专题08 二项式定理（8大题型）-2025年高二数学寒假精髓讲解与强化训练（人教A版2019选择性必修第三册）

专题08 二项式定理 【题型归纳目录】 题型一：二项式定理的正用、逆用 题型二：二项展开式的通项的应用 题型三：求两个多项式积的特定项 题型四：余数和整除的问题 题型五：近似计算 题型六：二项展开式的系数和问题 题型七：二项式系数性质的应用 题型八：三项式及多项式展开问题 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：二项式定理 1、定义 一般地，对于任意正整数，都有： 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式． 式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，其中的系数叫做二项式系数 2、二项式的展开式的特点： （1）项数：共有项，比二项式的次数大1； （2）二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中； （3）次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到0；字母升幂排列，次数从0到，每一项中，a，b次数和均为； 题型一：二项式定理的正用、逆用 【典例1-1】已知二项式． (1)写出当时的展开式； (2)写出当时所有的有理项． 【典例1-2】求的二项展开式． 【变式1-1】用二项式定理展开下列各式： (1)； (2)． 【变式1-2】（1）求的展开式； （2）化简：. 知识点二、二项展开式的通顶公式 二项展开式的通项： 公式特点： （1）它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是； （2）字母的次数和组合数的上标相同； 题型二：二项展开式的通项的应用 【典例2-1】的二项展开式中的常数项为 ． 【典例2-2】二项式的展开式中第5项为 . 【变式2-1】的展开式的第四项为 . 【变式2-2】在的展开式中常数项等于 . 题型三：求两个多项式积的特定项 【典例3-1】若的展开式中含的系数为15，则实数（    ） A．2 B．1 C． D． 【典例3-2】的展开式中含项的系数为（    ） A．8 B．12 C． D． 【变式3-1】的展开式中的系数为（    ） A．24 B．21 C．15 D．9 【变式3-2】在的展开式中，含项的系数为（   ） A． B．160 C． D．100 知识点三：二顶式系数及其性质 1、的展开式中各项的二顶式系数、、…具有如下性质： ①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离"的两项的二项式系数相等，即； ②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数相等，且最大． （3）各二项式系数之和为，即； （4）二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即． 知识点诠释： 二项式系数与展开式的系数的区别 二项展开式中，第项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等． 2、展开式中的系数求法的整数且 知识点诠释： 三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决． 题型四：余数和整除的问题 【典例4-1】被6除的余数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例4-2】被8除所得的余数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．5 【变式4-1】被100除所得的余数为（    ） A．1 B．81 C． D． 【变式4-2】中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a，b，m均为整数，若a和b被m除得的余数相间，则称a和b对模m同余，记为，如9和21被6除得的余数都是3，则记.若，且，则b的值可以是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 题型五：近似计算 【典例5-1】的计算结果精确到0.001的近似值是 . 【典例5-2】实数精确到的近似值为 . 【变式5-1】二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克•牛顿提出.二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据.用这个方法计算的近似值，可以这样操作：.用这样的方法，估计的近似值约为 .（精确到小数点后两位数） 【变式5-2】用二项式定理估算 .（精确到0.001） 题型六：二项展开式的系数和问题 【典例6-1】（多选题）若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】（多选题）已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式6-1】设，求： (1)； (2). 【变式6-2】已知. (1)求 (2)求 (3) 题型七：二项式系数性质的应用 【典例7-1】的展开式中，前项的系数成等差数列，展开式中二项式系数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【典例7-2】若的展开式中第2项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【变式7-1】在的二项展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则展开式的项数是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式7-2】在的二项展开式中，所有二项式系数之和为64，则展开式的项数是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 题型八：三项式及多项式展开问题 【典例8-1】的展开式中，含的项的系数为（    ） A．240 B． C．560 D．360 【典例8-2】的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】的展开式中所有项的系数之和为（    ） A．243 B．240 C．237 D．234 【变式8-2】的展开式中的系数为（    ） A．120 B．80 C．60 D．40 【强化训练】 1．在的展开式中，常数项为（   ） A． B．15 C． D．30 2．设满足，则（   ） A．120 B． C．40 D． 3．已知二项式的展开式奇数项的二项式系数和为，展开式中项的系数为，则a的值为（   ） A． B． C． D． 4．（多选题）已知展开式的二项式系数和为512，，下列选项正确的是（   ） A． B． C．被8整除的余数为1 D． 5．（多选题）在下列关于二项式的命题中，正确的是（   ） A．的展开式中，一共有6项 B．在的展开式中，所有二项式系数的和为64 C．若，则 D．二项式，若，则 6．（多选题）已知，且，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．若为奇数，则 7．（多选题）在下列关于二项式的命题中，正确的是（   ） A．若二项式的展开式中，第3项的二项式系数最大，则 B．若，则 C．在的展开式中，常数项为60 D．的展开式中，的系数为5 8．（多选题）已知的展开式的第2项与第3项系数的和为3，则（   ） A． B．展开式的各项系数的和为 C．展开式的各二项式系数的和为256 D．展开式的常数项为第5项 9．（多选题）已知二项式，则其展开式中（   ） A．的系数为15 B．各项系数之和为1 C．二项式系数最大项是第3项 D．系数最大项是第3项或第5项 10．（多选题）设，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．的展开式中常数项是 .（用数字作答）. 12．展开式中的第项与倒数第项的比是，则展开式中的第项为 ． 13．的展开式中的常数项为 ． 14．若的展开式中存在项，则由满足条件的所有正整数m从小到大排列构成的数列的通项公式为 ． 15．已知，的二项展开式中各项系数和为，则展开式中项的系数是 ． 16．若，其中． (1)求的值； (2)求． 17．在的展开式中，______. 给出下列条件：①二项式系数和为64；②各项系数之和为729；③第三项的二项式系数为15.试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题： (1)求的值并求展开式中的常数项； (2)求展开式中的系数. 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分. 18．在的展开式中． (1)求二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项是第几项？ (3)求系数最大的项． 19．已知的二项式系数之和为4096． (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大项． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 二项式定理 【题型归纳目录】 题型一：二项式定理的正用、逆用 题型二：二项展开式的通项的应用 题型三：求两个多项式积的特定项 题型四：余数和整除的问题 题型五：近似计算 题型六：二项展开式的系数和问题 题型七：二项式系数性质的应用 题型八：三项式及多项式展开问题 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：二项式定理 1、定义 一般地，对于任意正整数，都有： 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式． 式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，其中的系数叫做二项式系数 2、二项式的展开式的特点： （1）项数：共有项，比二项式的次数大1； （2）二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中； （3）次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到0；字母升幂排列，次数从0到，每一项中，a，b次数和均为； 题型一：二项式定理的正用、逆用 【典例1-1】已知二项式． (1)写出当时的展开式； (2)写出当时所有的有理项． 【解析】（1） （2）因为当时，二项式的通项为， 所以当时，；当时，；当时，． 所以当时，所有的有理项为，， 【典例1-2】求的二项展开式． 【解析】由二项式定理，得 ， 所以的二项展开式是． 【变式1-1】用二项式定理展开下列各式： (1)； (2)． 【解析】（1） . （2） . 【变式1-2】（1）求的展开式； （2）化简：. 【解析】方法一  ： . 方法二：   . （2）原式 . 知识点二、二项展开式的通顶公式 二项展开式的通项： 公式特点： （1）它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是； （2）字母的次数和组合数的上标相同； 题型二：二项展开式的通项的应用 【典例2-1】的二项展开式中的常数项为 ． 【答案】 【解析】二项式的展开式的常数项为. 故答案为： 【典例2-2】二项式的展开式中第5项为 . 【答案】15 【解析】展开式通项为， . 故答案为：15. 【变式2-1】的展开式的第四项为 . 【答案】 【解析】的展开式的通项为， 令，得 故答案为：. 【变式2-2】在的展开式中常数项等于 . 【答案】16 【解析】因为展开式的通项为，， 的展开式中常数项由两项构成， 即与， 所以的展开式中常数项为. 故答案为：16. 题型三：求两个多项式积的特定项 【典例3-1】若的展开式中含的系数为15，则实数（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【解析】的展开式的通项， 所以的展开式中含的系数为， 令，即，解得． 故选：D 【典例3-2】的展开式中含项的系数为（    ） A．8 B．12 C． D． 【答案】B 【解析】的展开式的通项公式为， 令，可得二项式的展开式中的系数为； 令，可得二项式的展开式中的系数为． 的展开式中的系数为. 故选：B 【变式3-1】的展开式中的系数为（    ） A．24 B．21 C．15 D．9 【答案】D 【解析】由二项式定理得的通项为， 当时，含有的系数为，当时，含有的系数为， 综上，原式展开式中的系数为，故D正确. 故选：D 【变式3-2】在的展开式中，含项的系数为（   ） A． B．160 C． D．100 【答案】C 【解析】依题意，展开式中含的项是，含的项是， 因此的展开式中，含的项为， 所以所求系数为. 故选：C 知识点三：二顶式系数及其性质 1、的展开式中各项的二顶式系数、、…具有如下性质： ①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离"的两项的二项式系数相等，即； ②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数相等，且最大． （3）各二项式系数之和为，即； （4）二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即． 知识点诠释： 二项式系数与展开式的系数的区别 二项展开式中，第项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等． 2、展开式中的系数求法的整数且 知识点诠释： 三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决． 题型四：余数和整除的问题 【典例4-1】被6除的余数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】因为， 且984可以被6整除，所以余数为1. 故选：A. 【典例4-2】被8除所得的余数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．5 【答案】A 【解析】 ， 因为能被8整除， 所以被8除所得的余数为1． 故选：A. 【变式4-1】被100除所得的余数为（    ） A．1 B．81 C． D． 【答案】B 【解析】． 前91项均能被100整除，剩下两项为， 显然8281除以100所得的余数为81． 故被100除所得的余数为81． 故选：B. 【变式4-2】中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a，b，m均为整数，若a和b被m除得的余数相间，则称a和b对模m同余，记为，如9和21被6除得的余数都是3，则记.若，且，则b的值可以是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【解析】依题意， ，展开式共11项，其中前10均有因数8，最末一项为1， 则被8除得的余数是1，2022，2023，2024，2025被8除得的余数分别为6，7，0，1， 因此b的值可以是2025. 故选：D 题型五：近似计算 【典例5-1】的计算结果精确到0.001的近似值是 . 【答案】 【解析】由 . 故答案为：. 【典例5-2】实数精确到的近似值为 . 【答案】 【解析】因为 ， 将精确到，故近似值为. 故答案为：. 【变式5-1】二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克•牛顿提出.二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据.用这个方法计算的近似值，可以这样操作：.用这样的方法，估计的近似值约为 .（精确到小数点后两位数） 【答案】3.07 【解析】. 故答案为：3.07 【变式5-2】用二项式定理估算 .（精确到0.001） 【答案】1.105 【解析】 . 故答案为：1.105 题型六：二项展开式的系数和问题 【典例6-1】（多选题）若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】令，则，故A正确， 令可得，故，故B错误， 令可得，故，故C正确， 令可得，，故D错误， 故选：AC 【典例6-2】（多选题）已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A:令，则， 令，则，所以，A,D选项正确； 对于B:令，则，B选项正确； 对于C:令，则，C选项错误； 故选：ABD. 【变式6-1】设，求： (1)； (2). 【解析】（1）由条件，取，得到； 取，得到 取，得到 两式相加得到， 所以. （2）根据（1）知： 展开式的通项为：， 故当为偶数时，对应系数为正；当为奇数时，对应系数为负， 故 . 【变式6-2】已知. (1)求 (2)求 (3) 【解析】（1）在中，取得，取得①，所以. （2）取得②，①+②得，所以. （3）令 则， 取，得. 题型七：二项式系数性质的应用 【典例7-1】的展开式中，前项的系数成等差数列，展开式中二项式系数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】展开式的通项公式为， 所以，前三项的系数分别为、、且成等差数列， 所以，，即，整理可得， 由题意可知，且，解得， 故解得，二项式系数的最大值为． 故选：. 【典例7-2】若的展开式中第2项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】C 【解析】由的展开式中第2项与第8项的系数相等， 由的展开式的二项式系数和项的系数相等， 所以，所以， 则展开式中共有9项，系数最大的项为第5项， 故选：C． 【变式7-1】在的二项展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则展开式的项数是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【解析】在二项式的展开式中，当为偶数时，中间一项的二项式系数最大； 当为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大. 因为在的二项展开式中，只有第四项的二项式系数最大， 所以为偶数，且中间项为第项，即，解得. 因二项式展开式的项数为，则展开式的项数是项. 故选：A. 【变式7-2】在的二项展开式中，所有二项式系数之和为64，则展开式的项数是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【解析】由题得， 所以二项式的展开式的项数是. 故选：A. 题型八：三项式及多项式展开问题 【典例8-1】的展开式中，含的项的系数为（    ） A．240 B． C．560 D．360 【答案】B 【解析】的通项为， 且， 令，解得，故的项的系数为. 故选：B. 【典例8-2】的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 项对应，， 项对应系数为，故展开后系数为. 故选：D. 【变式8-1】的展开式中所有项的系数之和为（    ） A．243 B．240 C．237 D．234 【答案】A 【解析】由多项式，令，可得所有项的系数之和为． 故选：A. 【变式8-2】的展开式中的系数为（    ） A．120 B．80 C．60 D．40 【答案】D 【解析】展开式通项为：， 令，即， 当时，的系数为； 当时，的系数为； 所以的系数为， 故选：D 【强化训练】 1．在的展开式中，常数项为（   ） A． B．15 C． D．30 【答案】B 【解析】， 令，得， ∴常数， 故选：B． 2．设满足，则（   ） A．120 B． C．40 D． 【答案】A 【解析】因为， 令，即可得， 令，即可得，可得，所以； 令，即可得， 得，得， 所以. 故选：A. 3．已知二项式的展开式奇数项的二项式系数和为，展开式中项的系数为，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由展开式奇数项的二项式系数和，可得， 则展开式的通项为， 令，则，，解得， ，. 故选：A. 4．（多选题）已知展开式的二项式系数和为512，，下列选项正确的是（   ） A． B． C．被8整除的余数为1 D． 【答案】BCD 【解析】由已知有，故，． 所以． 对于A，取得，取得， 所以，A错误； 对于B，取得，又， 所以，B正确； 对于C，， 则后一项即为余数1，C正确； 对于D， 由 有． 在中 取得， 所以，D正确. 故选：BCD． 5．（多选题）在下列关于二项式的命题中，正确的是（   ） A．的展开式中，一共有6项 B．在的展开式中，所有二项式系数的和为64 C．若，则 D．二项式，若，则 【答案】ABC 【解析】对于A，二项式展开式一共有6项，A正确； 对于B，在的展开式中，所有二项式系数的和为，故B正确； 对于C，令，可得， 令，可得，所以，故C正确； 对于D，二项式， 则， 令，得，则，故D不正确. 故选：ABC. 6．（多选题）已知，且，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．若为奇数，则 【答案】ACD 【解析】对于A，组合数的性质为，在中，令， 那么，所以，故A正确； 对于B，组合数的递推公式为，令， 则，移项可得，故B错误； 对于C，， ， 所以，故C正确； 对于D，根据二项式定理， 当时，， 当，为奇数时，， 两式相加得， 则，故D正确； 故选：ACD. 7．（多选题）在下列关于二项式的命题中，正确的是（   ） A．若二项式的展开式中，第3项的二项式系数最大，则 B．若，则 C．在的展开式中，常数项为60 D．的展开式中，的系数为5 【答案】BCD 【解析】对于A，由二项式的系数的性质可知最中间项的二项式系数最大， 当为偶数时，最中间项只有一项，又第3项的二项式系数最大，故共为5项， 所以，解得， 当为奇数时，中间项有二项，又第3项的二项式系数最大， 所以可能第二项与第三项二项式系数相同都最大或第三项与第四项二项式系数相同都最大或， 此时或，解得或，故A错误； 对于B，令，可得， 令，可得，所以，故B正确； 对于C，二项式的展开式的通项公式为， 令，解得，所以第5项为常数项且常数项为，故C正确； 对于D，展开式中的系数为，故D正确. 故选：BCD. 8．（多选题）已知的展开式的第2项与第3项系数的和为3，则（   ） A． B．展开式的各项系数的和为 C．展开式的各二项式系数的和为256 D．展开式的常数项为第5项 【答案】ACD 【解析】因为的展开式的通项公式为，（）， 所以，即， 解得（舍去），故A正确； 所以（）， 当，即时为常数项, 故D正确； 所以展开式的各项系数的和为，故B错误； 所以展开式的各二项式系数的和为，故C正确. 故选：ACD. 9．（多选题）已知二项式，则其展开式中（   ） A．的系数为15 B．各项系数之和为1 C．二项式系数最大项是第3项 D．系数最大项是第3项或第5项 【答案】AD 【解析】的展开式的通项为， 对于A，取，则，故的系数为，故A正确； 对于B，因为， 令，则各项系数之和为，故B错误； 对于CD，由展开式的通项可得展开式中各项的系数依次为：， 故二项式系数最大项是第3项或第5项，故C错误，D正确； 故选：AD. 10．（多选题）设，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A选项，令，得，解得：，故A选项正确； 对于B选项，令，得：，故B选项正确； 对于C选项，由题意可知，当时，得：，故C选项错误； 对于D选项，令，得：，由上式， 两式相加得：， 解得：，故D选项正确. 故选：ABD 11．的展开式中常数项是 .（用数字作答）. 【答案】160 【解析】二项式的展开式的通项公式为， 令，即，∴常数项为. 故答案为：160. 12．展开式中的第项与倒数第项的比是，则展开式中的第项为 ． 【答案】 【解析】根据题意可知，， 由， 化简得，所以，解得， 所以. 故答案为：. 13．的展开式中的常数项为 ． 【答案】 【解析】的展开式为． 令解得 所以其常数项为． 故答案为： 14．若的展开式中存在项，则由满足条件的所有正整数m从小到大排列构成的数列的通项公式为 ． 【答案】 【解析】展开式的通项为， 由于展开式中存在项， 令，则， 所以. 故答案为： 15．已知，的二项展开式中各项系数和为，则展开式中项的系数是 ． 【答案】 【解析】因为的二项展开式的各项系数和为， 令，得，解得， 所展开式的通项公式为， 令，得， 所以项的系数为． 故答案为：． 16．若，其中． (1)求的值； (2)求． 【解析】（1）由题意可得，即， （2）令，则，① 令，则，② 所以 17．在的展开式中，______. 给出下列条件：①二项式系数和为64；②各项系数之和为729；③第三项的二项式系数为15.试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题： (1)求的值并求展开式中的常数项； (2)求展开式中的系数. 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分. 【解析】（1）若选①，易知，则，此时的常数项为； 若选②，令，则， 则，此时的常数项为； 若选③，易知，则，此时的常数项为； （2）由上可知不论选①②③，都有， 则问题为求展开式中的系数， 先求展开式中含的项乘以，该项为， 再求展开式中常数项乘以，知该项为， 所以展开式中含的项为，所以其系数为. 18．在的展开式中． (1)求二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项是第几项？ (3)求系数最大的项． 【解析】（1）二项式系数最大的项为中间项，即第5项，； （2）的展开式的通项为 ，，， 设第项系数的绝对值最大，显然，则， 整理得，即， 解得，而，则或， 所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项； （3）由（2）知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负， 第7项的系数为正，所以系数最大的项为第7项． 19．已知的二项式系数之和为4096． (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大项． 【解析】（1）因为的二项式系数之和为4096． 所以，解得， 所以二项式展开式的通项为， 令，解得，所以展开式的常数项为. （2）设展开式中第项的系数最大， 则，可得，解得， 因为，所以，所以系数最大的项为. 学科网（北京）股份有限公司 $$