专题4-3 二项式定理【17类题型汇总】- 【寒假衔接】2024-2025学年高二年级下学期数学重点题专练（人教A版2019）

【寒假衔接】2024-2025学年高二年级下学期数学重点题专练 专题4-3 二项式定理 模块一 题型·解读 模块一 素养训练 【题型1】求二项展开式及指定项 4 【题型2】求指定项的系数 4 【题型3】由项的系数或系数和确定参数 5 【题型4】展开式二项式系数和 5 【题型5】展开式所有项系数和 6 【题型6】二项式系数最大的项 6 【题型7】两个二项式乘积展开式的系数问题 7 模块二 拓展强化 【题型8】三项展开式的系数问题 7 【题型9】等式两边不一致时需要换元或配凑 8 【题型10】奇次项与偶次项以及系数的绝对值之和 9 【题型11】赋值求系数和 10 【题型12】等式两边求导后再赋值求和 10 【题型13】余数问题 11 【题型14】展开式系数最大的项 12 【题型15】二项式定理与杨辉三角 13 【题型16】二项式定理与组合数性质 15 【题型17】二项式定理的逆用与数列或组合数计算结合 15 【课后巩固】 17 模块二 基础知识·梳理 知识点01 二项展开式 要点诠释：这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式． 式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，其中的系数叫做二项式系数 知识点02 二项式系数和 要点诠释：二项式系数的和： 知识点03 展开式的系数 二项式系数与展开式的系数的区别 二项展开式中，第项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等． ， 即所有项系数和，令x=1可得 知识点04 二项式系数最大的项 二项式系数先增后减中间项最大 当为偶数时，第项的二项式系数最大，最大值为，当为奇数时，第项和项的二项式系数最大，最大值为或. 知识点05 三项展开式的系数问题 （1）展开式中的系数求法的整数且 （2）展开式中的项数问题 可以理解为有个盒子，每个盒子中均有、、三个元素， 现在从每个盒子中各取出个元素，再将它们相乘， 例若，即求展开式的项数 若只选一个字母则有种， 若选个字母则有种， 若选个字母则有种， 故展开式共有项 知识点06 展开式系数最大的项 求解二项展开式中系数的最值策略 ①求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二项式系数的性质求解． ②求展开式中项的系数的最大值，由于展开式中项的系数是离散型变量，设展开式各项的系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解不等式组即得结果． 知识点07 整除和余数问题 方法指导 利用二项式定理证明或判断整除问题，一般要进行合理变形，常用的变形方法就是拆数，往往是将幂底数写成两数的和，并且其中一个数是除数的倍数，这样能保证被除式展开后的大部分项含有除式的因式，进而可判断或证明被除数能否被除数整除，若不能整除则可求出余数。 解题步骤 第一步通常把底数写成除数(或与余数密切相关联的数)与某数的和或差的形式； 第二步再用二项式定理展开，但要注意两点：一是余数的范围，其中余数，r是除数，切记余数不能为负，二是二项式定理的逆用； 第三步得出结论. 知识点08 二项式定理与杨辉三角 性质1：展开式的系数就是杨辉三角的第n行 性质2（对称性）：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即； 性质3（递归性）：除1以外的数都等于肩上两数之和，即； 性质4：自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，比如： 模块三 核心题型·训练 模块一 素养训练 【题型1】求二项展开式及指定项 【例题1】式子二项式定理展开中的第6项为 ． 【例题2】写出的展开式． 【巩固练习1】项式的展开式中的第3项为（    ） A．160 B． C． D． 【巩固练习2】的展开式中，有理项是第 项． 【巩固练习3】化简的结果为（    ） A．x4 B． C． D． 【题型2】求指定项的系数 【例题1】的展开式中的系数为（   ） A． B．60 C．750 D．1215 【例题2】在二项式的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________． 【巩固练习1】的展开式中的系数为 ． 【巩固练习2】在的展开式中，的系数为（    ） A． B．21 C．189 D． 【巩固练习3】（23-24高二下·广东·期中）二项式的展开式中的常数项为 ． 【题型3】由项的系数或系数和确定参数 【例题1】（23-24高二下·广东茂名·期中）已知的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，则 . 【例题2】的展开式中的系数是126，则（    ） A．2 B．4 C．1 D．3 【巩固练习1】若的展开式中常数项的系数是15，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【巩固练习2】若的展开式中的系数为15，则 ． 【题型4】展开式二项式系数和 【例题1】】若的展开式的二项式系数之和为16，则的展开式中的系数为 . 【巩固练习1】在的二项展开式中，各项的二项式系数之和为，则展开式中的系数为 （用数字填写答案）； 【巩固练习2】（多选）在的展开式中，则（    ） A. 二项式系数最大的项为第3项和第4项 B. 所有项的系数和为0 C. 常数项为 D. 所有项的二项式系数和为64 【题型5】展开式所有项系数和 【例题1】已知（a为常数）的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中的系数为 （用数字作答） 【巩固练习1】若的展开式中的第项为常数项，则展开式的各项系数的和为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】若展开式中所有项的系数和为 256 ，其中为常数，则该展开式中项的系数为 【巩固练习3】在的二项展开式中，各二项式系数之和为，各项系数之和为，若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【题型6】二项式系数最大的项 【例题1】已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则 . 【例题2】（23-24高二下·广东·期中）在的二项展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的系数为 .（用数字作答） 【巩固练习1】在的展开式中，若第7项系数最大，则n的值可能等于 . 【巩固练习2】展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n的值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【题型7】两个二项式乘积展开式的系数问题 【例题1】的展开式中的系数为（    ） A．10 B． C．20 D． 【例题2】的展开式中的常数项为 ． 【巩固练习1】展开式中项的系数为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知，则 . 模块二 拓展强化 【题型8】三项展开式的系数问题 【例题1】展开式中含项的系数为 ． 【例题2】（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）展开式中含项的系数是 . 【巩固练习1】（23-24高二下·山东青岛·阶段练习）在的展开式中，项的系数为 ． 【巩固练习2】的展开式中，项的系数为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（23-24高二下·浙江·期中）设…，则（    ） A． B． C．800 D．640 【巩固练习4】（23-24高二下·浙江·期中）在的展开式中，的系数为 ． 【题型9】等式两边不一致时需要换元或配凑 【例题1】已知，则（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【例题2】（23-24浙江宁波·期中）已知，则 . 【巩固练习1】（23-24高二下·浙江·阶段练习），则等于（    ） A．180 B． C．45 D． 【巩固练习2】已知等式，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（23-24高二下·浙江台州·期中）（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【题型10】奇次项与偶次项以及系数的绝对值之和 【例题1】若，则 ． 【例题2】（23-24高二下·浙江·期中）（多选）已知展开式的二项式系数和为，，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（23-24高二下·广东珠海·阶段练习）（多选）若，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（23-24高二下·江苏南通·期末）（多选）若，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（23-24高二下·广东深圳·期中）（多选）若，其中为实数，则（    ） A． B． C． D． 【题型11】赋值求系数和 【例题1】（23-24高二下·广东广州·期末）（多选）已知 ，则（    ） A．展开式中的常数项为1 B．展开式中各项系数之和为0 C．展开式中二项式系数最大的项为第1012项 D． 【例题2】已知，则 A．－1 B．0 C．1 D．2 【巩固练习1】已知. 展开式中的二项式系数为________， （2）________， （3）________，（赋值） （4）________.（对称性） 【题型12】等式两边求导后再赋值求和 【例题1】（多选）若，，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（多选）已知多项式，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）（多选）已知，则（    ） A．，，，中最大 B． C． D． 【题型13】余数问题 【例题1】（23-24高二下·浙江杭州·期中）除以15的余数是（    ） A．9 B．8 C．3 D．2 【例题2】（23-24高二下·江苏徐州·期末）已知，则 ，被6除所得的余数是 . 【巩固练习1】被8除的余数为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【巩固练习2】（23-24高二下·浙江·期中）已知今天是星期三，则经过天后是（    ） A．星期四 B．星期五 C．星期六 D．星期日 【巩固练习3】二项式展开式的各项系数之和被7除所得余数为 ． 【巩固练习4】（23-24高二下·浙江杭州·期中）设为偶数，则被整除的余数是（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【题型14】展开式系数最大的项 【例题1】（23-24高二下·广东中山·期末）已知的展开式中，第项与第项的二项式系数之比为． (1)求的值及展开式中的常数项；(2)求展开式中系数最大项． 【例题2】（23-24高二下·浙江嘉兴·阶段练习）已知二项式的展开式中第二项与第四项的系数相同.则展开式中系数最大的项是 . 【巩固练习1】的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则的展开式中系数最大的项的系数为 . 【巩固练习2】已知二项式，若它的二项式系数之和为128，求展开式中系数最大的项． 【巩固练习3】在的展开式中， （1）求二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项是第几项； 【题型15】二项式定理与杨辉三角 【例题1】（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）（多选）以下关于杨辉三角的猜想中，正确的有（   ） A．由在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想： B． C．第2024行中，从左到右看，第1012个数最大 D．第100行的所有数中，最大的数为 【例题2】（23-24高二下·江苏扬州·期中）（多选）“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ）    A． B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C．记第n行的第i个数为，则 D．第20行中第8个数与第9个数之比为 【巩固练习1】（23-24高二下·广东东莞·期中）（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现. 如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和. 则下列命题中正确的是（    ） A．第行所有数之和为： B．第7行中从左到右第5个数与第6个数的比为 C． D．由“除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和”猜想为： 【巩固练习2】“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（    ） A. 第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 B. 第2023行中第1012个数和第1013个数相等 C. 记“杨辉三角”第行的第个数为，则 D. 第34行中第15个数与第16个数之比为 【巩固练习3】（23-24高二下·广东惠州·期中）杨辉是南宋末年的一位杰出的数学家、教育家．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律．如图是一个11阶杨辉三角： （1）第10行中从左到右的第4个数是 ； （2）在第2斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15；第3斜列中，第5个数为35．显然，1+3+6+10+15=35．事实上，一般有这样的结论：第m斜列中（从右上到左下）前k个数之和，一定等于第斜列中第k个数．试用含有的数学公式表示上述结论 ． 【题型16】二项式定理与组合数性质 【例题1】（南通二模）若，则等于（    ） A．49 B．55 C．120 D．165 【巩固练习1】（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）在的展开式中，含项的系数为 ．（用数字作答） 【巩固练习2】（23-24高二下·广东广州·期末）在展开式中，含项的系数是 .（用数字作答） 【题型17】二项式定理的逆用与数列或组合数计算结合 【例题1】已知数列的通项公式为．求的值． 【例题2】（哈师大附中统考）已知数列的前项和为，满足，等差数列中. （1）求和的通项公式； （2）数列与的共同项由小到大排列组成新数列，求数列的前20的积. 【巩固练习1】已知数列的前项和为，且满足，，. 求数列的通项公式；(2)已知，求数列的前项和. 【巩固练习2】（广东省四校高二期末联考）设数列的前n项和为，且满足. （1）求数列的通项公式；(2)解关于n的不等式：. 【巩固练习3】已知数列前项和，的前项之积. （1）求与的通项公式. （2）把数列和的公共项由小到大排成的数列为，求的值. 【课后巩固】 1. 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为 . 2. 的展开式中的常数项为 . 3. 的展开式中的系数为 .（用数字作答） 4. 的展开式中的系数为 （用数字作答） 5. （多选）若的二项展开式的第一项为，最后一项为，则下列结论正确的是（    ） A． B．展开式的第四项的二项式系数等于 C．展开式中不含常数项 D．展开式中所有项的系数之和等于32 6. 已知，则=________． 7. 被4除的余数为 . 8. （多选）已知 ，则下列结论成立的是 A． B． C． D． 9. （23-24高二下·浙江·期中）已知的展开式中的系数为，则的展开式中的偶次幂项的系数之和为（    ） A． B． C． D． 10. （23-24浙江期中）（多选）已知， 若，则正确的是（    ） A． B． C．除以6所得余数为5 D． 11. 若，则除以7的余数是 . 12. 若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 13. （多选）若，则（    ） A． B． C． D． 14. 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第10行中最大的数与第二大的数的数值之比为 ________（用最简分数表示）. 15. 如图，在“杨辉三角”中从第2行右边的1开始按箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，，则此数列的前项的和为（    ） A．680 B．679 C．816 D．815 16. 在的展开式中， （1）系数的绝对值最大的项是第几项？（2）求二项式系数最大的项.（3）求系数最大的项. 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$1 寒假衔接 宝 锋从磨砺出 香自苦寒来 衔接 寒假 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 专题 4 - 3 二项式定理 知识点一 二项展开式 (a + b)n=C0nan+C1nan-1b +⋯+Crnan-rbr+⋯+Cnnbn n∈N *  要点诠释：这个公式所表 的定理叫 二项式定理， 号右边的多项式叫 (a + b)n的二项 开式． 式中的Crnan-rbr 二项 开式的 项，用 Tr+1表 ，即 项为 开式的 r + 1项：Tr+1=Crnan-rbr，其中的系 数Crn(r = 0,1,2,⋯ ,n)叫 二项式系数 知识点二 二项式系数和 要点诠释：二项式系数的 ：C0n +C1n +C2n +⋯+Cnn = 2n,C0n +C2n +C4n +⋯=C1n +C3n +C5n +⋯= 2n-1 知识点三 展开式的系数 二项式系数与 开式的系数的区 (x + b)n=C0nxn+C1nxn-1b +⋯+Crnxn-rbr+⋯+Cnnbn n∈N *  二项 开式中， r + 1项 C rnxn-rbr的二项式系数 组 数 C rn， 开式的系数 单项式 C rnxn-rbr的系数 Crnbr，二者不一定相 ． (x + b)n= a0+ a1x + a2x2+⋯+ + anxn n∈N * ， a0+ a1+ a2+⋯+an即所有项系数 ，令 x = 1可得 (1 + a)n= a0+ a1+ a2+⋯+an 知识点四 二项式系数最大的项 当 n为 数时， n2 + 1项的二项式系数最大，最大 为C n 2 n ，当 n为奇数时， n+1 2 项 n+3 2 项 的二项式系数最大，最大 为C n-1 2 n 或C n+1 2 n . 知识点五 三项展开式的系数问题 (1) (a + b + c)n 开式中 apbqcr的系数 法 (p,q,r ≥ 0的整数且 p + q + r = n) (a + b + c)n= [(a + b) + c]n=Crn(a + b)n-rcr=CrnCqn-ran-r-qbqcr (2) (a + b + c)n 开式中的项数问题 可以理解为有 n个盒子，每个盒子中 有 a、b、c三个元 ， 现 从每个盒子中 取出 1个元 ，再 它们相乘， 若 n = 5，即 (a + b + c)5 开式的项数 若只 一个字母 有C13 = 3种， 若 2个字母 有C23 × 4 = 12种， 若 3个字母 有C13 +C23 = 6种， 故 开式共有 3 + 12 + 6 = 21项 2 寒假衔接 宝 锋从磨砺出 香自苦寒来 衔接 寒假 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 知识点六 展开式系数最大的项 解二项 开式中系数的最 略 ① 二项式系数的最大 ， 据 (a + b)n中 n的奇 及二项式系数的性质 解． ② 开式中项的系数的最大 ，由于 开式中项的系数 散 变量，设 开式 项的系数 为 A1，A2，⋯，An+1，且 k项系数最大，因此 系数 为正 的 提下， 开式中项的系数的最大 只需解不 式组 Ak≥Ak-1， Ak≥Ak+1  即得结果． 知识点七 整除和余数问题 方法指导 用二项式定理证 或 断整 问题，一 要进行 理变形， 用的变形方法 拆数，往往 数写成两数的 ， 且其中一个数 数的 数，这 能保证被 式 开 的大部 项 有 式的因式，进而可 断或证 被 数能 被 数整 ，若不能整 可 出 数。 解题步骤 一步 把 数写成 数 (或与 数密 相关联的数)与某数的 或差的形式； 二步再用二项式定理 开， 要注意两点：一 数的 围 a = cr + b,，其中 数∈ [0,r)，r 数， 记 数不能为负，二 二项式定理的 用； 三步得出结论. 知识点八 二项式定理与杨辉三角 性质 1：a+b n 开式的系数 杨辉三角的 n行 性质 2(对称性)：每行中与首末两端“ 距 ”之数相 ，即Crn=Cn-rn ； 性质 3( 归性)： 1以外的数都 于肩上两数之 ，即Crn=Cr-1n-1+Crn-1； 性质 4：自 上的某个 1开始 行于 的一条线上的连续 n个数的 于最 一个数斜右下方的 个 数，比如：1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15,1 + 3 + 6 + 10 = 20 3 寒假衔接 宝 锋从磨砺出 香自苦寒来 衔接 寒假 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 模 一 素养训练 考点１ 求二项展开式及指定项 1 式子 (x - 1)12二项式定 开中的 6项为 ． 2 写出 2-x 5的 开式． 1 项式 2x- 1 x3  5 的 开式中的 3项为 ( ) A. 160 B. - 80x C. 80 x3 D. - 40 x7 2 3 x+ 3 x  5 的 开式中，有 项 项． 3 化 x+1 4 - 4 x+1 3+ 6 x+1 2 - 4 x+1 + 1的结果为 ( ) A. x4 B. x-1 4 C. x+1 4 D. x4 - 1 考点２ 求指定项的系数 1 3x- 1x  6 的 开式中 x2的系数为 ( ) A. - 225 B. 60 C. 750 D. 1215 2 二项式 2+x 9的 开式中， 数项 ，系数为有 数的项的个数 ． 1 (1 - x)6的 开式中 x3的系数为 ． 2 (3 - x )7的 开式中，x3的系数为 ( ) A. - 21 B. 21 C. 189 D. - 189 3 (23 - 24高二下· 东·期中)二项式 3 x - 10x  8 的 开式中的 数项为 ． 考点３ 由项的系数或系数和确定参数 1 (23 - 24高二下· 东 ·期中)已知 (a + b)n的 开式中 5项与 8项的二项式系数相 ， n = . 2 x+ 1ax  9 的 开式中 x-1的系数 126， a5= ( ) A. 2 B. 4 C. 1 D. 3 4 寒假衔接 宝 锋从磨砺出 香自苦寒来 衔接 寒假 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 1 若 x - ax  6 的 开式中 数项的系数 15， a = ( ) A. 2 B. 1 C. ± 1 D. ± 2 2 若 x+ ax  5 的 开式中 x的系数为 15， a = ． 考点４ 展开式二项式系数和 1 】若 3 x - 1x  n 的 开式的二项式系数之 为 16， 3 x+ 1x  2n 的 开式中 1 x4 的系数为 . 1 2x3- 1 x  n 的二项 开式中， 项的二项式系数之 为 128， 开式中 x7的系数为 (用数字填写 案)； 2 (多 ) 2x-1 5的 开式中， ( ) A. 二项式系数最大的项为 3项 4项 B. 所有项的系数 为 0 C. 数项为 -1 D. 所有项的二项式系数 为 64 考点５ 展开式所有项系数和 1 已知 ax+ 1x  3 (x - 2) (a为 数)的 开式中所有项的系数 为 0， 开式中 x2 的系数为 (用数字 ) 1 若 x - 1 2 3 x  n 的 开式中的 4项为 数项， 开式的 项系数的 为 ( ) A. 112 B. 1 24 C. 1 16 D. 1 32 2 若 x2 a+ 1 x3  8 开式中所有项的系数 为 256 ，其中 a为 数， 该 开式中 x-4项的系 数为 3 2 3 x+ 2x  n 的二项 开式中， 二项式系数之 为 an， 项系数之 为 bn，若 an + bn = 1056， n = ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 考点６ 二项式系数最大的项 1 已知二项式 2x-1 n的 开式中仅有 4项的二项式系数最大， n = . 2 (23 - 24高二下· 东·期中) x2- 23 x  n 的二项 开式中，只有 4项的二项式系数最大， 开式中 x5的系数为 .(用数字 ) 5 寒假衔接 宝 锋从磨砺出 香自苦寒来 衔接 寒假 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 1 x+1 n的 开式中，若 7项系数最大， n的值可能 于 . 2 3+2x n 开式中，只有 4项的二项式系数最大， n的值为 ( ) A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 考点７ 两个二项式乘积展开式的系数问题 1 (x + y)5(x - y)6的 开式中 x4y7的系数为 ( ) A. 10 B. - 10 C. 20 D. - 20 2 1-x3  x2 - 2 x  6 的 开式中的 数项为 ． 1 1+ 1 x3 1+x  7 开式中 x3项的系数为 ( ) A. 42 B. 35 C. 7 D. 1 2 已知 (x + 2)4 2x2+3x = a0+ a1x + a2x2+⋯+a6x6， a4= . 模 二 拓展强化 考点８ 三项展开式的系数问题 1 (x - 2y + 1)6 开式中 x2y项的系数为 ． 2 (23 - 24高二下· 苏南 ·阶段练习) x2+3x+2 5 开式中 项 x的系数 . 1 (23 - 24高二下· 东青 ·阶段练习) x+ 1x -y  10 的 开式中，y6项的系数为 ． 2 x2+2x-y 5的 开式中，x5y2项的系数为 ( ) A. 10 B. - 30 C. 60 D. - 60 3 (23 - 24高二下· ·期中)设 (x2 - 3x - 2)5= a0+ a1x +⋯+a10x10， a2= ( ) A. - 800 B. - 640 C. 800 D. 640 4 (23 - 24高二下· ·期中) x2+x- 2y  7 的 开式中， x6 y3 的系数为 ． 考点９ 等式两边不一致时需要换元或配凑 1 已知 x x+2 6= a0+ a1 x+1 + a2 x+1 2+⋯+a7 x+1 7， a4= ( ) A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 2 (23 - 24 宁波·期中)已知 2x-3 9 = a0 + a1 x-1 + a2 x-1 2 +⋯+a8 x-1 8 + a9 x-1 9， a0 + 2a1+ 3a2+⋯+9a8+ 10a9= . 6 寒假衔接 宝 锋从磨砺出 香自苦寒来 衔接 寒假 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 1 (23 - 24高二下· ·阶段练习) x+1 10= a0+ a1 x+2 + a2 x+2 2+⋯+a10 x+2 10， a2 于 ( ) A. 180 B. - 180 C. 45 D. - 45 2 已知 式 x4= (x + 1)4+ b1(x + 1)3+ b2(x + 1)2+ b3(x + 1) + b4， b1,b2,b3,b4的值 为 ( ) A. 0,0,0,0 B. - 4,6, -3,0 C. 4, -6,4, -1 D. - 4,6, -4,1 3 (23 - 24高二下· 台州·期中) (多 )已知 (2x - 1)7= a0+ a1 x-1 + a2(x - 1)2+⋯+a6(x - 1)6+ a7(x - 1)7， ( ) A. a0= 1 B. a1+ a2+ a3+⋯+a7= 37 - 1 C. a5=-672 D. a1 2 + a2 22 + a3 23 +⋯+ a7 27 = 127 考点１０ 奇次项与偶次项以及系数的绝对值之和 1 若 x2-3x-3 2x-1 5= a0+ a1x + a2x2+⋯+a7x7， a0+ a2+ a4+ a6= ． 2 (23 - 24高二下· ·期中) (多 )已知 f x = 2x-3 n n∈N *  开式的二项式系数 为 512， f x = a0+ a1 x-1 + a2 x-1 2+ ... +an x-1 n，下 项正 的 ( ) A. a1+ a2+ ... +an= 1 B. a1+ 2a2+ 3a3+ ... +nan= 18 C. a2= 144 D. a0 + a1 + ... + an = 39 1 (23 - 24高二下· 东珠 ·阶段练习) (多 )若 2x-1 10= a0+ a1x + a2x2+⋯+a10x10,x∈ R， ( ) A. a2= 180 B. a0=-1 C. a0+ a1+ a2+⋯+a10= 1 D. a0+ a2+ a4+⋯+a10= 1-310 2 2 (23 - 24高二下· 苏南 ·期末) (多 )若 (1 - 2x)5= a0+ a1x + a2x2+ a3x3+ a4x4+ a5x5， ( ) A. a0= 1 B. a1=-5 C. a0+ a2+ a4= 121 D. a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 35 3 (23 - 24高二下· 东深 ·期中) (多 )若 x8= a0+ a1(x - 1) + a2(x - 1)2+⋯+a8(x - 1)8，其中 a0, a1,a2,⋯ ,a8为实数， ( ) A. a0= 1 B. a6= 56 C. a1+ a3+ a5+ a7= 128 D. a2+ a4+ a6+ a8= 127 7 寒假衔接 宝 锋从磨砺出 香自苦寒来 衔接 寒假 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 考点１１ 赋值求系数和 1 (23 - 24高二下· 东 州·期末) (多 )已知 (1 - 2x)2024= a0+ a1x + a2x2+⋯+a2024x2024， ( ) A. 开式中的 数项为 1 B. 开式中 项系数之 为 0 C. 开式中二项式系数最大的项为 1012项 D. a1 2 + a2 22 + a3 23 +⋯+ a2024 22024 =-1 2 已知 2- 1x  23 = a0+ a1 x + a2 x2 +⋯+ a22 x22 + a23 x23 ， a0 222 + a1 221 +⋯+ a212 + a22= A. - 1 B. 0 C. 1 D. 2 1 已知 (1 - x)2023= a0+ a1x + a2x2+⋯+a2023x2023. 开式中的二项式系数为 ， (2)a1+ a2+⋯+a2023= ， (3)22023a0+ 22022a1+ 22021a2+⋯+a2023= ，(赋值) (4) 1a1 + 1a2 +⋯+ 1a2023 = .(对称性) 考点１２ 等式两边求导后再赋值求和 1 (多 )若 2x-1 10= a0+ a1 x-1 + a2 x-1 2+⋯+a10 x-1 10，x∈ R， ( ) A. a0= 1 B. a1+ a2+⋯+a10= 310 C. a2= 180 D. a1+ 2a2+ 3a3+⋯+10a10= 10 × 39 1 (多 )已知多项式 (1 - 2x)2(1 - 3x)m= a0+ a1x + a2x2+⋅⋅⋅+anxn,a1=-19， ( ) A. m + n = 12 B. a1+ a2+ a3+⋅⋅⋅+an= 24 C. a2=-4 D. a1+ 2a2+ 3a3+⋅⋅⋅+nan=-368 2 (23 - 24高二下· 东 ·阶段练习) (多 )已知 x-1 8= a0+ a1x + a2x2+⋯+a8x8， ( ) A. a0，a1，⋯，a8中 a5最大 B. a1 + a2 + a3 +⋯+ a8 = 255 C. a0 2 + a1 22 + a2 23 +⋯+ a8 29 = 1256 D. a1+ 2a2+ 3a3+⋯+8a8= 0 考点１３ 余数问题 1 (23 - 24高二下· 杭州·期中)22024+ 1除以 15的 数 ( ) A. 9 B. 8 C. 3 D. 2 2 (23 - 24高二下· 苏徐州·期末)已知 f (x) = (1 + 2x)9= a0+ a1(x + 1) + a2(x + 1)2+⋯+a9(x + 1)9， a1+ a2+⋯+a9= ，f (20)被 6除所得的 数 . 8 寒假衔接 宝 锋从磨砺出 香自苦寒来 衔接 寒假 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 1 32023被 8除的 数为 ( ) A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 2 (23 - 24高二下· ·期中)已知今天 期三， 经过 611 - 3天 ( ) A. 期四 B. 期五 C. 期六 D. 期日 3 二项式 5+x 2023 开式的 项系数之 被 7除所得 数为 ． 4 (23 - 24高二下· 杭州·期中)设 n为偶数， 7n+C1n7n-1+C2n7n-2+⋯+Cn-1n ⋅ 7被 9整除的 数 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. - 1 考点１４ 展开式系数最大的项 1 (23 - 24高二下· 东中 ·期末)已知 x+ 1 2x2  n ,(n ≥ 4,n∈ N ∗)的 开式中， 5项与 3项的 二项式系数之比为 15:2． (1) n的值及 开式中的 数项；(2) 开式中系数最大项． 2 (23 - 24高二下· 嘉兴·阶段练习)已知二项式 ax2+ 1 2x  5 a>0 的 开式中 二项与 四 项的系数相 . 开式中系数最大的项 . 1 1 x2 -2x  n 的 开式中 3项与 7项的二项式系数相 ， 1 x2 -2x  n 的 开式中系数最大 的项的系数为 . 2 已知二项式 x+3x2 n，若它的二项式系数之 为 128， 开式中系数最大的项． 3 x - 2 x2  8 的 开式中， (1) 二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项 几项； 9 寒假衔接 宝 锋从磨砺出 香自苦寒来 衔接 寒假 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 考点１５ 二项式定理与杨辉三角 1 (23 - 24高二下· 东东 ·阶段练习) (多 )以下关于杨辉三角的猜想中，正 的有 ( ) A. 由 相 的两行中，除 1以外的每一个数都 于它‘肩上 '两个数的 ”猜想：Crn+1=Cr-1n +Crn B. C22 +C23 +C24 +C25 +⋯+C212= 286 C. 2024行中，从左 右 ， 1012个数最大 D. 100行的所有数中，最大的数为C50100 2 (23 - 24高二下· 苏扬州·期中) (多 )“杨辉三角” 中国数学史上的一个 大成 ， 发起一 批又一批数学爱好者的探 欲望．如图，由“杨辉三角”，下 叙述正 的 ( )    A. C23 +C24 +C25 +⋯+C29 = 120 B. 2023行中从左往右 1013个数与 1014个数相 C. 记 n行的 i个数为 ai， n+1 i=1 2i-1 ai= 3n D. 20行中 8个数与 9个数之比为 8:13 10 寒假衔接 宝 锋从磨砺出 香自苦寒来 衔接 寒假 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 1 (23 - 24高二下· 东东 ·期中) (多 )“杨辉三角” 二项式系数 三角形中的一种几 排 ，中国南宋数学家杨辉 1261 所著的《详解九章 法》一书中 有出现，比欧 早 393 发现. 如图所示，“杨辉三角”中，除每行两边的数都 1外，其 每个数都 其“肩上”的两 个数之 ， 如 4行的 6为 3行中两个 3的 . 下 题中正 的 ( ) A. n行所有数之 为：2n B. 7行中从左 右 5个数与 6个数的比为 5:2 C. C22 +C23 +C24 +C25 +⋯+C212= 286 D. 由“除每行两边的数都 1外，其 每个数都 其“肩上”的两个数之 ”猜想为：Crn+1=Cr-1n +Crn 2“杨辉三角” 中国古代数学文化的 宝之一，它揭示了二项式 开式中的组 数 三角形 数表中的一种几 排 规律，如图所示， 下 关于“杨辉三角”的结论错误的 ( ) A. 6行的 7个数、 7行的 7个数及 8行的 7个数之 于 9行的 8个数 B. 2023行中 1012个数 1013个数相 C.记“杨辉三角” n行的 i个数为 ai， n+1 i=1 2i-1ai =3n D. 34行中 15个数与 16个数之比为 2:3 11 寒假衔接 宝 锋从磨砺出 香自苦寒来 衔接 寒假 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 3 (23 - 24高二下· 东惠州·期中)杨辉 南宋末 的一 杰出的数学家、教育家．杨辉三角 杨辉的一项 要 成果，它的许多性质与组 数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多 的规律．如图 一个 11阶杨辉三角： (1) 10行中从左 右的 4个数 ； (2) 2斜 中， 5个数 次为 1，3，6，10，15； 3斜 中， 5个数为 35． 然，1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35．事实上，一般有这样的结论： m斜 中 (从右上 左下) k个数之 ，一定 于 m + 1斜 中 k个数．试用 有m,k m,k∈N * 的数学公式表示上述结论 ． 考点１６ 二项式定理与组合数性质 1 (南 二模)若 1+x 2+ 1+x 3+⋯+ 1+x 10= a0+ a1x + a2x2+⋯+a10x10， a2 于 ( ) A. 49 B. 55 C. 120 D. 165 1 (23 - 24高二下· 苏南京·阶段练习) 1+x + (1 + x)2+ (1 + x)3+⋯+ (1 + x)10的 开式中， x3项的系数为 ． (用数字 ) 2 (23 - 24高二下· 东 州·期末) x+1 2+ x+1 3+ x+1 4+⋯+ x+1 10 开式中， x  2 项的系数 .(用数字 ) 考点１７ 二项式定理的逆用与数列或组合数计算结合 1 已知数 an 的 项公式为 an= 2n-1+ 1． a1C0n + a2C1n + a3C2n +⋯+an+1Cnn的值． 12 寒假衔接 宝 锋从磨砺出 香自苦寒来 衔接 寒假 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 2 ( 大附中统考)已知数 bn 的 n项 为 Sn，满足 2Sn= 3 bn-1 ， 差数 cn 中,c1= 5, c1+ c2+ c3= 27. (1) bn  cn 的 项公式； (2)数 bn 与 cn 的共 项由 大排 组成新数 an ， 数 {an 的 20的积 T20. 1 已知数 an 的 n项 为 Sn，且满足 an+2= 2an+1 - an，a5= 14，S4= 26. 数 an 的 项公式；(2)已知 bn=C0n ⋅ 3n+C1n ⋅ 3n-1+C2n ⋅ 3n-2+⋯+Cn-1n ⋅ 3 +Cnn， 数 an⋅bn 的 n 项 Tn. 2 ( 东 四校高二期末联考)设数 an 的 n项 为 Sn，且满足 Sn= 2an - 1 n∈N * . (1) 数 an 的 项公式；(2)解关于 n的不 式：a1C0n + a2C1n + a3C2n + a4C3n +⋅⋅⋅+an+1Cnn < 2023. 13 寒假衔接 宝 锋从磨砺出 香自苦寒来 衔接 寒假 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 3 已知数 an  n项 Sn= 3n2+n 2 ，bn 的 n项之积 Tn= 2 n(n+1) 2 n∈N * . (1) an 与 bn 的 项公式. (2)把数 an  bn 的公共项由 大排成的数 为 cn ， c1+ c2+⋅⋅⋅+c20的值. 课后巩固 1. x+ 1x  n 的 开式中只有 六项的二项式系数最大， 四项为 . 2. 2x-3  x - 23 x  5 的 开式中的 数项为 . 3. 2- xy (x + 2y)6的 开式中 x4y2的系数为 .(用数字 ) 4. 2x2+x-y 5的 开式中 x6y2的系数为 (用数字 ) 5. (多 )若 2x+ ax  n 的二项 开式的 一项为 32x5，最 一项为 - 1 x5 ， 下 结论正 的 ( ) A. n = 5 B. 开式的 四项的二项式系数 于 -40 C. 开式中不 数项 D. 开式中所有项的系数之 于 32 6.已知 1+x 10= a0+ a1 1-x + a2 1-x 2+⋅⋅⋅+a10 1-x 10， a8= ． 7. 20232024被 4除的 数为 . 8. (多 )已知 (2x - 5)9= a0+ a1(x - 2) + a2(x - 2)2+ a3(x - 2)3+⋯+a9(x - 2)9 ， 下 结论成 的 A. a0+ a1+⋯+a9= 1 B. 28a0+ 27a1+ 26a2+ 6a3+⋯+a8= 256 C. a0 - a1+ a2 - a3+⋯-a9= 39 D. a1+ 2a2+ 3a3+⋯+9a9= 18 9. (23 - 24高二下· ·期中)已知 f (x) = (1 + x)5+ (1 + 2x)n n∈N * 的 开式中 x的系数为 11， f (x) 的 开式中 x的偶次 项的系数之 为 ( ) A. 29 B. 30 C. 58 D. 60 10. (23 - 24 期中) (多 )已知 f x = 2x-m 7= a0+ a1 x-1 + a2 x-1 2+⋯+a7 x-1 7， 若 a0+ a1 2 + a2 22 +⋯+ a7 27 = 128， 正 的 ( ) A. m = 1 B. a3= 160 C. f 3 除以 6所得 数为 5 D. a1 - 2a2+ 3a3 - 4a4+ 5a5 - 6a6+ 7a7= 14 14 寒假衔接 宝 锋从磨砺出 香自苦寒来 衔接 寒假 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 11.若 n = 2024， 5n+ 5n-1C1n + 5n-2C2n +⋯+5Cn-1n 除以 7的 数 . 12.若 (1 - 2x)5= a0+ a1(x - 1) + a2(x - 1)2+ a3(x - 1)3+ a4(x - 1)4+ a5(x - 1)5， 下 结论中正 的 ( ) A. a0= 1 B. a4= 80 C. a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 35 D. a0+a2+a4 a1+a3+a5 = 1-310 4 13. (多 )若 (1 - 2x)2021= a0+ a1x + a2x2+ a3x3+⋯+a2021x2021(x∈ R)， ( ) A. a0+ a1+ a2+⋯+a2021=-1 B. a1+ a3+ a5+⋯+a2021= 32021+1 2 C. a0+ a2+ a4+⋯+a2020= 1-32021 2 D. a1 2 + a2 22 + a3 23 +⋯+ a2021 22021 =-1 14.如图， 由二项式系数所构成的杨辉三角形中， 10行中最大的数与 二大的数的数值之比为 (用最 数表示). 15.如图， “杨辉三角”中从 2行右边的 1开始按 头所指的数 次构成一个数 ：1，2，3，3，6， 4，10，5，⋯， 此数 的 30项的 为 (     ) A. 680 B. 679 C. 816 D. 815 16. x - 2 x2  8 的 开式中， (1)系数的绝对值最大的项 几项？ (2) 二项式系数最大的项.(3) 系数最大的项. 【寒假衔接】2024-2025学年高二年级下学期数学重点题专练 专题4-3 二项式定理 模块一 题型·解读 模块一 素养训练 4 【题型1】求二项展开式及指定项 4 【题型2】求指定项的系数 5 【题型3】由项的系数或系数和确定参数 6 【题型4】展开式二项式系数和 7 【题型5】展开式所有项系数和 8 【题型6】二项式系数最大的项 10 【题型7】两个二项式乘积展开式的系数问题 11 模块二 拓展强化 12 【题型8】三项展开式的系数问题 12 【题型9】等式两边不一致时需要换元或配凑 14 【题型10】奇次项与偶次项以及系数的绝对值之和 16 【题型11】赋值求系数和 19 【题型12】等式两边求导后再赋值求和 20 【题型13】余数问题 22 【题型14】展开式系数最大的项 24 【题型15】二项式定理与杨辉三角 28 【题型16】二项式定理与组合数性质 32 【题型17】二项式定理的逆用与数列或组合数计算结合 33 【课后巩固】 36 模块二 基础知识·梳理 知识点01 二项展开式 要点诠释：这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式． 式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，其中的系数叫做二项式系数 知识点02 二项式系数和 要点诠释：二项式系数的和： 知识点03 展开式的系数 二项式系数与展开式的系数的区别 二项展开式中，第项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等． ， 即所有项系数和，令x=1可得 知识点04 二项式系数最大的项 二项式系数先增后减中间项最大 当为偶数时，第项的二项式系数最大，最大值为，当为奇数时，第项和项的二项式系数最大，最大值为或. 知识点05 三项展开式的系数问题 （1）展开式中的系数求法的整数且 （2）展开式中的项数问题 可以理解为有个盒子，每个盒子中均有、、三个元素， 现在从每个盒子中各取出个元素，再将它们相乘， 例若，即求展开式的项数 若只选一个字母则有种， 若选个字母则有种， 若选个字母则有种， 故展开式共有项 知识点06 展开式系数最大的项 求解二项展开式中系数的最值策略 ①求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二项式系数的性质求解． ②求展开式中项的系数的最大值，由于展开式中项的系数是离散型变量，设展开式各项的系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解不等式组即得结果． 知识点07 整除和余数问题 方法指导 利用二项式定理证明或判断整除问题，一般要进行合理变形，常用的变形方法就是拆数，往往是将幂底数写成两数的和，并且其中一个数是除数的倍数，这样能保证被除式展开后的大部分项含有除式的因式，进而可判断或证明被除数能否被除数整除，若不能整除则可求出余数。 解题步骤 第一步通常把底数写成除数(或与余数密切相关联的数)与某数的和或差的形式； 第二步再用二项式定理展开，但要注意两点：一是余数的范围，其中余数，r是除数，切记余数不能为负，二是二项式定理的逆用； 第三步得出结论. 知识点08 二项式定理与杨辉三角 性质1：展开式的系数就是杨辉三角的第n行 性质2（对称性）：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即； 性质3（递归性）：除1以外的数都等于肩上两数之和，即； 性质4：自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，比如： 模块三 核心题型·训练 模块一 素养训练 【题型1】求二项展开式及指定项 【例题1】式子二项式定理展开中的第6项为 ． 【答案】 【解析】由，所以二项展开式的通项公式，，， 令，可得展开式的第六项为. 【例题2】写出的展开式． 【答案】 【分析】根据二项式定理，展开求解. 【详解】在二项式定理中令，可得 ． 【巩固练习1】项式的展开式中的第3项为（    ） A．160 B． C． D． 【解析】【答案】C 【分析】根据二项式展开式公式即可求解. 【详解】因为，所以，故C项正确. 【巩固练习2】的展开式中，有理项是第 项． 【解析】【答案】3 【分析】求出二项式展开式的通项公式，根据有理项的含义，确定参数的值，即可得答案. 【详解】的展开式的通项， 其中， 当为有理项时，为整数，结合， 所以，即有理项是展开式中的第3项 【巩固练习3】化简的结果为（    ） A．x4 B． C． D． 【答案】A 【分析】逆用二项展开式定理即可得答案. 【详解】 【题型2】求指定项的系数 【例题1】的展开式中的系数为（   ） A． B．60 C．750 D．1215 【答案】D 【分析】由题意由二项式的展开通项并化简，令，解得再代入即可求解. 【详解】的展开式通项为， 令，解得，所以的系数为. 【例题2】在二项式的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________． 【答案】16　5 【解析】该二项展开式的第k＋1项为，当k＝0时，第1项为常数项，所以常数项为()9＝16；当k＝1，3，5，7，9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5. 【巩固练习1】的展开式中的系数为 ． 【答案】 【分析】写出展开式第项通式即可求解. 【详解】因为展开式第项通式为， 所以当时的系数为. 【巩固练习2】在的展开式中，的系数为（    ） A． B．21 C．189 D． 【解析】【答案】B 【分析】利用二项展开式的通项公式可得解. 【详解】由二项展开式的通项公式得，令得， 所以的系数为. 【巩固练习3】（23-24高二下·广东·期中）二项式的展开式中的常数项为 ． 【答案】280 【分析】根据二项式通项公式计算即可. 【详解】二项式的展开式中的常数项为. 【题型3】由项的系数或系数和确定参数 【例题1】（23-24高二下·广东茂名·期中）已知的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，则 . 【答案】11 【分析】根据题意，结合二项展开式的二项式系数列出方程，求得的值，即可求解 【详解】根据题意知，所以. 【例题2】的展开式中的系数是126，则（    ） A．2 B．4 C．1 D．3 【答案】C 【分析】求出展开式通项，令，解出，即可得出答案. 【详解】展开式通项为， 令，解得，因为的系数是126，所以， 解得，故选：C. 【巩固练习1】若的展开式中常数项的系数是15，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】二项展开式通项为 则时常数项为． 【巩固练习2】若的展开式中的系数为15，则 ． 【答案】3 【分析】根据二项式展开式通项公式即可求得. 【详解】的展开式中的项为，则，故. 【题型4】展开式二项式系数和 【例题1】】若的展开式的二项式系数之和为16，则的展开式中的系数为 . 【解析】【答案】56 【分析】通过二项式系数和求出，然后求出展开式的通项公式，最后求出指定项的系数即可. 【详解】由的展开式的二项式系数之和为16，得，所以， 则的展开式的通项公式为， 令，解得，故的展开式中的系数为. 【巩固练习1】在的二项展开式中，各项的二项式系数之和为，则展开式中的系数为 （用数字填写答案）； 【答案】280 【解析】依题意可得，则， 所以展开式的通项为（且）， 令，解得， 所以，所以展开式中的系数为. 【巩固练习2】（多选）在的展开式中，则（    ） A. 二项式系数最大的项为第3项和第4项 B. 所有项的系数和为0 C. 常数项为 D. 所有项的二项式系数和为64 【解析】【答案】AC 【分析】根据二项式系数的性质即可判断AD；根据项的系数之和为即可判断B；根据二项式展开式的通项公式即可判断C. 【详解】A：所有项的二项式系数为，最大的为和， 对应的是第3项和第4项，故A正确； B：设，所有项的系数为， 所以，故B错误； C：二项式展开式的通项公式为， 令，解得，所以常数项为，故C正确； D：所有项的系数之和为，所以D错误. 【题型5】展开式所有项系数和 【例题1】已知（a为常数）的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中的系数为 （用数字作答） 【答案】 【分析】令，则即为展开式中所有项的系数和，可计算出的值，结合二项展开式的通项公式计算即可得. 【详解】令，则，即， 则对，有， 令，即，有，即有， 令，则，舍去； 故展开式中的系数为. 【巩固练习1】若的展开式中的第项为常数项，则展开式的各项系数的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】的第4项为： . 因其为常数项，则.令，可得展开式的各项系数的和为. 【巩固练习2】若展开式中所有项的系数和为 256 ，其中为常数，则该展开式中项的系数为 【答案】28 【分析】由结合所有项的系数和得出，再由二项展开式的通项求解即可. 【详解】因为 展开式中所有项的系数和为 256 ，所以，解得， 由题意得 展开式中项的系数与展开式中的项的系数相同. 展开式的通项，令，得， 所以展开式中 项的系数为. 【巩固练习3】在的二项展开式中，各二项式系数之和为，各项系数之和为，若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【解析】【答案】B 【分析】依题意可得，令得到，从而求出. 【详解】由，令可得各项系数之和为，又各二项式系数之和为， 因为，则，解得或（舍去）， 所以. 【题型6】二项式系数最大的项 【例题1】已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则 . 【答案】 【解析】因为二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大， 根据二项展开式的性质，可得中间项的二项式系数最大，所以展开式一共有7项， 所以为偶数且，可得. 【例题2】（23-24高二下·广东·期中）在的二项展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的系数为 .（用数字作答） 【答案】 【分析】利用已知条件求出的值，写出二项展开式的通项，即可求解. 【详解】由于的展开式只有第项的二项式系数最大， 则展开式中共有项，故，解得， 所以，的展开式通项为， 令，解得，因此所求即为. 【巩固练习1】在的展开式中，若第7项系数最大，则n的值可能等于 . 【答案】11、12、13 【解析】在的展开式中，每项的系数等于其二项式系数， 1 当只有第7项系数最大时，即只有最大时，则n＝12； 2 当第6项和第7项的系数相等且最大时，即最大时，则n＝11； 3 当第7项和第8项的系数相等且最大时，即最大时则n＝13， 综合①②③可得n的值可能等于11、12、13， 故答案为：11、12、13. 【巩固练习2】展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n的值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【解析】【答案】C 【分析】根据二项式系数的性质知中间一项第4项二项式系数最大即可得解 【详解】因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故，得. 【题型7】两个二项式乘积展开式的系数问题 【例题1】的展开式中的系数为（    ） A．10 B． C．20 D． 【答案】A 【分析】将原式化为的形式，再利用二项展开式的通项公式求解可得答案. 【详解】， 展开式的通项公式为， 时，，所以的系数为． 【例题2】的展开式中的常数项为 ． 【答案】 【分析】根据分配律，结合二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令，求得，令，求得， 由于， 故其展开式中的常数项为 【巩固练习1】展开式中项的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项后即可得解. 【详解】的展开式通项为， 因为， 在中，令，可得项的系数为； 在中，令，得，可得项的系数为. 所以，展开式中项的系数为. 【巩固练习2】已知，则 . 【答案】 【分析】根据题意，写出的展开式，即可得到项，从而得到结果. 【详解】因为， 则， 所以. 模块二 拓展强化 【题型8】三项展开式的系数问题 【例题1】展开式中含项的系数为 ． 【答案】 【解析】展开式中，含的项是：. 故答案为： 【例题2】（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）展开式中含项的系数是 . 【答案】240 【分析】先对二项式因式分解，分别写出展开式的通项，令的指数为 1 ，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】因为 ， 的展开式通项为 ， 的展开式通项为 ，其中 ， 所以 的展开式通项为 ， 由 ，可得 或 ， 因此，展开式中含 x 项的系数为 . 【巩固练习1】（23-24高二下·山东青岛·阶段练习）在的展开式中，项的系数为 ． 【答案】1260 【分析】分析项的来源，然后利用组合的运算方法求解即可. 【详解】在表示有10个相乘，项来源如下： 有6个提供，有2个提供，有2个提供， 故项的系数为. 【巩固练习2】的展开式中，项的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出展开式通项，令的次数为，的次数为，求出参数的值，代入通项后即可得解. 【详解】 因为的展开式通项为， 的展开式通项为， 所以，的展开式通项为， 其中，， 由可得，所以，展开式中项的系数为. 【巩固练习3】（23-24高二下·浙江·期中）设…，则（    ） A． B． C．800 D．640 【答案】B 【分析】要得到分两种情况讨论再结合二项式定理展开式计算即可求解； 【详解】因为 ， 要得到分两种情况讨论： ①5个因式取1个，取4个，即 ②5个因式取2个，取3个，即 所以二项展开式中含项的系数为. 【巩固练习4】（23-24高二下·浙江·期中）在的展开式中，的系数为 ． 【答案】 【分析】将视作为，再利用二项式展开式的通项公式即可求解. 【详解】, 所以展开式的通项公式为， 因为要求的系数，所以. 所以， 所以展开式的通项公式为， 因为要求的系数， 令，则， 所以的系数为. 【题型9】等式两边不一致时需要换元或配凑 【例题1】已知，则（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】令，则问题转化为，又，写出展开式的通项，即可求出的系数. 【详解】令，则， 对于， 即， 又， 其中展开式的通项为（且）， 所以展开式中的项为， 所以. 【例题2】（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知，则 . 【答案】19 【分析】由题意可得，两边同时求导，再令即可得解. 【详解】由得， ， 分别对两边进行求导得 ， 令，得， 得. 【巩固练习1】（23-24高二下·浙江·阶段练习），则等于（    ） A．180 B． C．45 D． 【答案】C 【分析】求出二项式通项公式，赋值后代入求解即可. 【详解】，展开式的通项为， 令，解得，故. 【巩固练习2】已知等式，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二项式定理即可求解. 【详解】依题意，, 而且还有， 所以. 【巩固练习3】（23-24高二下·浙江台州·期中）（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用赋值法可判断ABD；由，利用二项式的展开式的通项公式求解可判断C. 【详解】对于A：令，可得，故A正确； 对于B：令，， 所以，故B正确； 对于C：， 二项式的展开式的通项公式为， 所以，故C错误； 对于D：令，可得， 所以， 所以，故D正确. 【题型10】奇次项与偶次项以及系数的绝对值之和 【例题1】若，则 ． 【答案】 【解析】由， 令，可得， 令，可得， 联立方程组，可得． 故答案为：. 【例题2】（23-24高二下·浙江·期中）（多选）已知展开式的二项式系数和为，，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】先用题目条件得到，然后取特殊值即可验证A，对表达式求导即可验证B，换元并使用二项式定理即可验证C，考查每一项系数的符号并取特殊值即可验证D. 【详解】由已知有，故，. 所以. 对于A，取得，取得， 所以，A错误； 对于B，对求导得， 取得，B正确； 对于C，在中用替换， 得. 所以，特别地对有，C错误； 对于D，由有. 在中取得， 所以，D正确. 【巩固练习1】（23-24高二下·广东珠海·阶段练习）（多选）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用二项式定理求的系数判断A，对分别赋值，判断B，C，D. 【详解】由，则，因此A正确； 取，则，即，因此B不正确； 取，则，即①，因此C正确； 取，则，即②， ②得，因此D不正确 【巩固练习2】（23-24高二下·江苏南通·期末）（多选）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】应用赋值法判断A,C,D选项，根据二项式展开式判断B选项. 【详解】令,可得,A选项正确； 令,可得, 令,可得， 两式相加可得,C选项正确； 是的各项系数和，所以，D选项正确； 的展开式的系数是,B选项错误. 【巩固练习3】（23-24高二下·广东深圳·期中）（多选）若，其中为实数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，令，则原式转化为，结合赋值法，以及二项展开式的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由， 令，则原式转化为， 对于A中，令，可得，所以A正确； 对于B中，由二项式定理的展开式，可得，所以B不正确； 对于C和D中，令，可得， 令，得， 所以，所以， 所以C、D 正确． 【题型11】赋值求系数和 【例题1】（23-24高二下·广东广州·期末）（多选）已知 ，则（    ） A．展开式中的常数项为1 B．展开式中各项系数之和为0 C．展开式中二项式系数最大的项为第1012项 D． 【答案】AD 【分析】A选项，赋值法得到；B选项，令得到展开式各项系数之和；C选项，根据二项式系数的对称性和单调性作出判断；D选项，令，结合得到D正确. 【详解】A选项，中，令得， ，常数项为1，A正确； B选项，中，令得， ，展开式中各项系数之和为1，B错误； C选项，展开式共有2025项，根据二项式系数的单调性和对称性， 二项式系数最大的项为第项，C错误； D选项，中，令得， ， 又，故，D正确. 【例题2】已知，则 A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】先令，得， 等式两边同除得，则 ，故 【巩固练习1】已知. 展开式中的二项式系数为________， （2）________， （3）________，（赋值） （4）________.（对称性） 【答案】（1） （2）－1 （3）1 （4）－1 【简析】（3）令，， 同乘得 （4）的展开式通项为, 所以 所以 所以，且， 所以 【题型12】等式两边求导后再赋值求和 【例题1】（多选）若，，则（    ） A． B． C． D． 【解析】【答案】AC 【分析】令得选项A正确；令得选项B错误；根据二项式展开定理求解选项C正确；对等式两边求导，判断选项D错误； 【详解】令得：，所以选项A正确； 令得：，所以，所以选项B错误； 因为， 所以选项C正确； ， 两边对求导得：， 令得：，选项D错误； 故选：AC. 【巩固练习1】（多选）已知多项式，则（    ） A． B． C． D． 【解析】【答案】AD 【分析】根据通项公式和求出，进而得，故A正确；令和可得B不正确；根据通项公式求出可得C不正确；两边对求导后，令可得D正确. 【详解】因为， 的展开式的通项公式为， ，得， ，所以，故A正确； 令得，令，得， 所以，故B不正确； ，故C不正确； 由两边对求导得， ， 令，得， 所以，故D正确. 【巩固练习2】（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）（多选）已知，则（    ） A．，，，中最大 B． C． D． 【答案】BD 【分析】判断二项展开式各项系数的符号，可判断A的真假；采用赋值法，可判断BC的真假；采用赋值法，结合函数的导数，可判断D的真假. 【详解】因为二项式展开式的通项为， 所以，，，，为正值，，，，为负值，故A错误； 令，则． 即， 令，得 所以．故B正确； 令得，所以，故C错误； 设， 则， 令得，故D正确． 【题型13】余数问题 【例题1】（23-24高二下·浙江杭州·期中）除以15的余数是（    ） A．9 B．8 C．3 D．2 【答案】D 【分析】整理可得，结合二项式定理分析求解. 【详解】因为， 对于， 令，可得； 令，可得， 可知除以15的余数是1， 所以除以15的余数是2. 【例题2】（23-24高二下·江苏徐州·期末）已知，则 ，被6除所得的余数是 . 【答案】 2 5 【分析】利用赋值法求出常数项及所有项系数和即可得解；求出的表达式，再利用二项式定理求解余数问题. 【详解】依题意，，， 所以； ， 显然是6的整数倍，而除以6余5， 所以被6除所得的余数是5. 【巩固练习1】被8除的余数为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【解析】 其中是8的整数倍， 故被8除的余数为3. 【巩固练习2】（23-24高二下·浙江·期中）已知今天是星期三，则经过天后是（    ） A．星期四 B．星期五 C．星期六 D．星期日 【答案】C 【分析】根据，利用二项式定理即可求解. 【详解】由， 由于能被7整除， 所以除以7余，故经过天后是是星期六 【巩固练习3】二项式展开式的各项系数之和被7除所得余数为 ． 【答案】6 【分析】利用赋值法可得系数和为，进而根据二项式定理展开式的特征可得余数. 【详解】令得， 由于， 由于， 均能被7整除，所以余数为6 【巩固练习4】（23-24高二下·浙江杭州·期中）设为偶数，则被整除的余数是（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】结合二项式定理，化简原式，再利用二项展开式，即可求解. 【详解】由题意，可得 ， 因为为偶数， 所以原式 因为能被整除， 所以被整除的余数是. 【题型14】展开式系数最大的项 【例题1】（23-24高二下·广东中山·期末）已知的展开式中，第项与第项的二项式系数之比为． (1)求的值及展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大项． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）求得展开式的通项为，根据题意，列出方程求得，进而求得展开式的常数项； （2）设展开式第项的系数最大，得出不等式组，结合，求得的值，代入即可求解. 【详解】（1）解：由题意，可得二项式展开式的通项为， 因为第项与第项的二项式系数之比为，可得，即，解得（负值舍）， 所以，令，得，所以展开式的常数项为. （2）解：设展开式中第项的系数最大， 则，可得，解得， 因为，所以，所以系数最大的项为 【例题2】（23-24高二下·浙江嘉兴·阶段练习）已知二项式的展开式中第二项与第四项的系数相同.则展开式中系数最大的项是 . 【答案】 【分析】先写出展开式的通项，利用展开式中第二项与第四项的系数相同求出的值，再根据系数列不等式组求解即可. 【详解】二项式的展开式的第项为 ，， 由题意可得，结合解得， 所以展开式系数为，， 设第项系数最大，则， 即， 即， 解得， 因为，所以，所以第项系数最大，该项为. 【巩固练习1】的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则的展开式中系数最大的项的系数为 . 【答案】1792 【分析】先求，然后根据二项展开式的通项公式求最大系数即可. 【详解】由得， 所以的展开式的通项为， 当展开式的项的系数最大时，为偶数， 比较，，，，， 所以当时，展开式中项的系数最大，该项系数为1792. 【巩固练习2】已知二项式，若它的二项式系数之和为128，求展开式中系数最大的项． 【答案】 【分析】先由题意求得，再利用二项展开通项公式得到关于系数最大的项的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为的二项式系数之和为128，， 则的展开通项公式为， 假设展开式中系数最大的项为第项， 则，即， 即，解得， 所以展开式中系数最大的项为第6，7项， 即 【巩固练习3】在的展开式中， （1）求二项式系数最大的项； （2）系数的绝对值最大的项是第几项； 【解析】（1）∵， 令，可得， 令，可得， ∴． （2）①． 二项式系数最大的项为中间项，即第5项．所以． 设第项系数的绝对值最大， 则，所以 解得 故系数绝对值最大的项是第6项和第7项. 【题型15】二项式定理与杨辉三角 【例题1】（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）（多选）以下关于杨辉三角的猜想中，正确的有（   ） A．由在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想： B． C．第2024行中，从左到右看，第1012个数最大 D．第100行的所有数中，最大的数为 【答案】ABD 【分析】根据杨辉三角的图形规律，判断各个选项 【详解】对于A，由组合数的性质2可知正确，也可由特殊到一般归纳，也可以用检验法验证，A正确； 对于B，由选项结论得，，正确； 对于C，第2024行共有2025个数，从左到右看数字先增后减且对称出现，所以应该是中间的数即第1013个数最大，C不正确； 对于D，由二项式系数的性质知第100行共有101个数，从左到右二项式系数先增后减且对称出现，所以应该是中间第51个数最大，最大为，D正确. 【例题2】（23-24高二下·江苏扬州·期中）（多选）“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ）    A． B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C．记第n行的第i个数为，则 D．第20行中第8个数与第9个数之比为 【答案】CD 【分析】利用图象及二项式系数计算可得A，利用组合数性质可判定B，利用二项式定理可判定C，利用组合数的计算可判定D. 【详解】由图象可知为第行第三个数， 所以，故A错误； 易知第n行的第i个数为， 则第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数分别为， 由组合数的性质知，故B错误； 易知，所以 ，故C正确； 第20行中第8个数与第9个数之比为，故D正确. 故选：CD 【巩固练习1】（23-24高二下·广东东莞·期中）（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现. 如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和. 则下列命题中正确的是（    ） A．第行所有数之和为： B．第7行中从左到右第5个数与第6个数的比为 C． D．由“除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和”猜想为： 【答案】ACD 【分析】利用二项式系数的性质判断A；计算判断BC；由“杨辉三角”判断D. 【详解】对于A，由二项式系数的性质，得第行所有数之和，A正确； 对于B，第7行中从左到右第5个数与第6个数的比，B错误； 对于C， ，C正确； 对于D，由“杨辉三角”知，D正确. 【巩固练习2】“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（    ） 第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 第2023行中第1012个数和第1013个数相等 记“杨辉三角”第行的第个数为，则 第34行中第15个数与第16个数之比为 【答案】D 【分析】根据二项式定理和二项式系数的性质判断各选项的对错. 【详解】第6行的第7个数为1，第7行的第7个数为7，第8行的第7个数为28， 它们之和等于36，第9行的第8个数是，A正确； 第行是二项式的展开式的系数， 故第行中第个数为，第个数为，又，B正确； “杨辉三角”第行是二项式的展开式的系数，所以， ，C正确； 第34行是二项式的展开式的系数，所以第15个数与第16个数之比为，D不正确. 故选：D. 【巩固练习3】（23-24高二下·广东惠州·期中）杨辉是南宋末年的一位杰出的数学家、教育家．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律．如图是一个11阶杨辉三角： （1）第10行中从左到右的第4个数是 ； （2）在第2斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15；第3斜列中，第5个数为35．显然，1+3+6+10+15=35．事实上，一般有这样的结论：第m斜列中（从右上到左下）前k个数之和，一定等于第斜列中第k个数．试用含有的数学公式表示上述结论 ． 【答案】 120 （且） 【分析】（1）根据题意，归纳可得：第n行的从左到右第个数为，计算即可求解； （2）根据结论可得第m斜列中（从右上到左下）前k个数之和，一定等于第斜列中第k个数，从而可求解. 【详解】（1）根据题意，归纳可得：第n行的从左到右第个数为，（，且），则第10行中从左到右的第4个数为； （2）根据结论：第m斜列中（从右上到左下）前k个数之和，一定等于第斜列中第k个数． 用公式表示为：（且）  ． 证明：左式 右式， 即等式（且）成立． 故答案为：（1）120； （2）（且）  ． 【题型16】二项式定理与组合数性质 【例题1】（南通二模）若，则等于（    ） A．49 B．55 C．120 D．165 【答案】D 【分析】依题意可得，再根据组合数的性质计算可得. 【详解】因为二项式展开式的通项为（且）， 又， 所以 . 【巩固练习1】（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）在的展开式中，含项的系数为 ．（用数字作答） 【答案】330 【分析】写出含有项的系数，再利用二项式系数的性质化简可得结果. 【详解】展开式中含有项的系数为 【巩固练习2】（23-24高二下·广东广州·期末）在展开式中，含项的系数是 .（用数字作答） 【答案】 【分析】根据二项式定理及组合数的性质计算可得. 【详解】 ， 其中展开式的通项为（且）， 所以展开式中含项的系数为： . 【题型17】二项式定理的逆用与数列或组合数计算结合 【例题1】已知数列的通项公式为．求的值． 【答案】 【分析】根据二项式展开式的特征，即可求解. 【详解】由于， 所以 【例题2】（哈师大附中统考）已知数列的前项和为，满足，等差数列中. （1）求和的通项公式； （2）数列与的共同项由小到大排列组成新数列，求数列的前20的积. 【解析】【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据给定的递推公式求出，即可求出，再求出等差数列的公差求出作答. （2）利用二项式定理分析、探求出的表达式即可求出作答. 【详解】（1），，当时，，两式相减得：， 即，而，解得，因此数列是首项为3，公比为3的等比数列，， 在等差数列中，由，得，解得， 则公差，， 所以和的通项公式分别为，. （2）令数列的第m项与数列的第k项相同，即， 于是， 显然是4的正整数倍，要成立， 当且仅当为正偶数，因此数列与的共同项为，即， 所以. 【巩固练习1】已知数列的前项和为，且满足，，. 求数列的通项公式；(2)已知，求数列的前项和. 【解析】【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据递推式得出是等差数列，然后求出基本量即可解答； （2）利用错位相减法即可求和. 【详解】（1）∵，∴，∴数列是等差数列，设公差为， 则由题有，解得，， ∴数列的通项公式为. （2）∵，∴， ∴， ∴，① ，② ①②得：， ∴. 【巩固练习2】（广东省四校高二期末联考）设数列的前n项和为，且满足. （1）求数列的通项公式；(2)解关于n的不等式：. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用给定条件，结合“”求解作答. （2）由（1）的结论，利用二项式定理化简不等式，再利用指数函数单调性求解作答. 【详解】（1）在数列中，，当时，，解得， 当时，，则， 因此数列是等比数列，首项为1，公比为2的等比数列，则， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知， 因此原不等式化为，而函数在上单调递增，又，则， 所以原不等式的解为. 【巩固练习3】已知数列前项和，的前项之积. （1）求与的通项公式. （2）把数列和的公共项由小到大排成的数列为，求的值. 【解析】【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据，，即可得出答案； （2）由（1），设，结合二项式定理可得数列的通项，再根据等比数列前项和公式即可得解. 【详解】（1）解：（1）由， 当时， 当时，， 当时，上式也成立， 所以， 由， 当时，， 当时，， 当时，上式也成立， 所以； （2）解：设 ，，为得正整数倍， 故当为奇数时，，故公共项为， ∴，，，，…构成首项为2，公比为4的等比数列， 则. 【课后巩固】 1. 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为 . 【答案】 【解析】因为展开式中只有第六项的二项式系数最大，即，所以， 所以. 2. 的展开式中的常数项为 . 【答案】240 【分析】先求出的展开式，然后赋值求得，即可求解常数项. 【详解】展开式的通项公式为， 令或，解得（舍去）或， 故所求常数项为. 3. 的展开式中的系数为 .（用数字作答） 【答案】 【分析】利用二项式定理，分别求得展开式中与的系数即可得解. 【详解】展开式的通项公式为， 令，得， 令，得， 所以展开式中项的为， 所以展开式中项的系数为. 4. 的展开式中的系数为 （用数字作答） 【答案】80 【分析】中有2个括号提供，还有3个括号都是，求出系数即可. 【详解】可看作5个相乘，有2个括号提供，还有3个括号都是， 则，系数为80. 故答案为：80 5. （多选）若的二项展开式的第一项为，最后一项为，则下列结论正确的是（    ） A． B．展开式的第四项的二项式系数等于 C．展开式中不含常数项 D．展开式中所有项的系数之和等于32 【解析】【答案】AC 【分析】通过计算可判断A；直接求第四项的二项式系数可判断B；求出展开式的通项，观察后可判断C；令，计算可判断D. 【详解】选项A：依题意有，解得，所以A正确； 选项B：展开式的第四项的二项式系数应为，故B错误； 选项C：的展开式的通项， 由于，所以，因此展开式中不含常数项，故C正确； 选项D：令，可得展开式中所有项的系数之和等于，故D错误． 故选：AC. 6. 已知，则=________． 【答案】180 【解析】因为，所以其展开式的通项公式为 ，令，则. 7. 被4除的余数为 . 【答案】1 【解析】因为，且2024可以被4整除，所以余数为1. 故答案为：1. 除以所得的余数是 . 【答案】22 【解析】法一：由，前9项可以被整除， 而，故余数为. 法二：由， 而，故余数为. 8. (多选)已知 ，则下列结论成立的是 A． B． C． D． 【答案】AD 设，原式为 令t=1，A正确； 令，则，同乘得 ，，故B错误 令，则，故C错误 两边同时求导得：，再令t=1，故D正确 9. （23-24高二下·浙江·期中）已知的展开式中的系数为，则的展开式中的偶次幂项的系数之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用和的展开式的通项公式，即可求出结果. 【详解】因为的展开式的通项公式为， 的展开式的通项公式为， 所以，得到，解得，得到， 故的展开式中的偶次幂项的系数之和为 10. （23-24高二下·浙江·期中）（多选）已知，若，则正确的是（    ） A． B． C．除以6所得余数为5 D． 【答案】ACD 【分析】令，已知式变为，可求得判断A； 令，二项式化为，可求得判断B； ,利用二项式展开式可判断除以6所得余数，判断C； 二项式两边都对求导后令可求得，从而判断D． 【详解】令，得∴，所以A正确； 令∴，所以，所以B错误； 由A知， 所以， 所以除以6的余数为5，C正确； 对于D，由， 两边求导可得， 令，得，所以D正确． 11. 若，则除以7的余数是 . 【答案】0 【解析】， ， 故展开式中的每一项都能被7整除，故余数为0 12. 若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二项式定理，求指定项的系数，各项系数和，奇次项系数和与偶数项系数和. 【详解】由， 对于A中，令，可得，所以A错误； 对于B中，，由二项展开式的通项得，所以B错误； 对于C中，与的系数之和相等， 令即，所以C正确； 对于D中，令，则， 令，则， 解得，， 可得，所以D错误 13. （多选）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】由题意，当，，当时，，A正确； 当时，， 所以，，B，C错误； ， 当时，， 所以，D正确. 14. 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第10行中最大的数与第二大的数的数值之比为 （用最简分数表示）. 【解析】【答案】 【分析】第行从左至右依次为，由二项式系数性质可得答案. 【详解】观察知第行从左至右依次为， 由二项式系数的性质可得最大，其次为， 所以第10行中最大的数与第二大的数的数值之比为. 故答案为：. 15. 如图，在“杨辉三角”中从第2行右边的1开始按箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，，则此数列的前项的和为（    ） A．680 B．679 C．816 D．815 【答案】D 【分析】根据“杨辉三角”以及组合数性质运算可求出结果. 【详解】根据“杨辉三角”，得， 因此，此数列的前30项和为： . 16. 在的展开式中， （1）系数的绝对值最大的项是第几项？ （2）求二项式系数最大的项. （3）求系数最大的项. 【答案】(1)第6项和第7项； (2)； (3). 【详解】（1）的展开式的通项为， 设第项系数的绝对值最大，显然，则， 整理得，即，解得，而，则或， 所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项. （2）二项式系数最大的项为中间项，即第5项，. （3）由（1）知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正，所以系数最大的项为第7项. 40 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$