精品解析：江西师范大学附属中学红谷滩区滨江分校等校联考2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

江西师大附中九年级数学期末试卷 2025.1 一、选择题 1. 下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各数中，倒数等于本身的是（ ） A. B. 2 C. D. 3. 某运动会颁奖台如图所示，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 折射现象指的是当光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，表示水面，它与底面平行，光线从空气射入水里时发生折射，变成光线射到水底C处，射线是光线的延长线．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其中．将此抛物线向下平移，与轴交于，两点，其中，下面结论正确的是（ ） A. 当时，， B. 当时，， C. 当时，， D. 当时，， 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 分解因式：_____． 8. 过度包装既浪费资源又污染环境，据测算，如果全国每年减少的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳吨．用科学记数法表示为____． 9. 若为方程的两个实数根，则的值为 _____． 10. 我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”注释：宛田是指扇形形状的田，下周是指弧长，径是指扇形所在圆的直径．那么这块宛田的面积是____平方步． 11. 如图，在平面直角坐标系中，与的相似比为，点A是位似中心，已知点，点，．则点的坐标为________．（结果用含，的式子表示） 12. 如图，在中，，，，平分交于点D，在边上存在一点E（不与点B重合），作关于直线的对称图形为，若点F落在的边上，则的长为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解决下列问题： （1）计算：． （2）如图所示，在中，，，E、D分别是、上的点，且，求证：． 14. 如图，均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点均在格点上．在给定的网格中使用无刻度的直尺按要求画图． （1）在图①中，以线段为腰画一个等腰直角三角形． （2）在图②中，以线段为直角边画一个直角三角形，并且使． 15. 化简求值：，再从，0，1，2中选取一个合适的数代入求值． 16. 吉安高铁站开通后，旅客在网购车票时，系统是随机分配座位的，王某和李某打算购买从吉安西到南昌西的高铁车票（如图所示，一排中的座位编号为A，B，C，D，F）．假设系统已将两人的位置分配到同一排后，在同一排分配各个座位的机会是均等的． （1）“系统分给这两个人A，G座位”是______（填“必然”或“不可能”或“随机”）事件； （2）利用画树状图或列表格，求系统分配给王某和李某相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率． 17. 为鼓励学生加强强身健体，某校计划购买一批篮球和排球，根据学校实际，决定共购买30个排球，20个篮球，共花费2560元，若篮球和排球的单价之和为104元． （1）求篮球和排球的单价； （2）据不完全统计，每个学年篮球的损耗率是排球的损耗率的两倍，若学期末这批篮球和排球最多剩下43个，求排球的最大损耗率． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，，且直线l经过双曲线的左端点C． （1）求点A的坐标和m的值． （2）平移直线l到直线的位置，使其经过双曲线的右端点D，交x轴于点E，求的长． 19. 如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 20. 如图1，是南昌八一起义纪念塔，象征着革命的胜利．某校数学社团的同学们欲测量塔的高度．如图2，他们在第一层看台上架设测角仪，从处测得塔的最高点的仰角为，测出，台阶可抽象为线段，，台阶的坡角为，测角仪的高度为，塔身可抽象成线段． （1）求测角仪与塔身的水平距离； （2）求塔身的高度．（结果精确到）（参考数据：，，，） 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 教体局为进一步开展“睡眠管理”工作，对某校部分学生的睡眠情况进行了问卷调查.设每名学生平均每天的睡眠时间为小时，其中的分组情况是： A组：； B组：； C组：； D组：； E组：. 根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次共调查了________名学生，这部分学生睡眠时间的中位数在__________组； （2）在扇形统计图中，C组所对应的扇形圆心角的度数为_________，并请你补全条形统计图（两处）； （3）德中教育集团现有7000名学生，请估计平均每天的睡眠时间为9小时及以上的学生共有多少人? 22. 如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米． （1）求上边缘抛物线喷出水的最大射程； （2）求下边缘抛物线与轴交点的坐标； （3）若米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带，并说明理由． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【问题情境】： （1）如图1，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是______． 【类比探究】： （2）如图2，四边形是矩形，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接． 判断线段与有怎样的数量关系：______，并说明理由： 【拓展提升】： （3）如图3，在（2）的条件下，连接，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西师大附中九年级数学期末试卷 2025.1 一、选择题 1. 下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此求解即可． 【详解】解：A、B、C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以都不是轴对称图形． D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 2. 下列各数中，倒数等于本身的是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了倒数的定义，立方根，分母有理化，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据倒数的定义，逐个进行化简判断即可． 【详解】解：A、，的倒数是，故本选项符合题意； B、2的倒数为，故本选项不符合题意； C、的倒数为，故本选项不符合题意； D、的倒数为2，故本选项不符合题意． 故选：A． 3. 某运动会颁奖台如图所示，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，掌握三视图的定义成为解题的关键． 根据左视图是从左边看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从左边看，看到的图形是一个长方形，靠近上部分有一条横着的实线，靠近下部分有一条横着的虚线，即看到的图形如下： ． 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，整式的运算，根据二次根式的运算法则、同底数幂乘法法则，完全平方公式将各项计算后进行判断即可． 【详解】A、，故错误，不符合题意； B、，故错误，不符合题意； C、，故错误，不符合题意； D、，故正确，符合题意； 故选：D． 5. 折射现象指的是当光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，表示水面，它与底面平行，光线从空气射入水里时发生折射，变成光线射到水底C处，射线是光线的延长线．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、对顶角相等等知识点，掌握平行线的性质是解题的关键． 由平行线的性质可知，再根据对顶角相等得出，最后由求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 6. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其中．将此抛物线向下平移，与轴交于，两点，其中，下面结论正确的是（ ） A. 当时，， B. 当时，， C. 当时，， D. 当时，， 【答案】C 【解析】 【分析】分情况讨论：或，注意抛物线与x轴两交点关于对称轴对称，故得到交点横坐标之间的关系. 【详解】解：当时，如图所示： ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，且； 当时，如图所示： ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，且． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质和平移；由对称轴得到抛物线与x轴交点的横坐标之间的数量关系是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可. 【详解】， 故填 【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式. 8. 过度包装既浪费资源又污染环境，据测算，如果全国每年减少的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳吨．用科学记数法表示为____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故答案为：． 9. 若为方程的两个实数根，则的值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，根据根与系数的关系可得，根据一元二次方程解的定义可得，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵为方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”注释：宛田是指扇形形状的田，下周是指弧长，径是指扇形所在圆的直径．那么这块宛田的面积是____平方步． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形面积计算公式可直接进行求解． 【详解】解：由题意得： （平方步）； 故答案为． 【点睛】本题主要考查扇形面积计算公式，熟练掌握扇形面积计算公式是解题的关键． 11. 如图，在平面直角坐标系中，与的相似比为，点A是位似中心，已知点，点，．则点的坐标为________．（结果用含，的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．如图：过点C作于点M，过点作于点N，则，根据题意可得，进而得到；由勾股定理可得，再证明，运用相似三角形的性质可得，进而求得，最后根据点在x轴的负半轴写出坐标即可． 【详解】解：如图：过点C作于点M，过点作于点N， 则． ∵与的相似比为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵点，点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴，则， ∴， ∵点在x轴的负半轴， ∴点的坐标为，即． 故答案为． 12. 如图，在中，，，，平分交于点D，在边上存在一点E（不与点B重合），作关于直线的对称图形为，若点F落在的边上，则的长为______． 【答案】2或或4 【解析】 【分析】判断得出点F在以点D为圆心，长为半径的圆上，分三种情况讨论，画出图形，利用含30度角的直角三角形以及勾股定理求解即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得，而是定长， ∴点F在以点D为圆心，长为半径的圆上，当点在边上时，如图， ∵， ∴于点E， ∴； 当点F在边上时，有两种情况， 当E、F在如图的的位置时，作， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴； 当E、F在如图的的位置时（与A重合）， ∴； 若F在边上时，此时对应的E点不在上，此情况不存在， 综上，的长为1或或4． 故答案为：2或或4． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，含30度角的直角三角形以及勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解决下列问题： （1）计算：． （2）如图所示，在中，，，E、D分别是、上的点，且，求证：． 