精品解析：重庆市第一中学校2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

2025年重庆一中初2026届初二上期期末考试 数学试题卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡中对应的方框涂黑． 1. -2的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 下列各图形中不是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 正方形 3. 下列各点中，在第四象限的是( ) A. (-5， 2) B. (5，-2) C. (-5，-2) D. (5，2) 4. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将三角形沿方向平移得到三角形，已知，则的外长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线和直线的图像如图所示，则关于，的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 8. 某学校组织学生春游，租赁甲型客车和乙型客车共10辆，已知每辆甲型客车可坐40人，每辆乙型客车可坐30人，该校需要乘坐客车出游的师生共360人，要求全部师生都有座位且空座位不超过10个，那么可以有哪些租车方案？若设租赁甲型客车辆，则下列不等式组正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点恰好落在延长线上，已知，，，则的长为（ ）． A. B. 1 C. D. 10. 将多项式中的项的符号改为“”后得到一个新多项式，再写出新多项式的绝对值，这样的操作称为对多项式的“绝对操作”，例如：当时，对多项式进行“绝对操作”后得到代数式：，去掉绝对值则得到“绝对操作”的最终结果．下列关于对多项式的“绝对操作”的最终结果说法： ①所有最终结果的乘积非负； ②当时，若“绝对操作”的最终结果有部分为0，则一定有； ③若，则共有10种不同的最终结果．正确的有几项（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．请将正确答案填在答题卡中对应的横线上． 11. 据工业部和信息化部官方消息，2024年前11个月，我国软件业务收入约122000亿元，同比增长．请将数据122000，用科学记数法表示：_____． 12. 函数的自变量的取值范围是_____． 13. 如图，一次函数与相交于点，当时，的取值范围是_____． 14. 一次函数向上平移个单位后，经过点，则平移后的解析式为_____． 15. 若，则代数式的值为_____． 16. 若关于的不等式组有且仅有4个整数解，且关于，的二元一次方程组的解为整数，则所有满足条件的整数的和为_____． 17. 如图，在中，，，，为中点，是上一点，连接，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，若，则的长度是_____． 18. 我们规定：一个四位数（，，，，、、、均为整数），若其千位数字与十位数字之和是6的倍数，且个位数字与百位数字之差为6，则称这个数为“顺顺利利数”．若一个“顺顺利利数”的各个数位上的数字之和为22，则的值为_____，若设，，且，则所有满足条件的“顺顺利利数”的和为_____． 三、解答题：本大题共8个小题，19、22题每题各8分，26题12分，其余题目每题10分，共78分．解答时给出必要的演算过程，请将解答题的过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. （1）计算：； （2）因式分解：． 20. （1）解方程组：； （2）解不等式组，并用数轴找解集：． 21. 为推动《关于全面实施学校美育浸润行动》，强化中小学美育育人工作，重庆市教育督导委员会开展了中小学艺术测评工作．督导组在某中学的艺术测评成绩中随机抽取了七、八年级各25名学生的艺术测评成绩（百分制），并对其数据进行整理、描述、分析．所有评分均不低于60分，且没有满分（评分分数用表示，共分为四组：A：，B：，C：，D：），90分及以上评为优秀． 下面给出部分信息： 抽取的七年级学生的艺术测评成绩为： 66，68，71，71，73，76，79，82，84，84，85，85，85， 85，86，88，88，89，89，89，93，95，96，96，97 抽取的八年级学生的艺术测评成绩中，组包含的所有数据为： 80，82，85，85，86，87，87，87，87，87，87，87 抽取的七、八年级学生的艺术测评成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 84 85 八年级 84 87 （1）填空并补全条形统计图：_____，_____，_____； （2）根据以上数据，你认为哪个年级的美育教育推动得更好？说明理由（写出一条即可）； （3）若该校参加测评的七年级学生有400名，八年级学生有500名，规定成绩达到80分及以上即为合格，估计本次测评该校七、八年级合格的总人数大约有多少？ 22. 在学习了等边三角形相关知识后，数学学习小组进行了深入的探究后发现：在等腰中，，，为中点，过点作于点，过点作于点，连接，则为等边三角形． （1）用尺规完成以下操作：过点作的垂线交于点，连接（只保留作图痕迹）； （2）根据（1）中所作图形，数学学习小组发现是等边三角形的结论成立，并给出了证明，请补全证明过程． 证明： ， ①__________ ， 为中点 ②__________ 在和中 ④__________ 为等边三角形 23. 如图，在四边形中，，，，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线的方向运动，运动到点停止，设运动时间为秒，的面积为． （1）直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质： （3）若一次函数的图像与该函数图像有且只有一个交点，请直接写出的取值范围． 24. 随着科技的飞速发展，新能源汽车将我们带入一个新的出行时代，新能源汽车无疑将成为交通领域的主角．某电车生产车间现有、两个工种的工人，其中工种有300人，工种有200人，且同类工种工人月工资相同．已知6个种工人的月工资与5个种工人的月工资相同，该生产车间每月共付工资总额540万元． （1）、两个工种工人的月工资分别为多少万元； （2）由于市场部订单数量增多，该生产车间计划再招聘、两个工种工人共60人．其中，再招聘的工种工人不超过再招聘的工种工人的，且最终车间所有工种工人的数量与车间所有工种工人的数量之差不高于80人．那么该车间有几种招聘方案，哪种方案可使每月付给这60个工人工资总额最少，最少为多少？ 25. 如图1，直线交轴，轴于点和点，直线交轴，轴于点和点，和交于点，已知． （1）求直线的解析式； （2）如图2，已知点是轴上一动点，点在直线上，且在点的右侧，连接，当的面积为时，连接，，当取最小值时，求点的坐标； （3）如图3，连接，将绕点顺时针旋转得到，所在直线交轴于点，连接，点是轴上的一点，是否存在点使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 在中，，，为直线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，过点分别作交于点，交于点． （1）如图1，若点在线段上，且，，，求的长度； （2）如图2，若点为线段中点，连接，与交于点，若，用等式表示线段和之间的数量关系，并证明； （3）如图3，若，连接，将沿直线翻折至所在平面内得到，同时线段、上分别有两个动点、，且，连接、，当最大，同时最小时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年重庆一中初2026届初二上期期末考试 数学试题卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡中对应的方框涂黑． 1. -2的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的绝对值是2， 故选：A． 2. 下列各图形中不是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】A 【解析】 【详解】根据中心对称图形的概念求解．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 故答案为：A 【点睛】考点：中心对称图形 3. 下列各点中，在第四象限的是( ) A. (-5， 2) B. (5，-2) C. (-5，-2) D. (5，2) 【答案】B 【解析】 【分析】根据第四象限点的坐标特点，在选项中找到横坐标为正，纵坐标为负的点即可． 【详解】解：A．(-5， 2)在第二象限； B．(5，-2)在第四象限； C．(-5，-2)在第三象限； D．(5，2)在第一象限； 故选B． 【点睛】此题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（−，＋）；第三象限（−，−）；第四象限（＋，−）． 4. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，，则，故该选项不符合题意； B、∵，，则，故该选项不符合题意； C、∵，，则，故该选项不符合题意； D、∵，则，故该选项符合题意； 故选：D 5. 如图，将三角形沿方向平移得到三角形，已知，则的外长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的定义和性质是解题的关键．根据平移的性质可得，再利用计算即可． 【详解】解：∵三角形沿方向平移得到三角形， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6. 已知，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式，于是可得，然后利用不等式的性质进行无理数的大小估算即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了利用二次根式的性质化简，合并同类二次根式，无理数大小估算，不等式的性质等知识点，熟练掌握二次根式的性质及无理数大小估算的方法是解题的关键． 