专题06 二项式定理-2025年高二寒假数学学与练（人教A版2019）

06二项式定理 一、阅读教材，归纳知识： 1．二项式定理 ． （1）这个公式称为二项式定理． （2）展开式：右边的多项式叫作的二项展开式，一共有 项． （3）二项式系数：各项的系数（其中，，）叫作二项式系数． （4）通项：展开式的第 项叫作二项展开式的通项，记作 ． 2．二项式系数的性质 性质 对称性 与首末等距的两个二项式系数 ，即 增减性与最大值 当时，二项式系数是 当时，二项式系数是 当n为偶数时，中间 的二项式系数最大 当n为奇数时，中间 的二项式系数相等且最大 二项式系数的和 自检自纠： 1．,,, 2．相等,递增的,递减的,一项,两项,, 二、概念辨析，判断正误 1．判断正误(正确的打“ 正确”，错误的打“ 错误”) （1）展开式中共有n项．( ) （2）在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．( ) （3）是展开式中的第k项．( ) （4）与的二项展开式的二项式系数相同．( ) 【答案】（1）错误（2）错误（3）错误（4）正确 【详解】对于（1），展开式中共有项，故（1）错误； 对于（2），在公式中，交换a，b的顺序对各项有影响，故（2）错误； 对于（3），是展开式中的第项，故（3）错误； 对于（4），与的二项展开式的二项式系数相同，故（4）正确； 故答案为：（1）错误（2）错误（3）错误（4）正确 2．判断正误，正确的写“正确”，错误的写“错误”． （1）二项展开式中项的系数与二项式系数是相等的.( ) （2）二项展开式中系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)．( ) （3）二项展开式的偶数项系数和等于奇数项系数和．( ) （4）二项展开式项的系数是先增后减的．( ) （5）杨辉三角中每行两端的数都是1．( ) 【答案】（1）错误（2）错误（3）错误（4）错误（5）正确. 【详解】（1）根据定义即可判定； （2）二项展开式中项的系数与二项式系数是不同的，二项式系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)，但是项的系数的最大值与项其他数字因数的大小有关，故该说法错误； （3）在二项式中，只有当的系数都为1时，展开式的偶数项系数和才等于奇数项系数和，故该说法错误； （4）二项式系数是随n的增加先增后减的，而二项展开式项的系数和a，b的系数有关，故该说法错误； （5）根据杨辉三角的特点可知该说法正确. 故答案为：（1）错误（2）错误（3）错误（4）错误（5）正确. 三、考点剖析，学以致用 考点1：二项式定理 例1.（1）下列不属于的展开式的项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由二项式定理可知，，故不是展开式的项.故选：B. （2）展开式中的项数为（    ） A．11 B．12 C．22 D． 【答案】B 【详解】因为 所以 则 共有12项，故选：B． （3）的展开式中的第3项为（    ） A．160 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，故C项正确.故选：C． （4）在的展开式中，常数项为（    ） A．1 B．3 C．6 D．12 【答案】C 【详解】因为展开式的第项为，令，则，所以常数项为.故选：C. （5）的展开式中的常数项为（    ） A．120 B．80 C．60 D．40 【答案】A 【详解】的展开式的通项公式为， 而， 对于，令，易知无整数解，所以其展开式中无常数项； 对于，由，解得，常数项为； 对于，令，解得，常数项为． 故的展开式中的常数项为. 故选：A． 跟综训练： 1.二项式的展开式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】二项式 .故选：B. 2. 二项式(x＋2)n的展开式共有11项，则n等于（    ） A．9 B．10 C．11 D．8 【答案】B 【详解】因为(x＋2)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有11项，所以n＝10.故选:B. 3． 的展开式中的常数项是（    ） A．－112 B．－48 C．48 D．112 【答案】D 【详解】展开式的通项为．令，得，则；令，得，则；故的展开式中的常数项是．故选：D. 4．在的展开式中，常数项为 ．（用数字作答） 【答案】448 【详解】展开式的通项为，令，解得，故常数项为．故答案为：448. 考点2：二项式系数的性质 例2. （1）在的展开式中，的系数为（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】A 【详解】的第项为：，由得，的展开式中的系数为.故选：A. （2）二项式的展开式中第项的二项式系数为（    ） A． B．15 C． D．20 【答案】D 【详解】二项式展开式的通项为（且）， 所以二项式的展开式中第项的二项式系数为．故选：D． （3）的展开式中的系数为（    ） A．55 B． C．65 D． 【答案】D 【详解】含的项为，所以展开式中的系数为．故选： （4）若的展开式中的系数是80，则实数a的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】展开式的通项为,令，可得系数为， 可得．故选：B. （5）若的展开式中的的系数为，则实数（    ） A．8 B．7 C．9 D．10 【答案】B 【详解】由题意知，展开式的通项公式为，故的系数为，解得.故选：B． 跟综训练： 1．在的展开式中，含项的系数为（   ） A．4 B．6 C．8 D．24 【答案】B 【详解】易知的展开式中含项为，即含项的系数为6.故选：B 2．在的展开式中，的系数为，则该二项展开式中的常数项为（    ） A．3204 B． C．160 D． 【答案】D 【详解】】的展开式的通项为，若,由，得不成立，若,令，解得,则,解得,因为，在中，令，解得，所以展开式中的常数项为.故选：D. 3．（多选）若二项式的展开式中含有常数项，则的值可以是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】AD 【详解】的展开式的通项为， 由于的展开式中含有常数项，则有解，即， 当时，成立；当时，成立； 当时，不存在使得；当时，不存在使得． 故选：AD． 4．（多选）下列说法正确的是（    ） A．已知，则可能取值为6 B．已知，则可能取值为7 C．在的展开式中，各项系数和为0 D．在的展开式中，各项系数和为29 【答案】BC 【详解】根据组合数公式，则或，解得，经检验符合题意；故A错B对；令，则的展开式中，各项系数和为0，故C对D错.故选：BC. 5．已知函数有两个零点，，则可设，由可知，，这就是一元二次方程根与系数的关系，也称韦达定理．多项式运算可以更好地理解“韦达定理”，类似地，若为方程的3个实数根，设，则为的系数，为的系数，为常数项，于是有，，实际上任意实系数次方程都有类似结论．设方程的四个实数根为，则 ， ． 【答案】， 【详解】设 ，， 由，可得，所以，即，，，，，所以，，，．故答案为：； 考点3：二项式系数和问题 例3. （1）（多选）在的展开式中，各二项式系数的和为64，则（    ） A． B． C．展开式中的系数为 D．展开式中常数项为 【答案】ACD 【详解】由题意，解得，故 A正确；B错误；二项展开式的通项为，令，则，所以展开式中的系数为，故C正确；令，则，所以展开式中常数项为，故D错误.故选：ACD. （2）的展开式中所有的项的系数之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，，则展开式所有项的系数和为.故选：A. （3）若，则（    ） A．1 B．513 C．512 D．511 【答案】D 【详解】令，得，令，得， 所以，故选：D. （4）在二项式的展开式中，奇数项的二项式系数的和为，则 . 【答案】15 【详解】因为在二项式的展开式中，奇数项的二项式系数的和为，所以，解得.故答案为：. （5）已知，则的值是 . 【答案】 【详解】令，则，即 令，则， 即， 两式相加可得.故答案为： （6）若，则的值为（  ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 【答案】B 【详解】取，得；再取，得，所以.故选：B. 跟综训练： 1．在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则（    ） A．二项式系数和为32 B．各项系数和为128 C．常数项为 D．常数项为135 【答案】D 【详解】令，得各项系数和为，又二项式系数和为，则，得，即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故A，B不正确；的展开式的通项为，令，得，因此展开式中的常数项为，故C不正确，D正确.故选：D. 2．已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的项的系数为（    ） A．―4 B．84 C．―280 D．560 【答案】D 【详解】因为的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，所以．则 又因为的展开式的通项公式为，令，所以展开式中的项的系数为．故选：B. 3．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对选项A， ，令，得，令，得，所以，故A错误； 对选B，因为，所以表示的各项系数之和，令，则，故B正确； 对选项C，，所以，故C错误； 对选项D，因为，，令，则，则，故D正确. 故选：D. 4.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则， 所以，.故选：A. 5.已知，则 ． 【答案】 【详解】令，，，，所以原式为，又因为展开项的通项公式为，令，解得，，所以.故答案为： 考点4：展开式中系数最大（小）的项 例4. （1）二项式的展开式中，系数最大项的是（    ） A．第项 B．第项和第项 C．第项 D．第项 【答案】A 【详解】由二项展开式的通项公式，可知系数为，与二项式系数相比只是符号的区别，二项式系数最大的项为第项和第项，又由第项系数为，第项系数为，故系数最大项为第项. 故选：A. （2）已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是，则展开式中系数的绝对值最大的是第（    ）项 A．6 B．8 C．9 D．11 【答案】B 【详解】由已知可得，展开式的通项公式为，.所以，第5项的系数为，第3项的系数为， 由题意知，，整理可得，，解得或（舍去），所以，.设第项，系数的绝对值最大，该项系数的绝对值为，则有，即，整理可得，所以. 又，所以，所以展开式中系数的绝对值最大的是第8项.故选：B. （3）的展开式中第6项的二项式系数最大，则n可以为______． 【答案】，10，11 【详解】由二项式系数性质知，当是偶数时，第项的二项式系数最大，，，当是奇数时，第项和第项的二项式系数相等且最大，　，解得或．故答案为：9，10，11． （4）若二项式 的展开式中只有第7项的二项式系数最大，若展开式的有理项中第项的系数最大，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【详解】由已知可得，.根据二项式定理，知展开式的通项为，显然当是偶数时，该项为有理项， 时，；时，； 时，；时，； 时，；时，； 时，. 经比较可得，，即时系数最大，即展开式的有理项中第5项的系数最大．故选：A. 跟综训练： 1.的二项展开式中系数最大的项为 ． 【答案】或 【详解】二项式展开式的通项为（且），设展开式第项的系数最大，则，即，解得，又，或，展开式中系数最大的项为或.故答案为：或. 2．（2023-2024·高二下·广西来宾·期中）已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则 . 【答案】 【详解】因为二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，根据二项展开式的性质，可得中间项的二项式系数最大，所以展开式一共有7项，所以为偶数且，可得.故答案为：. 3.若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的是（    ） A．第二项 B．第三项 C．第四项 D．第五项 【答案】B 【详解】因为的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，所以，解得，则的展开式通项为 ，当为奇数时，系数为负数，当为偶数时，系数为正数，所以展开式中系数最大时，为偶数，由展开式通项可知，，， ，，所以展开式中系数最大的是第三项，故选：B. 4.若二项式展开式中所有项系数的绝对值的和为，则展开式中二项式系数最大的项为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，可得展开式中系数的绝对值的和为，解得．展开式有项， 二项式展开式中二项式系数最大的为第项，.故选． 四、课后练习，巩固提升 1．二项式的展开式中共有（    ）项. A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】二项式的展开式的项数为，本题，所以.故选：C. 2．二项式的展开式中的第4项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以.故选：A． 3．的展开式中的系数为，则实数（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】的展开式的通项公式为，所以． 令，解得，．令，解得．由题意，可知，所以．故选：D． 4．若的展开式中各项系数之和为1024，则第四项与第五项的系数之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，得，解得，所以的通项公式为，所以第四项与第五项的系数之比．故选：D. 5．，则（    ） A． B．0 C．32 D．64 【答案】A 【详解】因为，令可得， 令可得，令可得，所以，则.故选：A. 6.已知(2x－1)n二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则＋＋＋…＋的值为（ ） A．28 B．28－1 C．27 D．27－1 【答案】B 【详解】设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋＋anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B.则A＝a1＋a3＋a5＋，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋.由已知可知：B－A＝38,令x＝－1，得：a0－a1＋a2－a3＋＋an(－1)n＝(－3)n，即：(a0＋a2＋a4＋a6＋)－(a1＋a3＋a5＋a7＋)＝(－3)n，即：B－A＝(－3)n，∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8，由二项式系数性质可得：＋＋＋＋.故选；B. 7．设，则＝________. 【答案】 【详解】令可得，令可得， 两式相减可得，两式相加，得，所以， 故答案为：. 8．设(2－x)6＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a6(1＋x)6，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6等于（ ） A．4 B．－71 C．64 D．199 【答案】C 【详解】∵(2－x)6＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a6(1＋x)6，令x＝0，∴a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝26＝64.故选：C. 9. 已知多项式，则_____，______. 【答案】 ①. ; ②. . 【详解】， ， 所以，，所以. 故答案为：. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】令，可得，则， 二项式的展开式通项为，则. 当为奇数时，，当为偶数时，，因此，.故选：A. 11．已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的展开式的通项为， 由题可知，解得．故选：A. 12．（多选）已知，则（    ） A．，，，中最大 B． C． D． 【答案】BD 【详解】因为二项式展开式的通项为，所以，，，，为正值，，，，为负值，故A错误；令，则．即，令，得，所以．故B正确； 令得，所以，故C错误； 设，则，令得，故D正确．故选：BD 13．（多选）已知二项式的展开式中共有项，则下列说法正确的有（    ） A．为 B．所有项的二项式系数和为 C．二项式系数最大的项为第4项 D．没有常数项 【答案】CD 【详解】因为二项式的展开式中共有项，所以，解得，故A错误；二项式所有项的二项式系数和为，故B错误；因为二项式展开式中共有项，所以二项式系数最大的项为第项，故C正确；二项式展开式的通项为，令，解得（舍去），所以展开式中没有常数项，故D正确.故选：CD 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 06二项式定理 一、阅读教材，归纳知识： 1．二项式定理 ． （1）这个公式称为二项式定理． （2）展开式：右边的多项式叫作的二项展开式，一共有 项． （3）二项式系数：各项的系数（其中，，）叫作二项式系数． （4）通项：展开式的第 项叫作二项展开式的通项，记作 ． 2．二项式系数的性质 性质 对称性 与首末等距的两个二项式系数 ，即 增减性与最大值 当时，二项式系数是 当时，二项式系数是 当n为偶数时，中间 的二项式系数最大 当n为奇数时，中间 的二项式系数相等且最大 二项式系数的和 自检自纠： 1．,,, 2．相等,递增的,递减的,一项,两项,, 二、概念辨析，判断正误 1．判断正误(正确的打“ 正确”，错误的打“ 错误”) （1）展开式中共有n项．( ) （2）在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．( ) （3）是展开式中的第k项．( ) （4）与的二项展开式的二项式系数相同．( ) 2．判断正误，正确的写“正确”，错误的写“错误”． （1）二项展开式中项的系数与二项式系数是相等的.( ) （2）二项展开式中系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)．( ) （3）二项展开式的偶数项系数和等于奇数项系数和．( ) （4）二项展开式项的系数是先增后减的．( ) （5）杨辉三角中每行两端的数都是1．( ) 三、考点剖析，学以致用 考点1：二项式定理 例1.（1）下列不属于的展开式的项的是（    ） A． B． C． D． （2）展开式中的项数为（    ） A．11 B．12 C．22 D． （3）的展开式中的第3项为（    ） A．160 B． C． D． （4）在的展开式中，常数项为（    ） A．1 B．3 C．6 D．12 （5）的展开式中的常数项为（    ） A．120 B．80 C．60 D．40 跟综训练： 1.二项式的展开式为（    ） A． B． C． D． 2. 二项式(x＋2)n的展开式共有11项，则n等于（    ） A．9 B．10 C．11 D．8 3． 的展开式中的常数项是（    ） A．－112 B．－48 C．48 D．112 4．在的展开式中，常数项为 ．（用数字作答） 考点2：二项式系数的性质 例2. （1）在的展开式中，的系数为（    ） A． B．4 C． D．6 （2）二项式的展开式中第项的二项式系数为（    ） A． B．15 C． D．20 （3）的展开式中的系数为（    ） A．55 B． C．65 D． （4）若的展开式中的系数是80，则实数a的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 （5）若的展开式中的的系数为，则实数（    ） A．8 B．7 C．9 D．10 跟综训练： 1．在的展开式中，含项的系数为（   ） A．4 B．6 C．8 D．24 2．在的展开式中，的系数为，则该二项展开式中的常数项为（    ） A．3204 B． C．160 D． 3．（多选）若二项式的展开式中含有常数项，则的值可以是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．（多选）下列说法正确的是（    ） A．已知，则可能取值为6 B．已知，则可能取值为7 C．在的展开式中，各项系数和为0 D．在的展开式中，各项系数和为29 5．已知函数有两个零点，，则可设，由可知，，这就是一元二次方程根与系数的关系，也称韦达定理．多项式运算可以更好地理解“韦达定理”，类似地，若为方程的3个实数根，设，则为的系数，为的系数，为常数项，于是有，，实际上任意实系数次方程都有类似结论．设方程的四个实数根为，则 ， ． 考点3：二项式系数和问题 例3. （1）（多选）在的展开式中，各二项式系数的和为64，则（    ） A． B． C．展开式中的系数为 D．展开式中常数项为 （2）的展开式中所有的项的系数之和为（    ） A． B． C． D． （3）若，则（    ） A．1 B．513 C．512 D．511 （4）在二项式的展开式中，奇数项的二项式系数的和为，则 . （5）已知，则的值是 . （6）若，则的值为（  ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 跟综训练： 1．在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则（    ） A．二项式系数和为32 B．各项系数和为128 C．常数项为 D．常数项为135 2．已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的项的系数为（    ） A．―4 B．84 C．―280 D．560 3．若，，则（    ） A． B． C． D． 4.已知，则（    ） A． B． C． D． 5.已知，则 ． 考点4：展开式中系数最大（小）的项 例4. （1）二项式的展开式中，系数最大项的是（    ） A．第项 B．第项和第项 C．第项 D．第项 （2）已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是，则展开式中系数的绝对值最大的是第（    ）项 A．6 B．8 C．9 D．11 （3）的展开式中第6项的二项式系数最大，则n可以为______． （4）若二项式 的展开式中只有第7项的二项式系数最大，若展开式的有理项中第项的系数最大，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 跟综训练： 1.的二项展开式中系数最大的项为 ． 2．（2023-2024·高二下·广西来宾·期中）已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则 . 3.若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的是（    ） A．第二项 B．第三项 C．第四项 D．第五项 4.若二项式展开式中所有项系数的绝对值的和为，则展开式中二项式系数最大的项为（ ） A． B． C． D． 四、课后练习，巩固提升 1．二项式的展开式中共有（    ）项. A．5 B．6 C．7 D．8 2．二项式的展开式中的第4项为（    ） A． B． C． D． 3．的展开式中的系数为，则实数（    ） A．2 B．1 C． D． 4．若的展开式中各项系数之和为1024，则第四项与第五项的系数之比为（    ） A． B． C． D． 5．，则（    ） A． B．0 C．32 D．64 6.已知(2x－1)n二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则＋＋＋…＋的值为（ ） A．28 B．28－1 C．27 D．27－1 7．设，则＝________. 8．设(2－x)6＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a6(1＋x)6，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6等于（ ） A．4 B．－71 C．64 D．199 9. 已知多项式，则_____，______. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11．已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（多选）已知，则（    ） A．，，，中最大 B． C． D． 13．（多选）已知二项式的展开式中共有项，则下列说法正确的有（    ） A．为 B．所有项的二项式系数和为 C．二项式系数最大的项为第4项 D．没有常数项 6 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$