考点66事件的相互独立性与条件概率、全概率公式（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）-2025年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破（新高考版）

考点66事件的相互独立性与条件概率、全概率公式（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练） 【考试提醒】 1.了解两个事件相互独立的含义. 2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率 【知识点】 1．相互独立事件 (1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． (2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立． 2．条件概率 (1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． (2)两个公式 ①利用古典概型：P(B|A)＝； ②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)． (3)条件概率的性质 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质．设P(A)>0，则 ①P(Ω|A)＝1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． ③设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)． 3.全概率 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B. 我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一． 【核心题型】 题型一　相互独立事件的概率 求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积． (2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算 【例题1】（2024·云南贵州·二模）甲、乙两人进行网球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立. 设乙在第一局获胜的概率为、第二局获胜的概率为，第三局获胜的概率为，则甲恰好连胜两局的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据独立事件的概率乘法公式即可分类求解. 【详解】设甲第局胜，，2，3，且， 则甲恰好连胜两局的概率， 故选：B． 【变式1】（2024·辽宁沈阳·三模）甲､乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为和，在目标被击中的情况下，甲､乙同时击中目标的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，记甲击中目标为事件，乙击中目标为事件，目标被击中为事件，由相互独立事件的概率公式，计算可得目标被击中的概率，再由条件概率公式计算可得. 【详解】据题意，记甲击中目标为事件，乙击中目标为事件，目标被击中为事件， 甲､乙同时击中目标为事件，则，， 所以， ， 则在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为. 故选：C. 【变式2】（2024·天津南开·二模）连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能，则3次结果中有正面向上，也有反面向上的概率为 ；3次结果中最多一次正面向上的概率为 . 【答案】 / / 【分析】借助概率的乘法公式计算即可得. 【详解】设为所抛掷三枚硬币正面向上的枚数， 事件为3次结果中有正面向上，也有反面向上， 事件为3次结果中最多一次正面向上， 则； . 故答案为：；. 【变式3】（2024·安徽合肥·模拟预测）某高校强基计划入围有3道面试题目，若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．李想同学答对每道题目的概率都是0.6，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的． (1)求李想第二次答题通过面试的概率； (2)求李想最终通过面试的概率. 【答案】(1)0.24； (2)0.936. 【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式计算即得. （2）利用相互独立事件及对立事件的概率公式计算即得. 【详解】（1）记李想同学第i次抽到题目并答对的事件为，， 李想第二次答题通过面试的事件为，， 所以李想第二次答题通过面试的概率为0.24. （2）李想没有通过面试的事件，且， 所以李想最终通过面试的概率为. 题型二　条件概率 求条件概率的常用方法 (1)定义法：P(B|A)＝. (2)样本点法：P(B|A)＝. (3)缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解 【例题2】（2024·山西太原·二模）某校高二年级学生中有60%的学生喜欢打篮球，40%的学生喜欢打排球，80%的学生喜欢打篮球或排球．在该校高二年级的学生中随机调查一名学生，若该学生喜欢打篮球，则他也喜欢打排球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用条件概率公式计算即可. 【详解】设在该校高二年级的学生中随机调查一名学生，若该学生喜欢打篮球为事件A, 在该校高二年级的学生中随机调查一名学生，则他也喜欢打排球为事件B, , . 故选：A. 【变式1】（2024·湖北襄阳·模拟预测）不透明的布袋里装有不同编号且大小完全相同的红色，白色，黑色，蓝色的球各两个，从中随机选4个球，则在已有两个球是同一颜色的条件下，另外两球不同色的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用古典概型的概率公式求出至少有两个球颜色相的概率，再求出两球颜色相同，另外两球颜色不同的概率，然后利用条件概率公式可求得结果. 【详解】记至少有两个球颜色相同为事件，两球颜色不同为事件，则 ， ， 所以在已有两个球是同一颜色的条件下，另外两球不同色的概率为 , 故选：B 【变式2】（2024·江西九江·二模）将甲，乙，丙三名志愿者分配到，，三个社区服务，每人分配到一个社区且每个社区至多分配一人，则在乙分配到社区的条件下，甲分配到社区的概率为 ． 【答案】/ 【分析】乙分配到社区，基本事件总数，在乙分配到社区的条件下，甲分配到社区包含的基本事件个数，由此能求出在乙分配到社区的条件下，甲分配到社区的概率． 【详解】将甲，乙，丙三名志愿者分配到，，三个社区服务， 每人分配到一个社区且每个社区至多分配一人，且乙分配到社区， 基本事件总数， 在乙分配到社区的条件下，甲分配到社区包含的基本事件个数， 在乙分配到社区的条件下，甲分配到社区的概率为． 故答案为：． 【变式3】（2024·江西景德镇·一模）甲口袋装有1个黑球和2个白球，乙口袋装有2个黑球和1个白球，这些球除颜色外完全相同.第一步，从甲口袋中随机取一个球放入乙口袋；第二步，从乙口袋中随机取一个球放入甲口袋；第三步，从甲口袋中随机取出一个球并记录颜色.在第三步取出的是黑球的条件下，第一步从甲口袋中取的球是黑色的概率是 . 【答案】/ 【分析】列出第三次取的球是黑球的所有可能的概率，求相应的条件概率. 【详解】第一次给出黑球且第二次给出黑球且第三次给出黑球的概率为， 第一次给出黑球且第二次给出白球且第三次给出黑球的概率为， 第一次给出白球且第二次给出黑球且第三次给出黑球的概率为， 第一次给出白球且第二次给出白球且第三次给出黑球的概率为， ∴在第三步取出的是黑球的条件下，第一步从甲口袋中取的球是黑色的概率． 故答案为: 题型三　全概率公式的应用 利用全概率公式解题的思路 (1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1,2，…，n)． (2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(Ai)P(B|Ai)． (3)代入全概率公式计算． 【例题3】（2024·重庆·模拟预测）随机投掷一枚质地均匀的骰子，该骰子六个面分别刻有两个1，两个2，两个3共六个数字，若掷出的数字为，则再从数字中随机选取一个数字，则选出的数字为2的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全概率公式求解可得. 【详解】记掷出的数字为的事件为，选出数字为2为事件， 易知，， 由全概率公式得 . 故选：C 【变式1】（2024·四川内江·一模）已知一批产品中有是合格品，检验产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为，一个次品被误判为合格品的概率为．任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记事件抽取的一个产品为合格品，事件抽查一个产品被判为合格品，利用全概率公式可求得的值. 【详解】记事件抽取的一个产品为合格品，事件抽查一个产品被判为合格品， 则，，， 由全概率公式可得. 所以，任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率为. 故选：B. 【变式2】（2024·广西来宾·模拟预测）甲､乙､丙三名工人加工同一型号的零件，甲加工的正品率为，乙加工的正品率为，丙加工的正品率为，加工出来的零件混放在一起.已知甲､乙加工的零件数相同，丙加工的零件数占总数的.现任取一个零件，则它是正品的概率为 . 【答案】/ 【分析】由题意结合全概率公式即可直接计算得解. 【详解】由题得甲、乙、丙加工的零件数分别占总数的、、， 所以现任取一个零件，由全概率可得它是正品的概率为. 故答案为： 【变式3】（2024·贵州遵义·模拟预测）已知4台车床加工的同一种零件共计1000件，其中第一台加工200件，次品率为5%；第二台加工250件，次品率为6%；第三台加工250件，次品率为8%；第四台加工300件，次品率为10%.现从这1000件零件中任取一个零件. (1)求取到的零件是次品的概率； (2)若取到的零件是次品，求它是第（其中）台车床加工的零件的概率. 【答案】(1) (2)分别为． 【分析】（1）用样本估计总体，由所有次品总数除以1000即可得； （2）求出各台机床产生的次品数，分别除以总次品数即可得． 【详解】（1）由题意所求概率为； （2）由题意第一台车床加工的零件中次品数约为，第二台车床加工的零件中次品数约为， 第三台车床加工的零件中次品数约为，第四台车床加工的零件中次品数约为， ， 所以取到的零件是次品，它是第一台车床加工的零件的概率为，它是第二台车床加工的零件的概率为， 它是第三台车床加工的零件的概率为，它是第四台车床加工的零件的概率为． 【课后强化】 【基础保分练】 一、单选题 1．（2024·内蒙古包头·三模）设某工厂购进10盒同样规格的零部件，已知甲厂、乙厂、丙厂分别生产了其中的4盒、3盒、3盒．若甲、乙、丙三个厂家生产该种零部件的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一个零部件，则取得的零部件是次品的概率为（    ） A．0.08 B．0.075 C．0.07 D．0.06 【答案】C 【分析】由全概率公式计算即可求解． 【详解】根据题意，设任取一个零件，分别来自甲，乙，丙三厂的事件分别为，设任取一个零件为次品为事件， 则，， 所以 ， 故选：C． 2．（2024·山东·模拟预测）某班元旦晚会中设置了抽球游戏，盒子中装有完全相同的3个白球和3个红球.游戏规则如下：①每次不放回的抽取一个，直至其中一种颜色的球恰好全部取出时游戏结束；②抽取3次完成游戏为一等奖，抽取4次完成游戏为二等奖.则甲同学获得二等奖的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记第i次取到的是红球为事件，分类求解即可. 【详解】记第i次取到的是红球为事件， 则二等奖的概率为 . 故选：C 3．（2024·河北衡水·三模）已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别为，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设甲、乙、丙三人射击一次命中分别为事件，三人中恰有两人命中为事件，结合相互独立事件的概率乘法公式和条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】设甲、乙、丙三人射击一次命中分别为事件， 每人各射击一次，在三人中恰有两人命中为事件， 则， ，则. 故选：D． 4．（2024·河南郑州·三模）拋掷一枚质地均匀的正四面骰子（骰子为正四面体，四个面上的数字分别为1，2，3，4），若骰子与桌面接触面上的数字为1或2，则再抛郑一次，否则停止抛掷（最多抛掷2次）．则抛掷骰子所得的点数之和至少为4的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分抛掷次数为及抛掷次数为，利用列举法及概率乘法公式计算即可得. 【详解】抛掷次数为的概率为，点数可能为或， 抛掷次数为的概率为， 此时基本事件有、、、、、、、共八种， 其中点数之和至少为4的情况有、、、、共五种， 故抛掷骰子所得的点数之和至少为4的概率为. 故选：A. 二、多选题 5．（2024·福建三明·三模）假设甲袋中有3个红球和2个白球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.下列选项正确的是（   ） A．从甲袋中任取2个球是1个红球1个白球的概率为 B．从甲、乙两袋中取出的2个球均为红球的概率为 C．从乙袋中取出的2个球是红球的概率为 D．已知从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，结合古典概率公式、条件概率公式及全概率公式逐项计算判断得解. 【详解】从甲袋中取出个球有个红球的事件为，从乙袋中取出个球红球的事件为， ，，， ，，， 对于A，从甲袋中任取2个球是1个红球1个白球的概率为，A正确； 对于B，从甲、乙两袋中取出的2个球均为红球的概率为，B错误； 对于C，从乙袋中取出的2个球是红球的概率，C正确； 对于D，从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率 ，D正确. 故选：ACD 6．（2024·广东佛山·模拟预测）中国象棋是一种益智游戏，也体现博大精深的中国文化.某学校举办了一次象棋比赛，李明作为选手参加.除李明之外的其他选手中，甲、乙两组的人数之比为，李明与甲、乙两组选手比赛获胜的概率分别为0.6，0.5.从甲、乙两组参赛选手中随机抽取一位棋手与李明比赛，下列说法正确的是（    ） A．李明与甲组选手比赛且获胜的概率为 B．李明获胜的概率为 C．若李明获胜，则棋手来自甲组的概率为 D．若李明获胜，则棋手来自乙组的概率为 【答案】ABC 【分析】对于A，根据概率的乘法公式计算即可；对于B，李明获胜会受到和甲组比赛或乙组比赛的影响，因此这是一个全概率问题，根据全概率公式计算即可；对于C、D，根据条件概率并结合B选项求解即可. 【详解】设事件A为“李明与甲组选手比赛”，事件B为“李明与乙组选手比赛”，事件C为“李明获胜”， 则由题可知， 对于A，李明与甲组选手比赛且获胜的概率为，故A正确； 对于B，李明获胜的概率为， 故B正确； 对于C，若李明获胜，则棋手来自甲组的概率为，故C正确； 对于D，若李明获胜，则棋手来自乙组的概率为， 故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 7．（2024·广东韶关·一模）小明参加一项篮球投篮测试，测试规则如下：若出现连续两次投篮命中，则通过测式；若出现连续两次投篮不中，则不通过测试.已知小明每次投篮命中的概率均为，则小明通过测试的概率为 . 【答案】 【分析】根据独立事件的乘法公式和条件概率求解即可. 【详解】设第一次投篮成功为事件B，通过测试为事件A， 则， 所以， 所以， 故答案为： 8．（2024·湖南郴州·模拟预测）从数字，，，中随机取一个数字，第一次取到的数字为，再从数字，…，中随机取一个数字，则第二次取到数字为的概率是 . 【答案】 【分析】利用互斥事件加法公式和全概率公式求解即可. 【详解】记事件为“第一次取到数字”， ， 事件B为“第二次取到的数字为”， 由题意知是两两互斥的事件，且（样本空间）， . 故答案为：. 四、解答题 9．（2024·浙江·三模）将除颜色外完全相同的红球2个、白球3个放入一盲盒（一种具有随机属性的玩具盒子），现从中不放回取球. (1)若每次取一个球，求： （ⅰ）前两次均取到红球的概率； （ⅱ）第2次取到红球的概率； (2)若从中取出两个球，已知其中一个球为红球，求： （ⅰ）另一个也为红球的概率； （ⅱ）若你现在可以选择从剩下的球中随机取一个球来替换另一个球，如果从提高取到红球的可能性出发，你是选择换还是不换？试说明理由. 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ） (2)（ⅰ）；（ⅱ）选择交换，理由见解析 【分析】（1）不放回取球可以用条件概率公式的变式公式来计算，即：，第2次取到红球可由两互斥事件计算得到，即； （2）条件概率公式：，其中有一个球为红球，又等价转化到对立事件来求概率，即可求出结果，对于是否交换，只需要比较两种情形的概率就可以得到判断. 【详解】（1）记事件（）为第次取到红球，事件（）为第次取到白球. （ⅰ）前两次均取到红球即为事件，. （ⅱ）. （2）（ⅰ）事件：其中有一个球为红球的“对立事件”为：两个球均为白球，即为事件，， 所以在一个球为红球的前提下另一个球也为红球的概率. （ⅱ）若不换：在取到的一个球为红球的前提下取到的另一个球也为红球的概率记为； 若换：换后取到红球的概率记为； 由于，所以交换后摸到红球的概率更大，选择交换. 10．（2024·河南濮阳·模拟预测）某老师在课余时间为缓解同学们的学习疲劳，组织了两组摸球游戏，事先准备好两个袋子，红、白、黑三种颜色但质地均匀且大小相同的球若干个. (1)一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个，每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.求第2次摸到红球的概率； (2)另一个袋子中装有5个大小相同的球，其中红球2个，白球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出后把球放回，并再装入与摸出球同色的球3个，共摸2次．求摸出的两个球都是红球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件概率结合全概率公式，即可求解. （2）设事件“第i次摸到红球”为，结合独立事件的概率乘法公式即可求解 【详解】（1）记事件“第i次摸到红球”为， 则第2次摸到红球的事件为，于是由全概率公式， 得． （2）记事件“第i次摸到红球”为， 则，， 因此 【综合提升练】 一、单选题 1．（2024·河南·模拟预测）袋子中装有5个形状和大小相同的球，其中3个标有字母个标有字母.甲先从袋中随机摸一个球，摸出的球不再放回，然后乙从袋中随机摸一个球，若甲､乙两人摸到标有字母的球的概率分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用古典概型的概率及全概率公式求出后可得正确的选项. 【详解】设为“甲摸到标有字母的球”，为“乙摸到标有字母的球”，则， 而， 故. 故选：. 2．（2021·内蒙古赤峰·三模）如图是某个闭合电路的一部分，每个元件出现故障的概率为，则从A到B这部分电源能通电的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据串并联电路，利用独立事件同时发生的概率公式及对立事件求解. 【详解】如下图： 从A到B这部分电源不能通电的概率为： ， ∴从A到B这部分电源能通电的概率为：. 故选：A. 3．（2022·陕西汉中·一模）在一个坛子中装有16个除颜色之外完全相同的玻璃球，其中有2个红的，3个蓝的，5个绿的，6个黄的，从中任取一球，放回后，再取一球，则第一次取出红球且第二次取出黄球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相互独立事件概率乘法公式求解． 【详解】解：在一个坛子中装有16个除颜色外完全相同的玻璃球， 其中有2个红的，3个蓝的，5个绿的，6个黄的， 从中任取一球，放回后，再取一球． 第一次取出红球且第二次取出黄球的概率． 故选：A 4．（2023·宁夏吴忠·模拟预测）甲､乙､丙､丁进行足球单循环小组赛（每两队只进行一场比赛），每场小组赛结果相互独立.已知甲与乙､丙､丁比赛获胜的概率分别为，且.记甲连胜两场的概率为，则（    ） A．甲在第二场与乙比赛，最大 B．甲在第二场与丙比赛，最大 C．甲在第二场与丁比赛，最大 D．与甲和乙､丙､丁的比赛次序无关 【答案】A 【分析】结合选项分三种情况，分别求解概率，比较大小可得答案. 【详解】因为甲连胜两场，则第二场甲必胜， ①设甲在第二场与乙比赛，且连胜两场的概率为， 则； ②设甲在第二场与丙比赛，且两场连胜的概率为， 则； ③设甲在第二场与丁比赛，且两场连胜的概率为， 则. 所以， ，所以， 因此甲在第二场与乙比赛，最大，A正确，B,C,D错误. 故选：A. 5．（2024·广西·模拟预测）在某电路上有C，D两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换C元件的概率为0.3，需要更换D元件的概率为0.2，则在某次通电后C，D有且只有一个需要更换的条件下，C需要更换的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记事件E：在某次通电后C，D有且只有一个需要更换，事件F：C需要更换，由条件概率的计算公式求解即可. 【详解】记事件E：在某次通电后C，D有且只有一个需要更换， 事件F：C需要更换， 则， 由条件概率公式可得． 故选：C． 6．（2024·全国·二模）某单位选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队.选哪支队是随机的，其中选“初心”队获胜的概率为0.8，选“使命”队获胜的概率为0.7，单位在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比赛的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式、全概率公式列式计算得解. 【详解】依题意，记选“初心”队为事件，选“使命”队为事件，该单位获胜为事件， 则, 因此， 所以选“使命”队参加比赛的概率. 故选：D 7．（2024·湖南常德·三模）设有甲、乙两箱数量相同的产品，甲箱中产品的合格率为90%，乙箱中产品的合格率为80%.从两箱产品中任取一件，经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设事件表示任选一件产品，来自于甲箱，事件表示任选一件产品，来自于乙箱，事件从两箱产品中任取一件，恰好不合格，先利用全概率公式求出，进而可得，，进而可得放回原箱后再取该件产品合格的概率. 【详解】设事件表示任选一件产品，来自于甲箱，事件表示任选一件产品，来自于乙箱，事件从两箱产品中任取一件，恰好不合格， 又 ， 经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为 . 故选：A. 8．（2024·安徽·三模）托马斯•贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为的全概率.春夏换季是流行性感冒爆发期，已知三个地区分别有的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这人患了流感，则这人来自地区的概率是（    ） A．0.25 B．0.27 C．0.48 D．0.52 【答案】C 【分析】本题利用题目信息给出的贝叶斯公式，结合全概率公式即可求解. 【详解】记事件表示“这人患了流感”，事件分别表示“这人来自地区”， 由题意可知： ，， 故. 故选：C. 二、多选题 9．（2023·全国·模拟预测）现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，一个绿球；绿色盒子内装有三个红球，两个黄球．小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球．记抽到红球获得1块月饼、黄球获得2块月饼、绿球获得3块月饼，小明所获得月饼为两次抽球所获得月饼的总和，则下列说法正确的是（    ） A．在第一次抽到绿球的条件下，第二次抽到红球的概率是 B．第二次抽到红球的概率是 C．如果第二次抽到红球，那么它来自红色盒子的概率最大 D．小明获得4块月饼的概率是 【答案】AC 【分析】A选项，设出事件，根据题意求出概率；B选项，由全概率公式求出答案；C选项，由贝叶斯公式求出答案；D选项，小明获得4块月饼可能的情况有三种，求出对应的概率，相加后得到答案. 【详解】A选项，记红球为1，黄球为2，绿球为3， 设事件，分别表示第一次、第二次取到球，． A选项，在第一次抽到绿球的条件下，第二次抽到红球的概率， 故A正确． 对于B选项，依题意两两互斥，其和为， 并且，， ，，， 由全概率公式，得 ，故B错误． C选项，依题意，第二次的球来自与第一次取的球的颜色相同的盒子， 则，， ， 故在第二次抽到红球的条件下，它来自红色盒子的概率最大，故C正确． 对于D选项，小明获得4块月饼可能的情况有三种： ①第一次从红色盒子内抽到红球、第二次从红色盒子内抽到绿球，其概率为； ②第一次从红色盒子内抽到绿球、第二次从绿色盒子内抽到红球，其概率为； ③第一次从红色盒子内抽到黄球，第二次从黄色盒子内抽到黄球，其概率为， 故小明获得4块月饼的概率是，故D错误． 故选：AC． 10．（2024·全国·模拟预测）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列说法中正确的有（    ） A．任取一个零件，它是次品的概率是0.0525 B．任取一个零件，它是次品的概率是0.16 C．如果取到的零件是次品，则它是第1台车床加工的概率为 D．如果要求加工次品的操作员承担相应的责任，那么第1台车床的操作员应承担的份额小于第2台车床的操作员应承担的份额 【答案】AC 【分析】设事件B为“任取一个零件为次品”，事件为“零件是第i台车床加工”， 则，且两两互斥．求出，以及，由全概率公式得，可判断A、B；“求次品为第1台车床所加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件发生的概率由条件概率公式计算可判断C、D 【详解】设事件B为“任取一个零件为次品”，事件为“零件是第i台车床加工”， 则，且两两互斥． 根据题意得 ． 由全概率公式，得， 所以选项A正确，选项B错误． “如果取到的零件是次品，计算它是第台车床加工的概率”，就是计算在件B发生的条件下，事件发生的概率， 所以． 类似地，可得， 所以第1台车床的操作员应承担的份额等于第2台车床的操作员应承担的份额，所以选项C正确，选项D错误． 故选:AC． 11．（2024·山西朔州·一模）在信道内传输信号，信号的传输相互独立，发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为，收到其他两个信号的概率均为．若输入四个相同的信号的概率分别为，且．记事件分别表示“输入”“输入”“输入”，事件表示“依次输出”，则（    ） A．若输入信号，则输出的信号只有两个的概率为 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由独立事件的乘法公式可得A错误；由条件概率公式可得BC正确；全概率的应用，先求出，再根据和化简得到D正确. 【详解】A：因为发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为，收到其他两个信号的概率均为，即收到的信号字母变的概率为，且信号的传输相互独立， 所以输入信号，则输出的信号只有两个的概率为，故A错误； B：因为，故B正确； C：，故C正确； D：因为， 而 ， 所以 ， 故D正确； 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用独立事件的条件概率公式和全概率公式. 三、填空题 12．（2024·安徽·一模）现有4个相同的袋子，里面均装有4个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球．现将这4个袋子混合后，任选其中一个袋子，并且连续取出三个球（每个取后不放回），则第三次取出的球为白球的概率为 ． 【答案】 【分析】设“取出第个袋子”，“，结合全概率公式，即可求解. 【详解】由题意，设“取出第个袋子，其中”， “从袋子中连续取出三个球，第三次取出的球为白球”， 则，且两两互斥． ，所以， 所以，． 故答案为： 13．（2024·广东广州·模拟预测）如图所示，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位，共移动5次.该质点在有且仅有一次经过位置的条件下，共经过两次1位置的概率为 . 【答案】/ 【分析】设事件“有且仅有一次经过”，事件“共经过两次位置1”，分1步到位为事件，3步到位为事件和5步到位为事件，三种情况讨论，结合独立事件的概率乘法公式，求得，再利用列举法求得，利用条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】设事件“有且仅有一次经过”，事件“共经过两次位置1”， 按到位置需要1步，3步，5步分类讨论.记向左，向右， ①若1步到位为事件，则满足要求的是，（第5步无关），，（第5步无关），所以； ②若3步到位为事件，则满足要求的是， 所以； ③若5步到位为事件，则满足要求的是， 所以， 所以 满足的情况有：，，，，,所以 所以. 故答案为： 14．（2024·湖南益阳·一模）在某世界杯足球赛上，a，b，c，d四支球队进入了最后的比赛，在第一轮的两场比赛中，a对b，c对d，然后这两场比赛的胜者将进入冠亚军决赛，这两场比赛的负者比赛，决出第三名和第四名.若a对b、a对d的胜率均为0.6，a对c、c对d的胜率均为0.5，则a获得冠军的概率为 . 【答案】 【分析】由分步乘法和分类加法原理，分两种情况讨论即可； 【详解】a获得冠军，第一轮中必须胜出，概率为， 由题意可得，第二轮比赛中可以分两种情况，胜，概率为，然后胜，由独立事件的乘法公式可得a获得冠军的概率为； 第二种情况为胜，概率为，然后胜，由独立事件的乘法公式可得a获得冠军的概率为； 由分类原理可得a获得冠军的概宰为， 故答案为：. 四、解答题 15．（2024·湖北黄石·三模）已知甲口袋中有个白球，个红球（，，），乙口袋中都是红球，所有红球与白球除了颜色再没有其他差别.设. (1)从甲口袋中依次取2球（每次取1球，不放回），求第2个球为白球的概率（）； (2)化简； (3)如果从甲口袋中任取1球是白球的概率为，现在随机从甲、乙口袋中任取1球，观察其颜色，结果为红球，并将其放回原口袋中，求仍在这个口袋中取1球是白球的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接用全概率公式即可； （2）将转化为若干概率之和的倍，即可求解； （3）使用条件概率的定义即可求解. 【详解】（1）设分别表示“第1个球是白球”和“第2个球是白球”， 则. 故所求概率为. （2）设从甲口袋中反复不放回地取出球，第1次取出白球发生于第次取的过程中的概率为，这里， 则. 故. （3）设分别表示“选择的是甲口袋”，“选择的是乙口袋”，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是白球”， 则，，，. 故，， 所以. 故在第1次结果为红球的条件下，求仍在这个口袋中取1球是白球的概率为. 16．（2024·福建厦门·模拟预测）甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同.某人先从两个箱子中任选一个箱子，再从中随机摸出一球. (1)求摸出的球是黑球的概率； (2)若已知摸出的球是黑球，用概率公式判断该球取自哪个箱子的可能性更大. 【答案】(1) (2)该球取自乙箱的可能性更大 【分析】（1）由条件概率的定义，分别求出从甲箱摸出的球是黑球的概率和从乙箱摸出的球是黑球的概率，然后由全概率公式，即可得答案. （2）根据贝叶斯公式，分别求出摸出的黑球是取自甲箱和取自乙箱的概率，比较其大小，即可得到答案. 【详解】（1）记事件A表示“球取自甲箱”，事件表示“球取自乙箱”，事件B表示“取得黑球”， 则，，， 由全概率公式得： . （2）该球取自乙箱的可能性更大，理由如下： 该球是取自甲箱的概率， 该球取自乙箱的概率， 因为，所以该球取自乙箱的可能性更大. 17．（2024·陕西·模拟预测）体育运动是强身健体的重要途径，随着“中国儿童青少年体育健康促进行动方案（2020-2030）”的发布，体育运动受到各地中小学的高度重视，众多青少年的体质健康得到很大的改善.我们把每周体育锻炼时间超过8小时的学生称为“运动达人”，为了了解“运动达人”与性别是否有关系，我们对随机抽取的80名学生的性别进行了统计，其中女生与男生的人数之比为，男生中“运动达人”占，女生中“运动达人”占. (1)根据所给数据完成下面的列联表，并判断能否有90％的把握认为“运动达人”与性别有关？ 女生 男生 合计 运动达人 非运动达人 合计 (2)现从抽取的“运动达人”中，按性别采用分层抽样抽取3人参加体育知识闯关比赛，已知其中男、女生独立闯关成功的概率分别为与，在恰有两人闯关成功的条件下，求有女生闯关成功的概率. 附：，. 0.100 0.050 0.025 0.010 k 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】(1)列联表见解析，有90％的把握认为“运动达人”和性别有关； (2). 【分析】（1）完善列联表，计算的观测值并作答. （2）利用独立重复试验的概率公式求出概率，再利用条件概率公式计算即得. 【详解】（1）抽取的80人中，女生与男生的人数比为，则女生有20人，男生有60人， 男生中“运动达人”占，女生中“运动达人”占，则得如下列联表： 女生 男生 合计 运动达人 15 30 45 非运动达人 5 30 35 合计 20 60 80 显然， 所以有90％的把握认为“运动达人”和性别有关. （2）由分层抽样，得抽取的男生人数为2，女生人数为1， 记“恰有两人闯关成功”为事件A，“有女生闯关成功”为事件B， 则，， 于是， 所以恰有两人闯关成功的条件下，有女生闯关成功的概率为. 18．（2024·江苏南通·模拟预测）某高校统计的连续5天入校参观的人数（单位：千人）如下： 样本号 1 2 3 4 5 第天 1 2 3 4 5 参观人数 2.4 2.7 4.1 6.4 7.9 并计算得，． (1)求关于的回归直线方程，并预测第10天入校参观的人数； (2)已知该校开放1号，2号门供参观者进出，参观者从这两处门进校的概率相同，且从进校处的门离校的概率为，从另一处门离校的概率为．假设甲、乙两名参观者进出该校互不影响，已知甲、乙两名参观者从1号门离校，求他们从不同门进校的概率． 附：回归直线方程，其中． 【答案】(1)，14.99千人 (2) 【分析】（1）根据公式和已知的数据直接求解，从而可求得关于的回归直线方程，将代入回归方程可预测第10天入校参观的人数； （2）记“两名参观者从不同门进校”为事件，“两名参观者都从1号门离校”为事件，根据题意求出，然后利用条件概率公式可求得结果. 【详解】（1）依题意，， ，所以． 当时，， 答：第10天入校参观的人数约为14.99千人． （2）记“两名参观者从不同门进校”为事件，“两名参观者都从1号门离校”为事件，即求． 则， ， 所以． 答：他们从不同门进校的概率为． 19．（2024·山西晋中·三模）甲、乙两名同学玩掷骰子积分游戏，规则如下：每人的初始积分均为0分，掷1枚骰子1次为一轮，在每轮游戏中，从甲、乙两人中随机选一人掷骰子，且两人被选中的概率均为当骰子朝上的点数不小于3时，掷骰子的人积2分，否则此人积1分，未掷骰子的人本轮积0分，然后进行下一轮游戏．已知每轮掷骰子的结果相互独立． (1)求经过4轮游戏，甲的累计积分为4分的概率 (2)经商议，甲、乙决定修改游戏规则，具体如下：甲、乙轮流掷骰子，谁掷谁积分，第一次由甲掷．当骰子朝上的点数不小于3时，积2分，否则积1分．甲、乙分别在5~25分之间选一个整数分数（含5分和25分），且两人所选的分数不同，当两人累计积分之和首先等于其中一人所选分数时，此人赢得游戏．记两人累计积分之和为的概率为 （i）证明：为等比数列． （ⅱ）甲选哪个分数对自己最有利？请说明理由 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ⅱ）甲选择6分对自己最有利，理由见解析. 【分析】（1）求出甲每轮积分为0，1，2分的概率，再将所求概率的事件分拆成彼此互斥事件的和，利用概率的加法、乘法公式列式计算即得. （2）（i）根据给定条件，利用条件概率、全概率公式列式，再利用等比数列定义推理即得；（ⅱ）利用累加法求出，借助数列单调性求出最大值即可判断得解. 【详解】（1）甲每轮游戏的积分可能为0分、1分、2分，记其每轮积分为0分、1分、2分的概率分别为， 则， 经过4轮游戏，甲的累计积分为4分的所有可能情况如下：4轮中甲掷2轮，且每轮积分均为2分； 4轮中甲掷3轮，每轮积分分别为2，1，1；甲掷4轮，每轮积分均为1分， 所以经过4轮游戏，甲的累计积分为4分的概率． （2）（i）记“累计积分之和为”为事件“累计积分之和为”为事件“累计积分之和为”为事件， 于是， 则，又， 所以是首项为公比为的等比数列． （ii）由（i）得，当时，， 累加得， 因此，当为奇数时，单调递增，且， 当且为偶数时，单调递减，且， 则当时，最大，所以甲选择6分对自己最有利． 【点睛】关键点点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键. 【拓展冲刺练】 一、单选题 1．（2024·山东日照·模拟预测）秋冬季节是某呼吸道疾病的高发期，为了解该疾病的发病情况，疾控部门对该地区居民进行普查化验，化验结果阳性率为，但统计分析结果显示患病率为，医学研究表明化验结果是有可能存在误差的，没有患该疾病的居民其化验结果呈阳性的概率为0.01，则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为（    ） A．0.96 B．0.97 C．0.98 D．0.99 【答案】C 【分析】根据题意，由全概率和条件概率的公式计算即可. 【详解】设事件为“患有该疾病”，为“化验结果呈阳性”， 由题意可得，，， 因为， 所以，解得， 所以该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为， 故选：C. 2．（2024·安徽·一模）有三台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，任取一个零件，则它是次品的概率（    ） A．0.054 B．0.0535 C．0.0515 D．0.0525 【答案】D 【分析】根据题意，设任取一个零件，由第1，2，3台车床加工为事件、、，该零件为次品为事件，根据全概率公式求解. 【详解】根据题意，设任取一个零件，由第1，2，3台车床加工为事件、、，该零件为次品为事件， 则，，，，， 任取一个零件是次品的概率 ， 故选：D 3．（2024·安徽·模拟预测）某公司进行招聘，甲、乙、丙被录取的概率分别为，，，且他们是否被录取互不影响，若甲、乙、丙三人中恰有两人被录取，则甲被录取的概率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出三人中恰有两人被录取的概率以及甲被录取时恰有两人被录取的概率，利用条件概率公式求解. 【详解】设甲，乙，丙被录取分别为事件，三人中恰有两人被录取为事件，则 ， ． 故选：C． 二、多选题 4．（2023·广东广州·二模）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，则下列结论正确的是（    ） A．该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0.08 B．该零件是次品的概率为0.03 C．如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为0.98 D．如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为 【答案】BC 【分析】利用乘法公式、互斥事件加法求概率即可判断A，B；利用条件概率公式、对立事件即可判断C，D． 【详解】记事件：车床加工的零件为次品，记事件：第台车床加工的零件， 则，，，，，， 对于，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为，故A错误； 对于，任取一个零件是次品的概率为，故B正确； 对于，如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为，故C正确； 对于，如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为 ，故D错误． 故选：BC． 5．（2023·湖南长沙·模拟预测）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，在箱子打开之前，主持人先打开了3号箱．用表示i号箱有奖品（i＝1，2，3，4），用表示主持人打开j号箱子j＝2，3，4），下列结论正确的是（    ） A． B． C．要使获奖概率更大，甲应该坚持选择1号箱 D．要使获奖概率更大，甲应该改选2号或者4号箱 【答案】ABD 【分析】根据古典概型判断A选项，结合条件概率和全概率公式及贝叶斯公式分别判断B,C,D选项. 【详解】对于A选项，抽奖人在不知道奖品在哪个箱子的情况下选择了1号箱，他的选择不影响奖品在四个箱子中的概率分配， 因此，，，的概率均为，即A正确； 对于B选项，奖品在2号箱里，主持人只能打开3、4号箱，故，故B正确； 对于C、D选项， 方法一：奖品在1号箱里，主持人可打开2、3、4号箱，故， 奖品在2号箱里，主持人只能打开3、4号箱，故， 奖品在3号箱里，主持人打开3号箱的概率为0，故， 奖品在4号箱里，主持人只能打开2、3号箱，故，由全概率公式可得： ，， ，故C错误，D正确. 方法二：若继续选择1号箱，有奖品的概率为，无奖品的概率为，主持人打开了无奖品的3号箱， 若不换号，则甲在1号箱获得奖品的概率依然为，而在排除了3号箱有奖的情况下， 2号或者4号箱获奖的概率会提高，因此为了增加中奖的概率，甲应该改选2号或者4号箱． 故选：ABD． 三、填空题 6．（2022·福建宁德·模拟预测）某工厂有三条流水线生产同一种产品，这三条流水线的产量分别占总产量的0.2，0.4，0.4，这三条流水线生产的产品不合格率依次为0.1，0.2，0.1．现在从出厂产品中任取一件，则恰好抽到合格产品的概率是 ． 【答案】 【分析】先求得三条流水线的产品的合格率，再根据三条流水线所占的比重计算概率即可. 【详解】因为三条流水线生产的产品不合格率依次为0.1，0.2，0.1， 所以三条流水线生产的产品合格率依次为，，， 又三条流水线的产量分别占总产量的0.2，0.4，0.4， 则从该厂的产品中任取一件，抽到合格品的概率为 . 故答案为：. 7．（2024·天津北辰·模拟预测）甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知至少抽到一个红球的条件下，则2个球都是红球的概率为 ；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是 . 【答案】 【分析】利用条件概率公式计算摸出的2个球是红球的概率；利用全概率公式求红球的概率. 【详解】记事件表示“至少抽到一个红球”，事件表示“2个球都是红球”， ,, 所以. 设事件表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”， 事件表示“抽到红球”，则 , 所以, 所以. 故答案为：①，②. 8．（2024·江西·模拟预测）如图是飞行棋部分棋盘，飞机的初始位置为0号格，抛掷一枚质地均匀的骰子，若抛出的点数为1，2，飞机向前移一格；若抛出的点数为3，4，5，6，飞机向前移两格．直到飞机移到第（且）格（失败集中营）或第格（胜利大本营）时，游戏结束．则飞机移到第3格的概率为 ，游戏胜利的概率为 ． 【答案】 ，，且. 【分析】记飞机移动到第格的概率为，由题意可得，再根据递推公式求出数列的通项，即可得解. 【详解】记飞机移动到第格的概率为， 则， ，即， 所以数列是常数列， 所以， 即， 又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，， 所以，所以， 因为第格只能由第格跳到，， 所以游戏胜利的概率. 故答案为：；，，且 【点睛】关键点点睛：记飞机移动到第格的概率为，由题意可得，是解决本题的关键. 四、解答题 9．（2024·海南·模拟预测）某学校有甲､乙､丙三名保安，每天由其中一人管理停车场，相邻两天管理停车场的人不相同.若某天是甲管理停车场，则下一天有的概率是乙管理停车场；若某天是乙管理停车场，则下一天有的概率是丙管理停车场；若某天是丙管理停车场，则下一天有的概率是甲管理停车场.已知今年第1天管理停车场的是甲. (1)求第4天是甲管理停车场的概率； (2)求第天是甲管理停车场的概率； (3)设今年甲､乙､丙管理停车场的天数分别为，判断的大小关系.（给出结论即可，不需要说明理由） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可知：前4天管理停车场的顺序为“甲乙丙甲”或“甲丙乙甲”，结合独立事件概率乘法公式运算求解； （2）设，由全概率公式可得，利用构造法结合等比数列分析求解； （3）根据题意结合全概率公式可得，根据数列求和可得，进而可得结果. 【详解】（1）由题意可知：前4天管理停车场的顺序为“甲乙丙甲”或“甲丙乙甲”， 所以. （2）设事件表示“第天甲管理停车场”，事件表示“第天乙管理停车场”，事件表示“第天丙管理停车场”， 可知， 记，则， 由题意可知：， 当时，， 即，整理得， 可得，且， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，故， 所以第天是甲管理停车场的概率为. （3）由题意可知：当时，， ， 可得， 两式相减得：， 且，可知，即， 综上所述：对任意恒成立，可知； 令的前n项和为，则或， 可得， 可知， 又因为， 则； 综上所述：. 【点睛】 关键点点睛：1.利用全概率公式建立之间的关系，即可得相应的递推公式； 2.根据递推公式利用构造法以及等比数列求的通项公式. 10．（2024·广东肇庆·模拟预测）某市12月的天气情况有晴天，下雨，阴天3种，第2天的天气情况只取决于第1天的天气情况，而与之前的无关.若第1天为晴天，则第2天下雨的概率为，阴天的概率为；若第1天为下雨，则第2天晴天的概率为，阴天的概率为；若第1天为阴天，则第2天晴天的概率为，下雨的概率为.已知该市12月第1天的天气情况为下雨. (1)求该市12月第3天的天气情况为晴天的概率； (2)记分别为该市12月第天的天气情况为晴天､下雨和阴天的概率，证明：为等比数列，并求出. 【答案】(1). (2)证明见解析，. 【分析】（1）设“该市12月第天的天气情况为晴天,下雨, 阴天”分别为事件，，，通过列举得到，然后利用全概率公式计算概率即可； （2）记，先根据全概率公式求出之间的递推关系，然后利用递推关系求通项公式. 【详解】（1）设“该市12月第天的天气情况为晴天”为事件，“该市12月第天的天气情况为下雨”为事件，“该市12月第天的天气情况为阴天”为事件，且. 由图可得，， 由全概率公式可得， ， 故该市12月第3天的天气情况为晴天的概率为 （2）记. 由（1）可得， 由全概率公式可得 . ， 即①， 同理可得②，③， ②+③得④， 由①得，则， 代入④得，即， 故，即. 又，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以当时，， 累加得. 又，所以. 又当时，也满足上式， 所以. 【点睛】方法点睛：对于数列和概率相结合的题目，一般是先根据条件得到递推公式，然后再根据递推公式求通项公式. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 考点66事件的相互独立性与条件概率、全概率公式（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练） 【考试提醒】 1.了解两个事件相互独立的含义. 2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率 【知识点】 1．相互独立事件 (1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． (2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立． 2．条件概率 (1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． (2)两个公式 ①利用古典概型：P(B|A)＝； ②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)． (3)条件概率的性质 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质．设P(A)>0，则 ①P(Ω|A)＝1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． ③设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)． 3.全概率 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B. 我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一． 【核心题型】 题型一　相互独立事件的概率 求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积． (2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算 【例题1】（2024·云南贵州·二模）甲、乙两人进行网球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立. 设乙在第一局获胜的概率为、第二局获胜的概率为，第三局获胜的概率为，则甲恰好连胜两局的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·辽宁沈阳·三模）甲､乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为和，在目标被击中的情况下，甲､乙同时击中目标的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·天津南开·二模）连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能，则3次结果中有正面向上，也有反面向上的概率为 ；3次结果中最多一次正面向上的概率为 . 【变式3】（2024·安徽合肥·模拟预测）某高校强基计划入围有3道面试题目，若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．李想同学答对每道题目的概率都是0.6，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的． (1)求李想第二次答题通过面试的概率； (2)求李想最终通过面试的概率. 题型二　条件概率 求条件概率的常用方法 (1)定义法：P(B|A)＝. (2)样本点法：P(B|A)＝. (3)缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解 【例题2】（2024·山西太原·二模）某校高二年级学生中有60%的学生喜欢打篮球，40%的学生喜欢打排球，80%的学生喜欢打篮球或排球．在该校高二年级的学生中随机调查一名学生，若该学生喜欢打篮球，则他也喜欢打排球的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·湖北襄阳·模拟预测）不透明的布袋里装有不同编号且大小完全相同的红色，白色，黑色，蓝色的球各两个，从中随机选4个球，则在已有两个球是同一颜色的条件下，另外两球不同色的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·江西九江·二模）将甲，乙，丙三名志愿者分配到，，三个社区服务，每人分配到一个社区且每个社区至多分配一人，则在乙分配到社区的条件下，甲分配到社区的概率为 ． 【变式3】（2024·江西景德镇·一模）甲口袋装有1个黑球和2个白球，乙口袋装有2个黑球和1个白球，这些球除颜色外完全相同.第一步，从甲口袋中随机取一个球放入乙口袋；第二步，从乙口袋中随机取一个球放入甲口袋；第三步，从甲口袋中随机取出一个球并记录颜色.在第三步取出的是黑球的条件下，第一步从甲口袋中取的球是黑色的概率是 . 题型三　全概率公式的应用 利用全概率公式解题的思路 (1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1,2，…，n)． (2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(Ai)P(B|Ai)． (3)代入全概率公式计算． 【例题3】（2024·重庆·模拟预测）随机投掷一枚质地均匀的骰子，该骰子六个面分别刻有两个1，两个2，两个3共六个数字，若掷出的数字为，则再从数字中随机选取一个数字，则选出的数字为2的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·四川内江·一模）已知一批产品中有是合格品，检验产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为，一个次品被误判为合格品的概率为．任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·广西来宾·模拟预测）甲､乙､丙三名工人加工同一型号的零件，甲加工的正品率为，乙加工的正品率为，丙加工的正品率为，加工出来的零件混放在一起.已知甲､乙加工的零件数相同，丙加工的零件数占总数的.现任取一个零件，则它是正品的概率为 . 【变式3】（2024·贵州遵义·模拟预测）已知4台车床加工的同一种零件共计1000件，其中第一台加工200件，次品率为5%；第二台加工250件，次品率为6%；第三台加工250件，次品率为8%；第四台加工300件，次品率为10%.现从这1000件零件中任取一个零件. (1)求取到的零件是次品的概率； (2)若取到的零件是次品，求它是第（其中）台车床加工的零件的概率. 【课后强化】 【基础保分练】 一、单选题 1．（2024·内蒙古包头·三模）设某工厂购进10盒同样规格的零部件，已知甲厂、乙厂、丙厂分别生产了其中的4盒、3盒、3盒．若甲、乙、丙三个厂家生产该种零部件的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一个零部件，则取得的零部件是次品的概率为（    ） A．0.08 B．0.075 C．0.07 D．0.06 2．（2024·山东·模拟预测）某班元旦晚会中设置了抽球游戏，盒子中装有完全相同的3个白球和3个红球.游戏规则如下：①每次不放回的抽取一个，直至其中一种颜色的球恰好全部取出时游戏结束；②抽取3次完成游戏为一等奖，抽取4次完成游戏为二等奖.则甲同学获得二等奖的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河北衡水·三模）已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别为，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·河南郑州·三模）拋掷一枚质地均匀的正四面骰子（骰子为正四面体，四个面上的数字分别为1，2，3，4），若骰子与桌面接触面上的数字为1或2，则再抛郑一次，否则停止抛掷（最多抛掷2次）．则抛掷骰子所得的点数之和至少为4的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（2024·福建三明·三模）假设甲袋中有3个红球和2个白球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.下列选项正确的是（   ） A．从甲袋中任取2个球是1个红球1个白球的概率为 B．从甲、乙两袋中取出的2个球均为红球的概率为 C．从乙袋中取出的2个球是红球的概率为 D．已知从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为 6．（2024·广东佛山·模拟预测）中国象棋是一种益智游戏，也体现博大精深的中国文化.某学校举办了一次象棋比赛，李明作为选手参加.除李明之外的其他选手中，甲、乙两组的人数之比为，李明与甲、乙两组选手比赛获胜的概率分别为0.6，0.5.从甲、乙两组参赛选手中随机抽取一位棋手与李明比赛，下列说法正确的是（    ） A．李明与甲组选手比赛且获胜的概率为 B．李明获胜的概率为 C．若李明获胜，则棋手来自甲组的概率为 D．若李明获胜，则棋手来自乙组的概率为 三、填空题 7．（2024·广东韶关·一模）小明参加一项篮球投篮测试，测试规则如下：若出现连续两次投篮命中，则通过测式；若出现连续两次投篮不中，则不通过测试.已知小明每次投篮命中的概率均为，则小明通过测试的概率为 . 8．（2024·湖南郴州·模拟预测）从数字，，，中随机取一个数字，第一次取到的数字为，再从数字，…，中随机取一个数字，则第二次取到数字为的概率是 . 四、解答题 9．（2024·浙江·三模）将除颜色外完全相同的红球2个、白球3个放入一盲盒（一种具有随机属性的玩具盒子），现从中不放回取球. (1)若每次取一个球，求： （ⅰ）前两次均取到红球的概率； （ⅱ）第2次取到红球的概率； (2)若从中取出两个球，已知其中一个球为红球，求： （ⅰ）另一个也为红球的概率； （ⅱ）若你现在可以选择从剩下的球中随机取一个球来替换另一个球，如果从提高取到红球的可能性出发，你是选择换还是不换？试说明理由. 10．（2024·河南濮阳·模拟预测）某老师在课余时间为缓解同学们的学习疲劳，组织了两组摸球游戏，事先准备好两个袋子，红、白、黑三种颜色但质地均匀且大小相同的球若干个. (1)一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个，每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.求第2次摸到红球的概率； (2)另一个袋子中装有5个大小相同的球，其中红球2个，白球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出后把球放回，并再装入与摸出球同色的球3个，共摸2次．求摸出的两个球都是红球的概率． 【综合提升练】 一、单选题 1．（2024·河南·模拟预测）袋子中装有5个形状和大小相同的球，其中3个标有字母个标有字母.甲先从袋中随机摸一个球，摸出的球不再放回，然后乙从袋中随机摸一个球，若甲､乙两人摸到标有字母的球的概率分别为，则（    ） A． B． C． D． 2．（2021·内蒙古赤峰·三模）如图是某个闭合电路的一部分，每个元件出现故障的概率为，则从A到B这部分电源能通电的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2022·陕西汉中·一模）在一个坛子中装有16个除颜色之外完全相同的玻璃球，其中有2个红的，3个蓝的，5个绿的，6个黄的，从中任取一球，放回后，再取一球，则第一次取出红球且第二次取出黄球的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·宁夏吴忠·模拟预测）甲､乙､丙､丁进行足球单循环小组赛（每两队只进行一场比赛），每场小组赛结果相互独立.已知甲与乙､丙､丁比赛获胜的概率分别为，且.记甲连胜两场的概率为，则（    ） A．甲在第二场与乙比赛，最大 B．甲在第二场与丙比赛，最大 C．甲在第二场与丁比赛，最大 D．与甲和乙､丙､丁的比赛次序无关 5．（2024·广西·模拟预测）在某电路上有C，D两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换C元件的概率为0.3，需要更换D元件的概率为0.2，则在某次通电后C，D有且只有一个需要更换的条件下，C需要更换的概率是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·全国·二模）某单位选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队.选哪支队是随机的，其中选“初心”队获胜的概率为0.8，选“使命”队获胜的概率为0.7，单位在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比赛的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·湖南常德·三模）设有甲、乙两箱数量相同的产品，甲箱中产品的合格率为90%，乙箱中产品的合格率为80%.从两箱产品中任取一件，经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·安徽·三模）托马斯•贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为的全概率.春夏换季是流行性感冒爆发期，已知三个地区分别有的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这人患了流感，则这人来自地区的概率是（    ） A．0.25 B．0.27 C．0.48 D．0.52 二、多选题 9．（2023·全国·模拟预测）现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，一个绿球；绿色盒子内装有三个红球，两个黄球．小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球．记抽到红球获得1块月饼、黄球获得2块月饼、绿球获得3块月饼，小明所获得月饼为两次抽球所获得月饼的总和，则下列说法正确的是（    ） A．在第一次抽到绿球的条件下，第二次抽到红球的概率是 B．第二次抽到红球的概率是 C．如果第二次抽到红球，那么它来自红色盒子的概率最大 D．小明获得4块月饼的概率是 10．（2024·全国·模拟预测）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列说法中正确的有（    ） A．任取一个零件，它是次品的概率是0.0525 B．任取一个零件，它是次品的概率是0.16 C．如果取到的零件是次品，则它是第1台车床加工的概率为 D．如果要求加工次品的操作员承担相应的责任，那么第1台车床的操作员应承担的份额小于第2台车床的操作员应承担的份额 11．（2024·山西朔州·一模）在信道内传输信号，信号的传输相互独立，发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为，收到其他两个信号的概率均为．若输入四个相同的信号的概率分别为，且．记事件分别表示“输入”“输入”“输入”，事件表示“依次输出”，则（    ） A．若输入信号，则输出的信号只有两个的概率为 B． C． D． 三、填空题 12．（2024·安徽·一模）现有4个相同的袋子，里面均装有4个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球．现将这4个袋子混合后，任选其中一个袋子，并且连续取出三个球（每个取后不放回），则第三次取出的球为白球的概率为 ． 13．（2024·广东广州·模拟预测）如图所示，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位，共移动5次.该质点在有且仅有一次经过位置的条件下，共经过两次1位置的概率为 . 14．（2024·湖南益阳·一模）在某世界杯足球赛上，a，b，c，d四支球队进入了最后的比赛，在第一轮的两场比赛中，a对b，c对d，然后这两场比赛的胜者将进入冠亚军决赛，这两场比赛的负者比赛，决出第三名和第四名.若a对b、a对d的胜率均为0.6，a对c、c对d的胜率均为0.5，则a获得冠军的概率为 . 四、解答题 15．（2024·湖北黄石·三模）已知甲口袋中有个白球，个红球（，，），乙口袋中都是红球，所有红球与白球除了颜色再没有其他差别.设. (1)从甲口袋中依次取2球（每次取1球，不放回），求第2个球为白球的概率（）； (2)化简； (3)如果从甲口袋中任取1球是白球的概率为，现在随机从甲、乙口袋中任取1球，观察其颜色，结果为红球，并将其放回原口袋中，求仍在这个口袋中取1球是白球的概率. 16．（2024·福建厦门·模拟预测）甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同.某人先从两个箱子中任选一个箱子，再从中随机摸出一球. (1)求摸出的球是黑球的概率； (2)若已知摸出的球是黑球，用概率公式判断该球取自哪个箱子的可能性更大. 17．（2024·陕西·模拟预测）体育运动是强身健体的重要途径，随着“中国儿童青少年体育健康促进行动方案（2020-2030）”的发布，体育运动受到各地中小学的高度重视，众多青少年的体质健康得到很大的改善.我们把每周体育锻炼时间超过8小时的学生称为“运动达人”，为了了解“运动达人”与性别是否有关系，我们对随机抽取的80名学生的性别进行了统计，其中女生与男生的人数之比为，男生中“运动达人”占，女生中“运动达人”占. (1)根据所给数据完成下面的列联表，并判断能否有90％的把握认为“运动达人”与性别有关？ 女生 男生 合计 运动达人 非运动达人 合计 (2)现从抽取的“运动达人”中，按性别采用分层抽样抽取3人参加体育知识闯关比赛，已知其中男、女生独立闯关成功的概率分别为与，在恰有两人闯关成功的条件下，求有女生闯关成功的概率. 附：，. 0.100 0.050 0.025 0.010 k 2.706 3.841 5.024 6.635 18．（2024·江苏南通·模拟预测）某高校统计的连续5天入校参观的人数（单位：千人）如下： 样本号 1 2 3 4 5 第天 1 2 3 4 5 参观人数 2.4 2.7 4.1 6.4 7.9 并计算得，． (1)求关于的回归直线方程，并预测第10天入校参观的人数； (2)已知该校开放1号，2号门供参观者进出，参观者从这两处门进校的概率相同，且从进校处的门离校的概率为，从另一处门离校的概率为．假设甲、乙两名参观者进出该校互不影响，已知甲、乙两名参观者从1号门离校，求他们从不同门进校的概率． 附：回归直线方程，其中． 19．（2024·山西晋中·三模）甲、乙两名同学玩掷骰子积分游戏，规则如下：每人的初始积分均为0分，掷1枚骰子1次为一轮，在每轮游戏中，从甲、乙两人中随机选一人掷骰子，且两人被选中的概率均为当骰子朝上的点数不小于3时，掷骰子的人积2分，否则此人积1分，未掷骰子的人本轮积0分，然后进行下一轮游戏．已知每轮掷骰子的结果相互独立． (1)求经过4轮游戏，甲的累计积分为4分的概率 (2)经商议，甲、乙决定修改游戏规则，具体如下：甲、乙轮流掷骰子，谁掷谁积分，第一次由甲掷．当骰子朝上的点数不小于3时，积2分，否则积1分．甲、乙分别在5~25分之间选一个整数分数（含5分和25分），且两人所选的分数不同，当两人累计积分之和首先等于其中一人所选分数时，此人赢得游戏．记两人累计积分之和为的概率为 （i）证明：为等比数列． （ⅱ）甲选哪个分数对自己最有利？请说明理由 【拓展冲刺练】 一、单选题 1．（2024·山东日照·模拟预测）秋冬季节是某呼吸道疾病的高发期，为了解该疾病的发病情况，疾控部门对该地区居民进行普查化验，化验结果阳性率为，但统计分析结果显示患病率为，医学研究表明化验结果是有可能存在误差的，没有患该疾病的居民其化验结果呈阳性的概率为0.01，则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为（    ） A．0.96 B．0.97 C．0.98 D．0.99 2．（2024·安徽·一模）有三台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数 的25%，30%，45%，任取一个零件，则它是次品的概率（    ） A．0.054 B．0.0535 C．0.0515 D．0.0525 3．（2024·安徽·模拟预测）某公司进行招聘，甲、乙、丙被录取的概率分别为，，，且他们是否被录取互不影响，若甲、乙、丙三人中恰有两人被录取，则甲被录取的概率为（    ）． A． B． C． D． 二、多选题 4．（2023·广东广州·二模）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，则下列结论正确的是（    ） A．该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0.08 B．该零件是次品的概率为0.03 C．如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为0.98 D．如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为 5．（2023·湖南长沙·模拟预测）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，在箱子打开之前，主持人先打开了3号箱．用表示i号箱有奖品（i＝1，2，3，4），用表示主持人打开j号箱子j＝2，3，4），下列结论正确的是（    ） A． B． C．要使获奖概率更大，甲应该坚持选择1号箱 D．要使获奖概率更大，甲应该改选2号或者4号箱 三、填空题 6．（2022·福建宁德·模拟预测）某工厂有三条流水线生产同一种产品，这三条流水线的产量分别占总产量的0.2，0.4，0.4，这三条流水线生产的产品不合格率依次为0.1，0.2，0.1．现在从出厂产品中任取一件，则恰好抽到合格产品的概率是 ． 7．（2024·天津北辰·模拟预测）甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知至少抽到一个红球的条件下，则2个球都是红球的概率为 ；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是 . 8．（2024·江西·模拟预测）如图是飞行棋部分棋盘，飞机的初始位置为0号格，抛掷一枚质地均匀的骰子，若抛出的点数为1，2，飞机向前移一格；若抛出的点数为3，4，5，6，飞机向前移两格．直到飞机移到第（且）格（失败集中营）或第格（胜利大本营）时，游戏结束．则飞机移到第3格的概率为 ，游戏胜利的概率为 ． 四、解答题 9．（2024·海南·模拟预测）某学校有甲､乙､丙三名保安，每天由其中一人管理停车场，相邻两天管理停车场的人不相同.若某天是甲管理停车场，则下一天有的概率是乙管理停车场；若某天是乙管理停车场，则下一天有的概率是丙管理停车场；若某天是丙管理停车场，则下一天有的概率是甲管理停车场.已知今年第1天管理停车场的是甲. (1)求第4天是甲管理停车场的概率； (2)求第天是甲管理停车场的概率； (3)设今年甲､乙､丙管理停车场的天数分别为，判断的大小关系.（给出结论即可，不需要说明理由） 10．（2024·广东肇庆·模拟预测）某市12月的天气情况有晴天，下雨，阴天3种，第2天的天气情况只取决于第1天的天气情况，而与之前的无关.若第1天为晴天，则第2天下雨的概率为，阴天的概率为；若第1天为下雨，则第2天晴天的概率为，阴天的概率为；若第1天为阴天，则第2天晴天的概率为，下雨的概率为.已知该市12月第1天的天气情况为下雨. (1)求该市12月第3天的天气情况为晴天的概率； (2)记分别为该市12月第天的天气情况为晴天､下雨和阴天的概率，证明：为等比数列，并求出. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$