精品解析：重庆市县区联考2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

2024年秋九年级（上）学业质量达标监测试卷数学 数学测试卷共2页，满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列车标图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是（ ） A. 点数的和为1 B. 点数的和为6 C. 点数的和大于12 D. 点数的和小于13 3. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 4. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为 B. 顶点坐标为 C. 函数的最大值为 D. 函数的最小值为 5. 已知为一元二次方程的根，那么的值为（ ） A B. C. 0 D. 6. 已知二次函数的部分图象如图，该抛物线的图象过点，，由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是和（ ） A. 1 B. －1 C. 4 D. 3 7. 如图，是的直径，点在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，交于点．当时，点恰好落在上，此时度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，．以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 关于多项式：，其中为正整数，，，…，为互不相等且不为零的整数．比如当时，．交换任意两项的系数，得到的新多项式称为原多项式的“衍生多项式”下列说法： ①共有15个不同的“衍生多项式”； ②若多项式，无论为何值时，； ③若多项式，． 其中正确的个数是（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 点关于原点的对称点的坐标是______． 12. 将抛物线向下平移2个单位后所得的抛物线解析式为______． 13. 某汽车公司2024年10月份营业额为104亿元，12月份营业额为125亿元，已知该公司的营业额月平均增长率相同，设该公司10月到12月营业额平均月增长率为，根据题意，可列出的方程是______． 14. 一个不透明口袋中装有16个白球和若干个黑球，这些球除颜色外其余均相同，在不允许将球倒出来的前提下，为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出1个球记下颜色后放回摇匀，不断重复上述过程多次，发现摸到黑球的频率稳定在0.6，根据上述数据，可估计口袋中大约有______个黑球． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直角三角形的直角顶点在原点，斜边轴交轴于点，经过顶点的反比例函数解析式为，若，则经过顶点的反比例函数解析式为______． 16. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则点在第______象限． 17. 如图，四边形内接于，点为弧中点，对角线经过圆心，延长与过点的的切线交于点．若，则的长度为______；的长度为______． 18. 若一个四位自然数，满足，且，，则称四位数为“等差奇异数”．例如：四位自然数，因为，，，所以是“等差奇异数”．若是一个“等差奇异数”，则满足条件的值是______．若是一个“等差奇异数”，将千位上的数字与百位上的数字对调，十位上的数字与个位上的数字对调，组成一个新的四位数记为，记，，且和都是整数，则满足条件的的值为______． 三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 在学习了平行四边形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，这条垂线与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： （1）如图，在平行四边形中，点是对角线的中点．用尺规过点作的垂线，分别交于点，连接，．（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：平行四边形，点分别在上，经过对角线的中点，且．求证：四边形是菱形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴① ，， ∵点是的中点， ∴② ， ∴， ∴③ ， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 进一步思考，如果四边形是矩形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④ ． 21. 如图，二次函数的图象与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线的顶点，连接，． （1）求点的坐标； （2）求的周长． 22. 一个不透明袋子里装有1个红球，1个蓝球，2个黄球（这些球除颜色外完全相同），把这些球放在口袋中搅匀． （1）若从中随机摸出1个球，则摸到红球的概率是______； （2）小新从口袋中随机摸出一球，记下颜色后不放回，随后小颖从口袋里剩下的球中随机摸出一球，记下颜色后不放回，请用列表或树状图求出小新和小颖都没有摸到黄球的概率． 23. 某超市以每个20元的价格进了一批新型儿童玩具，当每个售价为34元时，超市平均每天可售出100个．国庆期间为了扩大销售，增加盈利，在售价不低于进价的前提下超市决定采取降价促销方式招揽顾客，经调查发现：在一定范围内，当玩具的单价每降低1元，超市每天可多售出10个．设每个玩具售价下降了元，超市每天的销售利润为元． （1）降价后超市平均每天可售出______个玩具； （2）求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （3）超市将每个玩具的售价定为多少元时，可使每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 24. 如图1，在中，，，，为中点，动点以每秒1个单位长度的速度沿折线方向运动，当点运动到点时停止运动．设运动时间为秒（），的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给出的平面直角坐标系中画出的图象，并写出的一条性质； （3）如图2，的图象如图所示，结合函数图象，直接写出时的取值．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，交轴于点和点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点是直线上方抛物线上一动点，连接，求面积最大值及此时点的坐标； （3）将原抛物线沿轴正半轴平移2个单位长度得到新抛物线，新抛物线与轴的负半轴交于点，点为平移后的新抛物线上一动点，当，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 26. 在中，，于点． （1）如图1，若，，求的长度； （2）如图2，，点分别是边上的点，连接交于点，以为直角边构造等腰，，在上取一点，连接，当，时，求证：； （3）如图3，点在的上方，连接，将绕点逆时针旋转到，连接．若，，连接交于点，将沿直线翻折至所在的平面内，得到．当的值最小时，求点到的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋九年级（上）学业质量达标监测试卷数学 数学测试卷共2页，满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列车标图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形定义，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的概念逐一判断求解． 【详解】A、不是中心对称图形，故此选项错误； B、不是中心对称图形，故此选项错误； C、是中心对称图形，故此选项正确； D、不是中心对称图形，故此选项错误； 故选：C． 2. 掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是（ ） A. 点数的和为1 B. 点数的和为6 C. 点数的和大于12 D. 点数的和小于13 【答案】B 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、点数和为1，是不可能事件，不符合题意； B、点数和为6，是随机事件，符合题意； C、点数和大于12，是不可能事件，不符合题意； D、点数的和小于13，是必然事件，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意将各项的坐标代入反比例函数即可解答． 【详解】解：A将代入反比例函数得到，故A项不符合题意； B项将代入反比例函数得到，故B项不符合题意； C项将代入反比例函数得到，故C项不符合题意； D项将代入反比例函数得到，故D项符合题意； 故选D． 4. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为 B. 顶点坐标为 C. 函数的最大值为 D. 函数的最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键． 根据二次函数的图象及性质逐项判断即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴为，顶点坐标为， ∵， ∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为， ∴A、B、D选项错误，C选项正确． 故选：C． 5. 已知为一元二次方程的根，那么的值为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程解的定义和求代数式的值．根据一元二次方程解的定义得，把代数式变形后整体代入求值即可． 【详解】解：为一元二次方程根， ∴， 则， ∴， 故选：A． 6. 已知二次函数的部分图象如图，该抛物线的图象过点，，由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是和（ ） A. 1 B. －1 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像和性质，二次函数与一元二次方程的关系，理解数形结合的思想是解题的关键．根据二次函数与一元二次方程的关系得出答案即可． 【详解】解： 一元二次方程的两个根即二次函数与直线的交点，二次函数的图象过点，， 原方程的解是，． 故选：A． 7. 如图，是的直径，点在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，根据是直径得到，求出，即可得到的度数． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：B 8. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，交于点．当时，点恰好落在上，此时的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质．熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据旋转得到，，求出和的度数，根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，交于点．当时， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选B． 9. 如图，在中，，，．以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积、特殊角的三角函数值、等边三角形的性质与判定，利用扇形面积减去三角形面积求出阴影部分的面积是解题的关键．连接，利用锐角三角函数得出，得出是等边三角形，分别求出扇形的面积和等边面积，再利用阴影部分的面积等于扇形的面积减去等边面积，即可解答． 【详解】解：如图，连接， ，，， ，， ，， ， 又， 是等边三角形， ，， ， 点为的中点， ， 又， 阴影部分的面积． 故选：C． 10. 关于的多项式：，其中为正整数，，，…，为互不相等且不为零的整数．比如当时，．交换任意两项的系数，得到的新多项式称为原多项式的“衍生多项式”下列说法： ①共有15个不同的“衍生多项式”； ②若多项式，无论为何值时，； ③若多项式，． 其中正确的个数是（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，根据多项式的特点选取合适的的值是解题关键．先确定共有6个互不相等且不为零的系数，再根据“衍生多项式”的定义即可判断①正确；将代入多项式即可判断②正确；将和代入计算即可判断③正确． 【详解】解：∵，共有6个互不相等且不为零的系数， ∴交换任意两项的系数共有种， 则共有15个不同的“衍生多项式”，说法①正确； 令，则，说法②正确； 当时，， 当时，， 将上面两式相减得：， 则，说法③正确； 综上，正确的个数是3个， 故选：A． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 点关于原点的对称点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案． 【详解】点关于原点的对称点的坐标是 故答案为： 12. 将抛物线向下平移2个单位后所得的抛物线解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．按照“上加下减”的规律即可求得． 【详解】将抛物线向下平移2个单位后所得的抛物线解析式为： 即 故答案为： 13. 某汽车公司2024年10月份营业额为104亿元，12月份营业额为125亿元，已知该公司的营业额月平均增长率相同，设该公司10月到12月营业额平均月增长率为，根据题意，可列出的方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．利用该公司按计划今年12月的营业额该公司今年10月的营业额该公司营业额的月平均增长率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得，． 故答案为：． 14. 一个不透明口袋中装有16个白球和若干个黑球，这些球除颜色外其余均相同，在不允许将球倒出来的前提下，为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出1个球记下颜色后放回摇匀，不断重复上述过程多次，发现摸到黑球的频率稳定在0.6，根据上述数据，可估计口袋中大约有______个黑球． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．设口袋中有16个白球和x个黑球，利用摸到黑球的频率稳定在0.6列出方程，求解即可． 【详解】解：设口袋中有16个白球和x个黑球， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 估计口袋中大约有24个黑球． 故答案为：24． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直角三角形的直角顶点在原点，斜边轴交轴于点，经过顶点的反比例函数解析式为，若，则经过顶点的反比例函数解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数中的几何意义，熟练掌握反比例函数中的几何意义是解题的关键．根据反比例函数中的几何意义，可得，再根据，可知，最后再根据反比例函数中的几何意义，即可得到答案． 【详解】解：设经过顶点的反比例函数解析式为 (k为常数，)． 斜边轴交轴于点， 点的纵坐标相等． ． ． ， ． ． ． 则经过顶点的反比例函数解析式为． 故答案为： ． 16. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则点在第______象限． 【答案】四 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、点的坐标．由一元二次方程根的判别式，即可得出关于m的不等式，解之即可得出m的取值范围，由m的取值范围可得出，的符号，进而可得出点P所在的象限，此题得解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， ，， 点在第四象限， 故答案为：四． 17. 如图，四边形内接于，点为弧的中点，对角线经过圆心，延长与过点的的切线交于点．若，则的长度为______；的长度为______． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】连接，由是的切线，得到，根据是的直径得到，证明，得到,则,，得到是等边三角形，则，得到，证明是等腰直角三角形，得到，则． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴,， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵点为弧的中点， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：3，． 【点睛】此题考查了圆周角定理、勾股定理、等边三角形的判定和性质、解直角三角形、等腰三角形的判定和性质、切线的性质等知识，证明是等边三角形是解题的关键． 18. 若一个四位自然数，满足，且，，则称四位数为“等差奇异数”．例如：四位自然数，因为，，，所以是“等差奇异数”．若是一个“等差奇异数”，则满足条件的的值是______．若是一个“等差奇异数”，将千位上的数字与百位上的数字对调，十位上的数字与个位上的数字对调，组成一个新的四位数记为，记，，且和都是整数，则满足条件的的值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了用新定义解决问题，直接由“等差奇异数”定义即可求出最大的四位“等差奇异数”，又由“等差奇异数”定义得到，，又和都是整数，则有，或，然后根据，，，，分别求出的值即可，理解“等差奇异数”的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是一个“等差奇异数”， ∴，， 解得：，， ∴满足条件的的值是， ∵，满足，且，， ∴，， ∴， ， ∴，， ∵和都是整数， ∴，都是整数， ∴，或， ∵，，，， ∴， ∴，， ∴满足条件的的值为， 故答案为：，． 三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 在学习了平行四边形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，这条垂线与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： （1）如图，在平行四边形中，点是对角线中点．用尺规过点作的垂线，分别交于点，连接，．（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：平行四边形，点分别在上，经过对角线的中点，且．求证：四边形是菱形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴① ，， ∵点是的中点， ∴② ， ∴， ∴③ ， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 进一步思考，如果四边形是矩形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④ ． 【答案】（1）见详解 （2）①；②；③；④过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，这条垂线与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图—作垂线、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据尺规作图-作垂线的方法，过点作的垂线，分别交于点，连接，即可； （2）首先根据平行四边形的性质，可得，易得，，再证明，即可证明，由全等三角形的性质可得，结合易得四边形是平行四边形，然后根据“对角线相关垂直的平行四边形为菱形”即可证明结论；然后结合题意，写出若四边形是矩形是的猜想结论即可． 【小问1详解】 解：如下图，即为所求； 【小问2详解】 已知：平行四边形，点分别在上，经过对角线的中点，且．求证：四边形是菱形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 进一步思考，如果四边形是矩形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，这条垂线与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形． 故答案为：①；②；③；④过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，这条垂线与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形． 21. 如图，二次函数的图象与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线的顶点，连接，． （1）求点的坐标； （2）求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，二次函数的性质以及两点间距离公式等知识，掌握以上知识是解题的关键． （1）令，则，解方程求出x的值即可求解； （2）先求出点C的坐标，然后根据两点间距离公式求解即可． 【小问1详解】 解：令，则， 解得，， ； 【小问2详解】 解：该抛物线对称轴为， 将代入，得， ， 在中，当时，， ， 由（1）可知，， ， ， ， ． 22. 一个不透明袋子里装有1个红球，1个蓝球，2个黄球（这些球除颜色外完全相同），把这些球放在口袋中搅匀． （1）若从中随机摸出1个球，则摸到红球的概率是______； （2）小新从口袋中随机摸出一球，记下颜色后不放回，随后小颖从口袋里剩下的球中随机摸出一球，记下颜色后不放回，请用列表或树状图求出小新和小颖都没有摸到黄球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了利用树状图或列表法求概率、概率公式等知识． （1）利用概率公式计算即可； （2）列表找到所有可能的情况数，用所有符合要求的情况数除以总的情况数即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵一个不透明袋子里装有1个红球，1个蓝球，2个黄球（这些球除颜色外完全相同）， ∴若从中随机摸出1个球，则摸到红球的概率是， 故答案为：； 小问2详解】 两个黄球分别记为黄1和黄2，可以用下表列举出所有可能出现的结果. 小颖 小新 红 蓝 黄1 黄2 红 （红，蓝） （红，黄1） （红，黄2） 蓝 （蓝，红） （蓝，黄1） （蓝，黄2） 黄1 （黄1，红） （黄1，蓝） （黄1，黄2） 黄2 （黄2，红） （黄2，蓝） （黄2，黄1） 由上表可知，一共有12种结果，并且它们出现的可能相等，其中小新和小颖都没有摸出黄球的有2种，所以． 答：小新和小颖都没有摸出黄球的概率． 23. 某超市以每个20元的价格进了一批新型儿童玩具，当每个售价为34元时，超市平均每天可售出100个．国庆期间为了扩大销售，增加盈利，在售价不低于进价的前提下超市决定采取降价促销方式招揽顾客，经调查发现：在一定范围内，当玩具的单价每降低1元，超市每天可多售出10个．设每个玩具售价下降了元，超市每天的销售利润为元． （1）降价后超市平均每天可售出______个玩具； （2）求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （3）超市将每个玩具的售价定为多少元时，可使每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2） （3）售价定为32元时，可使每天获得的利润最大，最大利润是1440元 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式、二次函数的应用等知识，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）根据“玩具的单价每降低1元，超市每天可多售出10个”即可获得答案； （2）根据“利润单个玩具利润销售量”，即可获得答案； （3）将二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可获得答案． 【小问1详解】 解：降价后超市平均每天可售出个玩具； 故答案为：； 【小问2详解】 由题意，可得 ，其中的取值范围是； 【小问3详解】 ， 其中， 所以，当时，有最大值， 此时玩具的售价为（元）， 答：该超市将每个玩具的售价定为32元时，可使每天获得的利润最大，最大利润是1440元． 24. 如图1，在中，，，，为中点，动点以每秒1个单位长度的速度沿折线方向运动，当点运动到点时停止运动．设运动时间为秒（），的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给出的平面直角坐标系中画出的图象，并写出的一条性质； （3）如图2，的图象如图所示，结合函数图象，直接写出时的取值．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】（1） （2）见解析 （3）， 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练列出函数解析式是解答本题的关键． （1）分阶段写出关于的函数表达式即可； （2）根据（1）的函数解析式画出的图象并写出一条性质即可； （3）结合函数图象，直接写出时的取值即可 【小问1详解】 过点D作，则四边形为矩形， ∵为中点， ， 当时， 当时， 【小问2详解】 图象如图所示，性质如下： 增减性：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小. 最值：该函数在自变量的取值范围内，有最大值，无最小值；当时，函数取得最大值. 【小问3详解】 由图可知： 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，交轴于点和点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点是直线上方抛物线上一动点，连接，求面积最大值及此时点的坐标； （3）将原抛物线沿轴正半轴平移2个单位长度得到新抛物线，新抛物线与轴的负半轴交于点，点为平移后的新抛物线上一动点，当，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、一次函数和二次函数的图象交点等知识． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点P作轴交于点E，求出直线的解析式为，得到，，则，当时，取得最大值，得到取得最大值，此时，即可得到答案； （3）求出，再求出点的坐标为，当时，，进一步求出直线的解析式为，联立直线和平移后的抛物线解析式得到或，则点的坐标是，当时，，则直线经过点的关于轴对称点，求出直线的解析式为，联立直线和平移后的抛物线解析式得到或，即可得到点的坐标是． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点，交轴于点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 如图，过点P作轴交于点E， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ， ，则， ∵，且 ， 当时，取得最大值， 取得最大值， 此时， 此时； 【小问3详解】 ∵， ∴将原抛物线沿轴正半轴平移2个单位长度得到新抛物线，则： ， 当时，，解得或， ∴点的坐标为， 如图，当时，， ∵直线的解析式为， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得到，， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得到， 解得或， ∴点的坐标是， 当时，， ∴直线与直线关于轴对称， ∴直线经过点的关于轴对称点， 设直线的解析式为， 把点的坐标为，点代入，得 解得， ∴直线的解析式为， 联立得到， 解得，或， ∴点的坐标是， 综上可知，点的坐标为或． 26. 在中，，于点． （1）如图1，若，，求的长度； （2）如图2，，点分别是边上的点，连接交于点，以为直角边构造等腰，，在上取一点，连接，当，时，求证：； （3）如图3，点在的上方，连接，将绕点逆时针旋转到，连接．若，，连接交于点，将沿直线翻折至所在的平面内，得到．当的值最小时，求点到的距离． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据含度角的直角三角形的性质得出，进而勾股定理求得，根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理，即可求解； （2）过点作交的延长线于点，证明，进而证明得出，进而根据等腰三角形的性质以及勾股定理得出，等量代换即可得证； （3）根据旋转可得是等腰直角三角形，根据折叠可得，则当三点共线时，的值最小，又为、的交点，如图，设交于点，过点作于点，证明得出，进而解，，得出，根据，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴； 【小问2详解】 过点作交的延长线于点 ∵°， ∴ ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ 在中， ∴ 在中， ∴. ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ 【小问3详解】 ∵将绕点逆时针旋转到， ∴是等腰直角三角形， ∵折叠， ∴， ∴， 当三点共线时，的值最小，又为、的交点，如图，设交于点，过点作于点， 由题可知，，， 设，则， ∵，是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴，即 解得：，即， 在中， ∴ ∵ ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，折叠的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$