数学（长春卷）-学易金卷：2025年中考第一次模拟考试

2025年中考第一次模拟考试（长春卷） 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．若升高30米记作米，那么米表示（   ） A．上升5米 B．下降35米 C．上升25米 D．下降5米 【答案】D 【分析】本题考查了具有相反意义的量，理解相反数的意义是解题的关键．根据具有相反意义的量求解即可． 【详解】解：∵升高30米记作米， ∴米表示下降5米，故D正确． 故选：D． 2．如图是物理中经常使用的U型磁铁，其主视图为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可 【详解】 解：根据三视图的概念，可知U型磁铁的主视图为    ， 故选A． 3．下列运算中，正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】本题考查了幂的相关运算，涉及了同底数幂的乘除法、积的乘方，掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D错误； 故选：A 4．长春南溪湿地公园总占地面积约为3100000平方米．3100000这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】3100000这个数用科学记数法表示为． 故选：B． 5．根据图中作图痕迹进行判断，下列说法一定正确的是（   ） A． B．平分 C．垂直平分线段 D．构造的依据是 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，全等三角形的判定和性质，根据作图得到，结合，推出，进而得到，得到平分，进行判断即可． 【详解】解：由作图可知：， ∵， ∴， ∴， ∴平分； 无法得到，垂直平分线段； 故只有选项B正确； 故选B． 6．如图，以正六边形的边向内作一个长方形，连接交于点I，则(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多边形内角和定理、正多边形的轴对称性质．利用正六边形的轴对称性质，可得，然后根据正多边形内角的求法，可得出，再根据长方形对边平行的特点可得，利用同旁内角互补即可求解． 【详解】解：由正六边形的轴对称性质可知，为对称轴， ∴， 由多边形的内角和定理可求得：， ∴， 由长方形的性质可知，， ∴． 故选：B． 7．如图是冬奥会首钢滑雪大跳台赛道的剖面图，剖面图的一部分可抽象为线段，已知坡长为m米，坡角为α，则坡的铅垂高度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】直接利用锐角三角函数关系，进而计算得出答案． 【详解】解：由题意可得：， 则坡的铅垂高度为（米）． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，合理选择三角函数是解题的关键． 8．如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，1为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质的应用．依据题意，可得，，再由，从而，进而得解． 【详解】解：由题意，得，． ， 由两点距离公式可得：． ． 或5． 又， ． 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 9．在平面直角坐标系中，若点在第 象限． 【答案】二 【分析】根据各象限内点的坐标的符号，进行判断即可得出答案． 本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解本题的关键．四个象限内点的坐标符号特点分别是：第一象限（正，正）；第二象限（负，正）；第三象限（负，负）；第四象限（正，负）． 【详解】解：∵，， ∴点在第二象限． 故答案为：二 10．若每支中性笔3元，则购买m支中性笔需 元． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，根据题意列出代数式即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由题意得 购买m支中性笔需元， 故答案为：． 11．分解因式： ． 【答案】 【分析】利用提取公因式法分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法分解因式是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 12．如果关于x的一元二次方程的一个解是，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程求出，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是， ∴把代入中得：， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，已知零件的外径为a cm，现用一个交叉卡钳（两条尺长和相等）测量零件的内孔直径．如果，且量得cm，则为 cm． 【答案】15 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，证明，即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：15． 14．如图，在正方形中，，把正方形绕点A顺时针旋转45°得到正方形，其中点C的运动路径为弧，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】 【分析】连接，根据正方形性质和旋转的性质得，计算得到的长，求出和，利用扇形面积公式减上述两三角形面积即可． 【详解】解：连接，如图    由正方形性质和旋转的性质得，， ∴在同一条直线上，在同一条直线上， ∵四边形为正方形， ， ∴， ∴， 则， ， 那么图中阴影部分的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形性质、旋转性质、勾股定理和扇形面积公式，熟练掌握旋转性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共10个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本题6分）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算是解题的关键；先根据分式的加减乘除运行进行化简，然后再代值求解即可． 【详解】解：原式 ， 当时，则原式． 16．（本题6分）如图所示，小明绘制了一个安全用电的标识，点在同一条直线上，且，．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，证明，得出，即可求解； 【详解】证明：， ； 又， ， ； 在与中， ， ； ． 17．（本题6分）长春北湖国家湿地公园是以自然生态、科普教育、休闲娱乐为主要功能的大型湿地公园，公园内“湖水泛金波，飞鸟映霞光”，呈现出一派人与自然和谐共生的景象．小力和小旺约定本周日从学校出发，骑行去长春北湖湿地公园游玩．已知从学校到长春北湖湿地公园的骑行路线有A、B、C三条，小力和小旺各自随机选择一条骑行路线，求两人恰好选择同一条路线的概率． ​ 【答案】 【分析】此题考查了用树状图法或列表法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．用树状图法得到所有等可能的结果，然后找出符合条件的结果数，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一条路线的结果数为3种， 所以两人恰好选择同一条路线的概率． 18．（本题7分）某人从吉林驱车赶往长春共用2小时，吉林至长春全程为，全程分为公路和市区道路两部分，在公路上行驶的平均速度为 ，在市区道路上行驶的平均速度为．根据题意，甲、乙两名同学分别列出的方程组一部分如下： 甲：        乙： (1)请你在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程组； (2)求这个人在公路上驱车行驶的时间． 【答案】(1)见解析 (2)这个人在公路上驱车行驶的时间为． 【分析】（1）甲设公路长，市区道路长，根据题意列出方程组；乙设公路行驶，市区道路行驶，根据题意列出方程组即可； （2）设公路行驶，市区道路行驶，列出二元一次方程组，解之即可． 【详解】（1）解：甲设公路长，市区道路长， 根据题意得； 乙设公路行驶，市区道路行驶， 根据题意得； （2）解：设公路行驶，市区道路行驶， 根据题意得， ①②得， 解得， 将代入②，得， 解得， ∴， 答：这个人在公路上驱车行驶的时间为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是，读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组． 19．（本题7分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点、均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上且不全等，不要求写画法． (1)在图①中以线段为边画一个平行四边形． (2)在图②中以线段为边画一个正方形． (3)在图③中以线段为边画一个菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质画图即可； （2）根据正方形的性质画图即可； （3）根据菱形的性质画图即可． 【详解】（1）解：如图①所示，平行四边形即为所求； （2）如图②所示，正方形即为所求； （3）如图③所示，菱形即为所求； 【点睛】本题考查作图−−应用与设计作图，菱形的性质，正方形的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 20．（本题7分）某校举办“学生讲堂”，八年级为了选出一位同学代表年级参赛，先后进行了笔试和面试．在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分100分）分别是95分，94分，88分．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于十位评委打分之和．对甲、乙、丙三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 信息一：评委给甲同学打分的条形统计图： 信息二：评委给乙、丙两位同学打分的折线统计图： 信息三：甲、乙、丙三位同学面试情况统计表： 同学 面试成绩 评委打分的中位数 评委打分的众数 甲 78 8 n 乙 86 9 10 丙 87 m 8 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空： 　　分， 　　分； (2)在面试中，如果评委给某位同学的打分的方差越小，则认为评委对该同学面试的评价越一致．据此推断：甲、乙、丙三位同学中，评委对 　　的评价更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）； (3)按笔试成绩占，面试成绩占确定甲、乙、丙三位同学的综合成绩，综合成绩最高者将代表年级参赛，请你通过计算确定参赛同学． 【答案】(1)8.5，8 (2)丙 (3)乙 【分析】本题考查折线统计图，条形统计图，中位数、众数、方差以及加权平均数，理解中位数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）根据中位数和众数的定义可得答案； （2）根据方差的意义解答即可； （3）根据加权平均数公式计算即可． 【详解】（1）解：把丙的得分从小到大排列，排在中间的两个数分别是8，9，故中位数， 由条形统计图可知甲的得分的最多的是8分，故众数； 故答案为：8.5，8； （2）由题意可知，甲的数据在5和10之间波动，乙的数据在6和10之间波动，丙的数据在8和10之间波动，所以评委对丙同学的评价更一致； 故答案为：丙； （3）甲的综合成绩为：（分）， 乙的综合成绩为：（分）， 丙的综合成绩为：（分）， ， 所以综合成绩最高的是乙． 故答案为：乙． 21．（本题8分）【问题背景】 小明家最近购入一辆新能源汽车，为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，小明和爸爸妈妈做了两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量（%）与时间（分钟）的关系，数据记录如表1： 电池充电状态 时间（分钟） 0 10 30 60 增加的电量（%） 0 10 30 60 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量（%）与行驶里程（千米）的关系，数据记录如图2： 【建立模型】观察表1、图2发现都是一次函数模型，请结合表1、图2的数据， （1）关于的函数表达式为____________； （2）当汽车充满电的情况下，行驶180千米，此时仪表盘显示的电量是多少? 【解决问题】 （3）小明家自驾新能源汽车从长春出发去沈阳的辽宁体育馆观看联赛，全程400千米，汽车在充满电量的状态下出发，若电动汽车行驶240千米后，在途中的铁岭服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后新能源汽车仪表盘显示电量，则新能源汽车在服务区充电______分钟． 【答案】（1）与的函数表达式为 （2）此时仪表盘显示的电量是 （3）30 【分析】此题考查了一次函数的实际应用，正确理解题意，掌握待定系数法及求函数值是解题的关键： （1）设，利用待定系数法求解即可； （2）设，利用待定系数法求出，将代入求出函数值即可； （3）分别求出前后路程需消耗的电量，假设充电t分钟，应增加电量为，由此列方程求解． 【详解】解：（1）设，将代入，得 ， 解得， ∴关于的函数表达式为， 故答案为； （2）设，将代入， 得， 解得， ∴， 当时，， 当汽车充满电的情况下，行驶180千米，此时仪表盘显示的电量是； （3）当时，， ∴未充电前电量显示为， 假设充电t分钟，应增加电量为， 再次出发时电量是， 走完剩下的路程为（km），故， ∴需消耗的电量为 ∴， 解得， 故答案为30． 22．（本题9分）小明在学习《图形的平移与旋转》时，认识了共顶点的两个等腰三角形特性，并发现它在中考中的重要应用，请你与小明一起完成下面练习． 【问题呈现】 如图1，在中，，，点在线段上，以点A为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接，． 【问题分析】 （1）如图1，小明通过审题发现和为共顶点A的等腰三角形，这是老师经常提及的，由可得，因为，，可证明：，利用角的等量关系进一步推导出：_______（用含的式子表示） 【灵活应用】 小明发现利用上述结论可将题目中分散的条件集中到某一处，从而快速找到解决问题的线索． （2）如图2，在平面直角坐标系中，点在y轴上，以为边向右侧作等边，点为轴正半轴的动点，以为边向右侧作等边，直线交y轴于点F．当点D在x轴的正半轴运动时，点F的坐标是否变化．若不变，请求出点F的坐标；若变化，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在菱形中，，点P在线段的延长线上，以为边作等边（A、P、E三个顶点按照逆时针排列），连接，若，，求以A，P，E，D为顶点的四边形的面积． 【答案】（1）；（2）结论：点F的坐标不变，．理由见解析；（3）． 【分析】本题主要考查了菱形的性质、图形的旋转、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、图形的面积等知识点，正确的作出所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来成为解题的关键． （1）先证明，推出，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，最后根据三角形外角的性质即可解答； （2）结论：点F的坐标不变，．证明，推出，再求出，可得结论； （3）如图：连接交于点O，由，根据勾股定理求出的长即得到的长，再求的长及等边三角形的边长，可求得和的面积，进而求得四边形的面积． 【详解】解：（1）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （2）结论：点F的坐标不变，．理由如下： 理由：∵都是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）如图，如图：连接交于点O，连接，作于F， ∵四边形是菱形， ∴，平分， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（2）知， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积是． 23．（本题10分）如图①，矩形与叠放在一起（点，分别与点，重合，点落在对角线上），已知，，．如图②，从图①的位置出发，沿方向匀速运动，速度为；动点同时从点出发，沿方向匀速运动，速度为；设它们的运动时间为（）（），连接．解答下列问题： (1)求的长； (2)当为何值时，点在线段的垂直平分线上？ (3)是否存在某一时刻，使得的面积是矩形面积的？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (4)如图③，点是点关于的对称点，连接，，当为何值时，的值最小？ 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）可证得，从而得出，进而得出； （2）根据点在线段的垂直平分线上得出，从而，从而求得结果； （3）过作于，可得出，从而得出，求得，根据的面积是矩形面积的列方程求解，得出结果； （4）连接，可推出当，，共线时，的值最小，连接，，设交于，作于，作于，可推出，，从而得出．利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故当为时，点在线段的垂直平分线上； （3）解：存在的值，使得的面积是矩形面积的，理由如下∶ 如图，过作于， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， ∵的面积是矩形面积的， ∴， ∴， 解得负值舍去， ∴当时，的面积是矩形面积的， （4）解：如图，连接， ∵点是点关于的对称点， ∴， ∵， ∴当，，共线时，的值最小， 如图，连接，，设交于，作于，作于， 由知，，， 同理可得，， ∵点是点关于的对称点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是矩形， '∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定及性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线表示出关键的数量． 24．（本题12分）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，点抛物线上一动点．      (1)求的面积； (2)当n随m的增大而减小时，直接写出m的取值范围； (3)当n随m的增大而增大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q．使得是以O为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由； (4)作点P关于x轴的对称点，设为点，过点P作轴，垂足为D，以PD，为邻边构造矩形，当抛物线与矩形的边有两个公共点时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)6 (2) (3)存在，或 (4)，，，， 【分析】（1）先求出点A，B，C的坐标，然后根据计算即可； （2）配方得到顶点式，即可得到对称轴，然后利用二次函数的增减性解题即可； （3）过点作轴于点，点作轴于点，证明，利用三角形的全等的性质解题即可； （4）分段画出图形，利用数形结合进行解题即可． 【详解】（1）解：令，则，解得，， ∴点A，B的坐标为，， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴； （2）， ∴当时，n随m的增大而减小时； （3）由（2）知当时，随的增大而增大，                              ∴点P在对称轴右侧， 过点作轴于点，点作轴于点，    则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ， 当时，即 解得： (舍去)， 当时，即 ，    解得： (舍去)， ∴点的坐标为或； （4）当时，解得， 当时， 如图，抛物线与矩形的边有两个公共点，    当时， 如图，矩形除顶点P外其余点都在抛物线内，即有一个公共点；    当时， 如图，抛物线与矩形的边有两个公共点；    当时， 如图，抛物线与矩形的边有三个公共点；    当时， 如图，抛物线与矩形的边有两个公共点；    当时， 如图，抛物线与矩形的边有一个公共点；   ，点E在抛物线与y轴交点处，解得，（舍去）， ∴当时， 如图，抛物线与矩形的边有两个公共点；    令，则抛物线的顶点在上，这时，（舍去）， ∴当时， 如图，抛物线与矩形的边有三个公共点；    当时， 如图，抛物线与矩形的边有两个公共点；    综上所述，当抛物线与矩形的边有两个公共点时，出m的取值范围为，，，，． 【点睛】本题考查二次函数的综合，掌握二次函数的图像和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质是解题的关键． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试（长春卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．若升高30米记作米，那么米表示（   ） A．上升5米 B．下降35米 C．上升25米 D．下降5米 2．如图是物理中经常使用的U型磁铁，其主视图为（    ） A． B． C． D． 3．下列运算中，正确的有（   ） A． B． C． D． 4．长春南溪湿地公园总占地面积约为3100000平方米．3100000这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 5．根据图中作图痕迹进行判断，下列说法一定正确的是（   ） A． B．平分 C．垂直平分线段 D．构造的依据是 6．如图，以正六边形的边向内作一个长方形，连接交于点I，则(    ) A． B． C． D． 7．如图是冬奥会首钢滑雪大跳台赛道的剖面图，剖面图的一部分可抽象为线段，已知坡长为m米，坡角为α，则坡的铅垂高度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 8．如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，1为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．8 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 9．在平面直角坐标系中，若点在第 象限． 10．若每支中性笔3元，则购买m支中性笔需 元． 11．分解因式： ． 12．如果关于x的一元二次方程的一个解是，则 ． 13．如图，已知零件的外径为a cm，现用一个交叉卡钳（两条尺长和相等）测量零件的内孔直径．如果，且量得cm，则为 cm． 14．如图，在正方形中，，把正方形绕点A顺时针旋转45°得到正方形，其中点C的运动路径为弧，则图中阴影部分的面积为 ． 三、解答题（本大题共10个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本题6分）先化简，再求值：，其中． 16．（本题6分）如图所示，小明绘制了一个安全用电的标识，点在同一条直线上，且，．若，求的度数． 17．（本题6分）长春北湖国家湿地公园是以自然生态、科普教育、休闲娱乐为主要功能的大型湿地公园，公园内“湖水泛金波，飞鸟映霞光”，呈现出一派人与自然和谐共生的景象．小力和小旺约定本周日从学校出发，骑行去长春北湖湿地公园游玩．已知从学校到长春北湖湿地公园的骑行路线有A、B、C三条，小力和小旺各自随机选择一条骑行路线，求两人恰好选择同一条路线的概率． ​ 18．（本题7分）某人从吉林驱车赶往长春共用2小时，吉林至长春全程为，全程分为公路和市区道路两部分，在公路上行驶的平均速度为 ，在市区道路上行驶的平均速度为．根据题意，甲、乙两名同学分别列出的方程组一部分如下： 甲：        乙： (1)请你在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程组； (2)求这个人在公路上驱车行驶的时间． 19．（本题7分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点、均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上且不全等，不要求写画法． (1)在图①中以线段为边画一个平行四边形． (2)在图②中以线段为边画一个正方形． (3)在图③中以线段为边画一个菱形． 20．（本题7分）某校举办“学生讲堂”，八年级为了选出一位同学代表年级参赛，先后进行了笔试和面试．在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分100分）分别是95分，94分，88分．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于十位评委打分之和．对甲、乙、丙三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 信息一：评委给甲同学打分的条形统计图： 信息二：评委给乙、丙两位同学打分的折线统计图： 信息三：甲、乙、丙三位同学面试情况统计表： 同学 面试成绩 评委打分的中位数 评委打分的众数 甲 78 8 n 乙 86 9 10 丙 87 m 8 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空： 　　分， 　　分； (2)在面试中，如果评委给某位同学的打分的方差越小，则认为评委对该同学面试的评价越一致．据此推断：甲、乙、丙三位同学中，评委对 　　的评价更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）； (3)按笔试成绩占，面试成绩占确定甲、乙、丙三位同学的综合成绩，综合成绩最高者将代表年级参赛，请你通过计算确定参赛同学． 21．（本题8分）【问题背景】 小明家最近购入一辆新能源汽车，为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，小明和爸爸妈妈做了两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量（%）与时间（分钟）的关系，数据记录如表1： 电池充电状态 时间（分钟） 0 10 30 60 增加的电量（%） 0 10 30 60 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量（%）与行驶里程（千米）的关系，数据记录如图2： 【建立模型】观察表1、图2发现都是一次函数模型，请结合表1、图2的数据， （1）关于的函数表达式为____________； （2）当汽车充满电的情况下，行驶180千米，此时仪表盘显示的电量是多少? 【解决问题】 （3）小明家自驾新能源汽车从长春出发去沈阳的辽宁体育馆观看联赛，全程400千米，汽车在充满电量的状态下出发，若电动汽车行驶240千米后，在途中的铁岭服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后新能源汽车仪表盘显示电量，则新能源汽车在服务区充电______分钟． 22．（本题9分）小明在学习《图形的平移与旋转》时，认识了共顶点的两个等腰三角形特性，并发现它在中考中的重要应用，请你与小明一起完成下面练习． 【问题呈现】 如图1，在中，，，点在线段上，以点A为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接，． 【问题分析】 （1）如图1，小明通过审题发现和为共顶点A的等腰三角形，这是老师经常提及的，由可得，因为，，可证明：，利用角的等量关系进一步推导出：_______（用含的式子表示） 【灵活应用】 小明发现利用上述结论可将题目中分散的条件集中到某一处，从而快速找到解决问题的线索． （2）如图2，在平面直角坐标系中，点在y轴上，以为边向右侧作等边，点为轴正半轴的动点，以为边向右侧作等边，直线交y轴于点F．当点D在x轴的正半轴运动时，点F的坐标是否变化．若不变，请求出点F的坐标；若变化，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在菱形中，，点P在线段的延长线上，以为边作等边（A、P、E三个顶点按照逆时针排列），连接，若，，求以A，P，E，D为顶点的四边形的面积． 23．（本题10分）如图①，矩形与叠放在一起（点，分别与点，重合，点落在对角线上），已知，，．如图②，从图①的位置出发，沿方向匀速运动，速度为；动点同时从点出发，沿方向匀速运动，速度为；设它们的运动时间为（）（），连接．解答下列问题： (1)求的长； (2)当为何值时，点在线段的垂直平分线上？ (3)是否存在某一时刻，使得的面积是矩形面积的？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (4)如图③，点是点关于的对称点，连接，，当为何值时，的值最小？ 24．（本题12分）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，点抛物线上一动点． (1)求的面积； (2)当n随m的增大而减小时，直接写出m的取值范围； (3)当n随m的增大而增大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q．使得是以O为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由； (4)作点P关于x轴的对称点，设为点，过点P作轴，垂足为D，以PD，为邻边构造矩形，当抛物线与矩形的边有两个公共点时，直接写出m的取值范围． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试（长春卷） 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共18分） 9．_________________ 10．___________________ 11．___________________ 12．_________________ 13．___________________ 14．___________________ 三、（本大题共10个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（6分） 17. （6分） 18. （7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. （7分） 20. （7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21. （8分） 22. （9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共 10 个小题，共 78 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（6 分） 2025 年中考第一次模拟考试（长春卷） 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B 铅笔填涂) 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 9．_________________ 10．___________________ 11．___________________ 12．_________________ 13．___________________ 14．___________________ 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 16．（6 分） 17. （6 分） 18. （7 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. （7 分） 20. （7 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21. （8 分） 22. （9 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025年中考第一次模拟考试（长春卷） 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 D A A B B B B C 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．二 10． 11． 12． 13．15 14． 三、解答题（本大题共10个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本题6分） 【详解】解：原式（2分） ，（4分） 当时，则原式．（6分） 16．（本题6分） 【详解】证明：， ；（1分） 又， ， ；（3分） 在与中， ， ；（5分） ．（6分） 17．（本题6分） 【详解】解：画树状图为： （3分） 共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一条路线的结果数为3种，（4分） 所以两人恰好选择同一条路线的概率．（6分） 18．（本题7分） 【详解】（1）解： 甲；（1分） 乙；（3分） （2）解：设公路行驶，市区道路行驶， 根据题意得， ①②得，（4分） 解得，（5分） 将代入②，得， 解得，（6分） ∴， 答：这个人在公路上驱车行驶的时间为．（7分） 19．（本题7分） 【详解】（1）（2分） （2）（4分） （3）（7分） 20．（本题7分） 【详解】（1）8.5，8；（2分） （2）丙；（3分） （3）甲的综合成绩为：（分）， 乙的综合成绩为：（分）， 丙的综合成绩为：（分），（6分） ， 所以综合成绩最高的是乙． 故答案为：乙．（7分） 21．（本题8分） 【详解】解：（1）；（2分） （2）设，将代入， 得， 解得， ∴， 当时，， 当汽车充满电的情况下，行驶180千米，此时仪表盘显示的电量是；（5分） （3）当时，， ∴未充电前电量显示为， 假设充电t分钟，应增加电量为， 再次出发时电量是， 走完剩下的路程为（km），故， ∴需消耗的电量为 ∴， 解得， 故答案为30．（8分） 22．（本题9分） 【详解】解：（1）．（2分） （2）结论：点F的坐标不变，．理由如下： 理由：∵都是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．（5分） （3）如图，如图：连接交于点O，连接，作于F， ∵四边形是菱形， ∴，平分， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（2）知， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积是．（9分） 23．（本题10分） 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；（2分） （2）解：∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故当为时，点在线段的垂直平分线上；（4分） （3）解：存在的值，使得的面积是矩形面积的，理由如下∶ 如图，过作于， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， ∵的面积是矩形面积的， ∴， ∴， 解得负值舍去， ∴当时，的面积是矩形面积的，（7分） （4）解：如图，连接， ∵点是点关于的对称点， ∴， ∵， ∴当，，共线时，的值最小， 如图，连接，，设交于，作于，作于， 由知，，， 同理可得，， ∵点是点关于的对称点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是矩形， '∴，， ∴， ∴， ∴， ∴．（10分） 24．（本题12分） 【详解】（1）解：令，则，解得，， ∴点A，B的坐标为，， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴；（2分） （2）， ∴当时，n随m的增大而减小时；（3分） （3）由（2）知当时，随的增大而增大，                              ∴点P在对称轴右侧， 过点作轴于点，点作轴于点，    则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ， 当时，即 解得： (舍去)， 当时，即 ，    解得： (舍去)， ∴点的坐标为或；（7分） （4）当时，解得， 当时， 如图，抛物线与矩形的边有两个公共点，    当时， 如图，矩形除顶点P外其余点都在抛物线内，即有一个公共点；    当时， 如图，抛物线与矩形的边有两个公共点；    当时， 如图，抛物线与矩形的边有三个公共点；    当时， 如图，抛物线与矩形的边有两个公共点；    当时， 如图，抛物线与矩形的边有一个公共点；   ，点E在抛物线与y轴交点处，解得，（舍去）， ∴当时， 如图，抛物线与矩形的边有两个公共点；    令，则抛物线的顶点在上，这时，（舍去）， ∴当时， 如图，抛物线与矩形的边有三个公共点；    当时， 如图，抛物线与矩形的边有两个公共点；    综上所述，当抛物线与矩形的边有两个公共点时，出m的取值范围为，，，，．（12分） 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第一次模拟考试（长春卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．若升高30米记作米，那么米表示（   ） A．上升5米 B．下降35米 C．上升25米 D．下降5米 2．如图是物理中经常使用的U型磁铁，其主视图为（    ） A． B． C． D． 3．下列运算中，正确的有（   ） A． B． C． D． 4．长春南溪湿地公园总占地面积约为3100000平方米．3100000这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 5．根据图中作图痕迹进行判断，下列说法一定正确的是（   ） A． B．平分 C．垂直平分线段 D．构造的依据是 6．如图，以正六边形的边向内作一个长方形，连接交于点I，则(    ) A． B． C． D． 7．如图是冬奥会首钢滑雪大跳台赛道的剖面图，剖面图的一部分可抽象为线段，已知坡长为m米，坡角为α，则坡的铅垂高度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 8．如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，1为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．8 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 9．在平面直角坐标系中，若点在第 象限． 10．若每支中性笔3元，则购买m支中性笔需 元． 11．分解因式： ． 12．如果关于x的一元二次方程的一个解是，则 ． 13．如图，已知零件的外径为a cm，现用一个交叉卡钳（两条尺长和相等）测量零件的内孔直径．如果，且量得cm，则为 cm． 14．如图，在正方形中，，把正方形绕点A顺时针旋转45°得到正方形，其中点C的运动路径为弧，则图中阴影部分的面积为 ． 三、解答题（本大题共10个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本题6分）先化简，再求值：，其中． 16．（本题6分）如图所示，小明绘制了一个安全用电的标识，点在同一条直线上，且，．若，求的度数． 17．（本题6分）长春北湖国家湿地公园是以自然生态、科普教育、休闲娱乐为主要功能的大型湿地公园，公园内“湖水泛金波，飞鸟映霞光”，呈现出一派人与自然和谐共生的景象．小力和小旺约定本周日从学校出发，骑行去长春北湖湿地公园游玩．已知从学校到长春北湖湿地公园的骑行路线有A、B、C三条，小力和小旺各自随机选择一条骑行路线，求两人恰好选择同一条路线的概率． ​ 18．（本题7分）某人从吉林驱车赶往长春共用2小时，吉林至长春全程为，全程分为公路和市区道路两部分，在公路上行驶的平均速度为 ，在市区道路上行驶的平均速度为．根据题意，甲、乙两名同学分别列出的方程组一部分如下： 甲：        乙： (1)请你在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程组； (2)求这个人在公路上驱车行驶的时间． 19．（本题7分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点、均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上且不全等，不要求写画法． (1)在图①中以线段为边画一个平行四边形． (2)在图②中以线段为边画一个正方形． (3)在图③中以线段为边画一个菱形． 20．（本题7分）某校举办“学生讲堂”，八年级为了选出一位同学代表年级参赛，先后进行了笔试和面试．在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分100分）分别是95分，94分，88分．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于十位评委打分之和．对甲、乙、丙三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 信息一：评委给甲同学打分的条形统计图： 信息二：评委给乙、丙两位同学打分的折线统计图： 信息三：甲、乙、丙三位同学面试情况统计表： 同学 面试成绩 评委打分的中位数 评委打分的众数 甲 78 8 n 乙 86 9 10 丙 87 m 8 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空： 　　分， 　　分； (2)在面试中，如果评委给某位同学的打分的方差越小，则认为评委对该同学面试的评价越一致．据此推断：甲、乙、丙三位同学中，评委对 　　的评价更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）； (3)按笔试成绩占，面试成绩占确定甲、乙、丙三位同学的综合成绩，综合成绩最高者将代表年级参赛，请你通过计算确定参赛同学． 21．（本题8分）【问题背景】 小明家最近购入一辆新能源汽车，为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，小明和爸爸妈妈做了两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量（%）与时间（分钟）的关系，数据记录如表1： 电池充电状态 时间（分钟） 0 10 30 60 增加的电量（%） 0 10 30 60 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量（%）与行驶里程（千米）的关系，数据记录如图2： 【建立模型】观察表1、图2发现都是一次函数模型，请结合表1、图2的数据， （1）关于的函数表达式为____________； （2）当汽车充满电的情况下，行驶180千米，此时仪表盘显示的电量是多少? 【解决问题】 （3）小明家自驾新能源汽车从长春出发去沈阳的辽宁体育馆观看联赛，全程400千米，汽车在充满电量的状态下出发，若电动汽车行驶240千米后，在途中的铁岭服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后新能源汽车仪表盘显示电量，则新能源汽车在服务区充电______分钟． 22．（本题9分）小明在学习《图形的平移与旋转》时，认识了共顶点的两个等腰三角形特性，并发现它在中考中的重要应用，请你与小明一起完成下面练习． 【问题呈现】 如图1，在中，，，点在线段上，以点A为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接，． 【问题分析】 （1）如图1，小明通过审题发现和为共顶点A的等腰三角形，这是老师经常提及的，由可得，因为，，可证明：，利用角的等量关系进一步推导出：_______（用含的式子表示） 【灵活应用】 小明发现利用上述结论可将题目中分散的条件集中到某一处，从而快速找到解决问题的线索． （2）如图2，在平面直角坐标系中，点在y轴上，以为边向右侧作等边，点为轴正半轴的动点，以为边向右侧作等边，直线交y轴于点F．当点D在x轴的正半轴运动时，点F的坐标是否变化．若不变，请求出点F的坐标；若变化，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在菱形中，，点P在线段的延长线上，以为边作等边（A、P、E三个顶点按照逆时针排列），连接，若，，求以A，P，E，D为顶点的四边形的面积． 23．（本题10分）如图①，矩形与叠放在一起（点，分别与点，重合，点落在对角线上），已知，，．如图②，从图①的位置出发，沿方向匀速运动，速度为；动点同时从点出发，沿方向匀速运动，速度为；设它们的运动时间为（）（），连接．解答下列问题： (1)求的长； (2)当为何值时，点在线段的垂直平分线上？ (3)是否存在某一时刻，使得的面积是矩形面积的？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (4)如图③，点是点关于的对称点，连接，，当为何值时，的值最小？ 24．（本题12分）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，点抛物线上一动点． (1)求的面积； (2)当n随m的增大而减小时，直接写出m的取值范围； (3)当n随m的增大而增大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q．使得是以O为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由； (4)作点P关于x轴的对称点，设为点，过点P作轴，垂足为D，以PD，为邻边构造矩形，当抛物线与矩形的边有两个公共点时，直接写出m的取值范围． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$