专题05 二次根式全章复习（三大考点10大题型+过关训练）-2024-2025学年八年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题05 二次根式全章复习 思维导图 目录 【题型一 利用二次根式的性质确定参数的取值范围】 2 【题型二 根据条件 化简二次根式】 3 【题型三 二次根式乘除法则成立的条件】 4 【题型四 二次根式的乘除运算】 6 【题型五 最简二次根式】 7 【题型六 二次根式的大小比较】 8 【题型七 分母有理化】 9 【题型八 二次根式的混合运算】 11 【题型九 与二次根式有关的化简求值】 12 【题型十 二次根式的实际应用】 14 【题型一 利用二次根式的性质确定参数的取值范围】 例题：（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）若二次根式有意义，则x的值不可以是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，能熟记中是解此题的关键． 根据二次根式有意义的条件得出，求出，再逐个判断即可． 【详解】解：要使二次根式有意义，必须， 解得：， ∵，，，， ∴只有选项A符合题意，选项B、选项C、选项D都不符合题意， 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）若点在第二象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了各象限点的坐标特点及二次根式有意义的条件、解一元一次不等式组，第一象限的点满足横、纵坐标，第二象限的点满足横、纵坐标，第三象限的点满足横、纵坐标，第四象限的点满足横、纵坐标，熟知这一规律是正确解决本题的关键． 由点在第二象限可知横坐标为负，纵坐标为正，根据这一规律确定出点的取值范围即可． 【详解】解：点在第二象限， ， 解得， 故答案为：D． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）若在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式和分式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，分式有意义的条件：分母不为零，即可求出的取值范围． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ， 解得：且． 故答案为：且． 【题型二 根据条件 化简二次根式】 例题：（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）实数在数轴上的位置如图，那么化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查实数与数轴，二次根式的性质与化简，数形结合是解题的关键．先根据，两点在数轴上的位置判断出，的符号，再化简绝对值和二次根式计算即可． 【详解】解：由数轴可知，， ， 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·云南昆明·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，根据，得到，再利用化简即可． 【详解】解：， ， ， 故选：D． 2．（24-25九年级上·四川内江·期中）已知，，在数轴上的位置如图：化简代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值的化简、整式的加减运算、二次根式的性质等知识点，根据数轴确定相关代数式的正负是解题的关键． 先由数轴确定a、b、c的符号，再确定相关代数式的正负，然后根据绝对值的性质、二次根式的性质化简，最后运用整式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：由图示可得：且，则， 所以 ． 故答案为． 【题型三 二次根式乘除法则成立的条件】 例题：（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）如果等式在实数范围内成立，那么（    ） A． B． C． D．取任意实数 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的乘法计算，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0得到，解之即可得到答案． 【详解】解：∵等式在实数范围内成立， ∴， ∴， 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）若，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式乘法计算，二次根式有意义的条件，求不等式组的解集，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此可得关于x的不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法及完全平方公式的应用，设，，即，则，，然后利用完全平方公式的运算即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设，，即， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型四 二次根式的乘除运算】 例题：（23-24八年级上·全国·单元测试）计算的结果是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式乘除混合运算．先计算除法，然后计算乘法，即可求解． 【详解】解： 故选：C 【变式训练】 1．（23-24八年级上·上海·单元测试）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的乘除法，根据二次根式的乘除法法则进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 2．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，熟知二次根式的乘除法计算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 【题型五 最简二次根式】 例题：（24-25八年级上·上海·期末）在下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，被开方数的因数是整数，因式是整式，依据此两项要求进行判断即可． 【详解】解：A、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、被开方数含有开得尽的因式，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、被开方数含有看得见的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）下列根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．据此进行判断即可． 【详解】A、，被开方数里含有能开得尽方的因数4，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； B、符合最简二次根式的条件，故是最简二次根式，本选项符合题意； C、，被开方数里含有分母，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； D、，被开方数里含有能开得尽方的因式，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； 故选：B． 2．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查的是同类二次根式的定义，由同类二次根式的定义可知，从而可求得a的值． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：． 故答案为：3 【题型六 二次根式的大小比较】 例题：（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用二次根式性质比较大小，去绝对值运算，先由二次根式性质比较，再由绝对值的意义去绝对值即可得到答案，熟记利用二次根式性质比较大小，去绝对值运算是解决问题的关键． 【详解】解：，，且， ，则， ， ， 故选：C． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·福建泉州·期末）若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别将a、b、c平方，利用完全平方公式和二次根式的性质化简后对平方进行比较得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ， ∵，即， ∵a、b、c都是大于0的实数， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决本题的关键． 2．（24-25八年级上·福建三明·期中）比较大小： （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是两个无理数的大小比较，二次根式的性质；比较两个无理数的大小，进行恰当的转化可以较直观的比较． 【详解】解：∵， 而， ∴， 故答案为：． 【题型七 分母有理化】 例题：（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）化简（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则是解本题的关键． 分子分母同时乘以化简求解即可． 【详解】解： ． 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·上海·期中）把式子分母有理化过程中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分母有理化，涉及到了因式分解等知识，解题关键是掌握式子恒等变形的方法，注意分子分母同乘或除以一个不为零的数或式子，原式的值才不变，本题据此依次判断即可． 【详解】解：A、将式子的分子分母同乘以，式子的值不变，故该选项正确，不符合题意； B、将分子因式分解为，与分母约分后得到，故该选项正确，不符合题意； C、因为有可能为0，所以分子分母同时乘以错误，故该选项符合题意； D、将分子因式分解为，与分母约分后得到，故该选项正确，不符合题意； 故选：C ． 2．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：， （1）将分母有理化可得 ； （2）关于的方程的解是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查二次根式分母有理化，及其规律探索，解方程，掌握二次根式分母有理化，发现规律，解方程方法，找到有理化分母是解题关键． （1）根据材料进行分母有理化即可． （2）先分母有理化，再根据式子的规律化简，解方程即可求解． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型八 二次根式的混合运算】 例题：（24-25八年级上·贵州黔东南·阶段练习）计算∶ ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先进行括号内减法，再根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为： ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·北京石景山·期末）计算： 【答案】8． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先根据完全平方公式和二次根式的乘法法则运算，然后化简二次根式，最后合并即可． 【详解】解： ． 2．（24-25八年级上·上海·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．先化简二次根式，再计算括号内的二次根式的加减法，然后计算二次根式的除法与乘法即可得． 【详解】解： ． 【题型九 与二次根式有关的化简求值】 例题：（23-24八年级下·山东德州·期末）已知，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查分式的运算及二次根式的计算求值．先求得和的值，再通分将原式变形，进而整体代入计算得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知，求的值 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算是解答的关键．先由已知条件判定出a、b的符号，再根据二次根式的性质化简原式，然后代值求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，，且， ∴ ， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是已知条件式，求解代数式的值，先求解，再代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 【题型十 二次根式的实际应用】 例题：（23-24八年级下·广东肇庆·期末）数学活动课上，要用铁丝围一个长为，宽为的矩形框，若不考虑拼接，则需铁丝的长度为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的加法，根据矩形周长公式，即可解答． 【详解】解： 矩形周长为：， 需铁丝的长度为． 故选：C． 【变式训练】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形后剩余部分(阴影部分)的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的应用，根据题意求出阴影部分的面积进而得出答案． 【详解】解：如图所示：由题意可得：， ， 故两个阴影部分面积和为：， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·湖南常德·期末）阅读下面材料： 将边长分别为，，，的正方形面积分别记为，，，．则． 根据以上材料解答下列问题： (1) ， ； (2)把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想； (3)令，，，且，求T的值． 【答案】(1)， (2)，理由见详解 (3) 【分析】本题考查了规律探究，二次根式的应用； （1）由正方形的面积得，，即可求解； （2）根据（1）的结果进行猜想得，即可求解； （3），代入、，即可求解； 找出规律，能熟练利用平方差公式进行二次根式混合运算是解题的关键． 【详解】（1）解： ； ； 故答案为：，； （2）解：， 理由如下： ； （3）解： ． 一、单选题 1．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）若有意义，则的值为（   ） A．2 B．3 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，列式进行计算即可求出的值． 【详解】解：根据题意得，且， 解得且， 所以，． 故选：C． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，直接根据二次根式的四则运算法则求解判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25九年级上·重庆北碚·期末）估计的值应在（   ） A．1和2之间 B．3和4之间 C．5和6之间 D．7和8之间 【答案】B 【分析】本题考查根式的运算及根式的估算，先根据根式的运算法则求出值，再估算即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∵， ∴， 故选：B． 4．（24-25八年级上·广东河源·期中）下列二次根式化简后，与不是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式，先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再看被开方数是否相同，判断即可，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：、，与是同类二次根式，不合题意； 、，与不是同类二次根式，符合题意； 、，与是同类二次根式，不合题意； 、，与是同类二次根式，不合题意； 故选：． 5．（24-25八年级上·北京石景山·期末）实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A．n B． C． D． 【答案】B 【分析】由数轴可知：，则，化简所求代数式即可． 本题考查了二次根式的性质与化简、实数与数轴，由数轴得到是关键． 【详解】解：由数轴可知：， ， 故选：B 二、填空题 6．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据有意义，得出，进而化简已知等式得出，即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴即 ∴ 故答案为：． 7．（24-25八年级上·北京石景山·期末）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，熟练掌握二次根式的性质、平方差公式是解决问题的关键． 利用平方差公式计算即可． 【详解】解：原式 故答案为： 8．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）使有意义的x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，属于基础题，注意掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数．根据二次根式的意义，被开方数是非负数，从而可得答案． 【详解】解：根据题意得：， 解得． 故答案为：． 9．（23-24八年级上·四川成都·期末）当时，代数式的值是 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，代数式求值等知识点，运用配方法是解题的关键．本题也可以直接代入，但使用配方法更为简便． 先将变形为，然后将代入求值即可． 【详解】解：当时， ， 故答案为：2024． 10．（24-25八年级上·湖南常德·期末）若a，b为实数，且满足，则平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 则， 平方根为． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某居民小区有块形状为长方形的绿地（如图），长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为． (1)求长方形的周长． (2)除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为5元/的地砖，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查二次根式运算的实际应用．熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键． （1）根据长方形的周长计算即可； （2）用长方形的面积减去长方形花坛（图中阴影部分）面积差乘以地砖的单价，列式计算即可． 【详解】（1）解：． 长方形的周长是． （2）解： 元． 答：购买地砖需要花费元． 12．（24-25八年级上·全国·期末）在学习二次根式的过程中，小红发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系．例如：由，可得与互为倒数，即，．类似地，，，，，根据小红发现的规律，解决下列问题： (1) ， ；（为正整数） (2)若，则 ； (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值、分母有理化，掌握二次根式的混合运算法则、平方差公式是解题的关键． （1）根据上述规律，进行解答，即可； （2）根据题意，则，可得，，再根据平方差公式，即可求出； （3）根据上述规律，则，，，……，进行解答，即可． 【详解】（1）解：由题意可得， ∴，， 故答案为：，． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （3）解：∵，，，……， ∴ ． 13．（24-25八年级上·江西南昌·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】利用分式运算化简求值，先约分，再通分计算分式的加减，将其化简为最简形式再代入求值即可，本题考查的是分式的化简求值及二次根式的混合运算，熟知分式的混合运算的运算法则是解答该题的关键． 【详解】解：原式 当时， 原式． 14．（24-25八年级上·山东滨州·期末）（1）先化简，再求值：，其中； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）；；（2） 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、负整数指数幂的法则，零指数幂的法则、二次根式的混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． （1）先根据分式的混合运算顺序进行化简，然后根据负整数指数幂的法则、零指数幂的、则求出x的值，最后代入计算即可； （2）先求出，然后再因式分解，最后整体代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ∵， ∴原式 （2）解：∵，， ∴， ∴． 15．（江苏省苏州四市2024—2025学年上学期阶段性学业水平阳光测评八年级数学试题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得到答案； （2）原式先将括号内的进行化简，合并，再进行乘法计算即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二次根式全章复习 思维导图 目录 【题型一 利用二次根式的性质确定参数的取值范围】 2 【题型二 根据条件 化简二次根式】 3 【题型三 二次根式乘除法则成立的条件】 4 【题型四 二次根式的乘除运算】 6 【题型五 最简二次根式】 7 【题型六 二次根式的大小比较】 8 【题型七 分母有理化】 9 【题型八 二次根式的混合运算】 11 【题型九 与二次根式有关的化简求值】 12 【题型十 二次根式的实际应用】 14 【题型一 利用二次根式的性质确定参数的取值范围】 例题：（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）若二次根式有意义，则x的值不可以是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式训练】 1．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）若点在第二象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）若在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【题型二 根据条件 化简二次根式】 例题：（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）实数在数轴上的位置如图，那么化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·云南昆明·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川内江·期中）已知，，在数轴上的位置如图：化简代数式的值为 ． 【题型三 二次根式乘除法则成立的条件】 例题：（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）如果等式在实数范围内成立，那么（    ） A． B． C． D．取任意实数 【变式训练】 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）若，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知，则 ． 【题型四 二次根式的乘除运算】 例题：（23-24八年级上·全国·单元测试）计算的结果是（    ） A． B． C．2 D． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·上海·单元测试）计算： ． 2．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）计算：． 【题型五 最简二次根式】 例题：（24-25八年级上·上海·期末）在下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）下列根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【题型六 二次根式的大小比较】 例题：（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·福建泉州·期末）若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建三明·期中）比较大小： （填“”，“”或“”）． 【题型七 分母有理化】 例题：（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）化简（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·上海·期中）把式子分母有理化过程中，错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：， （1）将分母有理化可得 ； （2）关于的方程的解是 ． 【题型八 二次根式的混合运算】 例题：（24-25八年级上·贵州黔东南·阶段练习）计算∶ ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·北京石景山·期末）计算： 2．（24-25八年级上·上海·期末）计算： 【题型九 与二次根式有关的化简求值】 例题：（23-24八年级下·山东德州·期末）已知，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知，求的值 ． 2．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）已知，求代数式的值． 【题型十 二次根式的实际应用】 例题：（23-24八年级下·广东肇庆·期末）数学活动课上，要用铁丝围一个长为，宽为的矩形框，若不考虑拼接，则需铁丝的长度为（    ） A． B． C． D．2 【变式训练】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形后剩余部分(阴影部分)的面积为 ． 2．（24-25八年级上·湖南常德·期末）阅读下面材料： 将边长分别为，，，的正方形面积分别记为，，，．则． 根据以上材料解答下列问题： (1) ， ； (2)把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想； (3)令，，，且，求T的值． 一、单选题 1．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）若有意义，则的值为（   ） A．2 B．3 C．1 D． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·重庆北碚·期末）估计的值应在（   ） A．1和2之间 B．3和4之间 C．5和6之间 D．7和8之间 4．（24-25八年级上·广东河源·期中）下列二次根式化简后，与不是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·北京石景山·期末）实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A．n B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）若，则 ． 7．（24-25八年级上·北京石景山·期末）计算的结果是 ． 8．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）使有意义的x的取值范围是 ． 9．（23-24八年级上·四川成都·期末）当时，代数式的值是 ． 10．（24-25八年级上·湖南常德·期末）若a，b为实数，且满足，则平方根是 ． 三、解答题 11．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某居民小区有块形状为长方形的绿地（如图），长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为． (1)求长方形的周长． (2)除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为5元/的地砖，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 12．（24-25八年级上·全国·期末）在学习二次根式的过程中，小红发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系．例如：由，可得与互为倒数，即，．类似地，，，，，根据小红发现的规律，解决下列问题： (1) ， ；（为正整数） (2)若，则 ； (3)计算：． 13．（24-25八年级上·江西南昌·期末）先化简，再求值：，其中． 14．（24-25八年级上·山东滨州·期末）（1）先化简，再求值：，其中； （2）已知，，求的值． 15．（江苏省苏州四市2024—2025学年上学期阶段性学业水平阳光测评八年级数学试题）计算： (1)； (2)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$