拓展训练 1.(2021安徽22题12分)已知抛物线y=ax2- 2.(2024合肥瑶海区二模)已知：抛物线y= 2x+1(a≠0)的对称轴为直线x=1. ax2+bx+4的图象与x轴交于点A(-1, (1)求a的值； 0),B(4,0),交y轴于点C,P为抛物线上 (2)若点M(x1,y1),N(x2,y2)都在此抛物线 一动点，其横坐标为 上，且-1<x1<0,1<x2<2,比较y1与y2的大 (1)求抛物线的表达式； 小，并说明理由； (2)将点P向右平移2个单位长度得到点 (3)设直线y=m(m>0)与抛物线y=ax2-2x+1 Q,若点Q也在抛物线上，求t的值； 交于点A,B,与抛物线y=3(x-1)2交于点C, D,求线段AB与线段CD的长度之比. （3)当点P到x轴的距离不大于2时，求1 的取值范围。 57 练宫中害■委徽数学转讲册 色命题点2与图象的变化有关(2021.14,2020.22) 拓展训练 3.(2020安徽22题12分)在平面直角坐标系 4.(2024德阳政编)抛物线y=x2-x+c与x 中，已知点A(1,2),B(2,3),C(2,1),直线 轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于 y=x+m经过点A,抛物线y=ax2+bx+1恰 点C 好经过A,B,C三点中的两点。 (1)求抛物线的解析式； (1)判断点B是否在直线y=x+m上，并说明 (2)当0<x≤2时，求y=x2-x+c的函数 理由； 值的取值范围： (2)求a,b的值； (3)平移抛物线y=ax2+bx+1,使其顶点仍在 (3)将抛物线的顶点向下平移子个单位长 直线y=x+m上，求平移后所得抛物线与y轴 度得到点M,点P为抛物线的对称轴上 交点纵坐标的最大值， 动点，求PA+5PM的最小值 52 第三章岛 练客中害 8命题点3》与面积有关(2023.23) 拓展训练 5.(2023安徽23题14分)在平面直角坐标系 6.(2024合肥瑶海区三模改编)在平面直角坐 中，0是坐标原点，抛物线y=ax2+bx(a≠0) 标系中，点0是坐标原点，抛物线y=ax2+ 经过点A(3,3),对称轴为直线x=2. bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点B(3, (1)求a,b的值： 0)两点，与y轴交于点C(0,3) (2)已知点B,C在抛物线上，点B的横坐标为 (1)求二次函数的表达式； t,点C的横坐标为t+1.过点B作x轴的垂线 (2)已知D为线段BC上的一动点. 交直线OA于点D,过点C作x轴的垂线交直 (i)求△AOD周长的最小值： 线OA于点E. (i)过动点D作DP∥AC交抛物线第一象 (i)当0<t<2时，求△OBD与△ACE的面积 限部分于点P,连接PA,PB,记△PAD与 之和； △PBD的面积和为S,当S取得最大值时， (i)在抛物线对称轴右侧，是否存在点B,使得 求点P的坐标 以BC,D,E为顶点的四边形的面积为？若 存在，请求出点B的横坐标t的值；若不存在， 请说明理由. 温春提承请完成（课后提升练》P28~29习题 53微专题二二次函数中与面积有关的问题 例3解：(1)抛物线的表达式为y=x2-2x-3. 9 (2)y=x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4，即抛物线 1.B2.B3.解：S6m=2 4.D 的最小值是-4， 5.解：(1)抛物线的解析式为y=-x2+2x+8. 即x=a-2和x=a+1不可能在抛物线对称轴两 (2)点M的坐标为(+区，山+区)或 侧.当a+1≤1时，即a≤0， 21 2 则x=a+1时，抛物线取得最小值， 压-，. 2 即y=(a+1)2-2(a+1)-3=5, 解得a=3(舍去)或a=-3, 6.解：(1)抛物线的解析式为y=- +4 即a=-3.当a-2≥1时，即a≥3， (2)8-号的最大值为号 则x=a-2时，抛物线取得最小值， 7.解：(1)二次函数的表达式为y=-x2+2x+3. 即y=(a-2)2-2(a-2)-3=5, (2)P点的坐标为(1,2). 解得a=6或a=0(舍去)， 精 (3):Sg边形604Q=SA40+SAM0,SAm为定值， 综上所述，a=6或a=-3. SEm取最大值时，S△A0取最大值. (3)如解图，过点P作PH∥y轴交BC于点H, 册 设Q(m,-m2+2m+3), 由抛物线的表达式知， 如解图，连接QA,QB,0Q, 点C(0,-3), A(3,0),B(0,3), 由点B,C的坐标得， S=S+S00-SA0 1 1 直线BC的表达式为 2×3m+2×3(-m2+ y=x-3, 3 2m+3)-3×3x3=- 第7题解图 设点H(x,x-3), *9 则点P(x,x2-2x- 3), 当m=时，5o最大， 则S=SAPe+S△ 1 1 此时点Q的坐标为(2，宁》。 =2·PH·OB=2 例3解图 第五节二次函数性质综合题 x(-3-+2+3)x3=-(x-2+号 重难类型突破 例1解：(1)b=4. 贸 (2)点A(x,少1)在抛物线y=-x2+2x上， .y1=-x行+2x 即△PBC的面积S的最大值为受 点B(x1+t,y1+h)在抛物线y=-x2+4x上， 安徽真题随堂测 六当+h=-(x1+t)2+4(x1+t), 1.解：(1)a=1. -x号+2x1+h=-(x1+t)2+4(x1+t), (2)y1>y .h=-2-2x,t+2x1+41 (i)h=3t,.3t=-2-2x1t+2x,+4t, (3)联立y=m与y=(x-1)2, (1+2x1)=t+2x1 可得A(1-√m,m),B(1+√m,m), x1≥0,1>0， ∴AB=2√m.联立y=m与y=3(x-1)2, t+2x1>0, t=1,.h=3. 可得c1-号m),01+号m. (ii)将x1=t-1代人h=-2-2x4+2x1+41, .h=-32+8t-2, .CD=23m.AB:CD=:1. 3 h=-3-P+9:-3<0, 2.解：(1)抛物线的表达式为y=-x2+3x+4. 当1=号，即=}时，h取最大值为9 1 (21=2 例2解：(1)抛物线M1的表达式为y=2x2-8x (2)(0当A=3时，CD取最大值 (3):的取值范围为32压≤1≤-号或子≤1 2 ()m的取值范围为6≤m<号 ≤3+34 2 -5 3.解：(1)点B在直线y=x+m上.理由略 5.解：(1)a=-1,b=4. (2)a=-1,b=2 (2)(i)如解图1，易知直线OA的解析式为y=x (3)平移后所得抛物线与y轴交点的纵坐标的最大 由题意可知B(L,-2+4),D(,),C(t+1,-2+ 值为子 21+3),E(t+1,t+1), .BD=-2+4t-t=-2+3t,CE=-t2+2t+3- 4.解：(1)抛物线的解析式为y=x2-x-2. (t+1)=-2+t+2, (2y=--2=-22- 5am=20=3×(-f+30i=+ 1 六抛物线y=x2-x-2开口向上，顶点坐标为(2， 32 2, -?),对称轴为直线x=子 0E(%-)=3x(-1+2)3 10-71<12-21,0<x≤2， 精 -+11-2+2 ·当x=2时，y取最大值为22-2-2=0； 讲 ·.S608n+S△MaE=2. 册 当=分时，了取最小值为-号 当0<x≤2时，函数值的取值范围是-号 y≤0 (3)如解图，连接BM,AM,过点A作AH⊥BM于点 H,交抛物线对称轴直线x=于点P严，设直线x 图 图2 交：轴于点心 第5题解图 (i)存在. 在y=x2-x-2中， 过点D作DH⊥CE于点H,则H(t+1,t) 令y=0得0=x2-x-2, 分以下两种情况讨论. 解得x=-1或x=2, ①当2<：<3时，如解图2，易知四边形DCEB为梯 .B(2,0), B 形，此时BD=-2+3,CE=t+1-(-2+21+3) AB=3,BN=2- =-4-2,D明=1+1-t=1,Se0m=2(BD+ M 第4题解图 CB),Dn=(-f+3+2-1-2)x1=4-1. :将抛物线的顶点（宁，一？）向下平移？个单位 令1-1号解得1= 5 长度得到点M, ②当t>3时，如解图3，易知四边形DBCE为梯形， M分-3)MN=3, 此时BD=t-（-2+4t)=2- y t=2 31,CE=t2-t-2,DH=1, 则=m+=√侵产+3 2 3 ASm=2(BD+GE） sin L BMN=BN 2 DH= BM355' 2r-3+t1-2)x1f 2 第5题解图3 P'H5 24-1. P=,PH=PM、 令-21-1 2 六PA+pM=P'A+P'H=AA 由垂线段最短可知，当P与P"重合时，PA+5PW 部得4=1（合去=-1（合去. 5 最小，最小值为AH的长度， 综上所述，4的值为子 :2SAAw=AB·MN=BM·AH, 6.解：(1)抛物线的表达式为y=-(x+1)(x-3) AH=4B:MN-3×3-65 -x2+2x+3. BM 35 5 (2)(i)如解图1，作点0关于直线BC的对称点E, 连接EC,EB,EO, PA+停PN的最小值为；5 点A(-1,0),B(3,0),C(0,3),∠B0C=90°， .0A=1,0B=0C=3. :O,E关于直线BC对称， .矩形P,PP,P.的面积为(18-3n)n=-3n2+ ∴.四边形OBEC为正方形，.E(3,3)。 18n=-3(n-3)2+27. 连接AE,交BC于点D,连接DO, -3<0,∴.当n=3时，矩形P,P2PP4的面积取 由对称性可得IDE1=IDO1, 最大值，最大值为27.此时P2P,=3,PP=9. 此时IDOI+IDA|有最小值，最小值为AE的长， .AE=AB+BE=42+32=5. 令-石+8=3，解得=±V30 :△AOD的周长为DA+D0+A0,A0=1,DA+D0 ,∴，此时点P,的横坐标的取值范围为-√30+9≤ 的最小值为5， p≤√30. ∴△A0D周长的最小值为5+1=6. 方案二：设P,R=n,则P,P=18,2n=9-n, 2 矩形P,P2PP的面积为(9-n)n=-n2+ 9-a-3+ -1<0, 精 ∴当a=时，矩形PPPR,的面积取最大值，最 讲 册 图1 图2 第6题解图 大值为 (ii)如解图2，连接PC, 由PD∥AC得，SAPm=S△cPD 此时PR=号，PR=号令 9 .9 21 .S=SAPAD +SAPD SAPCD+SAPmD =SAPBC 解得x=±√2T, 过点P作PN⊥x轴于点N,交BC于点M, 此时点尸，的横坐标的取值范图为-万+号≤ S-5ame-Sanwe+ammOPMPM. P≤2i 易知直线BC的表达式为y=-x+3. 例2解：(1)y与x的函数关系式为y=-0.4x2+ 设P(m,-m2+2m+3),则M(m,-m+3), 20x+12000:每辆轮椅降价20元时，每天的销售利 5=2(-m+2m+3)-(-m+3] 润最大，最大利润为12240元. (2)答：这天售出了64辆轮椅. 2m-》+ 例3解：(1)S关于x的函数关系式为S=-3x2+ 一号<0，当m=号时，有最大值，最大值 24(号ss6. 为帽 (2)当x=学时，花圆ABCD能围皮的最大面积为 此时点P的坐标为(，疗》. 配 第六节二次函数的实际应用 (3)当A-号m,BC=9■时，能使围成的花圃面 重难类型突破 积为51m2. 例1解：(1)此抛物线对应的函数表达式为y=-6 安徽真题随堂测 1.解：(1)所求的函数关系式为h=-0.2(x-2.5)2 x2+8. +3. (2)():点P,的横坐标为m(0<m≤6)，且四边 (2)选手在训练时应增加起跳高度0.25m 形P,PPP,为矩形，点P2,P3在抛物线AED上， 点R的坐标为(m,石+8)。 2解：1)该抛物线的表达式为y=02+2 (2)(i)设直线MD的表达式为y=x+b(k≠0)， RA=PR=AMN=-石+8，B=2m, 将M(-30,-1),P0,2)代入可得1=-30+6 12=b 1=3(-石2+8)+2m=-(m-2y2+26 =而，直线MD的表达式为y=。+2 解得 -<0, b=2 如解图，作垂直于x轴的直线交MD于点N,交抛物 ,当m=2时，1有最大值，最大值为26. 线于点L, (i)设点P1的横坐标为P, 方案-：设PzP1=n,则P2P3=18-3n, 设点N的坐标为(a,0+2),则L为a2+2),