精品解析：广东省湛江市麻章区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

2024—2025学年度第一学期期末教学质量监测 八年级数学试卷 （时间：120分钟，满分120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，满分30分． 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 人体中红细胞的直径约为，将数用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：将数用科学记数法表示为． 故选：C． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3. 下列运算中，结果正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法和除法以及积的乘方运算，本题属于基础题型． 根据同底数幂的乘法和除法以及积的乘方运算即可求出答案； 【详解】解：A、原式，故A不符合题意． B、原式，故B不符合题意． C、原式，故C不符合题意． D、原式，故D符合题意． 故选：D． 4. 如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取一点P，测得，，那么A，B之间的距离可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此得到，即可得到答案． 【详解】解：由三角形三边关系定理得：， ∴， ∴A、B之间的距离可能是． 故选：B． 5. 下列各等式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的判断，一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，据此进行判断即可． 【详解】解：A、是整式的乘法，不符合题意； B、等式左边不是多项式，不符合题意； C、等式的右边含有分式，不符合题意； D、是因式分解，符合题意； 故选D． 6. 若点A的坐标为，则点A关于y轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴点A关于y轴的对称点的坐标是， 故选：A． 7. 要使分式有意义，的取值应满足（ ） A. B. C. 且 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义，即分母不为0，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故选：A． 8. 如图，，点E在线段上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质推出，，，得到，由等腰三角形的性质得到，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 9. 如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件组成的长方形的长为，宽是，即可得到结果； 【详解】由图可知展开后组成的长方形的长为，宽是， ∴长方形的面积； 故选D． 【点睛】本题主要考查了图形拼接与列代数式，准确分析计算是解题的关键． 10. 我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文， ■ ．”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈 (1丈=10尺)，已知绫布和罗布分别出售均能收入896文， ■ ．”设绫布有x尺，则可得方程为 根据此情境，题中“ ■ ”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（ ） A. 每尺绫布比每尺罗布贵120文 B. 每尺绫布比每尺罗布便宜120文 C. 每尺绫布和每尺罗布一共需要120文 D. 每尺罗布比每尺绫布便宜120文 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，理解方程的意义是解题的关键． 设绫布有尺，则罗布有尺，再表示每尺绫布和每尺罗布需要的费用，最后根据所列的方程求解即可． 【详解】解：设绫布有尺，则罗布有尺， ∵绫布和罗布分别出售均能收入896文， ∴每尺绫布的费用为元，每尺罗布的费用为元， ∵， ∴， ∴可以作为补充条件是：每尺绫布和每尺罗布一共需要120文． 故选：C． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，根据题意，提取公因式，即可求解． 【详解】解：, 故答案为： ． 12. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂．熟练掌握负整数指数幂，零指数幂是解题的关键．先分别计算负整数指数幂，零指数幂，然后进行加法运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 如图，，请你添加一个适当条件_________，使得． 【答案】（或） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理作答即可． 【详解】解：由题意知，，， 添加时，， 故答案为：． 14. 如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为__________度． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求得正五边形的每一个内角为，根据折叠的性质求得在中，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵正五边形的每一个内角为， 将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为， 则， ∵将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为， ∴，， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正多边形的内角和的应用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 15. 如图，在中，垂直平分，垂足为D，过点D作，垂足为F，的延长线与边的延长线交于点E，，与的数量关系是__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作于H，设，，则，根据垂直平分得，再根据，得，证和全等得，进而得，，再根据得，即，则，据此可得出与的数量关系． 【详解】解：过点C作于H，如图所示： 设，，则， ∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定，线段垂直平分线的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18每题7分，共24分． 16. （1）计算：； （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式和多项式乘多项式，分式的混合运算． （1）根据完全平方公式和多项式乘多项式可以解答本题； （2）先计算括号里的加法运算，再根据分式的乘法，进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 解分式方程∶． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：， 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：当时，， 所以是分式方程的解． 18. 如图，公园有一条“Z”字形道路AB—BC—CD，其中，在E、M、F处各有一个小石凳，且BE＝CF，M为BC的中点，连接EM、MF，请问石凳M到石凳E、F的距离ME、MF是否相等？说出你推断的理由． 【答案】石凳M到石凳E、F的距离ME、MF相等，理由见解析 【解析】 【分析】证明△BEM≌△CFM（SAS），利用全等三角形的性质即可证明ME＝MF， 【详解】解：石凳M到石凳E、F的距离ME、MF相等． 理由如下： ∵， ∴∠B＝∠C． ∵M为BC中点， ∴BM＝MC． 在△BEM和△CFM中， ∴△BEM≌△CFM（SAS）， ∴ME＝MF， 即石凳M到石凳E、F的距离ME、MF相等． 【点睛】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定及性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定，证明△BEM≌△CFM（SAS） 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 19. 如图，在△ABC中，∠B＝40°，D为BC边上一点，且CA＝CD． （1）作∠C的角平分线CM，与AB交于点M（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，连接DM，若BM＝BD，求∠CAB的度数． 【答案】（1）见解析 （2）110° 【解析】 【分析】（1）利用基本作图作出∠ACB的平分线； （2）先根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠BDM＝∠BMD＝70°，再利用邻补角的定义计算出∠CDM＝110°，然后证明△ACM≌△DCM，从而得到∠A＝∠CDM＝110°． 【小问1详解】 如图，CM为所作； 【小问2详解】 ∵BM＝BD， ∴∠BDM＝∠BMD（180°﹣∠B）（180°﹣40°）＝70°， ∴∠CDM＝180°﹣∠BDM＝180°﹣70°＝110°， ∵CM平分∠ACB， ∴∠ACM＝∠BCM， 在△ACM和△DCM中 ， ∴△ACM≌△DCM（SAS）， ∴∠A＝∠CDM＝110°． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质． 20. 荔枝是岭南一带的特色时令水果．今年5月份荔枝一上市，某水果店的老板用3000元购进了一批荔枝，由于荔枝刚在果园采摘比较新鲜，前两天他以高于进价40%的价格共卖出150千克，由于荔枝保鲜期短，第三天他发现店里的荔枝卖相已不大好，于是果断地将剩余荔枝以低于进价20%的价格全部售出，前后一共获利750元． （1）若购进的荔枝为千克，则这批荔枝的进货价为 ；（用含的式子来表示） （2）求该水果店的老板这次购进荔枝多少千克． 【答案】（1）元/千克； （2）200千克 【解析】 【分析】本题考查了列代数式和分式方程的应用，正确理解题意、列出方程是关键； （1）根据列式即可； （2）设水果店的老板这次购进荔枝千克，根据：第一次利润－第二次亏损＝总利润列方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：若购进的荔枝为千克，则这批荔枝的进货价为元/千克； 故答案为：元/千克； 【小问2详解】 解：设水果店的老板这次购进荔枝千克，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的根， 答：该水果店的老板这次购进荔枝200千克． 21. 如图1和2，在四边形中，，，平分． （1）如图1，若，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是___________； （2）问题解决：如图2，求证：； （3）问题拓展：如图3，在等腰中，，平分，求证：． 【答案】（1）角平分线上的点到角的两边距离相等 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据角平分线性质定理解答； （2）作于E，于F，证明，根据全等三角形的性质证明即可； （3）在上截取，连接，可得，可证明，结合图形证明，从而得到，进而得到，即可求证． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，， ∵平分， ∴（角平分线上的点到角的两边距离相等）． 故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等 【小问2详解】 证明：如图，作于E，于F． ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 证明：如图，在上截取，连接． ∵在等腰中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 小明设计了一个净水装置，将杂质含量为n的水用m单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为． 利用此净水装置，小明进行了进一步的探究： 现有杂质含量为1的水． （1）用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为_______； （2）小明共准备了6a单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案A是将6a单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案B和方案C均为将6a单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示： 方案 编号 第一次过滤 用净水材料的单位量 第一次过滤后 水中杂质含量 第二次过滤 用净水材料的单位量 第二次过滤后 水中杂质含量 A 6a B 5a a C 4a 2a ①请将表格中方案C的数据填写完整； ②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？ （3）当净水材料总量为6a单位量不变时，为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为________________（用含a的式子表示）． 【答案】（1） （2）①，②方案C （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的应用，涉及分式的混合运算， （1）根据水中的杂质含量为计算即可； （2）①根据（1）中的方法，列式即可作答；②利用分式的简化运算比较两个分数的大小即可作答； （3）设第一次使用x单位的净水材料，则第二次使用个单位，即第一次净水后，杂质含量为：，第二次净水后，杂质含量为：，即有，问题随之得解． 【小问1详解】 ， 故答案为：； 【小问2详解】 ① 根据题意：第一次过滤后水中杂质含量为：， 第二次过滤后水中杂质含量为：， 故答案为：，； ② 解：=． ∵， ∴，． ∴． ∴． 同理，可得． ∴． ∴方案C的最终过滤效果最好． 【小问3详解】 设第一次使用x单位的净水材料，则第二次使用个单位， ∴第一次净水后，杂质含量为：， ∴第二次净水后，杂质含量为：， ∵ ， ∵， ∴， 当，即时，有最大值为， ∴此时分数有最小值， 即第一次使用单位的净水材料，第二次使用个单位时，两次过滤后水中的杂质含量最少， 故答案为：． 23. 综合探究 将一个三角形的三个顶点分别关于各自对边所在直线作对称点，由这三个对称点确定的三角形叫作原三角形的“再生三角形”． （1）一个周长为l，面积为s的等边三角形的“再生三角形”的周长是______．面积是______． （2）如图①，已知在中，，是的“再生三角形”，其中点，，分别是点A，B，C的对称点，试猜想的面积与的面积之间的关系，并证明． （3）如图②，已知中在中，，是“再生三角形”，其中点分别是点A，B，C'的对称点，求证：是等边三角形． （4）小博认为所有的三角形都存在“再生三角形”，小雅认为不是所有的三角形都存在“再生三角形”．你认为谁的判断正确？请说明理由． 【答案】（1）； （2），证明见解析 （3）证明见解析 （4）小雅，理由见解析 【解析】 【分析】（1）画出图形，结合图形和轴对称的性质即可得出结论； （2）连接交CB于点E并延长交于D，根据轴对称的性质和等高三角形面积之比等于高之比即可得出结论； （3）证与是等腰直角三角形，推出再求即可； （4）小雅认为不是所有的三角形都存在“再生三角形”正确，中，，，如图所示的“再生三角形”不存在，再推出重合即可． 【小问1详解】 解：如图 为的“再生三角形"， 则， ∴ 共线且， ∴B 为 中点， 同理 A 为中点， C 为 中点， ， ∴周长为 △ABC 周长两倍为， 且， ， ∴面积为， 【小问2详解】 猜想∶ ， 证明∶连接交CB于点E并延长交于D， 由对称性可知 ， ， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 即 ， ∴， ∴， 则 ， ； 【小问3详解】 连接交于E，交于D，则 ∵， ∴， ∵， ∴ 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可求，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 为等边三角形； 【小问4详解】 小雪认为不是所有的三角形都存在“再生三角形”正确， 中，，，如图所示的“再生三角形”不存在， ∵， ∴， ∴重合，即不存在“再生三角形”． 【点睛】本题考查轴对称的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理等,理解再生三角形的定义是解答本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期末教学质量监测 八年级数学试卷 （时间：120分钟，满分120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，满分30分． 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 人体中红细胞的直径约为，将数用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算中，结果正确的是（） A. B. C. D. 4. 如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取一点P，测得，，那么A，B之间的距离可能是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各等式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 若点A的坐标为，则点A关于y轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 要使分式有意义，的取值应满足（ ） A B. C. 且 D. 或 8. 如图，，点E在线段上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文， ■ ．”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈 (1丈=10尺)，已知绫布和罗布分别出售均能收入896文， ■ ．”设绫布有x尺，则可得方程为 根据此情境，题中“ ■ ”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（ ） A. 每尺绫布比每尺罗布贵120文 B. 每尺绫布比每尺罗布便宜120文 C. 每尺绫布和每尺罗布一共需要120文 D. 每尺罗布比每尺绫布便宜120文 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：_____________． 12. 计算：______． 13. 如图，，请你添加一个适当的条件_________，使得． 14. 如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为__________度． 15. 如图，在中，垂直平分，垂足为D，过点D作，垂足为F，的延长线与边的延长线交于点E，，与的数量关系是__________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18每题7分，共24分． 16. （1）计算：； （2）化简： 17. 解分式方程∶． 18. 如图，公园有一条“Z”字形道路AB—BC—CD，其中，在E、M、F处各有一个小石凳，且BE＝CF，M为BC的中点，连接EM、MF，请问石凳M到石凳E、F的距离ME、MF是否相等？说出你推断的理由． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 19. 如图，在△ABC中，∠B＝40°，D为BC边上一点，且CA＝CD． （1）作∠C的角平分线CM，与AB交于点M（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）条件下，连接DM，若BM＝BD，求∠CAB的度数． 20. 荔枝是岭南一带的特色时令水果．今年5月份荔枝一上市，某水果店的老板用3000元购进了一批荔枝，由于荔枝刚在果园采摘比较新鲜，前两天他以高于进价40%的价格共卖出150千克，由于荔枝保鲜期短，第三天他发现店里的荔枝卖相已不大好，于是果断地将剩余荔枝以低于进价20%的价格全部售出，前后一共获利750元． （1）若购进的荔枝为千克，则这批荔枝的进货价为 ；（用含的式子来表示） （2）求该水果店的老板这次购进荔枝多少千克． 21. 如图1和2，在四边形中，，，平分． （1）如图1，若，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质___________； （2）问题解决：如图2，求证：； （3）问题拓展：如图3，等腰中，，平分，求证：． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 小明设计了一个净水装置，将杂质含量为n的水用m单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为． 利用此净水装置，小明进行了进一步的探究： 现有杂质含量为1水． （1）用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为_______； （2）小明共准备了6a单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案A是将6a单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案B和方案C均为将6a单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示： 方案 编号 第一次过滤 用净水材料的单位量 第一次过滤后 水中杂质含量 第二次过滤 用净水材料的单位量 第二次过滤后 水中杂质含量 A 6a B 5a a C 4a 2a ①请将表格中方案C的数据填写完整； ②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？ （3）当净水材料总量为6a单位量不变时，为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为________________（用含a的式子表示）． 23. 综合探究 将一个三角形的三个顶点分别关于各自对边所在直线作对称点，由这三个对称点确定的三角形叫作原三角形的“再生三角形”． （1）一个周长为l，面积为s的等边三角形的“再生三角形”的周长是______．面积是______． （2）如图①，已知在中，，是的“再生三角形”，其中点，，分别是点A，B，C的对称点，试猜想的面积与的面积之间的关系，并证明． （3）如图②，已知中在中，，是的“再生三角形”，其中点分别是点A，B，C'的对称点，求证：是等边三角形． （4）小博认为所有的三角形都存在“再生三角形”，小雅认为不是所有的三角形都存在“再生三角形”．你认为谁的判断正确？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $