第十七章 勾股定理单元培优卷-2024-2025学年八年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

第十七章 勾股定理单元培优卷 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：第17章 勾股定理，共25题； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列长度的三条线段，不能组成直角三角形的是（    ） A．7，24，25 B．5，12，13 C．，1， D．4，5，6 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键；根据勾股定理逆定理可进行求解． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，故不符合题意； B、，能构成直角三角形，故不符合题意； C、，能构成直角三角形，故不符合题意； D、，不能构成直角三角形，故符合题意； 故选D． 2．一辆装满货物，宽为米的卡车，欲通过如图所示的隧道（隧道下方为长方形，上方为半圆形拱门），则卡车的外形不得高于（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理的应用，根据图形，可得，根据勾股定理求出，则，根据题意，则卡车的外形小于，即可． 【详解】解：由图形可得，（米），（米）， ∵， ∴， 解得：（米）， ∵， ∴（米）， ∴卡车的外形不得高于米． 故选：C． 3．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理． 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形． 设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为7，，则大正方形面积为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理．根据小正方形面积为7得出，结合，得出的值，即可得出结果． 【详解】解：∵小正方形面积为7， ∴， 又∵， ∴， ∴． 又∵大正方形的面积， ∴， 故选：D． 4．若直角三角形的两直角边长分别为，，且满足，则该直角三角形的第三边长为（    ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理．先根据非负数的性质求出m与n的长，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：由题意得，，， 解得：，， ∵，是直角三角形的两直角边， ∴直角三角形的第三条边长为． 故选D． 5．如图，在中，，下列数量关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理判断即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 6．如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．先由等腰三角形的性质即勾股定理得出，，再在中由勾股定理得出，最后根据阴影部分面积为进行求解即可． 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， 在中，， ∴阴影部分面积为： ， 故选：C． 7．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．连接、、、．若正方形的面积为，阴影部分的面积为．则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，整式的混合运算．由阴影部分的面积为，得到，得到，根据三角形的面积公式列方程得到，求得，于是得到． 【详解】解：由题意得， ∵正方形的面积为， ∴， ∵阴影部分的面积为， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴(负值已舍)， ∴， 故选：C． 8．如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点和点都落在边上的点处，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理；根据题意可得，，，可得，继而设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿纸片折叠，使点B落在边上的点P处， ∴，， ∵折叠纸片，使点C与点P重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中， 由勾股定理得 ∴， 解得，即， ∴， 故选：B． 9．如图，在中，，，，点为上一点，连接，将沿翻折得到，过点作交于点，交于点，若，则的长为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．作于点，证明，得到，，设的长为，在中，，，，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：作于点， ∵，， ∴四边形是长方形，， ∴， 由折叠的性质得，，， ∵，，， ∴， ∴，， 设的长为，则，，， ∴， 在中，，，， ∴，即， 解得， 故选：B． 10．如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在圆柱的下底面的内壁处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿的点处的一滴蜂蜜，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用最短距离，将杯子侧面展开，连接，则的长为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，利用勾股定理求出即可求解，找出蚂蚁到达蜂蜜的最短路径是解题的关键． 【详解】解：如图，将杯子侧面展开，连接，则的长为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离， 由题意得，，，， ∴， ∴蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为， 故选：．    二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点，，，，，均在格点上，其中，，，四个点中能与点，构成一个直角三角形的是点 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：点、，，， ， 不是直角三角形，故点不符合题意； 点、，，， ， 不是直角三角形，故点不符合题意； 点、，，， ， 是直角三角形，故点符合题意； 点、，，， ， 不是直角三角形，故点不符合题意； 故答案为：． 12．学习了“勾股定理”之后，小明同学为了计算如图所示的风筝高度，测得如下数据：①测得的长度为；（）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为；③若小明同学想使风筝沿方向下降，则他应该往回收线 ． 【答案】2 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意，利用勾股定理求得、是解答的关键．设风筝下降到点M处，连接，利用勾股定理分别求得、，即可求解． 【详解】解：如图，设风筝下降到点M处，连接，则， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：2． 13．如图，已知在中，，，，平分，则的面积为 ．    【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键； 作于，根据，证明为直角三角形，进而求得的长，根据面积法求解即可； 【详解】解：如图，作于， ，，， ， ， 平分，，， ，设， ， ， ， ， ； 故答案为： 14．我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．欲知为田几何？”问题大意：如图，在中，已知里，里，里，则的面积是 平方里． 【答案】84 【分析】本题考查了勾股定理，添加辅助线构造直角三角形，利用勾股定理列方程求解是解题的关键．过点A作于点D，设里，根据勾股定理列方程并求解， 即得答案． 【详解】过点A作于点D， 设里，则（里）， ， ， 解得（里）， （里）， （里）， 的面积是（平方里）． 故答案为：84． 15．如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为分米，小狗的高分米，小狗与小方的距离分米（绳子一直是直的）．求牵狗绳 分米． 【答案】26 【分析】本题考查勾股定理的应用，过点D作于点E，可得分米，分米，分米，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E， 则分米，分米， ∴分米， ∴（分米）． 所以此时牵狗绳的长为26分米． 故答案为：26． 16．如图，在中，，，点D是外一点，连接，，， ，，求 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定，合理的作出辅助线是解题的关键；构造，延长交于E， 连接，延长交于F，再证明，然后证明，利用勾股定理即可得出结论． 【详解】解：如图所示，构造，延长交于E， 连接，延长交于F， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴，即， 在和中 ， ∴， ∴，； ∵， ， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．如图，在中，，求的长是多少？ 【答案】的长为 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理的运用，等面积法求高，掌握勾股定理，等面积法的计算是解题的关键． 根据题意，运用勾股定理逆定理可得是直角三角形，再根据即可求解． 【详解】解：∵，即， ∴是直角三角形， ∵， ∴是的高， ∵， ∴， ∴的长为． 18．如图，在一条东西走向的河的一侧，有一村庄，河边原有两个取水点、，其中由于某种原因，由到的路已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水占在同一条直线上），并修建一条路，测得千米，千米，千米， (1)问是不是村庄到河边最近的一条路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)千米 【分析】本题考查了垂线段最短，勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确计算是解题的关键． （1）由题意得，根据勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）根据勾股定理得出，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：是村庄到河边最近的一条路，理由如下： （千米）， （千米）， ， ， 是村庄到河边最近的一条路； （2）解：由（1）知，， ， , ， ， （千米）． 19．如图，在五边形中，，连接．已知．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟悉勾股定理及其逆定理是解答的关键． 先利用勾股定理求出，，再利用勾股定理的逆定理可证明是直角三角形． 【详解】证明：，，，，，． ， ，， ，， ， 是直角三角形． 20．如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦8米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长17米，云梯底部距地面2米，问：发生火灾的住户窗口距离地面多少米？ 【答案】17米 【分析】本题考查利用勾股定理解实际问题，读懂题意，得到图形中的相关线段长，在中，由勾股定理求出，数形结合，由代值求解即可得到答案，数形结合，熟练运用勾股定理是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示，结合题意，米，米，米， 在中，，则由勾股定理可得（米）， （米）． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中为直角，工人师傅量得零件各边尺寸为，，，．请计算这个零件的面积． 【答案】144 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理判断的形状．连接，根据勾股定理的逆定理，可判断的形状，再由即可得出结论． 【详解】解：连接， 是直角，，， ， 在中，，，， ， 是直角三角形， ． 22．在中，，，，，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是． (1)如图①，如果点和顶点重合，求的长； (2)如图②，如果点落在的中点处，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解此题的关键． （1）由折叠可得，设，则，再由勾股定理进行计算即可得出答案； （2）由题意得，由折叠的性质可得：，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得：， 设，则， ∵， ∴由勾股定理得：， ， 解得：， ； （2）解：∵点落在的中点， ∴； 设，则， ∵， ∴由勾股定理得：， ， 解得：， 即的长为：． 23．参观完蟳埔村古民居，小强随着父母一起散步到蟳埔村海边，欣赏海边美景，来到一个休闲娱乐场所，喜欢台球运动的小强爸爸兴致勃勃教小强打台球，并告诉小强如何利用数学知识击打台球．如图所示，若长方形表示台球桌，在点处的白色球体经过击打，在台球桌边的点反弹后，恰好碰到在点的蓝色球体．请你帮小强解决下列个问题．其中，在解决问题时，小强爸爸给他补充了八年级勾股定理的知识： 在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．我们把这个结论称为勾股定理． 例如，在如图所示的直角中，，若， ，则由勾股定理得：，所以． (1)请帮助小强找到台球桌边点的位置（在图中画出，保留痕迹）； (2)若白色球体到台球桌边的距离为，蓝色球体到台球桌边的距离为，白色球体与蓝色球体的水平距离为，试求在问题（1）中白色球体的运动距离（忽略球体的大小）； (3)小强爸爸老王发现在台球室原有名顾客，过了一会儿有名顾客离开，老王问小强台球室原来有多少名顾客？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)名 【分析】本题是四边形综合题，考查了点的对称，勾股定理，一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握以上知识． （1）过点作，延长至，使得，连接交于点，作答即可； （2）过点作于点，过点作于点，在直角中，由勾股定理得：，进而作答即可； （3）根据题意得，再根据为正整数，即可求出结果． 【详解】（1）解：过点作，延长至，使得，连接交于点，如图所示， （2）解：如图所示，过点作于点，过点作于点， 由题意得，，， 在中，由勾股定理得：， ， ， 白球的运动距离为； （3）解：由题意得，， 解得：， 为正整数， ，（名）， 答；台球室原来有名顾客． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．图1是一种长为a，宽为b的长方形，对角线长为c．将这样四个形状和大小完全相同的长方形拼成如图2所示的大正方形，设中间阴影部分的面积为． (1)请用含a、b的代数式表示； (2)如图2，若正方形的面积为34，，求图1中长方形的周长； (3)将9个图1这样的长方形按图3形式摆放，形成一个大长方形，设图3中阴影部分的面积为．若，，求图1中长方形的面积． 【答案】(1) (2) (3)28 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，勾股定理： （1）用图2中最大的正方形面积减去四个图1中长方形面积即可得到答案； （2）根据正方形面积计算公式和勾股定理可得，由（1）可得，据此求出的值，进而利用完全平方公式求出的值，据此可得答案； （3）图3中阴影面积等于最大的长方形面积减去9个图1中长方形面积，据此可得，再结合即可求出的值． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵正方形面积面积为34，， ∴，， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴图1中长方形的周长为； （3）解：由题意得，，， ∴， ， ∴， ∴， ∴图1中长方形的面积为28． 25．古代护城河上有座吊桥，图1是它的结构原理图，图2是它的示意图．把桥面看成是均匀杆，可以绕转轴点在竖直平面内转动，在点正上方固定一个定滑轮，绳子通过定滑轮与杆的另一端相连，且．某人站在点处，拉绳子的手的位置与地面的距离为． (1)若，，求从到定滑轮，再到点拉着的绳长（结果保留根号）； (2)若的长为比长，求桥面的宽． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的知识，掌握以上知识是解题的关键； （1）先在中，求出，然后在中，求出，即可求解绳子长度； （2）先在中，设，，，根据勾股定理求出，然后即可求解桥面的宽； 【详解】（1）解：依题意得：是矩形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 绳长为； （2）解：由题意得， 在中，， 设，， ∵， ∴， 即， 解得：， ， ∴； 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十七章 勾股定理单元培优卷 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：第17章 勾股定理，共25题； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列长度的三条线段，不能组成直角三角形的是（    ） A．7，24，25 B．5，12，13 C．，1， D．4，5，6 2．一辆装满货物，宽为米的卡车，欲通过如图所示的隧道（隧道下方为长方形，上方为半圆形拱门），则卡车的外形不得高于（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理． 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形． 设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为7，，则大正方形面积为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 4．若直角三角形的两直角边长分别为，，且满足，则该直角三角形的第三边长为（    ） A．3 B．4 C． D．5 5．如图，在中，，下列数量关系正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B．3 C． D．9 7．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．连接、、、．若正方形的面积为，阴影部分的面积为．则的长度为（   ） A． B． C． D． 8．如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点和点都落在边上的点处，则的长是（　　） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，，点为上一点，连接，将沿翻折得到，过点作交于点，交于点，若，则的长为（    ） A．4 B． C．5 D． 10．如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在圆柱的下底面的内壁处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿的点处的一滴蜂蜜，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（   ）    A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点，，，，，均在格点上，其中，，，四个点中能与点，构成一个直角三角形的是点 ． 12．学习了“勾股定理”之后，小明同学为了计算如图所示的风筝高度，测得如下数据：①测得的长度为；（）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为；③若小明同学想使风筝沿方向下降，则他应该往回收线 ． 13．如图，已知在中，，，，平分，则的面积为 ．    14．我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．欲知为田几何？”问题大意：如图，在中，已知里，里，里，则的面积是 平方里． 15．如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为分米，小狗的高分米，小狗与小方的距离分米（绳子一直是直的）．求牵狗绳 分米． 16．如图，在中，，，点D是外一点，连接，，， ，，求 ． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．如图，在中，，求的长是多少？ 18．如图，在一条东西走向的河的一侧，有一村庄，河边原有两个取水点、，其中由于某种原因，由到的路已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水占在同一条直线上），并修建一条路，测得千米，千米，千米， (1)问是不是村庄到河边最近的一条路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 19．如图，在五边形中，，连接．已知．求证：是直角三角形． 20．如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦8米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长17米，云梯底部距地面2米，问：发生火灾的住户窗口距离地面多少米？ 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中为直角，工人师傅量得零件各边尺寸为，，，．请计算这个零件的面积． 22．在中，，，，，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是． (1)如图①，如果点和顶点重合，求的长； (2)如图②，如果点落在的中点处，求的长． 23．参观完蟳埔村古民居，小强随着父母一起散步到蟳埔村海边，欣赏海边美景，来到一个休闲娱乐场所，喜欢台球运动的小强爸爸兴致勃勃教小强打台球，并告诉小强如何利用数学知识击打台球．如图所示，若长方形表示台球桌，在点处的白色球体经过击打，在台球桌边的点反弹后，恰好碰到在点的蓝色球体．请你帮小强解决下列个问题．其中，在解决问题时，小强爸爸给他补充了八年级勾股定理的知识： 在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．我们把这个结论称为勾股定理． 例如，在如图所示的直角中，，若， ，则由勾股定理得：，所以． (1)请帮助小强找到台球桌边点的位置（在图中画出，保留痕迹）； (2)若白色球体到台球桌边的距离为，蓝色球体到台球桌边的距离为，白色球体与蓝色球体的水平距离为，试求在问题（1）中白色球体的运动距离（忽略球体的大小）； (3)小强爸爸老王发现在台球室原有名顾客，过了一会儿有名顾客离开，老王问小强台球室原来有多少名顾客？ 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．图1是一种长为a，宽为b的长方形，对角线长为c．将这样四个形状和大小完全相同的长方形拼成如图2所示的大正方形，设中间阴影部分的面积为． (1)请用含a、b的代数式表示； (2)如图2，若正方形的面积为34，，求图1中长方形的周长； (3)将9个图1这样的长方形按图3形式摆放，形成一个大长方形，设图3中阴影部分的面积为．若，，求图1中长方形的面积． 25．古代护城河上有座吊桥，图1是它的结构原理图，图2是它的示意图．把桥面看成是均匀杆，可以绕转轴点在竖直平面内转动，在点正上方固定一个定滑轮，绳子通过定滑轮与杆的另一端相连，且．某人站在点处，拉绳子的手的位置与地面的距离为． (1)若，，求从到定滑轮，再到点拉着的绳长（结果保留根号）； (2)若的长为比长，求桥面的宽． 学科网（北京）股份有限公司 $$