【答案】（1）； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，三角形相似的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似，熟练掌握以上知识是解题关键． （1）先进行开方，特殊角的三角函数值，零指数的运算，再进行加减运算即可； （2）由，得到，再根据三角形外角性质得，加上，则，于是可根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到结论． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴， ∵，即， ∵， ∴， ∴． 14. 如图，均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点均在格点上．在给定的网格中使用无刻度的直尺按要求画图． （1）在图①中，以线段为腰画一个等腰直角三角形． （2）在图②中，以线段为直角边画一个直角三角形，并且使． 【答案】（1） 如图①所示，即为所求， （2） 如图②所示， 【解析】 【分析】本题主要考查作图，等腰直角三角形的判定和性质，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）利用等腰直角三角形的定义画出图形； （2）取格点D，连接，根据相似三角形的性质和正切的定义即可得到符合题意的图形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，使， 则， ∴即为所求图形． 15. 化简求值：，再从，0，1，2中选取一个合适的数代入求值． 【答案】，当时，原式． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键． 先算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解： ， 要使分式有意义， ∴，， ∴当时，原式； 16. 吉安高铁站开通后，旅客在网购车票时，系统是随机分配座位的，王某和李某打算购买从吉安西到南昌西的高铁车票（如图所示，一排中的座位编号为A，B，C，D，F）．假设系统已将两人的位置分配到同一排后，在同一排分配各个座位的机会是均等的． （1）“系统分给这两个人A，G座位”是______（填“必然”或“不可能”或“随机”）事件； （2）利用画树状图或列表格，求系统分配给王某和李某相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率． 【答案】（1）不可能 （2）系统分配给王某和李某相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率是． 【解析】 【分析】此题考查了树状图或列表法求概率，概率公式、事件的分类等知识，熟练掌握树状图或列表法求概率是解题的关键． （1）一排中的座位编号为A，B，C，D，F，不存在编号为G的座位，即可得到“系统分给这两个人A，G座位”是不可能事件； （2）列出表格，得到系统分配给王某和李某相邻座位共有20种等可能的情况，其中相邻座位共有6种等可能情况，根据概率公式计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵一排中的座位编号为A，B，C，D，F，不存在编号为G的座位， ∴“系统分给这两个人A，G座位”是不可能事件， 故答案为：不可能； 【小问2详解】 解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有20种等情况数，其中相邻座位的情况数有6种， 则系统分配给王某和李某相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率是． 17. 为鼓励学生加强强身健体，某校计划购买一批篮球和排球，根据学校实际，决定共购买30个排球，20个篮球，共花费2560元，若篮球和排球的单价之和为104元． （1）求篮球和排球的单价； （2）据不完全统计，每个学年篮球的损耗率是排球的损耗率的两倍，若学期末这批篮球和排球最多剩下43个，求排球的最大损耗率． 【答案】（1）篮球的单价为48元，排球的单价为56元 （2）排球的最大损耗率为10% 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据总价单价数量，列出关于的一元一次不等式． （1）设篮球的单价为x元，排球的单价为y元，根据购买30个排球，20个篮球，共花费2560元，若篮球和排球的单价之和为104元，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设排球的最大损耗率为m，则篮球的损耗率，得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，即可求解． 【小问1详解】 设篮球的单价为x元，排球的单价为y元， 根据题意，得 解得 答：篮球的单价为48元，排球的单价为56元； 【小问2详解】 设排球的最大损耗率为m，则篮球的损耗率， 根据题意，得， 解得， 即排球的最大损耗率10%． 答：篮球的单价为48元，排球的单价为56元，排球的最大损耗率为． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，，且直线l经过双曲线的左端点C． （1）求点A的坐标和m的值． （2）平移直线l到直线的位置，使其经过双曲线的右端点D，交x轴于点E，求的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数，一次函数的平移等知识， （1）将代入，可得直线l的解析式为：，进而可得，再根据直线l经过双曲线的左端点C，可得，问题随之得解； （2）结合（1）的结果得反比例函数解析式为：，即可得，根据平移直线到直线，设直线的解析式为：，代入，可得设直线的解析式为：，即可得，问题随之得解． 【小问1详解】 ∵在直线的图象上， ∴，即， ∴直线l的解析式为：， 当时，， 解得：， ∴， ∵直线l经过双曲线的左端点C， ∴当时，， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 ∵， ∴反比例函数解析式为：， 当时，， ∴， ∵平移直线到直线， ∴设直线的解析式为：， ∵直线经过， ∴当时，， ∴， ∴设直线的解析式为：， ∴当时，， 解得：， ∴， ∵， ∴． 19. 如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接，如图所示： 是的直径， ， ， 又， ， 又． ，即， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形及相似三角形的判定与性质，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提． （1）根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案； （2）由，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得，再根据相似三角形的性质可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， 在中，，， ，则， ， ，， ， ， 设，则，， ，即， 解得或（舍去）， ． 20. 如图1，是南昌八一起义纪念塔，象征着革命的胜利．某校数学社团的同学们欲测量塔的高度．如图2，他们在第一层看台上架设测角仪，从处测得塔的最高点的仰角为，测出，台阶可抽象为线段，，台阶的坡角为，测角仪的高度为，塔身可抽象成线段． （1）求测角仪与塔身的水平距离； （2）求塔身的高度．（结果精确到）（参考数据：，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形求解． （1）延长交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，则，，易得，根据勾股定理得出，最后即可解答； （2）由（1）可知，，根据题意得出，，，则，，根据，即可解答． 【小问1详解】 解：如图，延长交的延长线于点，过点作于点，过点作于点， 则，， 由题意可知，，， ， ， ， 答：测角仪与塔身的水平距离为； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 由题意可知，，，， ， ， ， 答：塔身的高度约为． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 教体局为进一步开展“睡眠管理”工作，对某校部分学生的睡眠情况进行了问卷调查.设每名学生平均每天的睡眠时间为小时，其中的分组情况是： A组：； B组：； C组：； D组：； E组：. 根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次共调查了________名学生，这部分学生睡眠时间的中位数在__________组； （2）在扇形统计图中，C组所对应的扇形圆心角的度数为_________，并请你补全条形统计图（两处）； （3）德中教育集团现有7000名学生，请估计平均每天的睡眠时间为9小时及以上的学生共有多少人? 【答案】（1）100，C （2）144， 补全条形统计图如下： （3）2450人 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数、条形统计图与扇形统计图、画条形统计图、用样本估计总体等知识点，从统计图中获取正确的信息是解题的关键． （1）根据统计图中B组的人数与占比，然后计算即可；根据E组人数占比为，求出E组人数，然后作差求出A组人数，再根据中位数定义即可求解； （2）由（1）中所得数据，补全统计图即可，根据C组人数的占比乘以计算求解即可； （3）根据9小时及以上两组人数的占比乘以总人数即可解答． 【小问1详解】 解：本次共调查了学生：（名）， E组人数为：（名）， 故A组人数为：（名）， 则这部分学生睡眠时间的中位数为第50，51名的平均数，第50，51名均在C组， ∴这部分学生睡眠时间的中位数在C组， 故答案为：100，C； 【小问2详解】 解：在扇形统计图中，C组所对应的扇形圆心角的度数为， 补全条形统计图略； 故答案为：； 【小问3详解】 （人）， 答：估计平均每天的睡眠时间为9小时及以上的学生共有人． 22. 如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米． （1）求上边缘抛物线喷出水的最大射程； （2）求下边缘抛物线与轴交点的坐标； （3）若米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带，并说明理由． 【答案】（1）上边缘抛物线喷出水的最大射程为； （2）； （3） 解：灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带，理由如下； ∵， ∴绿化带的左边部分可以灌溉到， 由题意可得： 将代入到可得： 因此灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）求得上边缘的抛物线解析式，即可求解； （2）根据二次函数的性质，确定平移的单位，求得下边缘抛物线解析式，即可求解； （3）根据题意，求得点的坐标，判断上边缘抛物线能否经过点即可； 【小问1详解】 解：由题意可得：， 且上边缘抛物线的顶点为，故设抛物线解析式为： 将代入可得： 即上边缘的抛物线为： 将代入可得： 解得：（舍去）或 即 上边缘抛物线喷出水的最大射程为； 【小问2详解】 解：由（1）可得， 上边缘抛物线为：，可得对称轴为： 点关于对称轴对称的点为： 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，可得上边缘抛物线向左平移个单位，得到下边缘抛物线，即下边缘的抛物线解析式为： 将代入可得： 解得：（舍去）或 即点； 【小问3详解】 略 六、解答题（本大题共12分） 23. 【问题情境】： （1）如图1，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是______． 【类比探究】： （2）如图2，四边形是矩形，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接． 判断线段与有怎样的数量关系：______，并说明理由： 【拓展提升】： （3）如图3，在（2）的条件下，连接，求的最小值． 【答案】（1）； （2）判断：，理由如下： ∵四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得，，，，则有，即可证明，有成立； （2）由矩形的性质得，，结合题意可证得，则有，故； （3）过点E作，垂足为点K，过点G作交的延长线于点L，则，结合矩形的性质证得，有，即可证得，得到，得，则点G的运动轨迹是直线，作点D关于直线的对称点，则，得到的值最小为，将，利用勾股定理即可求得． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 则， 那么，， 故答案为：； （2）略 （3）如图，过点E作，垂足为点K，过点G作交的延长线于点L，则， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点G的运动轨迹是直线， 作点D关于直线的对称点，则， ∴当点B，G，三点同一直线时，的值最小，即为， 由（2）得 ， ∴， ∴， ∴的最小值为的最小值，即， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、轴对称的性质以及勾股定理，解题的关键是熟悉相似三角形的性质和线段之间的转化及最短距离的求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $