精品解析：山东省德州市夏津县2024-2025学年八年级上学期期末质量监测数学试题

2024-2025学年第一学期期末学习成果阶段展示 八年级数学试题 （全卷满分150分，考试时间为120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 第Ⅰ卷（选择题共48分） 一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记为零分． 1. 下面4个图案中是轴对称图形的是（ ） A. 阿基米德螺旋线 B. 笛卡尔心形线 C. 赵爽弦图 D. 太极图 【答案】B 【解析】 【分析】利用轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．进行解答即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．是轴对称图形，故此选项符合题意； C．不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形，解题的关键是熟记定义进行解题 2. 下列各式中，运算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法等知识点，熟练掌握合并同类项法则及幂的运算法则是解题的关键．根据合并同类项法则及幂的运算法则逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，故选项不符合题意； B. 与不是同类项，不能合并，故选项不符合题意； C. ，故选项符合题意； D. ，故选项不符合题意； 故选：． 3. 下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义分母不为零；（3）分式值为零分子为零且分母不为零．根据分式有意义，分母不等于0对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、时，，分式无意义，故本选项不符合题意； B、时，，分式无意义，故本选项不符合题意； C、时，，分式无意义，故本选项不符合题意； D、无论x取何值，，分式都有意义，故本选项符合题意． 故选：D． 4. 如图，在中，，沿图中虚线截去，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，四边形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 根据三角形的内角和定理以及四边形的内角和定理解决问题即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 5. 下列从左到右的运算是因式分解，并且分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键． 根据因式分解的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. ，不是几个整式乘积的形式，故该选项不符合题意； B. ，是因式分解，故该选项符合题意； C. ，故该选项不符合题意； D. ，故该选项不符合题意； 故选：B． 6. 如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以桌面为x轴，镜面侧面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某刻火焰顶尖S点坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面镜成像原理，点与关于轴对称，根据对称的性质可列方程求出的数值． 【详解】解：点与关于轴对称 ， ， 故选D 【点睛】本题考查了平面镜成像原理中坐标的轴对称，理解平面镜成像原理是解题关键． 7. 整体代换是数学中重要的解题思想，其本质是将题中某些未知量的关系式当作整体，而不具体求解未知量．如：已知，，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减混合运算，已知式子的值，求代数式的值：先化简，再把，，代入计算，即可作答． 【详解】解： ∵，， ∴原式， 故选：C 8. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到1000里远的城市，所需时间比规定时间多2天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列列出的分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 根据快、慢马送到所需时间与规定时间之间的关系，可得出慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天，再利用速度＝路程÷时间，结合快马的速度是慢马的倍，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：∵规定时间为x天， ∴慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天， 根据题意，得 ． 故选：A． 9. 如图，在三角形纸片ABC中，，，点（不与，重合）是上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若的长度为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由折叠的性质得出BE=EF=a，DE=BE，则BF=2a，由含30°角的直角三角形的性质得出DF=BF=a，即可得出△DEF的周长． 【详解】由折叠的性质得B点和D点是对称关系，DE=BE,则BE= EF=a， BF=2a， B=30, DF=BF=a，则DEF的周长为DE +DF+ EF= BF+ DF=3a. 故答案选C. 【点睛】本题考查的知识点是翻折变换（折叠问题），解题的关键是熟练的掌握翻折变换（折叠问题）. 10. 如图，在中，，边AC的垂直平分线MN分别交AB、AC于点M，N，点D是边BC的中点，点P是MN上任意一点，连接PD，PC，若周长最小时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接得出，，得到，当在同一条直线上时，最小，最小值为，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 垂直平分， ， ， ， 当在同一条直线上时，最小， 最小值为， 周长最小值为， ， 点是的中点， ， ， ， 故选：C ． 11. 如图，已知在中，，，直角的顶点P是的中点，两边、分别交、于点E、F．以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，利用证明，得，，即可解决问题． 【详解】解：∵，，点P是的中点， ∴，,， ，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，故①正确； ∴是等腰直角三角形，故②正确； ∴，故③正确； 没有条件得出，故④错误． 故选：A． 12. 已知（为正整数，且），则用含的式子的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式混合运算，根据计算结果总结出规律是解题的关键． 根据题意求出的值，再根据结果得出规律，计算即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 这列数每个数为一个循环， ， ， 故选：A ． 第Ⅱ卷（非选择题共102分） 二、填空题：本大题共6小题，共记24分，只要求填写最后结果，每小题填对4分． 13. 桑树花是风媒花，雄花的开花过程中，内弯的雄蕊会在25微秒内伸直（25微秒=0.000025秒），将花粉爆发地弹射到空气中，这是在植物学中已知的最快的运动．数据0.000025用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示绝对值小于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：数据0.000025用科学记数法表示为， 故答案为：． 14. 如图是由边长相等的两个正六边形和一个正方形组成，则的度数是___________． 【答案】##150度 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形的内角与外角的综合应用，周角的含义，本题先求解正六边形与正方形的一个内角，再结合周角的含义可得答案. 【详解】解：∵正六边形的每一个内角为：， 正方形的每一个内角为：， ∴， 故答案为： 15. 若是一个完全平方式，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 利用完全平方公式的结构特征判断即可求出的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ， 故答案为：． 16. 若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，一元一次不等式的应用．熟练掌握解分式方程是解题的关键． 将分式方程化为整式方程，然后解方程求出，根据题意得到，且，然后求解作答即可． 【详解】解：， ， 解得，， ∵关于的分式方程的解是正数， ∴，且 ∴且， 故答案为：且． 17. 如图，在中，点、分别在、延长线上，的平分线相交于点，连接．若的度数为_______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的外角，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等，到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 作于，于，于，得到，得到平分，进而得出，计算即可得到答案． 【详解】解：如图，作于，于，于， 平分，平分， ，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 18. 如图所示，在等边中，，点P与点Q分别从点B，C同时出发，沿三角形的边运动，已知点P的速度为，点Q的速度为，设点P与点Q运动的时间为．当时，点P与点Q运动_________s后，可得到． 【答案】2或10或3.2 【解析】 【分析】根据题意，时P点刚好运动一周回到B点，而Q点只能运动到的中点.分情况讨论：①P在上，Q在上，且②P在上，Q在上，且；③P、Q都在上，且.根据“直角三角形中，的角所对的边等于斜边的一半”分别列方程求出t的值即可. 【详解】①如图1，P上，Q在上，且， 解得 （图1） ②如图2，P在上，Q在上，且， 则 解得 （图2） ③如图3，P、Q都在上，且， 则 解得 （图3） 综上，点P与点Q运动的时间为2秒或3.2秒或10秒时可得到. 【点睛】本题是一个动点问题，主要考查了“直角三角形中，的角的边等于斜边的一半”这一性质.解题的关键是要运用数形结合和分类讨论的思想，防止漏解. 三、解答题：本大题共7小题，共78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算零指数幂，负整数指数幂，绝对值，乘方，再进行加减计算即可； （2）利用平方差公式计算，再计算多项式除单项式，再合并同类项即可； （3）先把除法变为乘法，再根据乘法分配律计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式， ， , , ． 20. 先化简，再求值：，其中x、y满足． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 21. 如图，在中，直角顶点在直线上，，过点，分别做直线的垂线，垂足分别为点、．请你在图中找出一对全等三角形．并加以证明． 【答案】，证明过程见详解 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，根据垂直的性质可得，，运用“”即可求证． 【详解】解：已知：中，，，， 求证， 证明：∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 中， ， ∴． 22. 数学课上，王老师布置如下任务： 如图，已知，点是射线上的一个定点，在射线上求作点，使． 下面是小路设计的尺规作图过程． 作法：①作线段的垂直平分线，直线交射线于点； ②以点为圆心，长为半径作弧，交射线于另一点，则点即为所求． 根据小路设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）根据以上做法，证明：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题目中的小路的尺规作图过程，直接作图即可． （2）根据垂直平分线的性质以及等边对等角、三角形外角的性质进行解答即可． 【小问1详解】 解：根据题目中的小路的设计步骤，补全的图形如图所示， ； 【小问2详解】 证明：连接，， 由作图知：直线是的垂直平分线，， ∴，， ∴， 又， ∴， 又， ∴，即． 【点睛】本题主要是考查了尺规作图能力以及垂直平分线和等边对等角的性质，熟练掌握垂直平分线和等边对等角的性质，是解决该题的关键． 23. 【项目式学习】根据以下素材，探索完成任务． 【素材1】在入夏之际，我县某奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”．每杯“芝士杨梅”的售价比“满杯杨梅”贵2元，购买1杯“芝士杨梅”和2杯“满杯杨梅”共需53元． 【素材2】某天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”共获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”和每杯“满杯杨梅”的利润比为，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯． 【问题解决】 任务1：每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的售价是多少？ 任务2：每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的利润是多少？ 【答案】任务1：每杯“满杯杨梅”的售价是17元，每杯“芝士杨梅”的售价是19元；任务2：每杯“满杯杨梅”的利润是8元，每杯“芝士杨梅”的利润是10元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用． 任务1：设每杯“满杯杨梅”的售价是x元，则每杯“芝士杨梅”的售价是元，依题意得，，计算求解，然后作答即可； 任务2：设每杯“满杯杨梅”的利润是元，则每杯“芝士杨梅”的利润是元，根据“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯，列出分式方程，然后计算求解即可． 【详解】解：任务1：设每杯“满杯杨梅”的售价是x元，则每杯“芝士杨梅”的售价是元， 依题意得，， 解得：， ， 答：每杯“满杯杨梅”的售价是17元，每杯“芝士杨梅”的售价是19元； 任务2：设每杯“满杯杨梅”的利润是元，则每杯“芝士杨梅”的利润是元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， （元） （元）， 答：每杯“满杯杨梅”的利润是8元，每杯“芝士杨梅”的利润是10元． 24. 数形结合可以让抽象的数学问题更加直观形象，课上老师准备了如图①所示的长为4a，宽为b的长方形纸片，沿虚线用剪刀剪出4个全等的小长方形，按照图②的形状拼成一个大正方形，其中阴影部分的图形是正方形． （1）填空：图②中阴影部分正方形的边长是______；（用a、b表示） 请你观察图形，写出、、ab之间的等量关系：______． 问题探究 （2）如图③是由两个正方形与一个长方形组成，其中小正方形的边长为m，面积为，大正方形的边长为n，面积为，若长方形的周长是14．．求长方形的面积． 拓展延伸 （3）图④中正方形的边长为x，，长方形的面积是100，四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，请直接写出四边形的面积=______． 【答案】（1）， （2）12 （3）464 【解析】 【分析】（1）根据长方形的边长关系即可得到正方形的边长，利用大正方形的面积减去4个长方形的面积得到阴影面积，由此列得等量关系式； （2）由题意得，利用完全平方公式变形求出即可； （3）由大正方形的边长为x，则，设，，则四边形的面积，代入即可． 【小问1详解】 解：由题意得，小长方形的长为b，宽为a， 图②中阴影部分正方形的边长是， ∴阴影部分面积为， ∵阴影部分的面积， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 由题意得， ∵， ∴， ∴， ∴长方形的面积是12 【小问3详解】 ∵正方形的边长为x， ∴， ∴， 设， ∴， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴四边形的面积， 故答案为：464． 【点睛】此题考查了完全平方公式的几何背景，图形的面积，关键是能从整体和部分的两方面来理解完全平方公式的几何意义，并能进行公式的变形应用． 25. 央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到，“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． （1）【模型探究】如图1，和中，，，且，连接，．这一图形称“手拉手模型”．求证，请你完善下列过程． 证明：， ． 即． 在和中 （________）． （2）【模型指引】如图2，中，，，以为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点，使，求的度数．小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程． （3）【拓展延伸】如图3，中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点向右下方延伸．仍在射线上取点，使，试判断与有何数量关系？并写出简要说明． 【答案】（1），； （2）见解析 （3）；见解析 【解析】 【分析】（1）由全等三角形的判定可得出结论； （2）在上取一点，使，证明，由全等三角形的性质得出，由三角形内角和定理可得出答案； （3）在延长线上取一点，使得，由全等三角形的性质可得出结论． 【小问1详解】 证明：， ， 即， 在和中， ， ， 故答案为：，；； 【小问2详解】 解：如图2，在上取一点，使， ，， ，， ， ， ， ， 又，，， ， 设和交于点， ， ． 【小问3详解】 解：． 理由：如图3，在延长线上取一点，使得， 同理可证：， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，证明是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期末学习成果阶段展示 八年级数学试题 （全卷满分150分，考试时间为120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 第Ⅰ卷（选择题共48分） 一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记为零分． 1. 下面4个图案中是轴对称图形的是（ ） A. 阿基米德螺旋线 B. 笛卡尔心形线 C. 赵爽弦图 D. 太极图 2. 下列各式中，运算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，沿图中虚线截去，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列从左到右的运算是因式分解，并且分解正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以桌面为x轴，镜面侧面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某刻火焰顶尖S点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 整体代换是数学中重要的解题思想，其本质是将题中某些未知量的关系式当作整体，而不具体求解未知量．如：已知，，则的值为（ ） A B. C. 0 D. 30 8. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到1000里远的城市，所需时间比规定时间多2天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列列出的分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在三角形纸片ABC中，，，点（不与，重合）是上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若长度为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，边AC的垂直平分线MN分别交AB、AC于点M，N，点D是边BC的中点，点P是MN上任意一点，连接PD，PC，若周长最小时，的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，已知在中，，，直角的顶点P是的中点，两边、分别交、于点E、F．以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 12. 已知（为正整数，且），则用含的式子的结果为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共102分） 二、填空题：本大题共6小题，共记24分，只要求填写最后结果，每小题填对4分． 13. 桑树花是风媒花，雄花的开花过程中，内弯的雄蕊会在25微秒内伸直（25微秒=0.000025秒），将花粉爆发地弹射到空气中，这是在植物学中已知的最快的运动．数据0.000025用科学记数法表示为_______． 14. 如图是由边长相等的两个正六边形和一个正方形组成，则的度数是___________． 15. 若是一个完全平方式，则的值为______． 16. 若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是_______． 17. 如图，在中，点、分别在、延长线上，的平分线相交于点，连接．若的度数为_______°． 18. 如图所示，在等边中，，点P与点Q分别从点B，C同时出发，沿三角形的边运动，已知点P的速度为，点Q的速度为，设点P与点Q运动的时间为．当时，点P与点Q运动_________s后，可得到． 三、解答题：本大题共7小题，共78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1） （2） （3） 20. 先化简，再求值：，其中x、y满足． 21. 如图，在中，直角顶点在直线上，，过点，分别做直线的垂线，垂足分别为点、．请你在图中找出一对全等三角形．并加以证明． 22. 数学课上，王老师布置如下任务： 如图，已知，点是射线上的一个定点，在射线上求作点，使． 下面是小路设计尺规作图过程． 作法：①作线段的垂直平分线，直线交射线于点； ②以点圆心，长为半径作弧，交射线于另一点，则点即为所求． 根据小路设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）根据以上做法，证明：． 23. 【项目式学习】根据以下素材，探索完成任务． 【素材1】在入夏之际，我县某奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”．每杯“芝士杨梅”的售价比“满杯杨梅”贵2元，购买1杯“芝士杨梅”和2杯“满杯杨梅”共需53元． 【素材2】某天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”共获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”和每杯“满杯杨梅”的利润比为，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯． 【问题解决】 任务1：每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的售价是多少？ 任务2：每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的利润是多少？ 24. 数形结合可以让抽象数学问题更加直观形象，课上老师准备了如图①所示的长为4a，宽为b的长方形纸片，沿虚线用剪刀剪出4个全等的小长方形，按照图②的形状拼成一个大正方形，其中阴影部分的图形是正方形． （1）填空：图②中阴影部分正方形的边长是______；（用a、b表示） 请你观察图形，写出、、ab之间的等量关系：______． 问题探究 （2）如图③是由两个正方形与一个长方形组成，其中小正方形的边长为m，面积为，大正方形的边长为n，面积为，若长方形的周长是14．．求长方形的面积． 拓展延伸 （3）图④中正方形的边长为x，，长方形的面积是100，四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，请直接写出四边形的面积=______． 25. 央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到，“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． （1）【模型探究】如图1，和中，，，且，连接，．这一图形称“手拉手模型”．求证，请你完善下列过程． 证明：， ． 即． 在和中 （________）． （2）【模型指引】如图2，中，，，以为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点，使，求的度数．小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程． （3）【拓展延伸】如图3，中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点向右下方延伸．仍在射线上取点，使，试判断与有何数量关系？并写出简要说明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $