云南省昆明市云南大学附属中学2024—2025学年上学期九年级期末数学试卷

2024-2025学年云南大学附中九年级（上）期末数学试卷 一.选择题（共15小题，每小题2分，共30分） 1．（2分）纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2分）如图是一块雕刻印章的材料，它的俯视图为（　　） A． B． C． D． 3．（2分）下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（　　） A．水落石出 B．水涨船高 C．水滴石穿 D．水中捞月 4．（2分）关于x的一元二次方程2x2﹣3x+k＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．（2分）设方程x2﹣3x+2＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2的值为（　　） A．3 B．﹣ C． D．﹣2 6．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sinB＝，则BC的长是（　　） A．3 B．6 C．8 D．9 7．（2分）如图，点A，B，C在⊙O上，连结AB，AC，OB，OC．若∠BAC＝50°，则∠BOC的度数是（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 8．（2分）如图，要用一个半径为24cm扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆半径长为10cm，则这个扇形的圆心角的度数（　　） A．120° B．135° C．150° D．160° 9．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，则S△ADE：S△ABC的值是（　　） A． B． C． D． 10．（2分）如图，将含45°的直角三角板ABC绕着点A顺时针旋转到△ADE处（点C，A，D在一条直线上），则这次旋转的旋转角为（　　） A．45° B．90° C．135° D．180° 11．（2分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O．若点A（﹣3，1）的对应点为A′（﹣6，2），则点B（﹣2，4）的对应点B′的坐标为（　　） A．（﹣4，8） B．（8，﹣4） C．（﹣8，4） D．（4，﹣8） 12．（2分）若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（2，﹣3），则它的图象也一定经过的点是（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（﹣3，﹣2） C．（1，﹣6） D．（6，1） 13．（2分）下列关于二次函数y＝（x﹣2）2﹣3的说法正确的是（　　） A．图象是一条开口向下的抛物线 B．图象与x轴没有交点 C．当x＜2时，y随x增大而增大 D．图象的顶点坐标是（2，﹣3） 14．（2分）商场某种商品平均每天可售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场销售该商品日盈利要达到2100元，则每件商品应降价多少元？设每件商品降价x元，依题意可列方程（　　） A．（50+x）（50﹣2x）＝2100 B．（50+x）（30+2x）＝2100 C．（50﹣x）（30﹣2x）＝2100 D．（50﹣x）（30+2x）＝2100 15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCO的顶点O是坐标原点，顶点A在反比例函数y＝（k≠0，x＜0）的图象上，对角线OB在x轴上．若菱形ABCO的面积是8，则k的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2 二.填空题（共4小题，每题2分，共8分） 16．（2分）如图，AB与⊙O相切于点C，AO＝3，⊙O的半径为2，则AC的长为 　 　． 17．（2分）近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为了解南迁到该区域某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟中有10只佩有识别卡，由此估计该湿地约有 　 　只A种候鸟． 18．（2分）由若干个相同的小正方体构成的几何体的三视图如图所示，那么构成这个几何体的小正方体的个数是 　 　． 19．（2分）如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，连接BE交AC于点F．若AB＝6，则△AEF的面积为 　 　． 三.解答题（共8小题，共.） 20．（6分）计算：sin60°+cos245°﹣sin30°•tan60°． 21．（6分）解一元二次方程：x2﹣8x﹣9＝0． 22．（7分）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人． （1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； （2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 23．（7分）一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任意摸出1个球，记下数字． （1）第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是 　 　； （2）用画树状图或列表的方法求两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率． 24．（8分）如图，反比例函数y＝（k≠0）与正比例函数y＝mx（m≠0）的图象交于点A（﹣1，2）和点B，点C是点A关于y轴的对称点，连接AC，BC． （1）求该反比例函数的解析式； （2）求△ABC的面积； （3）请结合函数图象，直接写出不等式＜mx的解集． 25．（9分）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离BQ＝4m，仰角为α；淇淇向前走了3m后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为β，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离AB＝CD＝1.6m，点P到BQ的距离PQ＝2.6m，AC的延长线交PQ于点E．（注：图中所有点均在同一平面） （1）求β的大小及tanα的值； （2）求CP的长及sin∠APC的值． 26．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A、D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）求证：AD2＝AB•AF． 27．（10分）定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A（1，3），B（﹣2，﹣6），C（0，0）等都是“三倍点”．已知二次函数y＝﹣x2﹣x+c（c为常数）． （1）若该函数经过点（1，﹣6），求该函数解析式； （2）在（1）的条件下，①求出该图象上的“三倍点”坐标； ②当t≤x≤t+2时，求出该函数的最小值； （3）在﹣3＜x＜1的范围内，若二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，求出c的取值范围． 2024-2025学年云南大学附中九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B D B A B C C B C A 题号 12 13 14 15 答案 C D D B 一.选择题（共15小题，每小题2分，共30分） 1．（2分）纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】一个平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，若直线两旁的图形能够完全重合，那么这个图形即为轴对称图形；一个平面内，如果一个图形绕某个点旋转180°，若旋转后的图形与原来的图形完全重合，那么这个图形即为中心对称图形；据此进行判断即可． 【解答】解：A中图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则A不符合题意； B中图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，则B符合题意； C中图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，则C不符合题意； D中图形不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．（2分）如图是一块雕刻印章的材料，它的俯视图为（　　） A． B． C． D． 【分析】俯视图是从上面观察几何体所得到的图形． 【解答】解：从上面观察题图，可以得到一个正方形和一个圆，且正方形的中心与圆心重合，正方形的边长大于圆的直径． 故选B． 【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握俯视图所看的方向：从上面看所得到的图形． 3．（2分）下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（　　） A．水落石出 B．水涨船高 C．水滴石穿 D．水中捞月 【分析】根据事件发生的可能性大小判断． 【解答】解：A、水落石出，是必然事件，不符合题意； B、水涨船高，是必然事件，不符合题意； C、水滴石穿，是必然事件，不符合题意； D、水中捞月，是不可能事件，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 4．（2分）关于x的一元二次方程2x2﹣3x+k＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【解答】解：因为关于x的一元二次方程2x2﹣3x+k＝0有实数根， 所以Δ＝（﹣3）2﹣4×2×k≥0， 解得k≤． 故选：B． 【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 5．（2分）设方程x2﹣3x+2＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2的值为（　　） A．3 B．﹣ C． D．﹣2 【分析】本题可利用根与系数的关系，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数的值，代入公式求值即可． 【解答】解：由x2﹣3x+2＝0可知，其二次项系数a＝1，一次项系数b＝﹣3， 由根与系数的关系：x1+x2＝﹣＝﹣＝3． 故选：A． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，求解时可利用常规思路求解一元二次方程，也可以通过韦达定理提升解题效率 6．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sinB＝，则BC的长是（　　） A．3 B．6 C．8 D．9 【分析】过点A作BC的垂线，构造出直角三角形，再结合正弦的定义及等腰三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为M， 在Rt△ABM中， sinB＝， ∴AM＝＝4， ∴BM＝． 又∵AB＝AC， ∴BC＝2BM＝6． 故选：B． 【点评】本题考查解直角三角形及等腰三角形的性质，过点A作BC的垂线，构造出直角三角形是解题的关键． 7．（2分）如图，点A，B，C在⊙O上，连结AB，AC，OB，OC．若∠BAC＝50°，则∠BOC的度数是（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 【分析】直接利用圆周角定理求解即可求得∠BOC的度数． 【解答】解：∵∠BAC＝50°，∠BOC＝2∠BAC， ∴∠BOC＝100°． 故选：C． 【点评】此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 8．（2分）如图，要用一个半径为24cm扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆半径长为10cm，则这个扇形的圆心角的度数（　　） A．120° B．135° C．150° D．160° 【分析】设扇形的圆心角为n°，根据弧长公式计算，得到答案． 【解答】解：设扇形的圆心角为n°， ∵圆锥的底面圆半径长为10cm， ∴圆锥的底面圆周长为20πcm， ∵母线长为24cm， ∴＝20π， 解得：n＝150， 即扇形的圆心角为150°． 故选：C． 【点评】本题考查的是圆锥的计算，掌握扇形弧长公式是解题的关键． 9．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，则S△ADE：S△ABC的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∵DE＝2，BC＝5， ∴S△ADE：S△ABC的值为， 故选：B． 【点评】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 10．（2分）如图，将含45°的直角三角板ABC绕着点A顺时针旋转到△ADE处（点C，A，D在一条直线上），则这次旋转的旋转角为（　　） A．45° B．90° C．135° D．180° 【分析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，据此即可求解． 【解答】解：旋转角是∠BAD＝180°﹣45°＝135°． 故选：C． 【点评】本题考查了图形的旋转，理解旋转角的定义是关键． 11．（2分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O．若点A（﹣3，1）的对应点为A′（﹣6，2），则点B（﹣2，4）的对应点B′的坐标为（　　） A．（﹣4，8） B．（8，﹣4） C．（﹣8，4） D．（4，﹣8） 【分析】根据点A与点A′的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质计算即可． 【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O，点A（﹣3，1）的对应点为A′（﹣6，2）， ∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2， ∵点B的坐标为（﹣2，4）， ∴点B的对应点B′的坐标为（﹣2×2，4×2），即（﹣4，8）， 故选：A． 【点评】本题主要考查的是位似变换，正确求出相似比是解题的关键． 12．（2分）若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（2，﹣3），则它的图象也一定经过的点是（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（﹣3，﹣2） C．（1，﹣6） D．（6，1） 【分析】将（2，﹣3）代入y＝（k≠0）即可求出k的值，再根据k＝xy解答即可． 【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（2，﹣3）， ∴k＝2×（﹣3）＝﹣6， A、﹣2×（﹣3）＝6≠﹣6，故A不正确，不符合题意； B、（﹣3）×（﹣2）＝6≠﹣6，故B不正确，不符合题意； C、1×（﹣6）＝﹣6，故C正确，符合题意， D、6×1＝6≠﹣6，故D不正确，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数． 13．（2分）下列关于二次函数y＝（x﹣2）2﹣3的说法正确的是（　　） A．图象是一条开口向下的抛物线 B．图象与x轴没有交点 C．当x＜2时，y随x增大而增大 D．图象的顶点坐标是（2，﹣3） 【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标，与x轴的交点个数，由此解答即可． 【解答】解：A、∵a＝1＞0，图象的开口向上，故此选项不符合题意； B、∵y＝（x﹣2）2﹣3＝x2﹣4x+1， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×1＝12＞0， 即图象与x轴有两个交点， 故此选项不符合题意； C、∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2， ∴当x＜2时，y随x增大而减小， 故此选项不符合题意； D、∵y＝（x﹣2）2﹣3， ∴图象的顶点坐标是（2，﹣3）， 故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的图象性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 14．（2分）商场某种商品平均每天可售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场销售该商品日盈利要达到2100元，则每件商品应降价多少元？设每件商品降价x元，依题意可列方程（　　） A．（50+x）（50﹣2x）＝2100 B．（50+x）（30+2x）＝2100 C．（50﹣x）（30﹣2x）＝2100 D．（50﹣x）（30+2x）＝2100 【分析】设每件商品降价x元，则每件的销售利润为（50﹣x）元，平均每天的销售量为（30+2x）件，利用销售该商品获得的利润＝每件的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程． 【解答】解：设每件商品降价x元，则每件的销售利润为（50﹣x）元，平均每天的销售量为（30+2x）件， 依题意得：（50﹣x）（30+2x）＝2100． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCO的顶点O是坐标原点，顶点A在反比例函数y＝（k≠0，x＜0）的图象上，对角线OB在x轴上．若菱形ABCO的面积是8，则k的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2 【分析】根据菱形的性质以及反比例函数系数k的几何意义进行计算即可． 【解答】解：如图，连接AC交OB于点D， ∵四边形ABCO是菱形，OB在x轴上，S菱形OABC＝， ∴OB⊥AC，S△AOD＝S菱形ABCO＝＝|k|， ∵k＜0， ∴k＝﹣4， 故选：B． 【点评】本题考查菱形的性质，反比例函数系数k的几何意义，掌握菱形的性质，理解反比例函数系数k的几何意义是正确计算的前提． 二.填空题（共4小题，每题2分，共8分） 16．（2分）如图，AB与⊙O相切于点C，AO＝3，⊙O的半径为2，则AC的长为 　　． 【分析】连接OC，根据切线的性质得到OC⊥AC，再根据勾股定理计算，得到答案． 【解答】解：连接OC， ∵AB与⊙O相切于点C， ∴OC⊥AC， 在Rt△AOC中，OC＝2，OA＝3， 则AC＝＝＝， 故答案为：． 【点评】本题考查的是切线的性质、勾股定理，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键． 17．（2分）近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为了解南迁到该区域某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟中有10只佩有识别卡，由此估计该湿地约有 　800　只A种候鸟． 【分析】在样本中“200只A种候鸟中有10只佩有识别卡”，即可求得有识别卡的所占比例，而这一比例也适用于整体，据此即可解答． 【解答】解：设该湿地约有x只A种候鸟， 则200：10＝x：40， 解得x＝800． 故答案为：800． 【点评】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可． 18．（2分）由若干个相同的小正方体构成的几何体的三视图如图所示，那么构成这个几何体的小正方体的个数是 　5　． 【分析】根据给出的几何体，通过动手操作，观察可得答案为5，也可以根据画三视图的方法，发挥空间想象能力，直接想象出每个位置正方体的数目，再加上来． 【解答】解：由三视图可得，构成这个几何体的小正方体的个数是：1+2+1+1＝5．如图： 故答案为：5． 【点评】本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就能容易得到答案了． 19．（2分）如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，连接BE交AC于点F．若AB＝6，则△AEF的面积为 　3　． 【分析】由正方形的性质可知AE＝3，AD//BC，则可判断△AEF∽△CBF，利用相似三角形的性质得到，然后根据三角形面积公式得到S△AEF＝S△ABE． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝BC＝AB＝6，AD∥BC， ∵E为AD的中点， ∴AE＝AB＝3， ∵AE∥BC， ∴△AEF∽△CBF， ∴＝＝， ∴S△AEF：S△ABF＝1：2， ∴S△AEF＝S△ABE＝××3×6＝3． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 三.解答题（共8小题，共.） 20．（6分）计算：sin60°+cos245°﹣sin30°•tan60°． 【分析】首先代入特殊角的三角函数值，再计算乘方，后算乘除，最后算加减即可． 【解答】解：原式＝+﹣×， ＝+﹣， ＝． 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值． 21．（6分）解一元二次方程：x2﹣8x﹣9＝0． 【分析】利用因式分解法求解即可． 【解答】解：∵x2﹣8x﹣9＝0， ∴（x﹣9）（x+1）＝0， 则x﹣9＝0或x+1＝0， 解得x1＝9，x2＝﹣1． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 22．（7分）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人． （1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； （2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，由2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人，列出方程可求解； （2）设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，由增长率不会超过前两个月的月平均增长率，列出不等式，即可求解． 【解答】解：（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x， 由题意可得：1.6（1+x）2＝2.5， 解得：x＝25%，x＝﹣（不合题意舍去）， 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%； （2）设5月份后10天日均接待游客人数是a万人， 由题意可得：2.125+10a≤2.5（1+25%）， 解得：a≤0.1， 答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系是解题的关键． 23．（7分）一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任意摸出1个球，记下数字． （1）第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是 　　； （2）用画树状图或列表的方法求两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率． 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可． （2）画树状图得出所有等可能的结果数和两次都摸到标有奇数的乒乓球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）∵袋中共有3个分别标有数字1、2、3的小球，数字2为偶数， ∴第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是． 故答案为：． （2）画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次都摸到标有奇数的乒乓球的结果有：（1，1），（1，3），（3，1），（3，3），共4种， ∴两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 24．（8分）如图，反比例函数y＝（k≠0）与正比例函数y＝mx（m≠0）的图象交于点A（﹣1，2）和点B，点C是点A关于y轴的对称点，连接AC，BC． （1）求该反比例函数的解析式； （2）求△ABC的面积； （3）请结合函数图象，直接写出不等式＜mx的解集． 【分析】（1）把点A（﹣1，2）代入y＝（k≠0）可得k的值，求得反比例函数的解析式； （2）根据对称性求得B、C的坐标然后利用三角形面积公式可求解． （3）根据图象得出不等式＜mx的解集即可． 【解答】解：（1）把点A（﹣1，2）代入y＝（k≠0）得：2＝， ∴k＝﹣2， ∴反比例函数的解析式为y＝﹣； （2）∵反比例函数y＝（k≠0）与正比例函数y＝mx（m≠0）的图象交于点A（﹣1，2）和点B， ∴B（1，﹣2）， ∵点C是点A关于y轴的对称点， ∴C（1，2）， ∴AC＝2， ∴S△ABC＝＝4． （3）根据图象得：不等式＜mx的解集为x＜﹣1或0＜x＜1． 【点评】本题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的性质，三角形的面积，数形结合是解题的关键． 25．（9分）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离BQ＝4m，仰角为α；淇淇向前走了3m后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为β，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离AB＝CD＝1.6m，点P到BQ的距离PQ＝2.6m，AC的延长线交PQ于点E．（注：图中所有点均在同一平面） （1）求β的大小及tanα的值； （2）求CP的长及sin∠APC的值． 【分析】（1）根据题意先求解 CE＝PE＝1m，再结合等腰三角形的性质与正切的定义可得答案； （2）利用勾股定理先求解 ，过C作CH⊥AP于H，结合 ，设CH＝x m，则AH＝4x m，再建立方程求解x，即可得到答案． 【解答】解：（1）由题意可得：PQ⊥AE，PQ＝2.6m，AB＝CD＝EQ＝1.6m，AE＝BQ＝4（m），AC＝BD＝3（m）， ∴CE＝4﹣3＝1（m），PE＝2.6﹣1.6＝1（m），∠CEP＝90°． ∴CE＝PE． ∴β＝∠PCE＝45°；． （2）∵CE＝PE＝1m，∠CEP＝90°， ∴． 如图，过C作 CH⊥AP于H， ∵，设CH＝x m，则AH＝4x m， ∴x2+（4x）2＝AC2＝9． ∴，． ∴． ∴． 【点评】本题主要考查的是解直角三角形的应用，理解仰角与俯角的含义以及三角函数的定义是解本题的关键． 26．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A、D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）求证：AD2＝AB•AF． 【分析】（1）连接OD，则OD＝OA，所以∠BAD＝∠ODA，而∠BAD＝∠CAD，则∠ODA＝∠CAD，所以OD∥AC，则∠ODB＝∠C＝90°，即可证明BC是⊙O的切线； （2）连接EF、DF，因为AE是⊙O的直径，所以∠AFE＝∠C＝90°，则EF∥BC，所以∠AEF＝∠B，根据圆周角定理得∠AEF＝∠ADF，所以∠B＝∠ADF，而∠BAD＝∠DAF，即可证明△BAD∽△DAF，得＝，所以AD2＝AB•AF． 【解答】证明：（1）连接OD，则OD＝OA， ∴∠BAD＝∠ODA， ∵AD平分∠BAC交BC于点D， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴∠ODA＝∠CAD， ∴OD∥AC， ∵∠C＝90°， ∴∠ODB＝∠C＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且BC⊥OD， ∴BC是⊙O的切线． （2）连接EF、DF， ∵O为AB上一点，⊙O交AB于点E， ∴AE是⊙O的直径， ∴∠AFE＝∠C＝90°， ∴EF∥BC， ∴∠AEF＝∠B， ∵∠AEF＝∠ADF， ∴∠B＝∠ADF， ∵∠BAD＝∠DAF， ∴△BAD∽△DAF， ∴＝， ∴AD2＝AB•AF． 【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 27．（10分）定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A（1，3），B（﹣2，﹣6），C（0，0）等都是“三倍点”．已知二次函数y＝﹣x2﹣x+c（c为常数）． （1）若该函数经过点（1，﹣6），求该函数解析式； （2）在（1）的条件下，①求出该图象上的“三倍点”坐标； ②当t≤x≤t+2时，求出该函数的最小值； （3）在﹣3＜x＜1的范围内，若二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，求出c的取值范围． 【分析】（1）把（1，﹣6）代入y＝﹣x2﹣x+c即可求得抛物线解析式； （2）①设点P是函数y＝﹣x2﹣x﹣4图象上的“三倍点”，则P（m，3m），代入抛物线解析式，即可求得“三倍点”坐标； ②由（1）得y＝﹣x2﹣x﹣4，分两种情况：当t+1＞﹣，即t＞﹣时，当t+1≤﹣，即t≤﹣时，分别求解即可． （3）由题意得，三倍点所在的直线为y＝3x，将在﹣3＜x＜1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，转化为在﹣3＜x＜1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c和y＝3x至少有一个交点，即可求解． 【解答】解：（1）∵函数y＝﹣x2﹣x+c经过点（1，﹣6）， ∴﹣1﹣1+c＝﹣6， 解得：c＝﹣4， ∴该函数解析式为y＝﹣x2﹣x﹣4； （2）①设点P是函数y＝﹣x2﹣x﹣4图象上的“三倍点”， 则P（m，3m）， ∴3m＝﹣m2﹣m﹣4， 解得：m1＝m2＝﹣2， ∴P（﹣2，﹣6）； ②由（1）可知y＝﹣x2﹣x﹣4， 配方得y＝﹣（x+）2﹣， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣． 当t+1＞﹣，即t＞﹣时，y最小值＝﹣（t+2）2﹣（t+2）﹣4＝﹣t2﹣5t﹣10； 当t+1≤﹣，即t≤﹣时，y最小值＝﹣t2﹣t﹣4； 综上，当t＞﹣时，y最小值＝﹣t2﹣5t﹣10，当t≤﹣时，y最小值＝﹣t2﹣t﹣4； （3）由题意，得“三倍点”所在的直线为y＝3x．在﹣3＜x＜1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，即在﹣3＜x＜1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c和y＝3x的图象至少有一个交点，令3x＝﹣x2﹣x+c，整理得：x2+4x﹣c＝0，则Δ＝42﹣4×1×（﹣c）＝16+4c≥0，解得：c≥﹣4；把x＝﹣3代入y＝﹣x2﹣x+c，得y＝﹣6+c，代入y＝3x，得y＝﹣9，则﹣9＞﹣6+c，解得：c＜﹣3；把x＝1代入y＝﹣x2﹣x+c，得y＝﹣2+c，代入y＝3x，得y＝3，则3＞﹣2+c，解得：c＜5．综上，c的取值范围为﹣4≤c＜5． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由Δ＝b2﹣4ac决定．也考查了二次函数图象上点的坐标特征． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$