第2节 代数式与整式(含因式分解)(精讲册)-【练客中考】2025年安徽中考数学提优方案

第一章鼓与式练区中 第二节 代数式与整式（含因式分解） 核心知识精讲练 色知识点)代数式及其求值 知识精讲 例1人教七上P8622改编】某种商品原价为每件b1.代数式 元，第一次降价打八折，第二次降价每件又降10元，则第 用运算符号把数或表示数的字母连接 一次降价后的售价是 元，第二次降价后的售价是 起来的式子，我们称这样的式子为代数 式.单独的一个数或字母也是代数式 元 2.代数式求值 变式1-1(1)(2024苏州)若a=b+2,则(b-a)2= (1)直接代入法 把已知字母的值代入代数式，并按原来 (2)(2024蚌埠蚌山区三模改编)若实数a,b满足a-2b+ 的运算顺序计算求值 1=0,则代数式2024-2a+4b的值为 (2)整体代入法 变式1-2(2024云南)按一定规律排列的代数式：2x,3x2, ①当单个字母的值不能或不易求时，观 4x3,5x,6x3,…,第n个代数式是 () 察已知条件和所求代数式的关系 ②将所求代数式变形后与已知代数式 A.2x” B.(n-1)x 成倍数或分数关系，一般会用到提公因 C.na D.(n+1)x 式法、平方差公式、完全平方公式 知识点2》整式的相关概念 知识精讲 例2下列说法正确的是 1.单项式 A2沙不是整式 (1)用数与字母的积表示的式子叫作单 项式，单独的一个数或字母也是单项式 B是单项式 (2)系数：单项式中的数字因数 (3)次数：一个单项式中所有字母的指 C.多项式4x2-3x是三次二项式 数和 D.单项式3πmn的系数和次数都是3 2.多项式 变式2-1下列各式中，与5x2y是同类项的是 (1)几个单项式的和叫作多项式 A.xy B.5x C.2xy D.-2y (2)项：每个单项式叫作多项式的项，不 变式2-2已知关于y的多项式2y-3y+7与my+4y2- 含字母的项叫作常数项 5的次数相同，那么-5n2的值是 ( (3)次数：多项式中次数最高的项的 A.80 B.-80 次数 C.-80或-54 D.-45或-20 3.整式：单项式与多项式统称整式 变式2-3若3a"+3b与a2b是同类项，则mn的值为 4.同类项：所含字母相同，并且相同字母 的① 也相同的项叫作同类项，常 数项与常数项是同类项 练宫中四■安徽数学转讲册 知识点③》整式的运算重点】 如织精讲 例3下列运算结果正确的是 1.整式的加减运算 A.3a·(a2)3=3a B.(a+2)(a-3)=a2-6 (1)合并同类项：把同类项的系数相加 减，字母和字母的指数不变 C.(a+b)2=a2+b D.(a2-ab)÷a=a-b (2)去括号法则：a+(b+c)=a+b+c 变式3-1若多项式2(x2-y-3y2)-(3x2-ay+y)中 a-(b+c)=a-b-c 不含y项，则a的值为 2.幂的运算(ab≠0，m,n为正整数】 变式3-2若3"=a,9”=b,且m,n都是正整数，则32m+2m= (1)同底数幂乘法：a"·a”=am+ (2)同底数幂除法：a"÷a”=a"-(m>n) ·(用含a,b的代数式表示) (3)幂的乘方：(a")"=a" 变式3-3如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b (4)积的乘方：(ab)”=ab 的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述3.整式的乘除运算 操作能验证的等式是 (1)单×单：把系数、同底数幂分别相 乘，作为积的因式；对于只在一个单项式 里含有的字母，则连同它的指数作为积的 一个因式，如-3a262×2a2=-6a36 (2)单×多：用单项式和多项式的每一 变式3-3图 项分别相乘，再把所得的积② 如a(b+c)=ab+ac A.(a+b)(a-b)=a2-b2B.(a-b)2=a2-2ab+b2 (3)多×多：先用一个多项式的每一项 C.(a+b)2=a2+2ab+b2 D.a2+ab=a(a+b) 与另一个多项式的每一项相乘，再把所 变式3-4(2024合肥四十一中三模)先化简，再求值：(x+2) 得的积③ ,如(a+b)(c+d)= (x-2)-x(x-1),其中x=6. ac ad bc bd (4)乘法公式 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 完全平方公式：(a±b)2=④ (5)单÷单：把系数、同底数幂分别相除 后，作为商的因式：对于只在被除式里 含有的字母，则连同它的指数一起作为 商的因式，如4a2b÷ab=4a (6)多÷单：先把多项式的每一项分别 除以单项式，再把所得的商⑤ 如(3a2b+a2b)÷a=3ab2+ab 知识点④因式分解 知识情游 例4分解因式： 1概念：把一个多项式化成几个整式的积 (1)-m+2m2-m3 的形式 (2)x3y-25xy= 2.基本方法 (3)x2+5x-24= (1)提公因式法： 因式分解 ma mb me 了点拨+十十++十++◆十+十+++千+4+ 整式乘法n(a+b+c) (2)公式法： 十字相乘法：x2+(p+q)x+9=(x+P)(x+9） d-公因武分解(a+b)(a-b): 变式4若x2+mx+16能用完全平方公式分解因式，则m= 整式乘法 a2±2ab+b2 因式分解 (a±b)2 整式乘法 6 第一章与式练区中唐 安徽真题」 随堂测 (建议用时：20分钟) 命题点》代数式及其求值 8.(2024蚌埠二模)已知M=x2-2x,N=2x-5, 钰展训练 且x为任意实数，则M-N的值 () 1.(2024合肥包河区一模)某公司今年2月 A.大于0 B.等于0 份的利润为x万元，3月份比2月份减少 C.小于0 D.无法确定 7%,4月份比3月份增加了8%，则该公司 9.(2024宿州校级模拟)若-3a÷☐=-3a, 4月份的利润（单位：万元）为 () A.(x-7%)(x+8%) 则“☐”中的式子是 () B.(x-7%+8%) A.a B.-a2 C.6a3 D.-6a2 C.(1-7%+8%)x 命题点3因式分解(2020.12) D.(1-7%)(1+8%)x 2.(2024毫州一模)一组数按下列规律排列： 10.(2020安徽12题5分)分解因式：ab2-a 2,2,22,32,52,82,…,x,y,,…, 则相邻的三个数x,y,z之间的关系是 拓展训练 11.(2024合肥瑶海区二模)下列因式分解正 确的是 命题点2整式的运算（必考） A.a'b-ab2=a(a+b)(a-b) 3.(2020安徽2题4分)计算(-a)6÷a3的结果 B.a2-(2b-1)2=(a+2b-1)(a-2b+1) 是 () C.a'-2ab+ab2=a(a-b)2 A.-a' B.-a2 C.a' D.a2 D.a2b2-4a2b+4a2=a(b-2)2 4.(2022安徽4题4分)下列各式中，计算结果 12.(2024合肥瑶海区一模)分解因式：2x2+ 等于a'的是 ( 12x+18= A.a+a B.a3·a C.a0-a D.a8÷a 命题点④规律探索（必考） 5.(2023安徽3题4分)下列计算正确的是 13.(2024安徽18题8分)数学兴趣小组开展探 ( 究活动，研究了“正整数N能否表示为x2-y A.a+a=a B.a·a=a6 (x,y均为自然数)”的问题 C.(a)=a6 D.a8÷a4=a (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信 6.(2024安徽4题4分)下列计算正确的是 息如下(n为正整数)： ( N 奇数 4的倍数 A.a+a=a B.a6÷a3=a2 1=12-02 4=22-03 C.(-a)2=a D.√a=a 3=22-12 8=32-12 拓展训练 5=32-2 12=42-22 表示结果 7.(2024合肥瑶海区二模)计算(-2xy)的 7=42-32 16=52-3 9=52-4 20=62-4 结果是 ( … ” A.-6xys B.-8xy5 C.-6x'y D.-8x'y 2n-1=m2-(n 般结论 4n= 练召中雪■安徽数学转讲册 按上表规律，完成下列问题： 14.(2022安徽18题8分)观察以下等式： (i)24=( )2-( 2 第1个等式：(2×1+1)2=(2×2+1)2 (i)4n= ； (2×2)2; (2)兴趣小组还猜测：像2,6,10,14，…，这些 第2个等式：(2×2+1)2=(3×4+1)2- 形如4n-2(n为正整数)的正整数N不能表 (3×4)2: 示为x2-y2(x,y均为自然数).师生一起研 第3个等式：(2×3+1)2=(4×6+1)2- 讨，分析过程如下： (4×6)2; 假设4n-2=x2-y,其中x,y均为自然数 第4个等式：(2×4+1)2=(5×8+1)2 分下列三种情形分析： (5×8)2; … ①若x,y均为偶数，设x=2k,y=2m,其中k, m均为自然数， 按照以上规律，解决下列问题： 则x2-y2=(2k)2-(2m)2=4(2-m2)为4 (1)写出第5个等式： (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子 的倍数 表示)，并证明. 而4n-2不是4的倍数，矛盾.故x,y不可能 均为偶数， ②若x,y均为奇数，设x=2k+1,y=2m+1, 其中k,m均为自然数， 则x2-y2=(2k+1)2-(2m+1)2= 为4的倍数 而4n-2不是4的倍数，矛盾.故x,y不可能 均为奇数 ③若x,y一个是奇数一个是偶数，则x2-y 为奇数 而4n-2是偶数，矛盾.故x,y不可能一个是 奇数一个是偶数 由①②③可知，猜测正确. 阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所 缺内容 8 第一章教与式练写中唐 15.(2023安徽18题8分)【观察思考】 16.(2021安徽18题8分)某矩形人行道由相同 的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三 角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地 ◎o@oo@ooo@oOo*@ 砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列。 第1个图案第2个图案第3个图案第4个图案 【观察思考】 第15题图 当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形 【规律发现】 地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块 请用含n的式子填空： 时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以 (1)第n个图案中“⊙”的个数为 此类推 (2)第1个图案中“★”的个数可表示为 区XX-☒ ☒ X☒ 2,第2个图案中“★“的个数可表示为 图1 图2 图3 第16题图 23,第3个图案中“大“的个数可表示为34， 【规律总结】 2 (1)若人行道上每增加1块正方形地砖，则等 第4个图案中“★“的个数可表示为5，…，第 腰直角三角形地砖增加 块； n个图案中“★”的个数可表示为 (2)若一条这样的人行道一共有n(n为正整 【规律应用】 数)块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块 数为 (3)结合图案中“★”的排列方式及上述规 (用含n的代数式表示)； 律，求正整数n,使得连续的正整数之和1+ 【问题解决】 2+3+…+n等于第n个图案中“◎”的个数 (3)现有2021块等腰直角三角形地砖，若按 的2倍. 此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角 形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？ 温套提示 情完成《课后提升体》P2习题 9参考答案 精讲册 第一部分安徽中考命题探究 (2)4(2-m2+k-m). 第一章数与式 【解法提示】(2k+1)2-(2m+1)2=(2站+1+2m+1) (2k+1-2m-1）=4(k2-m2+k-m. 第一节实数 14.解：(1)(2×5+1)2=(6×10+1)2-(6×10)2. 核心知识精讲练 (2)第n个等式为(2n+1)2=[(n+1)×2n+1]2 ①无限不循环小数②实数③符号④-a [(n+1)×2m]2. ⑤-100①±680900重日 证明略. 精 15.解：(1)3m.(2)n(n+l. (3)n=11. B3 2 讲 16.解：(1)2.(2)2n+4. 册 例1-6，m0.10mm…-6.-号-a23 (3)需要正方形地砖1008块 变式1(1)-2个(2)火箭发射前6秒 第三节分式 例2(1)4,4，-4(2)5和-1(3)-1(4)-1 核心知识精讲练 ①分母②相乘 变式2-1D变式2-21+2例3C 例1(1)②34⑤⑦(2)④⑤(3)-2 变式3-16.19×10变式3-22×10 变式1-2B 变式3-31.4×10米例4(1)5，±5(2)2， 变式1-1≥-1且x兮 ±2(3)-5,2变式4-1D 例2B变式2-1x 变式4-2解：(1)a的值为4，b的值为-12 +3 (2)12a+b的算术平方根是6. 例5(1)<(2)<(3)>(4)> 变式2-2解：原式 变式5b<-a<a<-b a1心原式岩3 例6解：原式=1+2+5-2×3=7 安徽真题随堂测 变式6解：原式=1+4×2-3=6. 1.x≠42.C 安徽真题随堂测 3.解：原式=x+1,当x=2-1时，原式=√2 1.D2.A3.D4.B5.B6.D7.7.45×10 鼎高 4解：原式=（比-1-2） 8.A9.>10.C11.B12.313.314.2 15.解：原式=1-4+4=1. 当x=4时，原式=3=4 16解：原式=-8+6反 5解：(g×1+名)=2-石 第二节代数式与整式（含因式分解） 核心知识精讲练 2×+2=2- ①指数②相加③相加④a2±2ab+62⑤相加 证明：略。 例10.8b,(0.8b-10) 第四节二次根式 变式1-1(1)4(2)2026变式1-2D 例2B变式2-1C变式2-2D 核心知识精讲练 变式2-3-4例3D 例1 ≤号且x1变武1-1D变武1-22 变式3-12变式3-2ab变式3-3A 例2D变式2-1-2a-2b 变式3-4解：原式=x2-4-x2+x=x-4, 当x=6时，原式=6-4=2 变式2-2解：原式=62 例4(1)-m(m-1)2(2)x(x+5)(x-5) 例3B变式33，√T-3,6 (3)(x+8)(x-3)变式48或-8 例412变式42 安徽真题随堂测 安微真题随堂测 1.D2.x+y=z3.C4.B5.C6.C7.D8.A 1.12.A3.≥14.D5.A6.6-17.2 9.A10.a(b+1)(b-1)11.B12.2(x+3) 2 13.解：(1)(i)7,5.(i)(n+1)2-(n-1)2, 8.解：原式=-8+52+7=-1+52. 2