精品解析：广东省广州市仲元中学2024-2025学年高一上学期期中数学试题

2024学年第一学期高一年级期中考试数学试卷 命题人：张婷 审题人：谭昌军 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合，利用交集的定义可得出集合. 【详解】因为，，则. 故选：B. 2. 设、，“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】当且时，，则“且”“”， 另一方面，当时，可取，， 则“且”“”， 因此，“且”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 函数是幂函数，则实数的值是（ ） A. B. C. 或 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义列方程求解即可. 【详解】由幂函数的定义知， 即，解得或． 故选：C 4. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 令，求得函数的定义域，再根据和的单调性，利用复合函数的单调性求解. 【详解】令， 解得或， 而函数的对称轴为，开口向上， 所以在上递减，在上递增， 由复合函数的单调性得：函数的单调递增区间是， 故选：B 5. 若，，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数以及幂函数的单调性比较出之间的大小关系. 【详解】因为在上单调递减，所以，即， 又因为在上单调递增，所以，即， 所以， 故选：A. 【点睛】本题考查根据指数函数、幂函数的单调性比较数值大小，难度一般.注意幂函数当时在上单调递增. 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和特殊值逐个排除即可. 【详解】，且函数定义域过于原点对称， 为奇函数，图象关于原点对称，故排除D， 又且时，，故排除C， 当时，，故排除A. 故选：B. 7. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件变形可得，结合1的妙用即可求解. 【详解】因为，，所以由变形可得， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为， 故选：D 8. 8月11日，第33届夏季奥林匹克运动会在巴黎法兰西体育场落下帷幕.中国体育代表团在巴黎奥运会获得40金、27银、24铜共91枚奖牌，取得了我国1984年全面参加夏季奥运会以来境外参赛历史最好成绩.小明统计了班级60名同学对游泳、跳水、乒乓球这三类体育项目的喜欢情况，其中有20名同学同时喜欢这三类体育项目，18名同学不喜欢乒乓球，20名同学不喜欢跳水，16名同学不喜欢游泳，且每人至少喜欢一类体育项目，则至少喜欢两类体育项目的同学的人数为（ ） A. 26 B. 46 C. 28 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，画出韦恩图，利用容斥原理列式计算即得. 【详解】设只喜欢游泳、跳水、乒乓球的同学的人数分别为，喜欢游泳和跳水两样的同学的人数为， 喜欢游泳和乒乓球两样的同学的人数为，喜欢跳水和乒乓球两样的同学的人数为，如图， 则，②+③+④得⑤，①⑤得， 所以至少喜欢两类体育项目的同学的人数为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部外选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下正确的选项是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可求解AC，举反例即可求解B，根据作差法可求解D. 【详解】对于A，由于，则，因此，故A正确， 对于B，取，满足，则，故B错误， 对于C, 若，则，进而可得，故C正确， 对于D，，由于，则，故，故D正确， 故选：ACD 10. 小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（），其全程的平均时速为v，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】设甲乙两地相距，则平均速度，结合基本不等式，即可得出结果. 【详解】设甲乙两地相距， 则平均速度， 故A错误，B正确； 又∵， ∴， 根据基本不等式及其取等号的条件可得： ， ∴， 即， 故C正确，D错误； 故选：BC． 11. 已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 在R上单调递减 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，赋值法得到，，；B选项，先赋值得到，令得，故B正确；C选项，令，且，当时，，故，从而在R上单调递增；D选项，先变形得到，又，故，由函数单调性得到D正确. 【详解】A选项，中， 令中，令得， 令得，即，A正确； B选项，中，令得，解得， 中，令得， 故为奇函数，B正确； C选项，中，令，且， 故，即， 当时，，故， 即，故在R上单调递增，C错误； D选项， 由A知，， 又，故，又在R上单调递增，所以，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据的解析式，依次代入与，即可得解. 【详解】因为， 所以， 则. 故答案为：. 13. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数的知识来求得正确答案. 【详解】依题意，是定义在上的奇函数， 所以， 所以. 故答案为： 14. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数x，符号表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，定义函数，则函数的最小值为_________；函数的图象与直线有无数个交点，则满足条件的m的取值范围为_________． 【答案】 ①. 0 ②. 【解析】 【分析】利用“高斯函数”的定义，得出的图象，结合图象，即可求解. 【详解】当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，，， 依此，可得的图象如图所示， 由图知，函数的最小值为，的值域为， 所以函数的图象与直线有无数个交点，则. 故答案为：0； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集为R ，集合，． （1）求， ； （2）若，且，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）化简集合，根据集合的并集、补集、交集运算可得结果； （2）分类讨论集合，根据子集关系列式可求出结果. 【小问1详解】 ， 故，或， . 【小问2详解】 因为，所以， 当，即时，，符合题意； 当，即时，，解得， 综上所述：实数的取值范围是. 16. 设函数． （1）命题，使得成立．若p为假命题，求实数a的取值范围； （2）求不等式的解集． 【答案】（1） （2）当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为 【解析】 【分析】（1）由题意可得不等式在R上恒成立，讨论a是否为0，结合判别式解不等式，即可求得答案； （2）不等式等价于，分类讨论a的取值范围，确定与1的大小关系，即可求得答案. 【小问1详解】 为假命题， ，为真命题，即不等式在R上恒成立， 当时，恒成立，则满足题意； 当时，需满足，解得， 综上，实数a的取值范围． 【小问2详解】 不等式等价于． 当时，不等式可化为，解得； 当时，，由不等式解得； 当时，则，原不等式即为，解得； 当时，则，解得或； 当时，则，解得或； 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或． 17. 参加劳动是学生成长的必要途径，每个孩子都要抓住日常生活中的劳动实践机会，自觉参与、自己动手，坚持不懈进行劳动，掌握必要的劳动技能．在劳动中接受锻炼、磨炼意志，培养正确的劳动价值观和良好的劳动品质．大家知道，用清水洗衣服，其上残留的污渍用水越多，洗掉的污渍量也越多，但是还有污渍残留在衣服上，在实验基础上现作如下假定：用单位的水清洗1次后，衣服上残留的污渍与本次清洗前残留的污渍之比为函数． （1）①试解释与的实际意义； ②写出函数应该满足的条件或具有的性质（写出至少2条，不需要证明）； （2）现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次．哪种方案清洗后衣服上残留的污渍比较少？请说明理由． 【答案】（1）表示没有用水清洗时，衣服上的污渍不变；表示用1个单位的水清洗时，可清除衣服上残留的污渍的；定义域为，值域为，在区间内单调递减. （2）当时，，此时两种清洗方法效果相同； 当时，，此时把单位的水平均分成份后，清洗两次，残留的污渍较少； 当时，，此时用单位的水清洗一次后残留的污渍较少. 【解析】 【分析】（1）①根据函数的实际意义说明即可； ②由实际意义可得出函数的定义域，值域，单调性. （2）求出两种清洗方法污渍的残留量，并进行比较即可. 【小问1详解】 ①表示没有用水清洗时，衣服上的污渍不变； 表示用1个单位的水清洗时，可清除衣服上污渍的. ②函数的定义域为，值域为，在区间内单调递减. 【小问2详解】 设清洗前衣服上的污渍为1，用单位的水，清洗一次后残留的污渍为， 则； 用单位的水清洗1次，则残留的污渍为， 然后再用单位的水清洗1次，则残留的污渍为， 因为， 所以当时，，此时两种清洗方法效果相同； 当时，，此时把单位的水平均分成份后，清洗两次，残留的污渍较少； 当时，，此时用单位的水清洗一次后残留的污渍较少. 18. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断在定义域上的单调性，并用单调性定义证明； （3），使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）2 （2） 是上的增函数. 证明：任取，且， ， 所以，所以，，， 所以， ， 所以，即， 所以是上的增函数. （3） 【解析】 【分析】（1）利用“奇函数在原点上有定义，则”即可求解. （2）根据单调性定义即可证明. （3）先将不等式化为，再利用换元法结合函数单调性求出的最小值即可得解. 【小问1详解】 因为，,定义域关于原点对称， 令，所以，故， 则，， 所以为定义在上的奇函数，故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，不等式即， 故， 则令，由题意可知，， 因为函数，为上的增函数， 故在上单调递增， 故， 所以. 19. 欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数． （1）已知,,判断和是不是倒函数，并说明理由； （2）若是上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上是严格增函数．记，证明：是的充要条件． 【答案】（1） 对于，定义域为，显然定义域中任意实数有成立，又， 是倒函数， 对于，定义域为， 故当时，，不符合倒函数的定义， 所以不是倒函数； （2） 因为，又是上的倒函数， 所以，所以， 故， 充分性：当时，且，又在上是严格增函数， 所以，， 所以，，故. 必要性：当时， 有 ， 又恒大于0，所以， 因为，所以， 因为在上是严格增函数．所以，即有成立. 综上所述：是的充要条件． 【解析】 【分析】（1）根据倒函数的定义判断可得答案； （2）根据倒函数的性质，先证充分性，再证必要性即可, 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期高一年级期中考试数学试卷 命题人：张婷 审题人：谭昌军 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则是（ ） A. B. C. D. 2. 设、，“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 函数是幂函数，则实数的值是（ ） A. B. C. 或 D. 且 4. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 5. 若，，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 8月11日，第33届夏季奥林匹克运动会在巴黎法兰西体育场落下帷幕.中国体育代表团在巴黎奥运会获得40金、27银、24铜共91枚奖牌，取得了我国1984年全面参加夏季奥运会以来境外参赛历史最好成绩.小明统计了班级60名同学对游泳、跳水、乒乓球这三类体育项目的喜欢情况，其中有20名同学同时喜欢这三类体育项目，18名同学不喜欢乒乓球，20名同学不喜欢跳水，16名同学不喜欢游泳，且每人至少喜欢一类体育项目，则至少喜欢两类体育项目的同学的人数为（ ） A. 26 B. 46 C. 28 D. 48 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部外选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下正确的选项是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（），其全程的平均时速为v，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 在R上单调递减 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则___________． 13. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则_________． 14. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数x，符号表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，定义函数，则函数的最小值为_________；函数的图象与直线有无数个交点，则满足条件的m的取值范围为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集为R ，集合，． （1）求， ； （2）若，且，求实数的取值范围． 16. 设函数． （1）命题，使得成立．若p为假命题，求实数a的取值范围； （2）求不等式的解集． 17. 参加劳动是学生成长的必要途径，每个孩子都要抓住日常生活中的劳动实践机会，自觉参与、自己动手，坚持不懈进行劳动，掌握必要的劳动技能．在劳动中接受锻炼、磨炼意志，培养正确的劳动价值观和良好的劳动品质．大家知道，用清水洗衣服，其上残留的污渍用水越多，洗掉的污渍量也越多，但是还有污渍残留在衣服上，在实验基础上现作如下假定：用单位的水清洗1次后，衣服上残留的污渍与本次清洗前残留的污渍之比为函数． （1）①试解释与的实际意义； ②写出函数应该满足的条件或具有的性质（写出至少2条，不需要证明）； （2）现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次．哪种方案清洗后衣服上残留的污渍比较少？请说明理由． 18. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断在定义域上的单调性，并用单调性定义证明； （3），使得成立，求实数的取值范围. 19. 欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数． （1）已知,,判断和是不是倒函数，并说明理由； （2）若是上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上是严格增函数．记，证明：是的充要条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $