精品解析：河北省衡水市阜城县阜城实验中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

高二月考数学试题 一、单选题 1. 已知等差数列，满足，则此数列的前11项的和=（ ） A. 11 B. 22 C. 33 D. 44 2. 数列中，，（n为正整数），则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 抛物线 的焦点坐标为 ． B. 抛物线 的准线方程为 x =−1． C. 抛物线 的图象关于 x 轴对称． D. 抛物线 的图象关于 y 轴对称． 4. 若是等差数列，表示的前项和，，，则中最小的项是（ ） A. B. C. D. 5. 若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 将正奇数按照如图排列，我们将……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（ ） A. 55 B. 75 C. 111 D. 135 8. 已知数列的前项和为，且，，，则（ ） A. B. 为奇数时， C. D. 二、多选题 9. 两个等差数列和，其公差分别为和，其前项和分别为和，则下列命题中正确的是（　　） A. 若为等差数列，则 B. 若为等差数列，则 C. 若为等差数列，则 D. 若，则也为等差数列，且公差为 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为,,过点的直线交椭圆于,两点,若的最小值为4,则（    ） A. 椭圆的短轴长为 B. 最大值为8 C. 离心率为 D. 椭圆上不存在点,使得 11. 已知直线：，圆：的半径为2，点在圆上，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线与圆相离 C. 过圆心且与直线垂直的直线方程为 D. 到直线的距离等于的点只有1个 三、填空题 12. 已知数列的前项和为，且满足，则_______． 13. 直线l过抛物线的焦点F，且l与该抛物线交于不同的两点，．若，则弦AB的长是____ 14. 已知直线l的方程是，，，若直线l与线段相交，则实数m的取值范围是______. 四、解答题 15. 等差数列的前项和记为，已知，且，，成等差数列． （1）求数列的通项公式，并求取到最小值时的值； （2）求数列的前16项的和． 16. 已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合． （1）求抛物线的标准方程： （2）若过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，且，求直线的方程． 17. 已知圆的圆心在直线上，且点，在上. （1）求圆的标准方程； （2）若倾斜角为的直线经过点，且与圆相交于D，E两点，求. 18. 如图，三棱柱中，，，，，. （1）求证：平面； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知椭圆的离心率为，其右顶点为，下顶点为，定点，的面积为，过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点，直线分别与轴交于两点. （1）求椭圆的方程； （2）试探究的横坐标的乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二月考数学试题 一、单选题 1. 已知等差数列，满足，则此数列的前11项的和=（ ） A. 11 B. 22 C. 33 D. 44 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可得，再由前n项和公式求解. 【详解】因为数列 是等差数列，所以， 所以. 故选：D. 2. 数列中，，（n为正整数），则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合递推式特征，得到为常数列可得答案. 【详解】因为，所以， 则有，得，故. 故选：A 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 抛物线 的焦点坐标为 ． B. 抛物线 的准线方程为 x =−1． C. 抛物线 的图象关于 x 轴对称． D. 抛物线 的图象关于 y 轴对称． 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的性质逐项分析可得答案. 【详解】抛物线 的焦点坐标为 ，故A错误； 抛物线 的准线方程为，故B错误； 抛物线 的图象关于 x 轴对称，故C正确，D错误； 故选：C. 4. 若是等差数列，表示的前项和，，，则中最小的项是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差中项的性质及求和公式可得，，进而可确定数列的最小项. 【详解】由数列为等差数列， 则，且， 即，， 所以当时，取最小值， 即数列的最小项为， 故选：B. 5. 若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为，写出圆的标准方程，利用点在圆上，求得实数的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离. 【详解】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为，则圆的半径为， 圆的标准方程为. 由题意可得， 可得，解得或， 所以圆心的坐标为或， 圆心到直线的距离均为； 圆心到直线的距离均为 圆心到直线的距离均为； 所以，圆心到直线的距离为. 故选：B. 【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题. 6. 已知椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用离心率的定义和之间的平方关系即可得出答案. 【详解】椭圆的离心率，则，由题意得，故. 对于双曲线，知其，故离心率. 故选：C. 7. 将正奇数按照如图排列，我们将……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（ ） A. 55 B. 75 C. 111 D. 135 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题中规律，并采用累加法结合等差数列前n项和公式求出拐弯数的通项公式，即可求解. 【详解】不妨设第n（）个“拐角数”为， 不难发现， 所以，得， 当时，也符合上式，所以， 所以第7个“拐角数”是， 第8个“拐角数”是， 第9个“拐角数”是， 第10个“拐角数”是， 第11个“拐角数”是， 第12个“拐角数”是.故C对； 故选：C 8. 已知数列的前项和为，且，，，则（ ） A. B. 为奇数时， C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设有，讨论的奇偶性，结合等差数列定义、前项和公式逐项判断可得答案. 【详解】由，则，两式作差，得， ，当为奇数，是首项为1，公差为3的等差数列，即， ，当为偶数，是首项为2，公差为3的等差数列，即， 对于A，，， ，故A错误； 对于B，为奇数时， ，故B正确； 对于C，，， 所以 ，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：B. 二、多选题 9. 两个等差数列和，其公差分别为和，其前项和分别为和，则下列命题中正确的是（　　） A. 若为等差数列，则 B. 若为等差数列，则 C. 若为等差数列，则 D. 若，则也为等差数列，且公差为 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，利用化简可得答案； 对于B，利用化简可得答案； 对于C，利用化简可得答案； 对于D，根据可得答案. 【详解】对于A，因为为等差数列，所以， 即，所以， 化简得，所以，故A正确； 对于B，因为为等差数列，所以， 所以， 所以，故B正确； 对于C，因为为等差数列，所以， 所以， 化简得，所以或，故C不正确； 对于D，因为，且，所以， 所以， 所以， 所以也为等差数列，且公差为，故D不正确. 故选：AB 【点睛】关键点点睛：利用等差数列的定义以及等差中项求解是解题关键. 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为,,过点的直线交椭圆于,两点,若的最小值为4,则（    ） A. 椭圆的短轴长为 B. 最大值为8 C. 离心率为 D. 椭圆上不存在点,使得 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据椭圆的焦点弦中通径最短,可得椭圆方程,结合椭圆的性质即可判断项；根据焦点三角形的周长和的最小值为4,可判断项；根据椭圆中当动点与短轴顶点重合时,最大,结合余弦定理即可判断项. 【详解】易知当轴时,即线段为通径时,最短, 解得椭圆方程为 椭圆的短轴长为故错误; 因为△的周长为 且故正确； 离心率故正确； 易知当点位于短轴顶点时,最大,此时 又为三角形内角, 椭圆上不存在点,使得,故正确. 故选：. 11. 已知直线：，圆：的半径为2，点在圆上，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线与圆相离 C. 过圆心且与直线垂直的直线方程为 D. 到直线的距离等于的点只有1个 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由圆的半径为2，求出，即可判断；对于B，由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，即可判断；对于C，由点斜式求出过圆心且与直线垂直的直线方，即可判断；对于D，由圆心C到直线的距离结合半径，可得圆上到直线的距离等于的点的个数，即可判断. 【详解】对于A，圆：的标准方程为， 所以圆心，半径， 由圆的半径为2，则，解得，故A错误； 对于B，因为直线方程为， 则圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，故B正确； 对于C，因为直线垂直的直线斜率为， 则过圆心且与直线垂直的直线方程为， 即，故C错误； 对于D，因为圆心到直线的距离， 由，所以到直线的距离等于的点只有1个，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 12. 已知数列的前项和为，且满足，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用来求得正确答案. 【详解】根据题意，数列满足， 当时，有； 当时，有，不符合， 故 故答案为： 13. 直线l过抛物线的焦点F，且l与该抛物线交于不同的两点，．若，则弦AB的长是____ 【答案】4 【解析】 【分析】由题意得，再结合抛物线的定义即可求解. 【详解】由题意得， 由抛物线的定义知：， 故答案为：4. 14. 已知直线l的方程是，，，若直线l与线段相交，则实数m的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用斜率计算公式、斜率与倾斜角的关系及其单调性即可得出． 【详解】直线的方程可化为， 当， 所以直线经过定点， ，． 直线与线段相交， ①当时满足条件． ②当时，则或，解得：且； 综上可得：. 故答案为： 【点睛】本题考查了斜率计算公式、斜率与倾斜角的关系及其单调性，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 四、解答题 15. 等差数列的前项和记为，已知，且，，成等差数列． （1）求数列的通项公式，并求取到最小值时的值； （2）求数列的前16项的和． 【答案】（1），当取得最小值时，； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的基本量，结合已知条件，求得的首项和公差，即可求出通项公式，再求取到最小值时的即可； （2）判断的正负，脱去绝对值，再求数列的和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由题可得：， 即， 解得，，所以； 由，可得，解得， 因为，所以时，取得最小值时，； 【小问2详解】 由（1）可知，均为负数，且从开始，后面每一项均为正数， 故 ； 故数列的前16项的和. 16. 已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合． （1）求抛物线的标准方程： （2）若过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，且，求直线的方程． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的焦点可得，然后可得结果. （2）假设直线方程，然后与抛物线联立，结合韦达定理以及计算即可. 【详解】（1）双曲线的焦点为， ∴抛物线的焦点为， ∴抛物线的标准方程为． （2）设过焦点为的直线方程为，代入得：， 设，，则， 即， ∴直线为：． 17. 已知圆的圆心在直线上，且点，在上. （1）求圆的标准方程； （2）若倾斜角为的直线经过点，且与圆相交于D，E两点，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出线段的垂直平分线所在的直线方程，与联立解出圆心坐标，再求出圆的半径即可； （2）由已知可得直线的方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理即可求解. 【小问1详解】 设线段的中点为，则， 因为直线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线所在的直线方程为， 由得， 所以圆心，半径为， 所以圆的标准方程为； 【小问2详解】 因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 又直线经过点，所以直线的方程为， 即， 所以点到直线的距离为， 所以. 18. 如图，三棱柱中，，，，，. （1）求证：平面； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）根据空间向量的数量积，即可求出线面所成角的正弦值. 【小问1详解】 在中，由余弦定理，可得， 则，化简得，解得， 则有，所以， 又，平面ABC，所以平面ABC， 又平面ABC，所以， 又，，平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）易知，AC，BC两两相互垂直， 以为坐标原点，分别以CA，CB，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， 则，，，， 设平面的法向量为， 则，可得， 所以，令，则，， 设平面的法向量为， 则,可得, 令，则，，故， 设平面与平面的夹角为， 则，解得， 则， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19. 已知椭圆的离心率为，其右顶点为，下顶点为，定点，的面积为，过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点，直线分别与轴交于两点. （1）求椭圆的方程； （2）试探究的横坐标的乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）；（2）是定值，. 【解析】 【分析】（1）根据的面积为和离心率为，列等式可解得，从而可得椭圆的方程； （2）设的坐标分别为，通过直线方程得点的横坐标， 设直线的方程为，与椭圆方程联立，根据韦达定理可得点的横坐标的乘积为定值. 【详解】（1）由已知，的坐标分别是，由于的面积为， ①，又由，化简得②， ①②两式联立解得：或（舍去），， 椭圆方程为； （2）设直线的方程为，的坐标分别为 则直线的方程为，令，得点的横坐标， 直线的方程为，令，得点的横坐标， ， 把直线代入椭圆得， 由韦达定理得， ∴，是定值． 【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了运算求解能力，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $