数学（辽宁卷）-学易金卷：2025年中考第一次模拟考试

2025年中考第一次模拟考试（辽宁卷） 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．若零上记作，则零下可记作（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反意义的量，熟练掌握正负数的意义是解答本题的关键．在一对具有相反意义的量中，规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：∵零上记作， ∴零下可记作． 故选C． 2．已知一个几何体如图所示，则该几何体的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，根据主视图的概念即从正面看物体得到的图形求解可得． 【详解】解：该几何体的主视图是 故选：B． 3．中国“二十四节气”已被联合国教科文组织列入人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意． 故选D． 4．根据北京青年报2024年11月14日发布的数据显示：2023年北京人工智能产业核心产值突破2686亿元，人工智能作为第四次工业革命的核心技术，正在释放科技革命和产业变革积蓄的巨大能量，对经济发展、社会治理、国家安全将产生重大而深远的影响．数据“2686亿元”用科学记数法可表示为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：2686亿元元元， 故选：B． 5．若关于的方程有实数根，则的值可以是（   ） A．0.25 B．0.5 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根的判别式列不等式求解即可． 【详解】解：关于的方程有实数根， ， 解得：， 故选：A． 6．解分式方程时，去分母后变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，掌握去分母的方法，等式的性质是解题的关键． 根据题意，等式两边同时乘以去分母即可，注意不能漏乘项． 【详解】解：分式方程去分母后变形， 故选：A ． 7．已知一次函数（，k、b是常数）的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 0 1 2 … y … 8 6 4 2 0 … 则下列结论正确的是（   ） A．y的值随x值的增大而增大 B．图像不经过第一象限 C．当时， D．不等式的解集是 【答案】D 【分析】本题主要考查运用待定系数法示一次函数解析式，一次函数的图象与性质，先求出一次函数的解析式，再根据函数的图象与性质求解即可． 【详解】解：把，代入得，， 解得，， 所以，一次函数解析式为， ∵ ∴y的值随x值的增大而减小，故选项A不正确； ∵， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选项B不正确； 由表格中数据可知，当时，，故选项C不正确； 不等式的解集是，故选项D正确， 故选：D． 8．有这样一个问题：“今有五人共车，一车空；四人共车，七人步．问人与车各几何？”意思是：有若干人坐车，每车坐5人，则空1辆车；每车坐4人，则7人无车坐．问人数和车数各多少？设有辆车，根据题意，可列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题两种乘车方式中，车的数量与人的数量都是相等的，可以将车的数量设为x辆，根据人数相等列出方程即可． 本题考查一元一次方程的应用，设出恰当的未知数，准确抓住数量关系列出关系式是解题的关键． 【详解】解：设车有x辆， 若每车坐五人，则人数为人 若每车坐四人，则人数为）人 故 故选C． 9．如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到．有以下结论：①；②'；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转性质、等腰三角形的性质、平行线的判定等知识点，掌握图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小是解题的关键． 根据旋转的性质可得：、，再根据旋转角的度数为，然后通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可． 【详解】解：①∵将绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴，故①正确； ②∵将绕点A按逆时针方向旋转得到， ． ∵， ， ∵， ∴． ∴，故②正确； ③在中，，， ． ． ∴不成立，故③不正确； ④在中，，， ． ，故④正确． ∴①②④这三个结论正确． 故选B． 10．如图，为外一点，过点分别作的割线和切线（割线和切线不重合），为切点，则下列说法中错误的是（   ） A． B．当弦最长时， C． D．当时， 【答案】D 【分析】结合图形，对四个选项的说法依次进行判断即可． 【详解】解：A．∵为的切线，是的割线， ∴， ∵和所对的弧是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，原说法正确，故此选项不符合题意； B．当弦最长时，即为的直径，如图， ∴， ∴ 由A知：， ∴，原说法正确，故此选项不符合题意； C．∵为的切线，是的割线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，原说法正确，故此选项不符合题意； D．延长交于点，连接，如图， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴，原说法错误，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，等边对等角，相似三角形的判定与性质等知识点．能根据选项中的描述，画出相应的图形是解题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．当时，代数式的值是 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，代数式求值等知识点，运用配方法是解题的关键．本题也可以直接代入，但使用配方法更为简便． 先将变形为，然后将代入求值即可． 【详解】解：当时， ， 故答案为：2024． 12．如图，点，的坐标分别为，，若将线段平移至的位置，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据平移前后对应点的坐标可知平移方式为向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，再由“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：∵点，的坐标分别为，，， ∴将线段平移至时的平移方式为向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度， ∴，， ∴， 故答案为：． 13．一个不透明布箱子里只装有m个红球和3个白球（除颜色外其余都相同），从中任意摸出一个球是红球的概率为，则m的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了概率的计算，分式方程的运用，掌握随机事件概率的计算公式是解题的关键．确定红球的数量，总的数量，根据任意摸出一个球是红球的概率为，列式求解即可． 【详解】解：有m个红球和3个白球（除颜色外其余都相同），任意摸出一个球是红球的概率为， ∴， 解得，， 经检验，是原方程的解，且原分式方程有意义， ∴m的值为9， 故答案为：9． 14．如图，点在反比例函数的图像上，点C，D分别是x轴、y轴上的动点（C，D不同时与原点重合），则四边形的周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】首先求出，再作A点关于y轴的对称点P，B点关于x轴的对称点Q，根据对称的性质得到，，PQ分别交x轴、y轴于C点、D点，根据两点之间线段最短，此时四边形的周长最小，然后利用两点间的距离公式求解可得． 【详解】∵点在反比例函数的图像上， ∴，， ∴ 如图，作A点关于y轴的对称点P，B点关于x轴的对称点Q， ∴，， 连接分别交x轴、y轴于C点、D点， ∴四边形的周长 ∴当点P，D，C，Q四点共线时，四边形的周长最小，即的长度 ∴． ∴四边形的周长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，轴对称性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、熟练运用两点之间线段最短解决有关几何图形周长最短的问题是解题的关键． 15．如图，在平行四边形中，E为延长线上一点，F为上一点，，若，，则的长是 ．    【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，由平行四边形的性质得出，结合已知得出，利用相似三角形的性质结合题意求出的长度即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴的长是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（10分）（1）计算： （2）化简： 【答案】（1）（2） 【分析】本题主要考查实数的混合运算和分式的除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式分别进行乘方、零指数幂和负整数指数幂运算，然后再进行加减运算即可得到答案； （2）原式分子与分母先进行因式分解，再把除法转换为乘法，约分后即可得到结果． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17．（8分）某教育科技公司销售两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示： A B 进价（万元/套） 3 2.4 售价（万元／套） 3.3 2.8 (1)若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，共需资金132万元，该教育科技公司计划购进两种多媒体各多少套？ (2)若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，其中购进种多媒体套（），当把购进的两种多媒体全部售出，求总利润（元）与m之间的函数关系，并说明当购进种多媒体多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？ 【答案】(1)购进种多媒体套，种多媒体套 (2)购进种多媒体套时，能获得最大利润，最大利润是万元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、 一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据题意可以写出利润与的函数关系式，然后根据的取值范围和一次函数的性质，可以求得利润的最大值． 【详解】（1）设种多媒体套，种多媒体套， 由题意可得：，解得 ， 答：购进种多媒体套，种多媒体套； （2）由题意可得：， ∴随的增大而减小， ， ∴当 时，取得最大值，此时 ， 答：购进种多媒体套时，能获得最大利润，最大利润是万元． 18.（8分）某校七年级计划组织一次一分钟跳绳比赛．为了解学生一分钟跳绳个数的情况，抽取部分学生进行了一次一分钟跳绳测试，并将测试的成绩绘制成了如图所示的统计图表： 成绩x个/分 频数 6 m 18 4 请根据以上信息，解答下列问题： (1)统计表中的_____，频数直方图中的组距是_____； (2)补全频数直方图，并求出扇形统计图中部分对应的圆心角度数是_____； (3)若每分钟跳绳140个以上（包括140个）的为“优秀”，七年级共有1350名学生，请估计该年级有多少名学生可以获得“优秀”． 【答案】(1)17，40 (2)32 (3)660名 【分析】本题考查统计图表，从统计图表中有效的获取信息，是解题的关键： （1）用的人数除以所占的比例求出样本容量，用样本容量减去其他组的频数，求出的值，用一个范围的端点值之差求出组距即可； （2）根据的值，补全直方图即可，用360度乘以的人数所占的比例求出圆心角的度数即可； （3）利用样本估计总体的思想，进行求解即可． 【详解】（1）解：； ； 组距为：； 故答案为：17，40． （2）补全直方图如图： ； 故答案为：32． （3）（名）； 答：估计该年级有660名学生可以获得“优秀”． 19．（8分）为了扶持大学生自主创业，市政府提供80万元无息贷款用于某大学生开办公司，生产并销售自主研发的一款电子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款．已知该产品的生产成本为每件40元，员工每人每月的工资为2500元，公司每月需支付其他费用15万元．该产品每月销量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系如图所示． (1)求月销量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价定为50元时，为保证公司每月利润达到5万元（利润销售额生产成本员工工资其他费用），该公司可安排员工多少人？ (3)若该公司有80名员工，销售单价定为70元时，则该公司可在几个月后偿还无息贷款？ 【答案】(1)，； (2)人 (3)该公司可在8个月后偿还无息贷款． 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用； （1）分两种情况：当时，令，当时，设，再利用待定系数法求解解析式即可； （2）设公司可安排员工a人，定价50元时，利用利润销售额生产成本员工工资其他费用再建立方程求解即可； （3）先求解当销售单价为时，该公司有80名员工时每月的利润，再建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：当时，令， 则 ， 解得 ， ∴； 当时， 设， ∴， 解得：， ∴； （2）解：设公司可安排员工a人，定价50元时， 由， 解得：(人)； （3）解：当销售单价为时，该公司有80名员工， ∴此时利润为： ； 设该公司n个月后还清贷款，则， ∴， ∴该公司可在8个月后偿还无息贷款． 20．（8分）为弘扬革命传统精神，某校组织学生前往渡江战役纪念馆缅怀革命先烈．初到纪念馆，数学兴趣小组的同学们就发现广场上有一座雄伟壮观的胜利塔（如图1），想知道胜利塔的高度（塔顶到水平地面的距离），于是他们进行了测量．如图2，他们在地面上的点A处用测角仪测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为．已知，测角仪的高度是（点在同一条直线上）．根据以上测量数据求胜利塔的高度．（结果保留整数，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据题意可得，先利用三角形的外角性质可得，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后再加上即可解答． 【详解】解：由题意得：， ∵是的外角， ， ， ∴， 在中， (m)， ． 答：胜利塔的高约为． 21．（8分）如图，为的直径，O为圆心，切于点C，与的延长线交于点M，交延长线于点D，． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】此题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键． （1）由得到，再由已知角相等及对顶角相等，得到，利用切线的判定方法判断即可得证； （2）在中，利用勾股定理求出的长，利用切线长定理得到，由即可求出的长，在中，设，则有，利用勾股定理列出关于r的方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为圆的半径， ∴为圆O的切线； （2）解：连接， 在中，， 根据勾股定理得：， ∵与都为圆的切线， ∴， ∴． ∵为圆O的切线， ∴， 在中，设，则有， 根据勾股定理得：， 解得：， 则圆的半径为3． 22．（12分）【概念感知】 在平面直角坐标系中，关于点和函数图象，给出如下定义：过点作轴的垂线交函数图象于点，点与点的纵坐标之差称为点到函数图象的有向量． 【概念理解】 (1)如图1，点在直线上，函数图像对应的解析式为． 若点的横坐标是，则点到函数图像的有向量等于______； 若点到函数图像的有向量等于，求点的坐标； 【概念应用】 (2)如图，函数图像对应的解析式为；函数图像对应的解析式为，点的坐标为，其中，若点到函数图像的有向量与点到函数图像有向量之和等于，且的最大值为，求的值． 【答案】(1)  或 (2)或 【分析】（1）根据“有向量”的定义计算即可求解； 设，过点作轴的垂线交函数图像于点，则，然后根据“有向量”的定义计算即可求解； （2）由题意得：点到函数图像的有向量为，点到函数图像的有向量为，因为点到函数图像的有向量与点到函数图像有向量之和等于，所以得到，化简得，分两种情况讨论：当时，即时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；即可解答． 【详解】（1）解：将点的横坐标代入，得， 将点的横坐标代入，得， 点到函数图像的有向量等于， 故答案为：； 点在直线上， 可设，过点作轴的垂线交函数图像于点，则， 点到函数图象的有向量等于， ， 解得或， 或； （2）解：由题意得：点到函数图像的有向量为，点到函数图像的有向量为， 点到函数图像的有向量与点到函数图像有向量之和等于， ， ， ， 当时，即时，随的增大而减小， 当时，的最大值等于， ， 解得或， （舍去）， ； 当时，随的增大而增大， 当时，的最大值等于， ， 解得或， （舍去）， ， 综上所述或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数图像上点的坐标特征、二次函数的图像和性质、解一元一次方程、解一元二次方程等知识点，根据题意理解“有向量”的定义以及掌握以上知识点是解答本题的关键． 23．（13分）【背景提出】 （1）如图1，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：． 【迁移应用】 （2）如图2，已知直线：与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点逆时针旋转45°至直线，求直线的函数表达式． （3）如图3，将图1四边形放到平面直角坐标系中，点与重合，边放到轴上，若，，过线段的中点，作直线垂直线段交轴于点，直线垂直线段交轴于点，求线段的长． （4）如图4，平面直角坐标系内有一点，过点作轴于点，轴于点，点是线段上的动点，点是直线上的动点且在第四象限内．若是等腰直角三角形．请直接写出点的坐标． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4）点的坐标为或或 【分析】（1）根据同角的余角相等可证，从而利用可证； （2）过点作，交于，过作轴于，则是等腰直角三角形，由（1）同理可得，则，利用待定系数法即可求得函数解析式； （3）由（1）得，得，再根据中点坐标公式求出，待定系数法求出直线的解析式为，直线的解析式为，根据直线平移，求出直线的解析式为，直线的解析式为，得出，，最后求出结果即可； （4）分点为直角顶点或点为直角顶点时或点为直角顶点三种情况，分别画出图形，利用（1）中型全等可得点的坐标，即可解决问题． 【详解】证明：（1），， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）过点作，交于，过作轴于，如图所示：    则， 根据旋转可知：， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（1）同理可证， ，， 把代入得：，把代入得：， 解得：， ，， ，， ，， ， 设的函数解析式为， 将点，的坐标代入得， 解得：，， 直线的函数解析式为； （3）由（1）得， ，， ∴， ，， ∵Q为的中点， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 同理得：直线的解析式为， ∵， ∴， ∵，， ∴设直线的解析式为，直线的解析式为，把分别代入得：，， 解得：，， ∴直线的解析式为，直线的解析式为， 把分别代入得：，， 解得：，， ∴，， ∴．    （4）①若点为直角顶点时，如图，    设点的坐标为，则的长为， ，，， ， 又， ， 在与中， ， ， ，， 点的坐标为， 又点在直线上， ， 解得：， 即点的坐标为； ②若点为直角顶点时，如图，    设点的坐标为，则的长为，， 同理可证明， ，， 点的坐标为， 又点在直线上， ， 解得：， 此时点与点重合，点与点重合， 即点的坐标为； ③若点为直角顶点时，如图，    设点的坐标为，则的长为，， 同理可证明， ，， ， 又点在直线上， ， 解得：， 即点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，作辅助线构造模型，运用分类思想是解题的关键． 27 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1 2025 年中考第一次模拟考试（辽宁卷） 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B 铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11．_________________ 12．___________________ 12．__________________ 14．__________________ 15. ___________________ 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、（本大题共 8 个小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（10 分） 17. （8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18. （8 分） 19. （8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.（8 分） 21.（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22. （12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. （13 分） 2025年中考第一次模拟考试（辽宁卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．若零上记作，则零下可记作（   ） A． B． C． D． 2．已知一个几何体如图所示，则该几何体的主视图是（   ） A． B． C． D． 3．中国“二十四节气”已被联合国教科文组织列入人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 4．根据北京青年报2024年11月14日发布的数据显示：2023年北京人工智能产业核心产值突破2686亿元，人工智能作为第四次工业革命的核心技术，正在释放科技革命和产业变革积蓄的巨大能量，对经济发展、社会治理、国家安全将产生重大而深远的影响．数据“2686亿元”用科学记数法可表示为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 5．若关于的方程有实数根，则的值可以是（   ） A．0.25 B．0.5 C．1 D．2 6．解分式方程时，去分母后变形正确的是（   ） A． B． C． D． 7．已知一次函数（，k、b是常数）的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 0 1 2 … y … 8 6 4 2 0 … 则下列结论正确的是（   ） A．y的值随x值的增大而增大 B．图像不经过第一象限 C．当时， D．不等式的解集是 8．有这样一个问题：“今有五人共车，一车空；四人共车，七人步．问人与车各几何？”意思是：有若干人坐车，每车坐5人，则空1辆车；每车坐4人，则7人无车坐．问人数和车数各多少？设有辆车，根据题意，可列出方程（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到．有以下结论：①；②'；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 10．如图，为外一点，过点分别作的割线和切线（割线和切线不重合），为切点，则下列说法中错误的是（   ） A． B．当弦最长时， C． D．当时， 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．当时，代数式的值是 ． 12．如图，点，的坐标分别为，，若将线段平移至的位置，则的值是 ． 13．一个不透明布箱子里只装有m个红球和3个白球（除颜色外其余都相同），从中任意摸出一个球是红球的概率为，则m的值为 ． 14．如图，点在反比例函数的图像上，点C，D分别是x轴、y轴上的动点（C，D不同时与原点重合），则四边形的周长的最小值为 ． 15．如图，在平行四边形中，E为延长线上一点，F为上一点，，若，，则的长是 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（10分）（1）计算： （2）化简： 17．（8分）某教育科技公司销售两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示： A B 进价（万元/套） 3 2.4 售价（万元／套） 3.3 2.8 (1)若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，共需资金132万元，该教育科技公司计划购进两种多媒体各多少套？ (2)若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，其中购进种多媒体套（），当把购进的两种多媒体全部售出，求总利润（元）与m之间的函数关系，并说明当购进种多媒体多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？ 18．（8分）某校七年级计划组织一次一分钟跳绳比赛．为了解学生一分钟跳绳个数的情况，抽取部分学生进行了一次一分钟跳绳测试，并将测试的成绩绘制成了如图所示的统计图表： 成绩x个/分 频数 6 m 18 4 请根据以上信息，解答下列问题： (1)统计表中的_____，频数直方图中的组距是_____； (2)补全频数直方图，并求出扇形统计图中部分对应的圆心角度数是_____； (3)若每分钟跳绳140个以上（包括140个）的为“优秀”，七年级共有1350名学生，请估计该年级有多少名学生可以获得“优秀”． 19．（8分）为了扶持大学生自主创业，市政府提供80万元无息贷款用于某大学生开办公司，生产并销售自主研发的一款电子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款．已知该产品的生产成本为每件40元，员工每人每月的工资为2500元，公司每月需支付其他费用15万元．该产品每月销量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系如图所示． (1)求月销量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价定为50元时，为保证公司每月利润达到5万元（利润销售额生产成本员工工资其他费用），该公司可安排员工多少人？ (3)若该公司有80名员工，销售单价定为70元时，则该公司可在几个月后偿还无息贷款？ 20．（8分）为弘扬革命传统精神，某校组织学生前往渡江战役纪念馆缅怀革命先烈．初到纪念馆，数学兴趣小组的同学们就发现广场上有一座雄伟壮观的胜利塔（如图1），想知道胜利塔的高度（塔顶到水平地面的距离），于是他们进行了测量．如图2，他们在地面上的点A处用测角仪测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为．已知，测角仪的高度是（点在同一条直线上）．根据以上测量数据求胜利塔的高度．（结果保留整数，） 21．（8分）如图，为的直径，O为圆心，切于点C，与的延长线交于点M，交延长线于点D，． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 22．（12分）【概念感知】 在平面直角坐标系中，关于点和函数图象，给出如下定义：过点作轴的垂线交函数图象于点，点与点的纵坐标之差称为点到函数图象的有向量． 【概念理解】 (1)如图1，点在直线上，函数图像对应的解析式为． 若点的横坐标是，则点到函数图像的有向量等于______； 若点到函数图像的有向量等于，求点的坐标； 【概念应用】 (2)如图，函数图像对应的解析式为；函数图像对应的解析式为，点的坐标为，其中，若点到函数图像的有向量与点到函数图像有向量之和等于，且的最大值为，求的值． 23．（13分）【背景提出】 （1）如图1，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：． 【迁移应用】 （2）如图2，已知直线：与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点逆时针旋转45°至直线，求直线的函数表达式． （3）如图3，将图1四边形放到平面直角坐标系中，点与重合，边放到轴上，若，，过线段的中点，作直线垂直线段交轴于点，直线垂直线段交轴于点，求线段的长． （4）如图4，平面直角坐标系内有一点，过点作轴于点，轴于点，点是线段上的动点，点是直线上的动点且在第四象限内．若是等腰直角三角形．请直接写出点的坐标． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试（辽宁卷） 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B D B A A D C B D 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．2024 12． 13．9 14． 15． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（10分）【详解】解：（1） （3分） ； （5分） （2） （7分） （9分） ． （10分） 17．（8分）【详解】（1）设种多媒体套，种多媒体套， 由题意可得：，（2分） 解得 ，（4分） 答：购进种多媒体套，种多媒体套； （2）由题意可得：，（6分） ∴随的增大而减小， ， ∴当 时，取得最大值，此时 ， 答：购进种多媒体套时，能获得最大利润，最大利润是万元．（8分） 18．（8分）【详解】（1）解：； ； 组距为：； 故答案为：17，40．（3分） （2）补全直方图如图： ； 故答案为：32．（6分） （3）（名）； 答：估计该年级有660名学生可以获得“优秀”．（8分） 19．（8分）【详解】（1）解：当时，令， 则 ，（1分） 解得 ， ∴；（2分） 当时， 设， ∴，（3分） 解得：， ∴；（4分） （2）解：设公司可安排员工a人，定价50元时， 由，（5分） 解得：(人)；（6分） （3）解：当销售单价为时，该公司有80名员工， ∴此时利润为： ；（7分） 设该公司n个月后还清贷款，则， ∴， ∴该公司可在8个月后偿还无息贷款．（8分） 20．（8分）【详解】解：由题意得：， ∵是的外角， ，（2分） ， ∴，（4分） 在中， (m)，（6分） ． 答：胜利塔的高约为．（8分） 21．（8分）【详解】（1）解：∵， ∴，（1分） ∵， ∴，（2分） ∴，（3分） ∵为圆的半径， ∴为圆O的切线；（4分） （2）解：连接， 在中，， 根据勾股定理得：，（5分） ∵与都为圆的切线， ∴， ∴．（6分） ∵为圆O的切线， ∴， 在中，设，则有， 根据勾股定理得：，（7分） 解得：， 则圆的半径为3．（8分） 22．（12分）【详解】（1）解：将点的横坐标代入，得， 将点的横坐标代入，得， 点到函数图像的有向量等于， 故答案为：；（3分） 点在直线上， 可设，过点作轴的垂线交函数图像于点，则，（4分） 点到函数图象的有向量等于， ，（5分） 解得或， 或；（6分） （2）解：由题意得：点到函数图像的有向量为，点到函数图像的有向量为， 点到函数图像的有向量与点到函数图像有向量之和等于， ， ， ，（8分） 当时，即时，随的增大而减小， 当时，的最大值等于， ，（9分） 解得或， （舍去）， ；（10分） 当时，随的增大而增大， 当时，的最大值等于， ，（11分） 解得或， （舍去）， ， 综上所述或．（12分） 23．（13分）【详解】证明：（1），， ，（1分） ， ， ， ，（2分） 在和中， ， ；（3分） （2）过点作，交于，过作轴于，如图所示：    则， 根据旋转可知：， ∴是等腰直角三角形， ∴，（4分） 由（1）同理可证， ，， 把代入得：，把代入得：， 解得：，，， ，，，， ，（5分） 设的函数解析式为， 将点，的坐标代入得， 解得：，， 直线的函数解析式为；（6分） （3）由（1）得， ，， ∴，，， ∵Q为的中点，∴， 设直线的解析式为：，把，代入得：， 解得：，∴直线的解析式为， 同理得：直线的解析式为，（7分） ∵，∴， ∵，， ∴设直线的解析式为，直线的解析式为，把分别代入得：，，解得：，， ∴直线的解析式为，直线的解析式为，（8分） 把分别代入得：，， 解得：，，∴，， ∴．（9分）    （4）①若点为直角顶点时，如图，    设点的坐标为，则的长为， ，，， ， 又，， 在与中，， ，，， 点的坐标为， 又点在直线上，， 解得：，即点的坐标为； ②若点为直角顶点时，如图，    设点的坐标为，则的长为，， 同理可证明， ，， 点的坐标为， 又点在直线上， ， 解得：， 此时点与点重合，点与点重合， 即点的坐标为； ③若点为直角顶点时，如图，    设点的坐标为，则的长为，， 同理可证明， ，， ， 又点在直线上， ， 解得：， 即点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或或．（13分） 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11 2025年中考第一次模拟考试（辽宁卷） 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共15分） 11． _________________ 12．___________________ 12． __________________ 14．__________________ 15. ___________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（10分） 17. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18. （8分） 19. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.（8分） 21.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22. （12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. （13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第一次模拟考试（辽宁卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．若零上记作，则零下可记作（   ） A． B． C． D． 2．已知一个几何体如图所示，则该几何体的主视图是（   ） A． B． C． D． 3．中国“二十四节气”已被联合国教科文组织列入人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 4．根据北京青年报2024年11月14日发布的数据显示：2023年北京人工智能产业核心产值突破2686亿元，人工智能作为第四次工业革命的核心技术，正在释放科技革命和产业变革积蓄的巨大能量，对经济发展、社会治理、国家安全将产生重大而深远的影响．数据“2686亿元”用科学记数法可表示为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 5．若关于的方程有实数根，则的值可以是（   ） A．0.25 B．0.5 C．1 D．2 6．解分式方程时，去分母后变形正确的是（   ） A． B． C． D． 7．已知一次函数（，k、b是常数）的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 0 1 2 … y … 8 6 4 2 0 … 则下列结论正确的是（   ） A．y的值随x值的增大而增大 B．图像不经过第一象限 C．当时， D．不等式的解集是 8．有这样一个问题：“今有五人共车，一车空；四人共车，七人步．问人与车各几何？”意思是：有若干人坐车，每车坐5人，则空1辆车；每车坐4人，则7人无车坐．问人数和车数各多少？设有辆车，根据题意，可列出方程（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到．有以下结论：①；②'；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 10．如图，为外一点，过点分别作的割线和切线（割线和切线不重合），为切点，则下列说法中错误的是（   ） A． B．当弦最长时， C． D．当时， 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．当时，代数式的值是 ． 12．如图，点，的坐标分别为，，若将线段平移至的位置，则的值是 ． 13．一个不透明布箱子里只装有m个红球和3个白球（除颜色外其余都相同），从中任意摸出一个球是红球的概率为，则m的值为 ． 14．如图，点在反比例函数的图像上，点C，D分别是x轴、y轴上的动点（C，D不同时与原点重合），则四边形的周长的最小值为 ． 15．如图，在平行四边形中，E为延长线上一点，F为上一点，，若，，则的长是 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（10分）（1）计算： （2）化简： 17．（8分）某教育科技公司销售两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示： A B 进价（万元/套） 3 2.4 售价（万元／套） 3.3 2.8 (1)若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，共需资金132万元，该教育科技公司计划购进两种多媒体各多少套？ (2)若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，其中购进种多媒体套（），当把购进的两种多媒体全部售出，求总利润（元）与m之间的函数关系，并说明当购进种多媒体多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？ 18．（8分）某校七年级计划组织一次一分钟跳绳比赛．为了解学生一分钟跳绳个数的情况，抽取部分学生进行了一次一分钟跳绳测试，并将测试的成绩绘制成了如图所示的统计图表： 成绩x个/分 频数 6 m 18 4 请根据以上信息，解答下列问题： (1)统计表中的_____，频数直方图中的组距是_____； (2)补全频数直方图，并求出扇形统计图中部分对应的圆心角度数是_____； (3)若每分钟跳绳140个以上（包括140个）的为“优秀”，七年级共有1350名学生，请估计该年级有多少名学生可以获得“优秀”． 19．（8分）为了扶持大学生自主创业，市政府提供80万元无息贷款用于某大学生开办公司，生产并销售自主研发的一款电子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款．已知该产品的生产成本为每件40元，员工每人每月的工资为2500元，公司每月需支付其他费用15万元．该产品每月销量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系如图所示． (1)求月销量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价定为50元时，为保证公司每月利润达到5万元（利润销售额生产成本员工工资其他费用），该公司可安排员工多少人？ (3)若该公司有80名员工，销售单价定为70元时，则该公司可在几个月后偿还无息贷款？ 20．（8分）为弘扬革命传统精神，某校组织学生前往渡江战役纪念馆缅怀革命先烈．初到纪念馆，数学兴趣小组的同学们就发现广场上有一座雄伟壮观的胜利塔（如图1），想知道胜利塔的高度（塔顶到水平地面的距离），于是他们进行了测量．如图2，他们在地面上的点A处用测角仪测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为．已知，测角仪的高度是（点在同一条直线上）．根据以上测量数据求胜利塔的高度．（结果保留整数，） 21．（8分）如图，为的直径，O为圆心，切于点C，与的延长线交于点M，交延长线于点D，． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 22．（12分）【概念感知】 在平面直角坐标系中，关于点和函数图象，给出如下定义：过点作轴的垂线交函数图象于点，点与点的纵坐标之差称为点到函数图象的有向量． 【概念理解】 (1)如图1，点在直线上，函数图像对应的解析式为． 若点的横坐标是，则点到函数图像的有向量等于______； 若点到函数图像的有向量等于，求点的坐标； 【概念应用】 (2)如图，函数图像对应的解析式为；函数图像对应的解析式为，点的坐标为，其中，若点到函数图像的有向量与点到函数图像有向量之和等于，且的最大值为，求的值． 23．（13分）【背景提出】 （1）如图1，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：． 【迁移应用】 （2）如图2，已知直线：与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点逆时针旋转45°至直线，求直线的函数表达式． （3）如图3，将图1四边形放到平面直角坐标系中，点与重合，边放到轴上，若，，过线段的中点，作直线垂直线段交轴于点，直线垂直线段交轴于点，求线段的长． （4）如图4，平面直角坐标系内有一点，过点作轴于点，轴于点，点是线段上的动点，点是直线上的动点且在第四象限内．若是等腰直角三角形．请直接写出点的坐标． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$