陕西省西安市新城区2024-2025学年九年级上学期期末联考数学试题

2024-2025学年陕西省西安市新城区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（3分）计算4tan45°的值为（　　） A．4 B． C． D．1 2．（3分）如图所示，几何体的主视图是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）某水果超市准备用300元购进一批橙子进行销售，则购进橙子的数量y（斤）与橙子单价x（元/斤）（　　） A．y＝300x B．y＝300+x C． D． 4．（3分）笑笑和妈妈买了5包核桃牛奶和n包红枣牛奶，这些牛奶外观除了包装袋上的字不同外，其他均相同，笑笑每次从盒子中随机摸出一袋牛奶，记下口味后放回盒子中搅匀，摸到核桃牛奶的频率稳定于0.2，则估计n的值为（　　） A．25 B．20 C．15 D．10 5．（3分）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，OB＝5，则OC的长为（　　） A．5 B．8 C．10 D．15 6．（3分）如图所示，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，E为AD的中点．若AB＝6，则△BOE的周长为（　　） A．10 B．8+2 C．8+2 D．14 7．（3分）如图，△ACD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，若∠C＝30°，AD＝3的长为（　　） A．2π B．3π C．4π D．6π 8．（3分）已知抛物线C1如图所示，它与x轴的一个交点为（﹣1，0），其对称轴为直线x＝11向右平移2个单位长度后得到抛物线C2：y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0），下列结论：①6a﹣b＝0；②abc＞0；④b2﹣4ac＞0．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9．（3分）写一个一元二次方程，使它有两个相等的实数根：　 　（写出一个即可）． 10．（3分）一个正多边形的中心角为60°，边长为4，则该正多边形的边心距为 　 　． 11．（3分）如图，某停车场入口的栏杆从水平位置AB绕点O旋转到A'B'的位置．已知AO＝4米，栏杆的旋转角∠AOA'＝40°　 　米．（用含40°角的三角函数表示） 12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数，且点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，则矩形OABC的面积为 　 　． 13．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF　 　． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14．（5分）计算：． 15．（5分）解方程：6（x﹣5）＝2x（x﹣5）． 16．（5分）已知反比例函数的图象所在的每个象限内，y随x的增大而增大． （1）求k的取值范围； （2）若点（﹣2，4）在该函数的图象上，求k的值． 17．（5分）如图，点E为矩形ABCD的边BC的延长线上一点，连接DE，连接BF，使得△BCF∽△DCE．（保留作图痕迹，不写作法） 18．（5分）如图，已知四边形ABEF为平行四边形，点C为BE的中点，若DE＝2CE，求证：四边形ABEF为菱形． 19．（5分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点坐标依次为A（1，3）、B（3，1）（4，2）．请以原点O为位似中心，在第一象限内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且△A1B1C1与△ABC的相似比为2：1，并写出点A、C的对应点A1、C1的坐标． 20．（5分）糜子黄酒是陕北人民在整理、挖掘、继承民间酿酒工艺的基础上，采用最新技术和现代理化分析手段研制开发的一种风味独特的新型保健酒，因其香气浓郁、入口微甜、后味醇厚，深受省内外人们的喜欢．某超市今年10月份糜子黄酒的销量为150瓶，经过两个月的连续增长 21．（6分）中学生使用智能手机的现象非常普遍，针对中学生的网络诈骗案件也频频发生，为了引导青少年正确使用互联网，增强青少年的网络安全意识，某校举行了一次“和谐网络你我共享，校团委决定从三名九年级学生（分别用A、B、C表示）和两名八年级学生（分别用D、E表示） （1）若从这5名学生中随机选择1名，则C同学被选中的概率为 　 　； （2）若从这5名学生中随机选择2名参加宣讲活动，请用画树状图或列表的方法求2名学生中至少有一名是九年级学生的概率． 22．（7分）如果二次函数的二次项系数为1，则此二次函数可表示为y＝x2+px+q，我们称[p，q]为此函数的特征数2+2x+3的特征数是[2，3]． （1）若一个函数的特征数为[﹣2，1]，求此函数图象的顶点坐标； （2）若一个函数的特征数为[4，﹣1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，求得到的新图象对应的函数的特征数． 23．（7分）晓月在某个阳光明媚的午后，想利用太阳光线来测量校园内一棵大树的高度，如图，发现DE在太阳光下的影长EF＝3米，同一时刻，AB⊥CE，DE⊥CE． （1）请在图中画出大树AB的影长BC； （2）若测得此刻大树在地面上的影长BC＝12米，请你求出大树AB的高度． 24．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，连接BD、DO，过点B作⊙O的切线BE交DO的延长线于点E． （1）求证：△OAD∽△OEB； （2）若，OE＝5，求BD的长． 25．（8分）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系． （1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式； （2）请求出在距离水池中心5米处，水柱距地面的高度为多少米？ （3）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿 26．（10分）【问题探究】 （1）如图1，△ABC内接于⊙O，AB＝BC上任意一点（点D不与点A、C重合），连接AD、BD、CD，求∠ABC的度数； 【问题解决】 （2）如图2是一块半径为2米的圆形废旧铁皮，工人李叔叔计划从该铁皮上裁剪出一块四边形ABCD进行再利用，根据李叔叔的规划要求，B，C，D均为⊙O上的点，AB＝BC，，请问该四边形ABCD的周长是否存在最大值？若存在，求出四边形ABCD周长的最大值，请说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C B C C A C 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（3分）计算4tan45°的值为（　　） A．4 B． C． D．1 【答案】A 【分析】直接把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【解答】解：原式＝4×1＝8． 故选：A． 2．（3分）如图所示，几何体的主视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】找到从前面看所得到的图形即可． 【解答】解：从前面看，可得如图形： 故选：B． 3．（3分）某水果超市准备用300元购进一批橙子进行销售，则购进橙子的数量y（斤）与橙子单价x（元/斤）（　　） A．y＝300x B．y＝300+x C． D． 【答案】C 【分析】根据“单价×数量＝金额”计算即可． 【解答】解：∵xy＝300， ∴之间的函数关系式为y＝． 故选：C． 4．（3分）笑笑和妈妈买了5包核桃牛奶和n包红枣牛奶，这些牛奶外观除了包装袋上的字不同外，其他均相同，笑笑每次从盒子中随机摸出一袋牛奶，记下口味后放回盒子中搅匀，摸到核桃牛奶的频率稳定于0.2，则估计n的值为（　　） A．25 B．20 C．15 D．10 【答案】B 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【解答】解：由题意可得，＝5.2， 解得n＝20， 经检验，n＝20为原方程的解， 故估计n的值为20． 故选：B． 5．（3分）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，OB＝5，则OC的长为（　　） A．5 B．8 C．10 D．15 【答案】C 【分析】由平行线分线段成比例定理，得到＝；利用AO、BO、DO的长度，求出CO的长度，再根据BC＝BO+CO即可解决问题． 【解答】解：∵AD＝3OA， ∴OD＝2OA， ∵AB∥CD，OB＝3， ∴＝＝， ∴＝， 解得：OC＝10， 故选：C． 6．（3分）如图所示，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，E为AD的中点．若AB＝6，则△BOE的周长为（　　） A．10 B．8+2 C．8+2 D．14 【答案】C 【分析】易知OE是中位线，则OE＝CD＝3，在Rt△ABE中，利用勾股定理求得BE的长，在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，根据矩形性质可求BO，从而求出△BOE周长． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝6， ∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝3， ∵点O是AC的中点，E为AD的中点， ∴OE＝CD＝2AD＝8， 在Rt△ABE中，AE＝4， 根据勾股定理得，BE＝， 在Rt△ABC中，根据勾股定理得， AC＝＝＝10． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∵点O是AC的中点， ∴BO＝8． ∴△BOE周长为5+3+7＝8+2． 故选：C． 7．（3分）如图，△ACD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，若∠C＝30°，AD＝3的长为（　　） A．2π B．3π C．4π D．6π 【答案】A 【分析】根据圆周角定理求出∠AOD，进而求出∠BOD，根据等边三角形的性质求出OD，再根据弧长公式计算即可． 【解答】解：∵∠C＝30°， ∴∠AOD＝2∠C＝60°， ∴∠BOD＝180°﹣60°＝120°， ∵OA＝OD，∠AOD＝60°， ∴△AOD为等边三角形， ∴OD＝AD＝3， ∴劣弧的长为：， 故选：A． 8．（3分）已知抛物线C1如图所示，它与x轴的一个交点为（﹣1，0），其对称轴为直线x＝11向右平移2个单位长度后得到抛物线C2：y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0），下列结论：①6a﹣b＝0；②abc＞0；④b2﹣4ac＞0．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】依据题意，抛物线C2与x轴的另一个交点为（1，0），对称轴为直线x＝3，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵抛物线C1与x轴的一个交点为（﹣1，5），将抛物线C1向右平移2个单位长度后得到抛物线C2：y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数， ∴抛物线C2与x轴的另一个交点为（8，0）， ∴﹣＝2， ∴6a+b＝0，故①错误． ∵抛物线C8与x轴的另一个交点为（1，0），且开口向下， ∴抛物线与y轴的负半轴相交， ∴a＜3，c＜0， ∴b＝﹣6a＞3， ∴abc＞0，故②正确； ∵x＝3时，y＞5， ∴9a+3b+c＞4，故③正确； ∵抛物线C2与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0，故④正确． 故选：C． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9．（3分）写一个一元二次方程，使它有两个相等的实数根：　x2+2x+1＝0　（写出一个即可）． 【答案】x2+2x+1＝0（答案不唯一）． 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根可知其判别式为0，继而即可求解． 【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠3）有两个相等的实数根， ∴b2﹣4ac＝7， ∴符合题意的一元二次方程可以为：x2+2x+4＝0， 故答案为：x2+7x+1＝0（答案不唯一）． 10．（3分）一个正多边形的中心角为60°，边长为4，则该正多边形的边心距为 　2　． 【答案】2． 【分析】如图，连接OA，OB，根据等边三角形的性质得到OA＝OB＝AB＝4，过O作OH⊥AB于H，得到AH＝BH＝＝2，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：如图，连接OA， ∵∠AOB＝60°，OA＝OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA＝OB＝AB＝4， 过O作OH⊥AB于H， ∴AH＝BH＝＝2， ∴OH＝＝＝2， 答：该正多边形的边心距为2， 故答案为：6． 11．（3分）如图，某停车场入口的栏杆从水平位置AB绕点O旋转到A'B'的位置．已知AO＝4米，栏杆的旋转角∠AOA'＝40°　4sin40°　米．（用含40°角的三角函数表示） 【答案】4sin40°． 【分析】根据正弦函数的定义求解． 【解答】解：在Rt△AHO中，OA＝OA＝4米， ∴A′H＝OA′•sin40°＝4sin40°（米）． 故答案为：7sin40°． 12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数，且点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，则矩形OABC的面积为 　8　． 【答案】8． 【分析】根据反比例函数k值的几何意义解答即可． 【解答】解：如图，作DE⊥y轴． ∵点D在反比例函数的图象上， ∴S矩形ADEO＝2， ∵点D是AB的中点， ∴S矩形ABCO＝2S矩形ADEO＝8． 故答案为：7． 13．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF　2﹣2　． 【答案】见试题解答内容 【分析】连接DG，将DG绕点D逆时针旋转90°得DM，连接MG，CM，MF，作MH⊥CD于H，利用SAS证明△EDG≌△DFM，得MF＝EG＝2，再说明△DGC≌△DMH（AAS），得CG＝DH＝2，MH＝CD＝4，求出CM的长，再利用三角形三边关系可得答案． 【解答】解：方法一：连接DG，将DG绕点D逆时针旋转90°得DM，CM， 作MH⊥CD于H， ∵∠EDF＝∠GDM， ∴∠EDG＝∠FDM， ∵DE＝DF，DG＝DM， ∴△EDG≌△MDF（SAS）， ∴MF＝EG＝2， ∵∠GDC+∠CDM＝∠CDM+∠DMH， ∴∠GDC＝∠DMH， ∵∠DCG＝∠DHM，DG＝DM， ∴△DGC≌△MDH（AAS）， ∴CG＝DH＝2，MH＝CD＝8， ∴CM＝＝2， ∵CF≥CM﹣MF， ∴CF的最小值为2﹣8， 方法二：连接AG、AE， 由方法一同理得，AE＝CF， ∵AE≥AG﹣EG＝2﹣2， ∴AE的最小值为2﹣2， ∴CF的最小值为2﹣2， 故答案为：2﹣2． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14．（5分）计算：． 【答案】． 【分析】先把特殊角的三角函数值代入，再计算即可． 【解答】解： ＝ ＝7﹣2+ ＝． 15．（5分）解方程：6（x﹣5）＝2x（x﹣5）． 【答案】x1＝5，x2＝3． 【分析】先移项，然后左边的因式进行因式分解，进而可得解． 【解答】解：原方程可化为6（x﹣5）﹣8x（x﹣5）＝0， （x﹣7）（6﹣2x）＝3， ∴x﹣5＝0或3﹣2x＝0， 解得x7＝5，x2＝4． 16．（5分）已知反比例函数的图象所在的每个象限内，y随x的增大而增大． （1）求k的取值范围； （2）若点（﹣2，4）在该函数的图象上，求k的值． 【答案】（1）k＜1； （2）k＝﹣7． 【分析】（1）根据反比例函数的性质得出关于k的不等式，解得即可； （2）把点（﹣2，4）代入反比例函数解析式可得k的值． 【解答】解：（1）∵在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而增大， ∴k﹣1＜0， 解得：k＜2； （2）把点（﹣2，4）代入y＝， 解得：k＝﹣8． 17．（5分）如图，点E为矩形ABCD的边BC的延长线上一点，连接DE，连接BF，使得△BCF∽△DCE．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析． 【分析】过点B作∠CBF＝∠EDC即可． 【解答】解：作图如图所示： 18．（5分）如图，已知四边形ABEF为平行四边形，点C为BE的中点，若DE＝2CE，求证：四边形ABEF为菱形． 【答案】证明见解答． 【分析】由平行四边形的性质得EF∥AB，则∠D＝∠CAB，由点C为BE的中点，得CE＝CB，EB＝2CE，而∠DCE＝∠ACB，即可根据“AAS”证明△DCE≌△ACB，得DE＝AB，因为DE＝2CE，所以AB＝2CE，推导出AB＝EB，则四边形ABEF为菱形． 【解答】证明：∵四边形ABEF是平行四边形， ∴EF∥AB， ∴∠D＝∠CAB， ∵点C为BE的中点， ∴CE＝CB，EB＝2CE， 在△DCE和△ACB中， ， ∴△DCE≌△ACB（AAS）， ∴DE＝AB， ∵DE＝2CE， ∴AB＝5CE， ∴AB＝EB， ∴四边形ABEF为菱形． 19．（5分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点坐标依次为A（1，3）、B（3，1）（4，2）．请以原点O为位似中心，在第一象限内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且△A1B1C1与△ABC的相似比为2：1，并写出点A、C的对应点A1、C1的坐标． 【答案】作图见解析，点A1（2，6）；C1（8，4）． 【分析】延长OA至格点A1，使OA＝AA1，延长OB至格点B1，使OB＝BB1，延长OC至格点C1，使OC＝CC1，然后连接A1B1，C1B1，A1C1即可，根据点A1、C1的位置即可得到结论． 【解答】解：如图所示， 点A1（2，5）；C1（8，2）． 20．（5分）糜子黄酒是陕北人民在整理、挖掘、继承民间酿酒工艺的基础上，采用最新技术和现代理化分析手段研制开发的一种风味独特的新型保健酒，因其香气浓郁、入口微甜、后味醇厚，深受省内外人们的喜欢．某超市今年10月份糜子黄酒的销量为150瓶，经过两个月的连续增长 【答案】两个月糜子黄酒销量的月平均增长率为20%． 【分析】设这两个月糜子黄酒销量的月平均增长率为x，根据10月份糜子黄酒的销量为150瓶，12月份糜子黄酒的销量达到了216瓶．，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：这两个月糜子黄酒销量的月平均增长率为x， 依题意，得：150（1+x）2＝216， 解得：x7＝0.2＝20%，x4＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：两个月糜子黄酒销量的月平均增长率为20%． 21．（6分）中学生使用智能手机的现象非常普遍，针对中学生的网络诈骗案件也频频发生，为了引导青少年正确使用互联网，增强青少年的网络安全意识，某校举行了一次“和谐网络你我共享，校团委决定从三名九年级学生（分别用A、B、C表示）和两名八年级学生（分别用D、E表示） （1）若从这5名学生中随机选择1名，则C同学被选中的概率为 　　； （2）若从这5名学生中随机选择2名参加宣讲活动，请用画树状图或列表的方法求2名学生中至少有一名是九年级学生的概率． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）直接利用概率公式求解； （2）画树状图展示所有20种等可能的结果，找出2名学生中至少有一名是九年级学生的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：（1）从这5名学生中随机选择1名，则C同学被选中的概率为． 故答案为：； （2）画树状图为： 共有20种等可能的结果，其中2名学生中至少有一名是九年级学生的结果数为18种， 所以2名学生中至少有一名是九年级学生的概率为＝． 22．（7分）如果二次函数的二次项系数为1，则此二次函数可表示为y＝x2+px+q，我们称[p，q]为此函数的特征数2+2x+3的特征数是[2，3]． （1）若一个函数的特征数为[﹣2，1]，求此函数图象的顶点坐标； （2）若一个函数的特征数为[4，﹣1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，求得到的新图象对应的函数的特征数． 【答案】（1）（1，0）； （2）[2，﹣3]． 【分析】（1）根据函数的特征数的定义，写出二次函数，利用配方法即可解决问题． （2）首先根据函数的特征数的定义，写出二次函数，再根据平移的规律：左加右减，上加下减，即可解决． 【解答】解：（1）由题意可得出：y＝x2﹣2x+6＝（x﹣1）2， ∴此函数图象的顶点坐标为：（5，0）； （2）由题意可得出：y＝x2+6x﹣1＝（x+2）6﹣5， ∴将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移8个单位后得到y＝（x+2﹣1）7﹣5+1，即y＝x3+2x﹣3， ∴图象对应的函数的特征数为：[6，﹣3]． 23．（7分）晓月在某个阳光明媚的午后，想利用太阳光线来测量校园内一棵大树的高度，如图，发现DE在太阳光下的影长EF＝3米，同一时刻，AB⊥CE，DE⊥CE． （1）请在图中画出大树AB的影长BC； （2）若测得此刻大树在地面上的影长BC＝12米，请你求出大树AB的高度． 【答案】（1）见解析； （2）8m． 【分析】（1）过点A作AC∥DF交BE于点C，线段BC即为所求； （2）证明△ABC∽△DEF，推出＝，由此可得结论． 【解答】解：（1）如图，线段BC即为所求． （2）∵AC∥DF， ∴∠ACB＝∠DFE， ∵∠ABC＝∠DEF＝90°， ∴△ABC∽△DEF， ∴＝， ∴＝， ∴AB＝7（m）． 24．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，连接BD、DO，过点B作⊙O的切线BE交DO的延长线于点E． （1）求证：△OAD∽△OEB； （2）若，OE＝5，求BD的长． 【答案】（1）证明见解答； （2）BD的长是2． 【分析】（1）由点D为⊙O的弦AC的中点，根据垂径定理得OD⊥AC，则∠ODA＝90°，由切线的性质得∠OBE＝90°，则∠ODA＝∠OBE，而∠AOD＝∠EOB，所以△OAD∽△OEB； （2）因为∠OAD＝∠E，所以＝tanE＝tan∠OAD＝＝，设OA＝OB＝m，OD＝n，则BE＝2m，AD＝CD＝2n，由OE＝＝m＝5，求得m＝，则OA＝OB＝，由OA＝＝n＝，求得n＝1，则OD＝1，AD＝CD＝2，所以BC＝2OD＝2，而∠C＝90°，则BD＝＝2． 【解答】（1）证明：∵点D为⊙O的弦AC的中点， ∴OD⊥AC， ∴∠ODA＝90°， ∵BE与⊙O相切于点B， ∴BE⊥OB， ∴∠OBE＝90°， ∴∠ODA＝∠OBE， ∵∠AOD＝∠EOB， ∴△OAD∽△OEB． （2）解：∵∠ODA＝∠OBE＝90°，∠AOD＝∠EOB， ∴∠OAD＝90°﹣∠AOD＝90°﹣∠EOB＝∠E， ∴＝tanE＝tan∠OAD＝＝， 设OA＝OB＝m，OD＝n，AD＝CD＝5OD＝2n， ∴OE＝＝＝m＝5， ∴m＝， ∴OA＝OB＝， ∵OA＝＝＝n＝， ∴n＝2， ∴OD＝1，AD＝CD＝2， ∴BC＝7OD＝2， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠C＝90°， ∴BD＝＝＝2， ∴BD的长是2． 25．（8分）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系． （1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式； （2）请求出在距离水池中心5米处，水柱距地面的高度为多少米？ （3）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿 【答案】（1）水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为：y＝﹣（x﹣3）2+5（0＜x＜8）； （2）在距离水池中心5米处，水柱距地面的高度为4.2米； （3）为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内． 【分析】（1）用顶点式表示抛物线的解析式，把点（8，0）代入抛物线的解析式可得a的值，进而根据抛物线在第一象限可得x的取值范围； （2）把x＝5代入（1）得到的函数解析式，求得y的值即可； （3）y＝1.8，代入（1）得到的函数解析式，求得x的值，取第一象限内的解即可判断身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内． 【解答】解：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝a（x﹣3）2+5（a≠0）． ∵经过点（8，4）， ∴0＝a（8﹣8）2+5， 解得a＝﹣， ∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为：y＝﹣（x﹣3）2+2（0＜x＜8）； （2）当x＝7时，y＝﹣8+5＝4.6， ∴在距离水池中心5米处，水柱距地面的高度为4.4米； （3）当y＝1.8时，2.8＝﹣2+5． 解得：x8＝7，x2＝﹣3（不合题意，舍去）． 答：为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心8米以内． 26．（10分）【问题探究】 （1）如图1，△ABC内接于⊙O，AB＝BC上任意一点（点D不与点A、C重合），连接AD、BD、CD，求∠ABC的度数； 【问题解决】 （2）如图2是一块半径为2米的圆形废旧铁皮，工人李叔叔计划从该铁皮上裁剪出一块四边形ABCD进行再利用，根据李叔叔的规划要求，B，C，D均为⊙O上的点，AB＝BC，，请问该四边形ABCD的周长是否存在最大值？若存在，求出四边形ABCD周长的最大值，请说明理由． 【答案】（1）∠ABC＝60°． （2）m． 【分析】（1）延长DC至E，使CE＝AD，连接BE，利用圆内接四边形性质证明△BAD≌△BCE（SAS），再证明△BDE为等边三角形，结合前面全等的结论可得∠ABC＝60°； （2）延长DC至F，使CF＝AD，连接BF，同理可证△ABD≌△CBF（SAS），则BD＝BF，所以BD＝AD+DC＝CF+DC＝DF，运用勾股定理逆定理证明△BDF是直角三角形，从而得AC为直径，故四边形ABCD周长为AB+BC+AD+DC＝2AB+DF＝2AB+＝+，当BD为直径时，周长最大． 【解答】解：（1）如图3所示，延长DC至E，连接BE， ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠DAB+∠DCB＝180°， 又∵∠DCB+∠BCE＝180°， ∴∠DAB＝∠BCE， 在△BAD和△BCE中， ， ∴△BAD≌△BCE（SAS）， ∴BD＝BE，∠ABD＝∠CBE， ∵BD＝AD+DC＝CE+DC＝DE， ∴△BDE为等边三角形． ∴∠DBE＝60°＝∠DBC+∠CBE＝∠DBC+∠ABD＝∠ABC， 即∠ABC＝60°． （2）该四边形ABCD的周长存在最大值，最大值为m 如图4所示，延长DC至F，连接BF， 同理可证△ABD≌△CBF（SAS）， 从而BD＝BF， 又∵BD＝AD+DC＝CF+DC＝DF， 在△BDF中，有BD4+BF2＝DF2，故∠DBF＝90°， 从而可得∠ABC＝90°，故AC为直径， ∴四边形ABCD周长＝AB+BC+AD+DC＝6AB+DF＝2AB+＝+， 当BD最大时（即为直径时），四边形ABCD周长最大值为＝m． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/1/26 20:07:04；用户：冯锦华；邮箱：13432702335；学号：60769856 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$