精品解析：河北省邯郸市武安市2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题

2024-2025学年第一学期期末学业水平检测 八年级数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据两个三角形全等，可知对应相等的两条边的夹角相等，从而求出的度数． 【详解】解：两个三角形全等， 对应相等的两条边的夹角相等， ． 故选：A． 3. 解分式方程时，去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法，解题关键在于最简公分母的确定．先确定分式方程的最简公分母，然后左右两边同乘即可确定答案． 【详解】解：分式方程， 方程两边同时乘以去分母得：， 故选：D． 4. 生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图是由三角尺拼凑得到的，图中的度数为（ ） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，三角形外角的性质， 根据题意可知，再根据三角形外角的性质得出答案． 【详解】根据题意可知． ∵是的外角， ∴． 故选：B． 5. 为改善生态环境，打造宜居城市，某市园林绿化部门计划植树20万棵，由于工程进度需要，实际每天植树棵数比原计划增加了，结果提前4天完成任务．若设实际每天植树x万棵，则根据题意可得方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设实际每天植树x万棵，则原计划每天植树万棵，根据“提前4天完成任务”列出方程即可． 【详解】解：设实际每天植树x万棵，则原计划每天植树万棵， 根据题意可得方程为， 整理为：， 故选：A． 6. 如图，是的平分线，于，连接，若的面积为，则的面积为( )． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，角平分线定义，关键是由角平分线的定义，垂直的定义推出，由等腰三角形的性质得到．延长交于，由角平分线的定义得到，由垂直的定义得到，由三角形内角和定理推出，得到，由等腰三角形的性质推出，由三角形面积公式推出的面积的面积，的面积的面积，即可得到的面积＋的面积的面积，于是得到的面积． 【详解】解：延长交于， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 的面积的面积，的面积的面积， 的面积＋的面积的面积＋的面积的面积， 的面积． 故选：B． 7. 已知，，则整式的值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解和代数式求值，解题的关键是对进行因式分解． 由已知条件得到，将分解因式，再将，代入计算即可． 【详解】解：因为，， ∴ ， 将，代入得： ， 故选：C． 8. 一个正方形、一个正五边形和一个正六边形组成了如图所示的图形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正多边形的特点、多边形内角和公式、等腰三角形的性质，根据正多边形特点算出正六边形和正五边形的一个内角，推出，再利用等腰三角形的性质，即可得出． 【详解】解：由题知，， ， 由多边形内角和公式可知正六边形的一个内角为， 正五边形的一个内角为， ， ． 故选：D． 9. 如图，D为等腰三角形内一点，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据证明，得出，然后根据证明，即可得出结论． 【详解】解：连接， 在和中， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 10. 如图，，记，，当时，与之间的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． 通过全等三角形的性质，得，，推得，，利用平行线的性质，得，推得，整理后即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， 整理得：． 故选：D． 11. 如图，的两条高与交于点，，．点在射线上，且，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，则的值为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒或秒 D. 秒或秒 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 分情况讨论点分别在延长线上或在之间时，，根据对应边相等，解一元一次方程求得值即可选出结果． 【详解】解：①当点在延长线上时：设秒时，、分别运动到如图位置，． ， ∵，， ∴当时，， ∵，， ∴， 解得． ②当点在之间时：设秒时，、分别运动到如图位置，． ∵，， ∴当时，， ∵，， ∴， 解得． 综上，或， 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 12. 计算：__________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了含有乘方的有理数的混合运算，掌握零次幂，负指数幂，有理数的混合运算法则是解题的关键． 分别算出乘方，零次幂，负指数幂的结果，再根据有理数的加减运算法则计算即可求解． 【详解】解： ， 故答案为： ． 13. 已知中，，那么中最大角的度数为________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】此题考查三角形内角和定理、一元一次方程的应用．由题意可设由三角形内角和定理得到一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意可设 则， 解得， ∴ ∴中最大角的度数为 故答案为： 14. 定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，存在．若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，新定义，根据新定义可得，则去分母可得，再解方程后并检验即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 检验，当时，， ∴， 故答案为；． 15. 如图，等边中，为边上的高，点M、N分别在上，且，连，当最小时，___________． 【答案】##度 【解析】 【分析】如图1中，过点C作，使得，连接．证明，推出，由，可知B，N，H共线时，值最小，求出此时的度数即可解决问题． 【详解】解：如图1中，过点C作，使得，连接． ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴B，N，H共线时，的值最小， 如图2中，当B，N，H共线时， ∵， ∴， ∴ ∴当的值最小时，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或验算过程） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）原方程无解． 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，其步骤为：先将方程去分母，再解整式方程，最后检验，得到原方程的解． （1）先将方程去分母，再解整式方程，解得：，经检验，是原分式方程的解， （2）先将方程去分母，再解整式方程，解得：，经检验不是原分式方程的解，原方程无解． 【小问1详解】 解：， 去分母，两边同乘，得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ； 【小问2详解】 解：， 即：， 去分母，两边同乘，得：， 解得：， 检验：把代入，得：， 不是原分式方程的解， 原方程无解． 17. 如图，已知的三个顶点分别为、、． （1）请在图中作出关于y轴的轴对称图形（A、B、C的对应点分别是D、E、F），并直接写出D、E、F的坐标． （2）求四边形的面积． 【答案】（1） 解：关于y轴的轴对称图形如图所示， 由图象可知：、、， （2） 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换，三角形的面积公式等知识． （1）分别画出A、B、C三点关于y轴的对称点D、E、F即可解决问题； （2）四边形面种等于与的面积之和，根据三角形的面积公式即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 由题意可得，，， ． 18. 已知的展开式中不含的一次项，常数项是． （1）求，的值． （2）先化简再求值． 【答案】（1）， （2）35 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式运算、代数式求值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据多项式乘以多项式运算法则将原式展开，结合展开式中不含的一次项，常数项是可得，，求解即可获得答案； （2）根据多项式乘以多项式运算法则将原式化简，然后将，的值代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ， 又∵展开式中不含的一次项，常数项是， ∴，， 解得，； 【小问2详解】 原式 ， ∵，， ∴原式 ． 19. 如图，在中，平分． （1）则 ； （2）求的度数． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义及直角三角形两锐角互余的性质，解题的关键是熟练运用这些几何性质，以已知角为基础逐步推导未知角的度数． （1）先根据三角形内角和定理（三角形内角和为)，结合已知、，求出的度数；再依据角平分线的定义（角平分线将角分成两个相等的角），计算出的度数． （2）先由得出为直角三角形，根据直角三角形两锐角互余（直角三角形两锐角和为)，结合求出的度数；再利用（1）中已求得的的度数，通过与的差值求出的度数． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 又∵平分， ∴； 故答案为：． 【小问2详解】 ∵， ， ∴， ∴． 20. 如图，在中，点D在边上，，，．若，，求的长． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 利用平行线的性质得，再利用证明，可得，从而计算可得． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 21. 数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，数形结合大致分为两种情形，或者借助图形的直观来阐明数之间的关系，或者借助数的精确性来阐明图形的属性，即“以形助数”或“以数解形”，整式乘法中也利用图形面积来论证数量关系．现用砖块相同的面（如材料图，长为，宽为的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题． （1）求图1中空白部分的面积（用含的代数式表示）． （2）图1，图2中空白部分面积分别为、，求值． （3）图3中空白面积为，根据图形中的数量关系，将下列式子写成含、的整式乘积的形式： ①． ②． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）结合图形，图1中空白部分的面积等于大正方形的面积减去个小长方形的面积； （2）根据图形，图2中空白部分的面积等于大长方形的面积减去个小长方形的面积，再列出关于，的方程组并解方程组即可； （3）结合图形，图3中空白面积为等于大长方形的面积减去个小长方形的面积，将及写成含、的整式乘积的形式． 【小问1详解】 解：∵图1小正方形的边长为，其中阴影部分面积为， ∴． 【小问2详解】 解：∵图2小长方形的长为，宽为，其中阴影部分面积为， ∴， ∵面积分别为、， ∴ 由，得， ∴； 【小问3详解】 解：∵图3小长方形的长为，宽为，其中阴影部分面积为， ∴， ∴① ②． 【点睛】本题考查了分解因式的应用，长方形的面积，完全平方公式的应用，多项式乘多项式的法则，培养学生的观察图形的能力和化简能力，数形结合思想是解题的关键． 22. 【概念认识】 如图①，在中，若，则叫做的“三分线”其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图①，，是的“三分线”，则______； （2）如图②，在中，，若的“邻三分线”交于点D，则______； （3）如图③，在中，分别是邻“三分线”和邻“三分线”，且，求的度数． 【答案】（1）40 （2）90 （3） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质、三角形内角和定理，正确理解“邻三分线”、“邻三分线”的定义是解题的关键． （1）根据“三分线”的定义即可得到答案； （2）根据是“邻三分线”，根据三角形的外角性质计算即可； （3）根据三角形内角和定理得到，根据“邻三分线”的定义计算即可． 【小问1详解】 解：∵是的“三分线”， ∴， 故答案为：40； 【小问2详解】 解：如图， ∵是“邻三分线”时，， 则， 故答案为：90； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴． ∵分别是邻三分线和邻三分线， ∴，， ∴， ∴． 23. 【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，,是中线，求的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是______； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题解决】 （2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是______． ①；②；③；④ 【问题拓展】 （3）如图3，，，与互补，连接E是的中点，求证：； （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点，，，则的面积是______． 【答案】（1）； （2）②③； （3）证明：如图3，延长至，使，连接， 是的中点， ， 又，， ， ，， ， ， 与互补， ， ， 又，， ， ， ； （4）． 【解析】 【分析】（1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，，即可求解； （3）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，可得结论； （4）由全等三角形的性质可得，，，由三角形的面积公式可求解． 【详解】（1）解：如图1中，延长至点，使． 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 是中线， ， 又，， ， ，， ，， ， 为中线， ， ， ， 又， ， ，， ， 故答案为：②③； （3）略 （4）如图3，，， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：8． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中点的性质，平行线的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期末学业水平检测 八年级数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是（　　） A. B. C. D. 3. 解分式方程时，去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图是由三角尺拼凑得到的，图中的度数为（ ） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 5. 为改善生态环境，打造宜居城市，某市园林绿化部门计划植树20万棵，由于工程进度需要，实际每天植树棵数比原计划增加了，结果提前4天完成任务．若设实际每天植树x万棵，则根据题意可得方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的平分线，于，连接，若的面积为，则的面积为( )． A. B. C. D. 7. 已知，，则整式的值为（ ） A. B. C. D. 3 8. 一个正方形、一个正五边形和一个正六边形组成了如图所示的图形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，D为等腰三角形内一点，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，记，，当时，与之间的数量关系为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，的两条高与交于点，，．点在射线上，且，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，则的值为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒或秒 D. 秒或秒 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 12. 计算：__________． 13. 已知中，，那么中最大角的度数为________． 14. 定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，存在．若，则的值为______． 15. 如图，等边中，为边上的高，点M、N分别在上，且，连，当最小时，___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或验算过程） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，已知的三个顶点分别为、、． （1）请在图中作出关于y轴的轴对称图形（A、B、C的对应点分别是D、E、F），并直接写出D、E、F的坐标． （2）求四边形的面积． 18. 已知的展开式中不含的一次项，常数项是． （1）求，的值． （2）先化简再求值． 19. 如图，在中，平分． （1）则 ； （2）求的度数． 20. 如图，在中，点D在边上，，，．若，，求的长． 21. 数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，数形结合大致分为两种情形，或者借助图形的直观来阐明数之间的关系，或者借助数的精确性来阐明图形的属性，即“以形助数”或“以数解形”，整式乘法中也利用图形面积来论证数量关系．现用砖块相同的面（如材料图，长为，宽为的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题． （1）求图1中空白部分的面积（用含的代数式表示）． （2）图1，图2中空白部分面积分别为、，求值． （3）图3中空白面积为，根据图形中的数量关系，将下列式子写成含、的整式乘积的形式： ①． ②． 22. 【概念认识】 如图①，在中，若，则叫做的“三分线”其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图①，，是的“三分线”，则______； （2）如图②，在中，，若的“邻三分线”交于点D，则______； （3）如图③，在中，分别是邻“三分线”和邻“三分线”，且，求的度数． 23. 【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，,是中线，求的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是______； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题解决】 （2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是______． ①；②；③；④ 【问题拓展】 （3）如图3，，，与互补，连接E是的中点，求证：； （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点，，，则的面积是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $