精品解析：江苏省无锡市新吴区2024—2025学年上学期九年级数学期末卷

2024年秋学期期末学业质量检测 九年级数学试卷 （考试时间为120分钟．试卷满分为150分．） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：含有一个未知数，且未知数的次数为的整式方程， ，是一元二次方程，故选项A符合题意； ，不是一元二次方程，故选项B不符合题意； ，不是一元二次方程，故选项B不符合题意； ，不一元二次方程，故选项B不符合题意； 故选A． 2. 将方程配方后，原方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【详解】解： ． 故选A． 【点睛】本题考查利用配方法解一元二次方程．掌握配方法解一元二次方程的步骤是解答本题的关键． 3. 的半径为，点到圆心O的距离，则点与的位置关系为（ ） A. 点在圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知若，则点在圆内；若，则点在圆上；若，则点在圆外是解答此题的关键．直接根据点与圆的位置关系即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点在圆外， 故选：C． 4. 活动课上进行盲盒摸球（除了颜色，其他都一样）活动，已知盲盒里有3个白球、5个黑球和2个红球，则摸到红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据概率等于所求情况数与总情况数之比，即可求出答案． 【详解】解：由题意可得：摸到红球的概率为， 故选B． 5. 根据下列表格对应值： x 判断关于x的方程的一个解x的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解的估算，解题的关键是根据表格中的数据，找出一元二次方程一个解的范围． 利用和所对应的的值可判断关于的方程的一个解的范围． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴关于的方程的一个解的范围是． 故选：B． 6. 佳琪在处理一组数据“22，22，38，45，●”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在40～50之间，根据以上信息可以确定这组数据的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平均数，中位数，众数和方差，根据各位的特点和计算方法，进行判断即可． 【详解】解：∵平均数和方差跟一组数据的每一个数据都有关系， ∴无法确定平均数和方差， ∵众数为一组数据中出现次数最多的数据，当●是45时，有两个众数，当●不是45时，有一个众数， ∴不能确定众数， ∵将这组数据排序后，位于中间的一个为38， ∴中位数为38； ∴能确定这组数据的中位数， 故选B． 7. 如图，四边形是内接四边形，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题关键．先根据圆周角定理可得，再根据圆内接四边形的对角互补求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故选：A． 8. 下列命题中是真命题的为（ ） A. 长度相等的弧是等弧 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 任何三角形有且只有一个内切圆 D. 相等的圆周角所对的弧相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等弧“在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧”、垂径定理、三角形的内切圆、圆周角定理推论，熟练掌握圆的相关性质是解题关键．根据等弧的定义、垂径定理、三角形的内切圆、圆周角定理推论逐项判断即可得． 【详解】解：A、在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧，则此项是假命题，不符合题意； B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，则此项是假命题，不符合题意； C、因为三角形内切圆的圆心是三角形的三个内角的角平分线的交点，只有一个，所以任何三角形有且只有一个内切圆，则此项是真命题，符合题意； D、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，则此项是假命题，不符合题意； 故选：C． 9. 一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键．令，则所求的方程可转化为方程，从而可得，，将代入计算即可得． 【详解】解：令， 则方程可转化为方程， ∵一元二次方程的两根分别为，1， ∴方程的两根分别为，1， ∴，， 即，， ∴，， 即方程的两根分别为，， 故选：D． 10. 如图，点C是半圆上一点，是直径且，将弧沿翻折交于点D，再将弧沿翻折交于点E，若E是弧的中点，则阴影部分面积为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，，，过点作于，过点作于．由，得到，弓形的面积弓形的面积，则阴影部分面积四边形的面积，下面证明，设，而，则，由，得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，，过点作于，过点作于． ， ， ， ∴弓形的面积弓形的面积， ∴阴影部分面积四边形的面积 ， ， 是的中点， ， ，而 ，， 设，则， ， 是直径， ， ， ， ， ∴，， ∵， ∴ ∴， 而，， ∴， ∴， 设，而， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 解得：（舍负）， ∵四边形的面积， ∴阴影部分面积 故选：A． 【点睛】本题主要考查圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，扇形的面积等知识，学会添加常用辅助线，利用特殊角解决问题是解答本题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上） 11. 写出一个以和4为根的一元二次方程______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程，熟练运用根与系数的关系是解题的关键．根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：设的两根分别是和4， ， ， 一元二次方程为：， 故答案为：． 12. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为___________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥的侧面积．熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．根据圆锥的侧面积的计算公式：，进行计算即可． 【详解】圆锥的底面半径为，母线长为， ， 故答案为：． 13. 本学期小明平时测验、期中考试和期末考试的数学成绩分别为92分、100分和110分，如果分别按、、的份额计算他本学期的数学总评分，那么他本学期的数学总评分是______分． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数是解题的关键．根据加权平均数进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 某超市今年八月份的营业额为20万元，今年十月份的营业额为24万元，设平均每月营业额的增长率为，根据题意可列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，熟练找出等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键，利用公式：列出一元二次方程，即可得到答案． 【详解】解：设平均每月营业额的增长率为， 增长前：八月份营业额20万元， 增长后：十月份营业额24万元， 从八月份到十月份共增长2次， 则由题意列方程为：， 故答案为：． 15. 如图，是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，则的度数为 __． 【答案】##28度 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟知切线的性质与圆周角定理是解题的关键．连接，根据切线的性质得，求出的度数，再根据圆周角定理计算的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵切于点C， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图是一个正六边形的飞镖游戏板，顺次连接三个不相邻的顶点将正六边形分成4个区域．向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影区域的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】设正六边形的边长为a，连接GD．根据正六边形的性质结合含角的直角三角形的性质以及勾股定理可求出，，，．从而可求出，，即，最后利用概率公式即可求出飞镖落在阴影区域的概率． 【详解】如图，设正六边形的边长为a，连接GD． 由正六边形的性质可知，，，． ∴在中，，， ∴在中，，， ∴，． ∴． ∴飞镖落在阴影区域的概率． 故答案为：． 【点睛】本题考查正六边形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理以及几何概率．掌握正六边形的性质以及概率公式是解答本题的关键． 17. 我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造大正方形的面积是，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得的长，从而解得正数解．小刚用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为144，小正方形的面积为4，则关于的方程的正数解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解一元二次方程的几何解法是解题关键．先得出小刚构造的大正方形的面积、四个矩形的长与宽、中间小正方形的边长，再根据大正方形的面积为144，小正方形的面积为4建立方程，解方程即可得． 【详解】解：关于的方程可转化为，即， 则小刚构造的大正方形的面积是，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，其中矩形的长为、宽为，中间小正方形的边长为， ∵小刚构造的大正方形的面积为144，小正方形的面积为4， ∴，， ∴， 解得， 则关于的方程的正数解为， 故答案为：． 18. 如图，为的直径，且，点C在半圆上，，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作于点E，设的内心为M，连接、．当点P在半圆上从点B运动到点C时，则内心M所经过的路径长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内心、圆内接四边形的性质、圆周角定理、弧长公式等知识，正确找出点的运动路径是解题关键．先根据三角形的内心求出，再连接，证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得当点在半圆上从点运动到点时，点在以为弦，并且所对的圆周角为的劣弧上，然后设劣弧所在的圆为，连接，在优弧上取一点，连接，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理可得，最后利用弧长公式求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵的内心为点， ∴，， ∴， 如图，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴如图，当点在半圆上从点运动到点时，点在以为弦，并且所对的圆周角为的劣弧上， 设劣弧所在的圆为，连接，在优弧上取一点，连接， ∴， 由圆周角定理得：， ∵为的直径，且， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴劣弧的长度为， 即内心所经过的路径长为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小趣，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键． （1）方程可转化为，利用完全平方公式进行配方，利用配方法解方程即可得； （2）方程等号的左边可以因式分解为，利用因式分解法解方程即可得． 【小问1详解】 解：， ， ，即， 或， 或， 所以方程的解为． 【小问2详解】 解：， ， 或， 或， 所以方程的解为． 20. 关于x的方程． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程有两个相等的实数根，请求出m的值并求此时方程的根． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】(1)根据一元二次方程根的判别式，即可证得； (2)首先根据一元二次方程根的判别式，即可求得m的值，再解方程，即可求解． 【小问1详解】 证明：， ∵无论m取何值时，恒大于或等于0， ∴原方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：∵原方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 将代入原方程得， 得， 解得， ∴原方程的根为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及解法，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式及解法是解决本题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． （1）若的外接圆的圆心为M，请在图中标出点M的位置，并求出点M的坐标为_______． （2）外接圆与x轴的另一个交点坐标是_______； （3）连接、，用扇形围成一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆半径是______．（结果保留根号）． 【答案】（1）图见解析， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆、勾股定理和勾股定理的逆定理、弧长公式、圆锥等知识，正确找出三角形的外接圆的外心，熟记弧长公式是解题关键． （1）根据圆心是线段的垂直平分线的交点，结合网格的特点画出点的位置，进而得到点的坐标； （2）设的外接圆与轴的另一个交点为点，根据圆心在线段的垂直平分线上求解即可得； （3）先根据勾股定理和勾股定理的逆定理可得，，再利用弧长公式求出的长度，然后根据围成的圆锥的底面周长等于的长度，利用圆的周长公式求解即可得． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求． 由图可知，点的坐标为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图，设的外接圆与轴的另一个交点为点， ∵圆心在线段的垂直平分线上，且， ∴线段的中点的横坐标为5， ∵， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为， 即的外接圆与轴的另一个交点坐标为， 故答案为：． 【小问3详解】 解：如图，连接、， ∵， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴的长度为， ∵用扇形围成一个圆锥的侧面， ∴该圆锥的底面圆半径是， 故答案为：． 22. 小明在学完物理“电学”知识后，进行“灯泡亮了”的实验，设计了如图所示的电路图，电路图上有5个开关和一个小灯泡，当开关闭合时，再同时闭合开关或都可以使小灯泡发亮． （1）当开关已经闭合时，再任意闭合开关中的一个，小灯泡能亮起来的概率是____； （2）当开关已经闭合时，再任意闭合开关中的两个，请用列表或画树状图的方法求小灯泡能亮起来的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接用概率公式求解即可； （2）画树状图分析所有结果总数与闭合开关和或和的结果数，再用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：， 答：小灯泡能亮起来的概率是． 【小问2详解】 解：画树状图如下 ： 由图可知，所有可能发生的结果共有12种，能使灯泡亮的共有4种，所以小灯泡能亮起来的概率为． 答：小灯泡能亮起来的概率为． 【点睛】本题考查用概率公式和用画树状图可列表法求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 23. 某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分，将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图．根据以上信息，回答下列问题： （1）完成表格： 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差/分 甲 ①______ 8和9 乙 ②______ 9 9 丙 8 ③______ （2）从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由． （3）在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为，则______0.56（填“<”或“>”或“=”） 【答案】（1）①，②，③ （2）选乙更合适； 三人平均分一样，说明三人实力相当，且三人方差一致，比较中位数发现，甲、乙更加适合，但是乙的众数比甲更好，故选乙参加比赛； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查折线统计图，条形统计图以及扇形统计图，准确从统计图中获取信息是解题的关键． （1）根据甲得分的折线图对甲得分排序即可求出中位数，根据条形统计图得到乙的分数即可求出平均数，根据扇形统计图的分布即可求出丙的众数； （2）比较三人差异以及相同点即可得到答案； （3）重新计算出方差比较大小即可． 【小问1详解】 解：由甲得分的折线图可知，甲得分的排序为：， 故甲得分的中位数为， 根据乙的条形统计图可知，乙的分数为： 故平均数②， 根据丙的扇形统计图可知，丙的众数③， 故答案为：①，②，③； 【小问2详解】 解：选乙更合适；理由如下： 三人平均分一样，说明三人实力相当，且三人方差一致，比较中位数发现，甲、乙更加适合，但是乙的众数比甲更好，故选乙参加比赛； 【小问3详解】 解：去掉一个最低分和一个最高分，甲的成绩为：， 甲的平均数为：， ， 故答案为：． 24. 如图，为的直径，点在直径上（点与，两点不重合），，点在上且满足，连接并延长到点，使． （1）求证：是的切线； （2）当时，求半径的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】此题考查了圆的切线的判定，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，熟练的运用以上知识解题是关键． （）先证，再由，得，，进而得，于是有，从而即可证明结论成立； （）设的半径为，在中，利用勾股定理得，求得； 【小问1详解】 证明：∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：设的半径为， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴，（舍去）， ∴半径的长为． 25. 今年秋学期起，新吴区全面实行课间15分钟，各校充分利用走廊、平台、小广场、转角等“金角银边”，打造更多适合学生的运动空间．某校有一块长为21米、宽为10米的矩形小广场，计划在其中打造两块相同的运动区域，两块运动区域之间及周边留有宽度相等的人行通道，且人行通道的宽度不能超过3米． （1）如果两块运动区域的面积之和为，求人行通道的宽度； （2）能否改变人行通道的宽度，使得每块运动区域的宽与长之比等于，请说明理由． 【答案】（1）2米 （2）不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、分式方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设人行通道的宽度为米，根据图形中的面积关系建立方程，解方程求出的值，再根据人行通道的宽度不能超过3米即可得出答案； （2）设当人行通道的宽度为米时，每块运动区域的宽与长之比等于，先求出每块运动区域的宽与长，再建立分式方程，解方程求出的值，然后根据人行通道的宽度不能超过3米即可得出答案． 【小问1详解】 解：设人行通道的宽度为米， 由题意得：， 整理得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：人行通道的宽度为2米． 【小问2详解】 解：设当人行通道的宽度为米时，每块运动区域的宽与长之比等于， 则每块运动区域的两条边长分别为，， ∵， ∴， ∴每块运动区域的长为，宽为， 则， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 因为人行通道的宽度不能超过3米，且， 所以不能改变人行通道的宽度，使得每块运动区域的宽与长之比等于． 26. “等弦”的探究． （1）如图①，在中，， 是弦，且．由此，你能发现什么？小明发现点O到，的距离相等．小红发现延长，交于点P，则．从小明、小红两位同学所发现的结论中，选择一个完成证明． （2）如图②，已知，与各边都相交且所形成的弦的长度均相等．在图②中，用直尺和圆规作出一个满足条件的．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）若，，，的半径为r，则r的取值范围是_______． 【答案】（1）证明见解析 （2）作图和文字说明见解析； 【解析】 【分析】（1）证明小明发现的结论：过点作于点，作于点，连接，先根据垂径定理可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得证；证明小红发现的结论：连接，先证出，再根据圆周角定理可得，然后证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）分别作的角平分线，两条角平分线交于点；过点作的垂线，垂直为点；在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，则即为所求．作的内切圆，与边分别相切于点，连接，利用圆的切线的性质和勾股定理求出的长，由此即可得． 【小问1详解】 证明：①小明发现的结论：点到，的距离相等． 如图，过点作于点，作于点，连接， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即点到，的距离相等． ②小红发现的结论：． 如图，连接， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 由圆周角定理得：， 在和中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图，分别作的角平分线，两条角平分线交于点；过点作的垂线，垂直为点；在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，则即为所求． 如图，作的内切圆，与边分别相切于点，连接， ∴，， ∵，，， ∴， 解得， 设， 又∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵， ∴， 即， 解得， 即， ∴，，， ∵与各边都相交且所形成弦的长度均相等，且的半径为， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、三角形全等的判定与性质、圆的切线的性质、勾股定理与勾股定理的逆定理、角平分线的尺规作图等知识，较难的是题（2），正确找出两个临界位置是解题关键． 27. 定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．比如，一元二次方程的两根为，，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： （1）判断：一元二次方程_______“限根方程”（填“是”或“不是”）； （2）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根、满足，求k的值； （3）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 【答案】（1）是 （2）5 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系，正确理解“限根方程”的定义是解题关键． （1）先利用因式分解法求出方程的解，再根据“限根方程”的定义进行判断即可得； （2）先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，代入可求出的值，再根据“限根方程”的定义进行判断即可得； （3）先利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“限根方程”的定义可得，且，然后分两种情况：①和②，根据“限根方程”的定义列出不等式组，解不等式组即可得． 【小问1详解】 解：， ， 或， ， ∵，且， ∴一元二次方程是“限根方程”， 故答案为：是． 【小问2详解】 解：∵、是关于的一元二次方程的两根， ∴，， ∵， ∴，即， 整理得：， ∴， 解得或， ①当时，方程为， 由（1）可知，这个方程是“限根方程”， ∴符合题意； ②当时，方程为， 解得， ∵，， ∴方程不是“限根方程”， ∴不符合题意，舍去， 综上，的值为5． 【小问3详解】 解：， ， 解得或， ∵关于的一元二次方程是“限根方程”， ∴这个方程有两个不相等的负实数根， ∴方程根的判别式，，且， 解得，且， ①当时，则， ∵关于的一元二次方程是“限根方程”， ∴， 解得，符合题设； ②当时，则， ∵关于的一元二次方程是“限根方程”， ∴， 解得，符合题设， 综上，的取值范围为或． 28. 在中，，，点D从点A出发沿边以的速度向点B移动，移动过程中始终保持，（点E、F分别在、上）．设点D移动的时间为t秒．试解答下列问题： （1）如图1，当t为多少秒时，四边形的面积等于？ （2）如图2，移动过程中，连接，以为直径作，当与的其中一条边相切时，求出t的值． 【答案】（1）1秒或5秒 （2）或3或4 【解析】 【分析】（1）先求出，证出四边形是平行四边形，从而可得，再求出的长，从而可得的长，再根据平行四边形的面积公式建立方程，解方程即可得； （2）先求出，，，，再分三种情况：①当与边相切时，②当与边相切时，③当与边相切时，利用圆的切线的性质、相似三角形的判定与性质求解即可得． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， 由题意得：，点从点出发运动到点移动所需时间为秒， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵四边形的面积等于， ∴，即， 解得或，均符合题意； 答：当为1秒或5秒时，四边形的面积等于． 【小问2详解】 解：由（1）已证：是等腰直角三角形，，，且， ∴，，， ∴， ①当与边相切时， 如图1，设与相切于点，与的另一个交点为点，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴点是的中点，， ∴， ∴是直角梯形的中位线， ∴， ∴， 由圆周角定理得：，即， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，，即， 解得或（此时与重合，不符合题意，舍去）； ②如图2，当与边相切时，则点为切点， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴，即， 解得，符合题意； ③如图3，当与边相切时，则点为切点， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得，符合题意； 综上，的值为或3或4． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、一元二次方程的应用、圆的切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的判定与性质等知识，较难的是题（2），正确分三种情况讨论，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋学期期末学业质量检测 九年级数学试卷 （考试时间为120分钟．试卷满分为150分．） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 将方程配方后，原方程可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 的半径为，点到圆心O的距离，则点与的位置关系为（ ） A. 点在圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D. 无法确定 4. 活动课上进行盲盒摸球（除了颜色，其他都一样）活动，已知盲盒里有3个白球、5个黑球和2个红球，则摸到红球的概率为（ ） A B. C. D. 5 根据下列表格对应值： x 判断关于x的方程的一个解x的范围是（ ） A. B. C. D. 6. 佳琪在处理一组数据“22，22，38，45，●”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在40～50之间，根据以上信息可以确定这组数据的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 7. 如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题中是真命题的为（ ） A. 长度相等的弧是等弧 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 任何三角形有且只有一个内切圆 D. 相等的圆周角所对的弧相等 9. 一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 如图，点C是半圆上一点，是直径且，将弧沿翻折交于点D，再将弧沿翻折交于点E，若E是弧的中点，则阴影部分面积为（ ） A. 2 B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上） 11. 写出一个以和4为根的一元二次方程______． 12. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为___________________． 13. 本学期小明平时测验、期中考试和期末考试的数学成绩分别为92分、100分和110分，如果分别按、、的份额计算他本学期的数学总评分，那么他本学期的数学总评分是______分． 14. 某超市今年八月份的营业额为20万元，今年十月份的营业额为24万元，设平均每月营业额的增长率为，根据题意可列方程为_______． 15. 如图，是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，则的度数为 __． 16. 如图是一个正六边形的飞镖游戏板，顺次连接三个不相邻的顶点将正六边形分成4个区域．向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影区域的概率是______． 17. 我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造大正方形的面积是，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得的长，从而解得正数解．小刚用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为144，小正方形的面积为4，则关于的方程的正数解为______． 18. 如图，为的直径，且，点C在半圆上，，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作于点E，设的内心为M，连接、．当点P在半圆上从点B运动到点C时，则内心M所经过的路径长为_______． 三、解答题（本大题共10小趣，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 关于x的方程． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程有两个相等的实数根，请求出m的值并求此时方程的根． 21. 如图，在平面直角坐标系中点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． （1）若的外接圆的圆心为M，请在图中标出点M的位置，并求出点M的坐标为_______． （2）外接圆与x轴的另一个交点坐标是_______； （3）连接、，用扇形围成一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆半径是______．（结果保留根号）． 22. 小明在学完物理“电学”知识后，进行“灯泡亮了”的实验，设计了如图所示的电路图，电路图上有5个开关和一个小灯泡，当开关闭合时，再同时闭合开关或都可以使小灯泡发亮． （1）当开关已经闭合时，再任意闭合开关中的一个，小灯泡能亮起来的概率是____； （2）当开关已经闭合时，再任意闭合开关中的两个，请用列表或画树状图的方法求小灯泡能亮起来的概率． 23. 某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分，将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图．根据以上信息，回答下列问题： （1）完成表格： 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差/分 甲 ①______ 8和9 乙 ②______ 9 9 丙 8 ③______ （2）从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由． （3）在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为，则______0.56（填“<”或“>”或“=”） 24. 如图，为的直径，点在直径上（点与，两点不重合），，点在上且满足，连接并延长到点，使． （1）求证：是的切线； （2）当时，求半径长． 25. 今年秋学期起，新吴区全面实行课间15分钟，各校充分利用走廊、平台、小广场、转角等“金角银边”，打造更多适合学生的运动空间．某校有一块长为21米、宽为10米的矩形小广场，计划在其中打造两块相同的运动区域，两块运动区域之间及周边留有宽度相等的人行通道，且人行通道的宽度不能超过3米． （1）如果两块运动区域的面积之和为，求人行通道的宽度； （2）能否改变人行通道的宽度，使得每块运动区域的宽与长之比等于，请说明理由． 26. “等弦”的探究． （1）如图①，在中，， 是弦，且．由此，你能发现什么？小明发现点O到，的距离相等．小红发现延长，交于点P，则．从小明、小红两位同学所发现的结论中，选择一个完成证明． （2）如图②，已知，与各边都相交且所形成的弦的长度均相等．在图②中，用直尺和圆规作出一个满足条件的．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）若，，，的半径为r，则r的取值范围是_______． 27. 定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．比如，一元二次方程的两根为，，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： （1）判断：一元二次方程_______“限根方程”（填“”或“不是”）； （2）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根、满足，求k的值； （3）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 28. 在中，，，点D从点A出发沿边以的速度向点B移动，移动过程中始终保持，（点E、F分别在、上）．设点D移动的时间为t秒．试解答下列问题： （1）如图1，当t为多少秒时，四边形的面积等于？ （2）如图2，移动过程中，连接，以为直径作，当与的其中一条边相切时，求出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$