精品解析：山东省枣庄市滕州市第一中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

2024—2025学年度第一学期单元检测 高一数学试题 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的值是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数是偶函数且在上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点在幂函数的图象上，设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，.则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则关于的说法不正确的是 A. 是偶函数 B. 最小正周期为 C. 最大值为2 D. 最小值为0 8. 对于定义域为的函数，若存在非零实数，使函数在和上与轴都有交点，则称为函数的一个“界点”.则下列四个函数中，不存在“界点”的是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的定义域和值域均为 B. 的最小正周期为2 C. 在区间内单调递增 D. 的图象关于点对称 10. 质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的上逆时针做匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为与轴正半轴的交点；的角速度大小为，起点为射线与的交点.则当与重合时，的坐标可以为（ ） A. B. C. D. 11. 关于函数下列说法正确的有（ ） A. B. 不等式的解集是 C. 若方程有3个实数根，则 D. 若存在实数满足，则的最小值为8. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知某扇形的周长是，圆心角的弧度数为，则该扇形的面积是__________． 13. （1）求值：__________. （2）已知是第三象限角，且__________. 14. 是轮子（半径为）外边沿上的一点，若轮子从图中位置（A恰为轮子和地面的切点）向左匀速无滑动滚动，当滚动的水平距离为时，点A距离地面的高度为，若，则的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数图象的相邻两条对称轴间的距离为. （1）求函数的对称中心和对称轴方程； （2）先将函数的图象各点的横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变得到曲线，再把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到的图象，若，求的取值集合. 16. 函数. （1）求函数的单调递增区间和最小正周期； （2）请用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需的数值，再画图）； 0 （3）求函数在上的最大值和最小值，并指出相应的的值. 17. 已知，其中为奇函数，为偶函数. （1）求与的解析式； （2）判断函数在其定义域上的单调性（不需证明）； （3）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 18. 某公司为了提升销售利润，准备制定一个激励销售人员的奖励方案．公司规定奖励方案中的总奖金额y（单位：万元）是销售利润x（单位：万元）的函数，并且满足如下条件：①图象接近图示；②销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元；③销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元．现有以下三个函数模型供公司选择： A．；B．；C．． （1）请你帮助该公司从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由； （2）根据你在（1）中选择的函数模型，解决如下问题： ①如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？ ②总奖金能否超过销售利润的五分之一？ 19. 已知函数，且函数为偶函数. （1）求的值； （2）若函数的图象与直线没有交点，求的取值范围； （3）若函数，是否存在实数使得最小值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期单元检测 高一数学试题 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意利用诱导公式求解即可. 【详解】. 故选：. 2. 下列函数是偶函数且在上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据选项，逐个判断奇偶性和单调性，然后可得答案． 【详解】对于A，的定义域为，，则为奇函数，不合题意； 对于B，的定义域为，，则为偶函数， 在上，为增函数，符合题意； 对于C，的定义域为，故既不是奇函数又不是偶函数，不合题意； 对于D，的定义域为，故既不是奇函数又不是偶函数，不合题意． 故选：B． 3. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据解析式判断函数在定义域上的单调性，再根据零点存在性定理判断零点所在区间即可. 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，， ，则， 所以零点所在区间为. 故选：C. 4. 已知点在幂函数的图象上，设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据幂函数所过的点求解幂函数解析式并判断函数单调性，然后通过自变量大小关系结合函数单调性判断函数值大小即可. 【详解】因为点在幂函数的图象上， 所以，解得，所以， ， 且由得， 因为在上单调递减， 所以. 故选：B. 5. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得，然后结合正弦函数的单调性及可得答案. 【详解】因为，，所以， 因为在，上单调递增， 则，得，， 又，取，则，即. 故选：A. 6. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，.则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】讨论当时，可得；当，由偶函数性质得出，由不等式可求解. 【详解】当时，，由可得，即，解得； 当时，，则，又是偶函数，，由可得，即，解得， 综上，的解集为. 故选：C. 7. 已知函数，则关于的说法不正确的是 A. 是偶函数 B. 最小正周期为 C. 最大值为2 D. 最小值为0 【答案】B 【解析】 【分析】 根据解析式，对其性质进行逐一分析即可. 【详解】因为， 所以是偶函数，故A正确； 因为， 故B不正确； 当时，，当时，， 所以的最大值为2，最小值为0，故C，D均正确. 故选：B. 【点睛】本题考查型函数的性质，其本质依旧是考查余弦函数性质，涉及奇偶性、最值以及周期. 8. 对于定义域为的函数，若存在非零实数，使函数在和上与轴都有交点，则称为函数的一个“界点”.则下列四个函数中，不存在“界点”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】函数有“界点”，等价于函数至少存在2个零点，判断选项A,B,C的零点个数即可确定是否存在“界点”，利用正弦函数的定义可判断当时，，结合正弦函数的有界性也可判断当时恒成立，再利用函数的奇偶性即可确定有且仅有1个零点. 【详解】由题可知，函数有“界点”，等价于函数至少存在2个零点， 对A，因为，所以函数至少有2个零点，A正确； 对B，因为，所以函数有2个零点，B正确； 对C，令，解得， 所以函数有2个零点，C正确； 对D，设单位圆与轴正半轴相交于点，设射线与单位圆相交于点， 过点作轴的垂线，垂足为， 取，则， 所以， 所以当时，， 当时，，则恒成立， 所以在无零点， 又因为的定义域为， ，都有，且， 所以函数为奇函数，所以在无零点， 又因为， 所以函数有且仅有一个零点，D错误； 故选:D. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的定义域和值域均为 B. 的最小正周期为2 C. 在区间内单调递增 D. 的图象关于点对称 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正切函数的性质一一判断即可. 【详解】对于A，由题可得，即， 所以函数的定义域为，值域为R，故A错误； 对于B，函数的最小正周期为，故B正确； 对于C，由A得，当时，，即在处无定义，故C错误； 对于D，由于的图象关于点对称， 令，则， 令，则，故的图象关于点对称，故D正确． 故选：BD. 10. 质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的上逆时针做匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为与轴正半轴的交点；的角速度大小为，起点为射线与的交点.则当与重合时，的坐标可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先求出点的初始位置的坐标，设经过s后，Q与P重合，得到方程，求出，从而分为偶数和奇数两种情况，得到答案. 【详解】点的初始位置的坐标为，且钝角 设经过s后，Q与P重合，坐标均为， 则，解得， 当为偶数时，Q的坐标为，C正确； 当为奇数时，Q的坐标为，即，B正确； AD均不对， 故选：BC 11. 关于函数下列说法正确的有（ ） A. B. 不等式的解集是 C. 若方程有3个实数根，则 D. 若存在实数满足，则的最小值为8. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数解析式，由函数值判断A选项；根据图象结合解不等式得出B选项；结合图象有3个交点数形结合判断C选项；结合基本不等式求最小值判断D选项. 【详解】作出函数的图象如图所示， 对于A，，故A正确； 对于B，当时，若，则，解得或， 当时，若，则，解得（舍）， 结合的图象可得，不等式的解集是，故B正确； 对于C，由函数可知，与的图象有三个不同的交点时，，故C错误； 对于D，设存在实数满足，则函数与的图象有三个不同的交点， 其中，和关于的对称轴对称，故， 当时，得，故的取值范围是， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8，故D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知某扇形的周长是，圆心角的弧度数为，则该扇形的面积是__________． 【答案】4 【解析】 【分析】 根据扇形的周长是，圆心角的弧度数为，由求解， 【详解】设扇形的半径为，所对弧长为， 则， 解得， 所以扇形面积． 故答案为：4 13. （1）求值：__________. （2）已知是第三象限角，且__________. 【答案】 ①. 16 ②. 【解析】 【分析】（1）由分数指数幂的运算法则和对数的运算法则可求解； （2）由条件和是第三象限角，根据同角三角函数的公式可求出，由诱导公式将所求式子化简，可得答案. 【详解】（1） . （2）， ，代入，得， 因为是第三象限角，所以， 所以. 故答案为：16；. 14. 是轮子（半径为）外边沿上的一点，若轮子从图中位置（A恰为轮子和地面的切点）向左匀速无滑动滚动，当滚动的水平距离为时，点A距离地面的高度为，若，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设轮子滚动了后到达点,即，点作垂直地面，过点作，求得函数解析式为，结合余弦函数的性质，即可求解. 【详解】 由题意可知，轮子的半径为，则轮子滚动一周的水平距离为， 如图所示，设轮子滚动了后到达点,即，所以， 过点作垂直地面，过点作， 则， 所以， 由，可得， 所以，解得， 令 所以，，且， 所以当时，可得取最小值为， 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数图象的相邻两条对称轴间的距离为. （1）求函数的对称中心和对称轴方程； （2）先将函数的图象各点的横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变得到曲线，再把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到的图象，若，求的取值集合. 【答案】（1）对称中心为；对称轴方程为. （2）. 【解析】 【分析】（1）由条件可得函数的最小正周期，结合周期公式求，再由正弦函数性质求函数的对称中心和对称轴方程； （2）根据函数图象变换结论求函数的解析式，利用正弦函数性质解不等式求的取值范围. 【小问1详解】 因为图象的相邻两条对称轴间的距离为， 所以的最小正周期为， 又，则，所以， 由得， 所以函数的对称中心为； 由得， 所以函数的对称轴方程为. 【小问2详解】 将函数的图象向左平移个单位长度得到曲线， 把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的得到的图象， 由得， 所以， 所以， 所以的取值集合为. 16. 函数. （1）求函数的单调递增区间和最小正周期； （2）请用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需的数值，再画图）； 0 （3）求函数在上的最大值和最小值，并指出相应的的值. 【答案】（1）；； （2）答案见解析 （3）最大值为2，最小值为， 时取得最小值，时取得最大值. 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的图象与性质求出函数的单调递增区间和最小正周期； （2））列表，描点、连线，画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图； （3）先求出，根据正弦函数性质求出最值. 【小问1详解】 函数， 令； 解得；即； 所以函数的单调递增区间是； 最小正周期. 【小问2详解】 列表如下： 0 0 2 0 0 画图如下： 【小问3详解】 时，， 所以函数在上取得最大值为2，最小值为， 当时取得最小值，时取得最大值. 17. 已知，其中为奇函数，为偶函数. （1）求与的解析式； （2）判断函数在其定义域上的单调性（不需证明）； （3）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），；（2）函数在其定义域上为减函数；（3）. 【解析】 【分析】（1）由与可建立有关、的方程组，可得解出与的解析式； （2）化简函数的解析式，根据函数的解析式可直接判断函数的单调性； （3）将所求不等式变形为，根据函数的定义域、单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）由于函数为奇函数，为偶函数， ，， 即， 所以，，解得，. 由，可得， 所以，，； （2）函数的定义域为，， 所以，函数在其定义域上为减函数； （3）由于函数为定义域上的奇函数，且为减函数， 由，可得， 由题意可得，解得. 因此，实数的取值范围是. 【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下： （1）先分析出函数在指定区间上的单调性； （2）根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域； （3）求解关于自变量的不等式 ，从而求解出不等式的解集. 18. 某公司为了提升销售利润，准备制定一个激励销售人员的奖励方案．公司规定奖励方案中的总奖金额y（单位：万元）是销售利润x（单位：万元）的函数，并且满足如下条件：①图象接近图示；②销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元；③销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元．现有以下三个函数模型供公司选择： A．；B．；C．． （1）请你帮助该公司从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由； （2）根据你在（1）中选择的函数模型，解决如下问题： ①如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？ ②总奖金能否超过销售利润的五分之一？ 【答案】（1）模型C，理由： 模型A．，因为，所以匀速增长， 模型B．，因为，先慢后快增长， 模型C．，因为，先快后慢增长， 所以模型C最符合题意. （2）①210万元； ②不会. 【解析】 【分析】（1）根据函数的图象性质即可选择模型； （2）①令解对数不等式求解，②即，结合函数图象的增长速度解释. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元， 所以，即， 又因为销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元， 所以，即， 由解得，所以， ①如果总奖金不少于9万元，即， 即，即，解得， 所以至少应完成销售利润210万元. ②设，即， 因为与有交点， 且增长速度比慢， 所以当时，恒在的下方， 所以无解， 所以总奖金不会超过销售利润的五分之一. 19. 已知函数，且函数为偶函数. （1）求的值； （2）若函数的图象与直线没有交点，求的取值范围； （3）若函数，是否存在实数使得最小值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）； （3）存在，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据为偶函数，由求解； （2）将函数的图象与直线没有交点，转化为方程无解求解； （3）令，由对称轴，分，，讨论求解. 【小问1详解】 为偶函数，，， 即 ， . 【小问2详解】 由题意知方程即方程无解， 令，则函数的图象与直线无交点. ， 任取，且，则， ， 所以， 在上是单调减函数. . 的取值范围是. 【小问3详解】 由题意， 令， 开口向上，对称轴. 当，即时，（舍去）. 当，即时，，解得或（舍去）， 当，即（舍去）. 综上，存在使得最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $