湖南省娄底市2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题

1 2024年下学期娄底部分普通高中期末考试试题 高二数学（答案） 一．单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、直线 l经过两个定点 (1,0), (4, 3)A B ，则直线 l倾斜角大小是（ ）． A. π 6 B. π 3 C. π 4 D. 5π 6 答案：A 2.、椭圆 2 2 1 7 9 x y   的长轴长为 A. 7 B. 3 C. 2 7 D. 6 答案：D 3.、在四棱台 1 1 1 1ABCD ABC D 中，一定能作为空间向量的一个基底的是 A.  1 1, ,AB AD B D    B.  1 1 1, ,AB AA C D    C.  1 1 1, ,AB A A AD    D.  1 1, ,AA AC CC    答案：C 4、已知直线 1 2: 1 0, : (4 3) 3 0l mx y l m x my       ，若 1 2l l∥ ，则实数m  （ ） A. 3 B. 1 C. 1或 3 D. 0 答案：B 5、若�� = ( − �, �, �)，�� = (�, − �, − �)，则|�� | =( ) A. � B. �� C. � D. �� 【答案】A 6、已知�为空间任意一点，�，�，�，�四点共面，且任意三点不共线，若�� = ��� − � � �� + ��，则�的值为（ ） A. � � B. � � C. � � D. � 答案：C 7、已知等差数列{��}满足�� + �� + ��� = �，则�� + ��� =( ) A. � B. � C. � D. � 【答案】B 8、已知函数   2( )f x x x a  在 1x  处取得极大值，则 a的值是（ ） 2 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】根据极值点求参数 【分析】根据极值点求参数，再由所得参数验证在 1x  处是否取得极大值，即可得答案. 【详解】由题设   2 23 4f x x ax a    ，则   21 3 4 0f a a     ，可得 1a  或 3a  ， 当 1a  时   23 4 1 (3 1)( 1)f x x x x x       ， 当 1 3 x  或 1x  时   0f x  ，则 ( )f x 在 1( , ) 3  和 (1, ) 上递增， 当 1 1 3 x  时   0f x  ，则 ( )f x 在 1( ,1) 3 上递减， 此时在 1x  处取得极小值，不符； 当 3a  时   23 12 9 3( 1)( 3)f x x x x x       ， 当 1x  或 3x  时   0f x  ，则 ( )f x 在 ( ,1) 和 (3, ) 上递增， 当1 3x  时   0f x  ，则 ( )f x 在 (1,3)上递减， 此时在 1x  处取得极大值，符合； 综上， 3a  . 故选：C 二．多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分. 在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9、已知圆 2 2: 2 4 1 0C x y x y     ，直线 : 2 2 0l x y   与圆C交于A ， B两点， 则以下四个选项中正确的是（ ） A. 圆C的圆心坐标是  1,2 B. 8 5 5 AB  C. CA CB D. ∆ABC的面积是 4 5 答案：AB 解析：由题意，过C作CD l ，垂足为D，作图如下： 3 对于 A，由方程 2 2 2 4 1 0x y x y     ，整理可得 2 2( 1) ( 2) 4x y    ，则圆心 (1,2)C ，故 A正确； 对于 B，圆心 (1, 2) 到直线 2 2 0x y   的距离是 2 2 2 2 4 1 5 CD      ， 则 4 8 52 4 5 5 AB    ，故 B正确； 对于 C选项， 2 1 4sin sin 2 2sin cos 2 55 5 ACB ACD ACD ACD          ， 故 C错误； 对于 D选项， 1 1 4 8sin 2 2 2 2 5 5 S CA CB ACB       ，故 D错误． 10、 已知数列 na 的前 n项和为 nS ， 1 3a  ， 1 1 1n n a a   ，则（ ） A. 3 2 3 a  B. 5 0a  C. 2024 1 2 a   D. 37 40S  【答案】AC 【解析】 【分析】根据递推公式列出数列的前几项，即可得到数列 na 是以为周期 3的周期数列， 根据周期性计算可得. 【详解】由 1 3a  ， 1 1 1n n a a   ，可得 2 3 1 2 1 1 1 2, , 1 2 1 3 a a a a        4 5 3 4 1 1 13, 1 1 2 a a a a        ，故 A正确；B错误； 对于 C，由上可知，数列 na 是以 3为周期的周期数列， 4 则 2024 3 674 2 2 1 2 a a a     ，故 C正确； 对于 D， 37 1 2 3 1 1 2( ) 12 (3 ) 12 3 41 2 3 S a a a a           ，故 D错误. 故选：AC. 11、正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，E、F、G、H分别为 1CC 、BC、CD、 1BB 的中点，则下列 结论正确的是（ ） A． 1BG BC B．平面 AEF 平面 1 1 1AAD D AD C． 1 / /AH 面 AEF D．二面角E AF C  的大小为 4  【答案】BC 解：由题可知， 1BG在底面上的射影为 BG，而 BC不垂直 BG， 则 1BG不垂直于 BC，则选项A 不正确； 连接 1AD 和 1BC ，E、F、G、H分别为 1CC 、BC、CD、BB、 1BB 的中点， 可知 1 1// //EF BC AD ，所以 AEF 平面 1AD EF， 则平面 AEF 平面 1 1 1AAD D AD ，所以选项 B正确； 由题知，可设正方体的棱长为 2， 以D为原点，DA为 x轴，DC为 y轴， 1DD 为 z轴， 则各点坐标如下：            12,0,0 , 0,2,0 , 0,2,1 , 2,0,2 , 2,2,1 , 1,2,0A C E A H F        1 10,2, 1 , 1,2,0 , 1,0, 1 , 0,0,2AH AF EF AA           ， 设平面 AEF的法向量为  , ,n x y z  ， 5 则 0 0 n AF n EF         ，即 2 0 0 x y x z       ，令 1y  ，得 2, 2x z  ， 得平面 AEF的法向量为  2,1,2n   ， 所以 1 0AH n    ，所以 1 / /AH 平面 AEF，则C选项正确； 由图可知， 1AA 平面 AFC，所以 1AA  是平面 AFC的法向量， 则 1 1 1 2cos , 3 AA nAA n AA n           . 得知二面角 E AF C  的大小不是 4  ，所以D不正确. 故选：BC. 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12、点�(�, �, �)关于平面���对称的点的坐标是__________. 答案：（-3，2，1） 13、已知平面�的一个法向量� = (�, �, − �)，平面�的一个法向量� = ( − �, �, � � )，若� ⊥ �， 则� − � = ． 【答案】1 【解析】【分析】 本题考查了空间面面垂直与法向量的关系，属于基础题． 由� ⊥ �，可得� ·� = �，再利用空间数量积公式即可得出． 【解答】 解：∵ � ⊥ �，∴ � ·� = �， ∴− � + � − � = �， 解得� − � = �，故答案为�． 14、设曲线 2 1 2 y x 在点 11, 2 A     处的切线与曲线 lny x x 在点 P处的切线互相平行，则点 P 的坐标为 . 【答案】  1,0 【分析】分别求出 21 2 y x ， lny x x 的导数，结合导数的几何意义及切线平行可得答案. 【解析】设 0 0( , )P x y ，因为 21 2 y x 的导数为 y x  ， 6 所以曲线 21 2 y x 在点 11, 2 A     处的切线的斜率为1， 因为 lny x x 的导数为 1 lny x   ，曲线 lny x x 在点 P处的切线斜率为� + ����， 所以 01 ln 1x  ，解得 0 1x  ，代入 lny x x 可得 0 0y  ，故 (1,0)P . 故答案为：  1,0 . 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤． 15、（共 13分）已知圆 C是以点  0,2C 为圆心，且过点  2 2,3M  的圆． （1）求圆 C的标准方程； （2）若点 A的坐标为  3, 3 ，求过点 A的圆 C的切线方程． 【解析】（1）因为 8 1 3r    ，所以圆  22: 2 9C x y   ． （2）由已知得，A在圆外， 当斜率不存在时，直线方程为 3x  ，与圆相切， 当斜率存在时，设切线方程为  3 3 3 3 0y k x kx y k       ， 2 3 5 3 1 k d k     ，解得 8 15 k   ， 所以切线方程为8 15 21 0x y   ， 综上，切线方程为 3x  或8 15 21 0x y   ． 16、（共 15分）在长方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，底面 ABCD为正方形， 1 2AA  ， 1AB  ，E 为 AD中点， F 为 1CC 中点. (1)求证： / /CE 平面 1AD F； 7 (2)求 1AB与平面 1AD F成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析(2) 30 10 【分析】（1）法 1：构造平行四边形，证明线线平行，即可证明线面平行；法 2：利用向量 法证明线面垂直； （2）利用向量法求线面角. 【详解】（1）法 1：取 1D A的中点M ,连接 EM , FM , 依题意可知： 1/ /CF DD 且 1 1 2 CF DD , 1/ /EM DD且 1 1 2 EM DD 所以 / /CF EM 且CF EM ,四边形ECFM 为平行四边形，故 / /CE FM， 又CE 平面 1AD F ,FM 平面 1AD F ,所以 / /CE 平面 1AD F . 法 2：以D为原点，DA为 x轴，DC为 y轴， 1DD 为 z轴，建立空间直角坐标系 � �, �, � ，  1 0,0,2D ，  0,1,1F ，  1 1,1,2B ,  0,1,0C , 1 ,0,0 2 E       1 1 , 1,0 , 1,0,2 2 CE AD          ，  1,1,1AF    ， 设平面 1AD F的法向量  , ,n x y z  ， 则 1 2 0 0 n AD x z n AF x y z                ，取 1z  ，得  2,1,1n   ， 0CE n    ,又CE 面 1AD F，所以 / /CE 平面 1AD F， 8 （2）由（1）  1 0,1, 2AB   ， 设 1AB与平面 1AD F所成角为 ，则 1 1 1 3 30sin cos , 1030 AB n AB n AB n              ， 所以 1AB与平面 1AD F所成角的余弦值为 30 10 . 17、（共 15 分）已知等差数列 na 的前 n项和为 nS ，若 6 32 9a a  ， 5 15S  . (1)求数列 na 的通项公式 na 及前 n项和 nS ； (2)若 12 n a n nb a   ，求数列 nb 的前 n项和 nT . 【答案】(1) na n ， 2 2n n nS  ； (2) 12nnT n   【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、求等比数列 前 n项和、错位相减法求和 【分析】（1）设出公差，根据题目条件得到方程组，求出 1 1a d  ，得到通项公式和前 n项 和； （2）  1 2nnb n   ，利用错位相减法求和得到答案. 【详解】（1）设公差为 d，则 3 16 1 12 2 910 2 8a a a a ad d d    ， 5 15 10 15S a d   ， 解得 1 1a d  ，故 1 1na n n    ；   21 2 2n n n n nS n      ； （2）  1 2nnb n   ， 故  2 32 2 3 2 4 2 1 2nnT n          ①， 则  2 3 4 12 2 2 3 2 4 2 1 2nnT n           ②， 9 式子①-②得     1 1 12 3 424 2 22 24 1 1 2 1 2n n n n nnT n                 12nn    ， 所以 12nnT n   . 18、（共 17分）已知直线 1y   与 5y   关于抛物线 2: 2C x py 的准线对称. (1)求C的方程； (2)若过C的焦点的直线 l与C交于 ,A B两点，且 24AB  ，求 l的斜率. 【答案】(1) 2 12x y (2) 1 【知识点】由弦长求参数、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由对称关系求出准线方程，可得抛物线方程； （2）设    1 1 2 2: 3, , , ,l y kx A x y B x y  ，直曲联立，表示出韦达定理，再由抛物线的焦点弦 公式求解即可； 【详解】（1）由题意得C的准线方程为 1 5 3 2 y     . 由 3 2 p - = - ，得 6p = ， 所以C的方程为 2 12x y . （2） 易得 l的斜率存在，C的焦点为  0,3 . 设    1 1 2 2: 3, , , ,l y kx A x y B x y  ， 联立 2 12 , 3, x y y kx      得 2 12 36 0x kx   ， 得 2 1 2 Δ 144 144 0, 12 , k x x k        则   21 2 1 2 1 23 3 3 3 6 12 12 12 24,AB y y kx kx k x x k               得 1k   ，即 l的斜率为 1 . 19、（共 17分）已知函数 ( ) ( 1)ln ( 1)f x x x a x    ． 10 ⑴当 4a  时，求曲线 ( )y f x 在 (1, (1))f 处的切线方程； ⑵若当 (1, )x  时， ( ) 0f x  ，求 a的取值范围． ⑴【解】当 4a  时， ( ) ( 1)ln 4( 1)f x x x x    ， 1( ) ln 3f x x x     ， 因为 (1) 0f  ， (1) 2f    ，所以曲线 ( )y f x 在 (1, (1))f 处的切线方程为 2 2 0x y   ． ⑵【解】当 (1, )x  时， ( ) 0f x  等价于 ( 1)ln 0 1 a xx x     ； ( 1)( ) ln 1 a xg x x x     ，则 2 2 2(1 ) 1( ) ( 1) x a xg x x x      ，注意到 (1) 0g  ； （分子不好分解，分子的 ( 2)a a   ，分子的对称轴 1x a  ） 1当 1 1a   ，即 2a  时，因为 1x  ，所以分子 2 22(1 ) 1 2 1 0x a x x x       ，即 ( ) 0g x  ； 所以， ( )g x 在 (1, ) 上，故 ( ) (1) 0g x g  ； 2当 1 1a   ，即 2a  时，分子的判别式 ( 2) 0a a    ； 由 分 子 2 2(1 ) 1 0x a x    ， 解 得 两 根 1 1 ( 2)x a a a    ， 2 1 ( 2) 1x a a a     ； 注意到 1 2 1x x  ，所以 10 1x  ， 2 1x  ； 从而，当 2(1, )x x 时， ( ) 0g x  ， ( )g x 在 2(1, )x 上减， 2( ) (1) 0g x g  ，不满足 ( ) 0g x  恒成立． 综上， a的取值范围是 ( ,2] ． 2024年下学期娄底部分普通高中期末考试试题 高二数学 一．单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、直线 l经过两个定点 (1,0), (4, 3)A B ，则直线 l倾斜角大小是（ ）． A. π 6 B. π 3 C. π 4 D. 5π 6 2.、椭圆 2 2 1 7 9 x y   的长轴长为 A. 7 B. 3 C. 2 7 D. 6 3.、在四棱台 1 1 1 1ABCD ABC D 中，一定能作为空间向量的一个基底的是 A.  1 1, ,AB AD B D    B.  1 1 1, ,AB AA C D    C.  1 1 1, ,AB A A AD    D.  1 1, ,AA AC CC    4、已知直线 1 2: 1 0, : (4 3) 3 0l mx y l m x my       ，若 1 2l l∥ ，则实数m  （ ） A. 3 B. 1 C. 1或 3 D. 0 5、若�� = ( − �, �, �)，�� = (�, − �, − �)，则|�� | =( ) A. � B. �� C. � D. �� 6、已知�为空间任意一点，�，�，�，�四点共面，且任意三点不共线，若�� = ��� − � � �� + ��，则�的值为（ ） A. � � B. � � C. � � D. � 7、已知等差数列{��}满足�� + �� + ��� = �，则�� + ��� =( ) A. � B. � C. � D. � 8、已知函数   2( )f x x x a  在 1x  处取得极大值，则 a的值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二．多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分. 在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9、已知圆 2 2: 2 4 1 0C x y x y     ，直线 : 2 2 0l x y   与圆C交于A， B两点， 则以下四个选项中正确的是（ ） A. 圆C的圆心坐标是  1,2 B. 8 5 5 AB  C. CA CB D. ∆ABC的面积是 4 5 10、 已知数列 na 的前 n项和为 nS ， 1 3a  ， 1 1 1n n a a   ，则（ ） A. 3 2 3 a  B. 5 0a  C. 2024 1 2 a   D. 37 40S  11、正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，E、F、G、H分别为 1CC 、BC、CD、 1BB 的中点，则下列 结论正确的是（ ） A． 1BG BC B．平面 AEF 平面 1 1 1AAD D AD C． 1 / /AH 面 AEF D．二面角E AF C  的大小为 4  三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12、点�(�, �, �)关于平面���对称的点的坐标是__________. 13、已知平面�的一个法向量� = (�, �, − �)，平面�的一个法向量� = ( − �, �, � � )，若� ⊥ �， 则� − � = ． 14、设曲线 2 1 2 y x 在点 11, 2 A     处的切线与曲线 lny x x 在点 P处的切线互相平行，则点 P 的坐标为 . 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤． 15、（共 13分）已知圆 C是以点  0,2C 为圆心，且过点  2 2,3M  的圆． （1）求圆 C的标准方程； （2）若点 A的坐标为  3, 3 ，求过点 A的圆 C的切线方程． 16、（共 15分）在长方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，底面 ABCD为正方形， 1 2AA  ， 1AB  ，E 为 AD中点， F 为 1CC 中点. (1)求证： / /CE 平面 1AD F； (2)求 1AB与平面 1AD F成角的正弦值. 17、（共 15 分）已知等差数列 na 的前 n项和为 nS ，若 6 32 9a a  ， 5 15S  . (1)求数列 na 的通项公式 na 及前 n项和 nS ； (2)若 12 n a n nb a   ，求数列 nb 的前 n项和 nT . 18、（共 17分）已知直线 1y   与 5y   关于抛物线 2: 2C x py 的准线对称. (1)求C的方程； (2)若过C的焦点的直线 l与C交于 ,A B两点，且 24AB  ，求 l的斜率. 19、（共 17分）已知函数 ( ) ( 1)ln ( 1)f x x x a x    ． ⑴当 4a  时，求曲线 ( )y f x 在 (1, (1))f 处的切线方程； ⑵若当 (1, )x  时， ( ) 0f x  ，求 a的取值范围．