精品解析： 江苏省镇江市句容市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

九年级数学阶段性学习评价样卷 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案写答题卡在相应的位置上） 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 佳琪在处理一组数据“22，22，38，45，●”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在40～50之间，根据以上信息可以确定这组数据的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 3. 若关于x的一元二次方程配方后得到，则c的值为（ ） A. 0 B. 3 C. 6 D. 9 4. 如图，是的直径，C，D在上，且在异侧，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知线段a，b，c，求作线段x，使，下列作图中正确的是 （ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定与相似的是（ ）． A. B. C. D. 7. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 有最小值 D. 顶点坐标 8. 在关于x的二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … … 根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个根最接近于（ ） A. 0 B. C. D. 9. 如图，等边三角形的边长为2，点A，B在上，点C在内，的半径为． 将绕点A逆时针旋转，在旋转过程中得到两个结论： ①当点C第一次落在上时，旋转角为； ②当第一次与相切时，旋转角为． 则结论正确的是（ ） A. ① B. ② C. ①② D. 均不正确 10. 如图1，，在矩形中，是边上的一个动点，交于点，设，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．） 11. 已知是一元二次方程一个根，则的值为________． 12. 如图，在中，，若，，则的长为______． 13. 如图，已知点D、E分别在的边AC，AB上，，且，若，则______． 14. “轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动2周时，上的点随之旋转，则________． 15. 平面直角坐标系中，将抛物线在x轴和x轴下方部分记作，将沿x轴翻折记作，和构成的图形记作G．关于图形G，如图所示，以下三个结论中，正确的序号是______． ①图形G关于原点对称； ②图形G关于直线对称； ③图形G的面积为S，满足． 16. 矩形中，点在上，，点为延长线上一点，满足，连接交于点，若，则的长为______． 三、解答题（本大题共有9小题，共计72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解下列方程： （1） （2） 18. 如图，、相交于点P，连接、，且，，，，求的长． 19. 临近期末，为测试同学们的体育成绩情况，某校从九年级同学中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组进行“排球传垫球”测试（满分为15分）．根据测试成绩绘制出下面的统计表和统计图．已知甲组的平均成绩为13.7分，方差为0.81． 甲组成绩统计表： 成绩 12 13 14 15 人数 1 9 5 5 请根据上面的信息，解答下列问题： （1） ，甲组成绩的中位数是 ，乙组成绩的众数是 ； （2）判断哪个小组成绩更加稳定？说明理由． 20. 10月23日至25日某校召开田径运动会，小明报名参加，有以下5个项目可供选择： 径赛项目：，，（分别用、、表示）； 田赛项目：跳远，跳高（分别用、表示）． （1）小明从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为______； （2）小明从5个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率． 21. 已知和是关于x的一元二次方程的两个实数根，二次函数图像与y轴交点的纵坐标为6． （1）求该二次函数的表达式及顶点坐标； （2）若点M、N是二次函数图像上的两点，请比较p与q的大小； （3）直接写出不等式的解集． 22. 如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度为，草坪水平宽度，竖直高度忽略不计.上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，设灌溉车到草坪的距离为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程的长； （2）下边缘抛物线落地点B的坐标为______； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为______． 23. 如图，是直径，是的切线，． （1）请仅用无刻度的直尺画出的中线（保留作图痕迹，不写作法，不需证明）； （2）在（1）的条件下，连结，证明：是的切线． 24. 如图，已知抛物线，顶点为点P，与轴交于点B、A，与y轴交于点． （1）则点A坐标为 ；B坐标为 ； （2）求的面积； （3）点是直线上方抛物线上的点（不与P重合），是否存在点D，使得和面积相等？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由？ 25. 【基础巩固】     （1）如图1，在中，D为上一点，．，则 ． 【尝试应用】 （2）如图2，在中，E为上一点，F为延长线上一点，．若．求的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形中，E是上一点，F是内一点，，，．，，求菱形的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学阶段性学习评价样卷 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案写答题卡在相应的位置上） 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据合分比性质，可得答案. 【详解】解：， ， 代入； 故选：A． 2. 佳琪在处理一组数据“22，22，38，45，●”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在40～50之间，根据以上信息可以确定这组数据的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平均数，中位数，众数和方差，根据各位的特点和计算方法，进行判断即可． 【详解】解：∵平均数和方差跟一组数据的每一个数据都有关系， ∴无法确定平均数和方差， ∵众数为一组数据中出现次数最多的数据，当●是45时，有两个众数，当●不是45时，有一个众数， ∴不能确定众数， ∵将这组数据排序后，位于中间的一个为38， ∴中位数为38； ∴能确定这组数据的中位数， 故选B． 3. 若关于x的一元二次方程配方后得到，则c的值为（ ） A. 0 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时一次项系数一半平方进行配方即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4. 如图，是的直径，C，D在上，且在异侧，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，先根据邻补角求出，然后利用圆周角定理解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 5. 已知线段a，b，c，求作线段x，使，下列作图中正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．利用图形得比例线段，再与已知式作对比，可以得出结论． 【详解】解：A、由图可得，即，但x是未知线段，不能画出，故此选项不符合题意； B、由图可得，即，故此选项不符合题意； C、由图可得，即，故此选项不符合题意； D、由图可得，即，故此选项符合题意； 故选：D． 6. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定与相似的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定方法，是解题的关键．根据题意得出，然后结合三角形相似的判定方法，逐项判断即可． 【详解】解：， ， A、添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意； B、添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意； C、添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项不符合题意； D、添加，不能判定与相似，故本选项符合题意； 故选：D． 7. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 有最小值 D. 顶点坐标是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，把题目中的函数解析式化为顶点式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴、最值和顶点坐标，即可作出判断．解题的关键是明确题意，熟练掌握二次函数的性质． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴二次项系数，则图象开口向下，故选项A不符合题意； 对称轴是直线，故选项B不符合题意； 当时取得最大值，故选项C不符合题意； 顶点坐标是，故选项D符合题意． 故选：D． 8. 在关于x的二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … … 根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个根最接近于（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用二次函数求对应一元二次方程的近似根，理解“当自变量取两个值，对应的函数值由负数变为正数时，则对应方程的一个根在两个自变量之间，求函数值的绝对值，取较小绝对值所对应的自变量的值为近似根．”是解题的关键．根据表格中的数据进行判断即可． 【详解】解：根据题意，设方程的一个根为， 当时， ， 当时， ， ， ， ， 故选：C． 9. 如图，等边三角形的边长为2，点A，B在上，点C在内，的半径为． 将绕点A逆时针旋转，在旋转过程中得到两个结论： ①当点C第一次落在上时，旋转角为； ②当第一次与相切时，旋转角为． 则结论正确的是（ ） A. ① B. ② C. ①② D. 均不正确 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，图形的旋转，熟练掌握旋转的性质，等边三角形，圆的切线性质，是解题的关键． ①当点C第一次落在上时，连接，可证明是等腰直角三角形，三点共线，再求出，可得； ②当与相切时，连接并延长与交于点M，连接，先求出，，，即可得出结论． 【详解】解：①当点C第一次落在上时， 连接， ，， 是等腰直角三角形， ， 又， ， 是等腰直角三角形， ， 三点共线， ， ， ， ， ，故①正确； 当与相切时，连接并延长与交于点M，连接， 是正三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当第一次与相切时，旋转角为，故②错误， 故选：A． 10. 如图1，，在矩形中，是边上的一个动点，交于点，设，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形判定与性质，动点问题的函数图象问题，根据题意求出函数关系式是解题关键．首先推导出，利用三角形相似求出关于的函数关系式，根据函数关系式进行分析求解． 【详解】解：，， ． ， ． ， ． ， ， ， 设，则， 整理得， 由图象可知，点从点运动到点的过程中，关于的函数图象为抛物线，且顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 抛物线过点， ， 解得， ， ， ． 故选：A． 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．） 11. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，有理数的乘方等知识．熟练掌握一元二次方程的根，有理数的乘方是解题的关键． 由题意知，，即，然后代值求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在中，，若，，则的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．根据，得到，根据相似三角形的性质求出，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：6． 13. 如图，已知点D、E分别在的边AC，AB上，，且，若，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的性质．根据相似三角形性质可得到，结合已知即可得出结果． 【详解】解：，， ， ， ， ∴ 故答案为：3． 14. “轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动2周时，上的点随之旋转，则________． 【答案】72 【解析】 【分析】本题主要考查了利用弧长求解圆心角．先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P移动的距离为， ∴， 解得：． 故答案为：72 15. 平面直角坐标系中，将抛物线在x轴和x轴下方的部分记作，将沿x轴翻折记作，和构成的图形记作G．关于图形G，如图所示，以下三个结论中，正确的序号是______． ①图形G关于原点对称； ②图形G关于直线对称； ③图形G的面积为S，满足． 【答案】①③ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，数形结合是解题的关键．根据抛物线的对称性结合图形即可判断①②；观察图形即可判断③． 【详解】解：如图， 由图形可知，图形关于原点对称，不关于直线对称，故①正确，②错误； 观察图形，图形的面积大于两个的面积，小于的面积， 所以，图形的面积满足，故③正确． 故答案为：①③． 16. 矩形中，点在上，，点为延长线上一点，满足，连接交于点，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，求出是解题的关键．首先可得是的中位线，再说明，可得的长，从而得出答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ∴， ， ， 是的中位线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共有9小题，共计72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）先计算判别式，根据公式法解方程，即可求解； （2）先整理方程并移项，然后因式分解法解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ，． 18. 如图，、相交于点P，连接、，且，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．证明，列出比例式进行求解即可．解题的关键是得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即：， ∴． 19. 临近期末，为测试同学们的体育成绩情况，某校从九年级同学中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组进行“排球传垫球”测试（满分为15分）．根据测试成绩绘制出下面的统计表和统计图．已知甲组的平均成绩为13.7分，方差为0.81． 甲组成绩统计表： 成绩 12 13 14 15 人数 1 9 5 5 请根据上面的信息，解答下列问题： （1） ，甲组成绩的中位数是 ，乙组成绩的众数是 ； （2）判断哪个小组的成绩更加稳定？说明理由． 【答案】（1）3；13.5；13 （2）乙组的成绩更加稳定，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了数据的处理，求众数、中位数及方差． （1）用乙组的总人数减去各个成绩的人数即可得m的值；根据中位数及众数的计算方法分别求解即可； （2）先计算出乙组成绩的方差，然后比较即可． 【小问1详解】 解：， 甲组成绩一共有20组，从小到大排列这组数据最中间的为13和14，则中位数为， 乙组成绩中最多的为13，则众数为13， 故答案为：3，13.5，13； 【小问2详解】 解：乙组的平均数是（分）， 乙组的方差是：； ∵，即乙组成绩的方差小于甲组成绩的方差， ∴乙组的成绩更加稳定． 20. 10月23日至25日某校召开田径运动会，小明报名参加，有以下5个项目可供选择： 径赛项目：，，（分别用、、表示）； 田赛项目：跳远，跳高（分别用、表示）． （1）小明从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为______； （2）小明从5个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． （1）直接根据概率公式求解； （2）先画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出一个田赛项目和一个径赛项目的结果数为12，然后根据概率公式计算即可． 小问1详解】 ∵5个项目中田赛项目有2个， ∴该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为：； 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图得： ∵共有20种等可能的结果，恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的12种情况， ∴恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率为： 21. 已知和是关于x的一元二次方程的两个实数根，二次函数图像与y轴交点的纵坐标为6． （1）求该二次函数的表达式及顶点坐标； （2）若点M、N是二次函数图像上的两点，请比较p与q的大小； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1），顶点坐标为 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数的关系式，二次函数图像与性质， （1）先设二次函数的交点式，再将点B坐标代入即可得出答案； （2）根据两个点的横坐标与对称轴的的大小关系，即可判断答案； （3）求出时x的值，再根据二次函数的增减性得出答案． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式是， ∵抛物线与y轴的交点的纵坐标为6， ∴抛物线经过点， 即， 解得：， ∴抛物线的解析式是， 则，顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线开口向下，有最大值，离对称轴越远函数值越小. ∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当时，， 解得． 当时，． 22. 如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度为，草坪水平宽度，竖直高度忽略不计.上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，设灌溉车到草坪的距离为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程的长； （2）下边缘抛物线落地点B的坐标为______； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为______． 【答案】（1）喷出水的最大射程为 （2） （3） 【解析】 【分析】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． （1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得a的值，从而解决问题； （2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点B的坐标； （3）根据点坐标以及草坪宽度可得结论． 【小问1详解】 解：由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ∴ ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得（舍去）， ∴喷出水最大射程为； 【小问2详解】 解：∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∴点B的坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵， ， ，， ，， ， ∴要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为， 故答案为：． 23. 如图，是的直径，是的切线，． （1）请仅用无刻度的直尺画出的中线（保留作图痕迹，不写作法，不需证明）； （2）在（1）的条件下，连结，证明：是的切线． 【答案】（1）图见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、圆的切线的判定与性质、三角形的重心、三角形的中位线定理等知识，熟练掌握圆的切线的判定与性质是解题关键． （1）连接，交于点，连接，并延长交于点，则为的中线．证明：先证出是的中线，再根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的三线合一可得是的边上的中线，然后根据三角形的重心的定义即可得； （2）连接，先根据三角形的中位线定理可得，从而可得四边形是平行四边形，再根据圆的切线的性质可得，从而可得平行四边形是矩形，然后根据矩形的性质可得，最后根据圆的切线的判定即可得证． 【小问1详解】 解：如图，连接，交于点，连接，并延长交于点，则为的中线． ∵是的直径， ∴， ∴是的中线， 又∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴是的边上的中线（等腰三角形的三线合一）， ∴点是的重心， ∴是的中线． 【小问2详解】 证明：如图，连接， 由（1）可知，点分别是的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵是直径，是的切线， ∴，即， ∴平行四边形是矩形， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． 24. 如图，已知抛物线，顶点为点P，与轴交于点B、A，与y轴交于点． （1）则点A坐标为 ；B坐标为 ； （2）求的面积； （3）点是直线上方抛物线上的点（不与P重合），是否存在点D，使得和面积相等？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由？ 【答案】（1）； （2）3 （3）存在点，使得和面积相等，坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数顶点式的性质，二次函数与几何图形面积的计算方法，掌握二次函数顶点式的计算，二次函数与几何图形面积的计算方法阿是解题的关键． （1）把代入求解即可； （2）根据二次函数与坐标轴的交点的计算方法可得，运用待定系数法求出直线的解析式，如图所示，过点作轴于点，交于点，可得，根据，即可求解； （3）根据题意，点是直线上方抛物线上的点且不同于顶点，过点作轴于点，交于点，设，计算方法如（2），由此即可求解． 【小问1详解】 解∶ 把代入，得， 解得，， ∴；， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 令，则， ∴， 设直线的解析式为，把代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 如图所示，过点作轴于点，交于点， ∴点的横坐标为， 把代入直线得，， ∴， ∴，， ∴， ∴的面积为3； 【小问3详解】 解：如图所示， ∵点是直线上方抛物线上的点且不同于顶点，过点作轴于点，交于点， ∴设， ∴点的横坐标为， ∴，即 ∴， 根据（2）的计算方法得，， ∴， ∴， 解得，（不符合题意，舍去），， 当时，， ∴， ∴存在点，使得和面积相等，坐标为． 25. 【基础巩固】     （1）如图1，在中，D为上一点，．，则 ． 【尝试应用】 （2）如图2，在中，E为上一点，F为延长线上一点，．若．求的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形中，E是上一点，F是内一点，，，．，，求菱形的周长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题是四边形与相似三角形的综合，考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，相似三角形的判定与性质是关键． （1）证明，利用相似三角形的性质即可完成； （2）由平行四边形得性质得，，然后证明，利用相似三角形的性质即可完成； （3）分别延长相交于点G，则由菱形的性质及已知可得四边形为平行四边形，得，，；再由已知得，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∴=15， ∴． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 解得或（舍去负值）， ∴， ∴； （3）解：如图，分别延长相交于点G，    ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴菱形的边长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$