7. 已知直线和直线的图像如图所示，则关于，的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，两直线交点坐标与二元一次方程组解的关系，先把代入，求出，进而可得出方程组的解． 【详解】解：对于直线，当时，有， 解得， ∴直线和直线的交点坐标为， ∴方程组的解是． 即方程组的解是． 故选D． 8. 某学校组织学生春游，租赁甲型客车和乙型客车共10辆，已知每辆甲型客车可坐40人，每辆乙型客车可坐30人，该校需要乘坐客车出游的师生共360人，要求全部师生都有座位且空座位不超过10个，那么可以有哪些租车方案？若设租赁甲型客车辆，则下列不等式组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，设租赁甲型客车辆，则租赁乙型客车辆，根据全部师生都有座位且空座位不超过10个，列出不等式组，即可求解． 【详解】解：设租赁甲型客车辆，则租赁乙型客车辆，根据题意得， 故选：C． 9. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点恰好落在延长线上，已知，，，则的长为（ ）． A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在上截取，过点A作，根据，求出，由旋转的性质得到，易得，证明，推出，进而推出，结合，得到，利用勾股定理求出，推出是等腰直角三角形，求出，再利用三角形外角的性质求出，利用直角三角形的性质求出，再利用勾股定理求出，即可求出，即可得出结果． 【详解】解：如图，在上截取，过点A作， ∵， ∴， 由旋转的性质得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理及直角三角形的性质，正确作出辅助构造三角形全等是解题的关键． 10. 将多项式中的项的符号改为“”后得到一个新多项式，再写出新多项式的绝对值，这样的操作称为对多项式的“绝对操作”，例如：当时，对多项式进行“绝对操作”后得到代数式：，去掉绝对值则得到“绝对操作”的最终结果．下列关于对多项式的“绝对操作”的最终结果说法： ①所有最终结果的乘积非负； ②当时，若“绝对操作”的最终结果有部分为0，则一定有； ③若，则共有10种不同的最终结果．正确的有几项（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，整式的加减，理解“绝对操作”的定义是解题的关键． 根据“绝对操作”的定义，对多项式进行“绝对操作”逐项判断即可． 【详解】解：①根据绝对值的非负性可得，所有最终结果的乘积非负，说法正确； ②当时，若“绝对操作”的最终结果有部分为0，则一定有，说法错误， 例如，则，但； ③若，则共有10种不同的最终结果说法正确， 分别为：，， ，， ， ， ． 故选：C． 二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．请将正确答案填在答题卡中对应的横线上． 11. 据工业部和信息化部官方消息，2024年前11个月，我国软件业务收入约122000亿元，同比增长．请将数据122000，用科学记数法表示：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的运用，掌握科学记数法的表示形式，确定的值是解题的关键． 科学记数法的表示形式为，确定值的方法：当原数的绝对值时，把原数变为时，小数点向左移动位数即为的值；当原数的绝对值时，把原数变为时，小数点向右移动位数的相反数即为的值，由此即可求解． 【详解】解：， 故答案为： ． 12. 函数的自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查算术平方根的非负性及函数，熟练掌握算术平方根的非负性及函数是解题的关键；根据题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故答案为． 13. 如图，一次函数与相交于点，当时，的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与不等式，根据函数图象，写出当时，的取值范围即可求解． 【详解】解：根据函数图象，一次函数与相交于点， 可得当时，的取值范围为， 故答案为：． 14. 一次函数向上平移个单位后，经过点，则平移后的解析式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．利用“上加下减"的平移规律求解即可． 【详解】解：直线向上平移个单位后，则平移后直线解析式为， ∵平移后直线经过点 ∴， 解得：， ∴平移后直线解析式为． 故答案为：． 15. 若，则代数式的值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，二次根式的计算，掌握整式的运算法则化简代数式式，再代入求值即可． 根据整式的混合运算先化简代数式，再代入，运用二次根式性质化简求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式， 故答案为：4 ． 16. 若关于的不等式组有且仅有4个整数解，且关于，的二元一次方程组的解为整数，则所有满足条件的整数的和为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的综合，掌握不等式组的取值方法，加减消元法解二元一次方程组，代入求值是解题的关键． 根据不等式的性质解不等式组，结合不等式组的取值方法得到，运用加减消元法解二元一次方程组得到，根据解为整数，分别代入计算得到满足条件的的值为0或6，由此即可求解． 【详解】解：， 解得，， 解得，， ∴不等式组的解集为， ∵关于的不等式组有且仅有4个整数解， ∴， 解得，， ， 解得，， ∵关于，的二元一次方程组的解为整数， ∴是的倍数，是的倍数， 当整数时，，符合题意； 当整数时，，不符合题意； 当整数时，，不符合题意； 当整数时，，不符合题意； 当整数时，，不符合题意； 当整数时，，不符合题意； 当整数时，，符合题意； ∴， 故答案为： ． 17. 如图，在中，，，，为中点，是上一点，连接，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，若，则的长度是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形和全等三角形．添加辅助线，熟练掌握直角三角形性质，折叠性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，是解题的关键． 连接，延长交于G，由已知可得，，，，则，得，得，得，根据， ，可得． 【详解】解：连接，延长交于G，如图， ∵在中，，，， ∴， ∵E是的中点， ∴， 由折叠知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 则， ∵， ∴， 解得． ∴． 故答案为：． 18. 我们规定：一个四位数（，，，，、、、均为整数），若其千位数字与十位数字之和是6的倍数，且个位数字与百位数字之差为6，则称这个数为“顺顺利利数”．若一个“顺顺利利数”的各个数位上的数字之和为22，则的值为_____，若设，，且，则所有满足条件的“顺顺利利数”的和为_____． 【答案】 ①. 2 ②. 8516 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，实数的新定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出（为正整数），，再结合，进行分类讨论，则；先得出，再根据，且，，进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：依题意，（为正整数），， ∴， ∵一个“顺顺利利数”的各个数位上的数字之和为22， ∴， 当时，，则， ∵， ∴解得，（舍去）； 当时，，则， ∵， ∴解得，； 当时，，则， ∵， ∴解得（舍去）， 综上：， ∵设，，且， ∴， ∵，且，， ∴当则 则， ∵且为正整数， ∴无解， ∴当则 则， 即， ∵且为正整数， ∴解得， ∵（为正整数）， ∴当时，则， 此时这个“顺顺利利数”为， ∴当时，则， 此时这个“顺顺利利数”为， 当则 则， ∴ ∵且为正整数， ∴无解， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本大题共8个小题，19、22题每题各8分，26题12分，其余题目每题10分，共78分．解答时给出必要的演算过程，请将解答题的过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. （1）计算：； （2）因式分解：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，因式分解，掌握零次幂，负指数幂的计算，提取公因式法，公式法因式分解的方法是解题的关键． （1）先化简绝对值，计算零次幂，负指数幂的结果，再根据实数的混合运算计算即可； （2）先提取公因式，再运用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：（1）； ； （2） ． 20. （1）解方程组：； （2）解不等式组，并用数轴找解集：． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，熟悉解二元一次方程组和解一元一次不等式组的基本过程是解题的关键． （1）方程组整理后，利用加减消元法即可求解； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，在数轴上找出解集的公共部分即可求解． 【详解】解：（1） 原方程组整理得：， 得：， 将代入①得：， ∴， ∴方程组的解为：； （2）， 解不等式得：， 由不等式得：， 在数轴上表示为： ∴不等式组的解集为：． 21. 为推动《关于全面实施学校美育浸润行动》，强化中小学美育育人工作，重庆市教育督导委员会开展了中小学艺术测评工作．督导组在某中学的艺术测评成绩中随机抽取了七、八年级各25名学生的艺术测评成绩（百分制），并对其数据进行整理、描述、分析．所有评分均不低于60分，且没有满分（评分分数用表示，共分为四组：A：，B：，C：，D：），90分及以上评为优秀． 下面给出部分信息： 抽取的七年级学生的艺术测评成绩为： 66，68，71，71，73，76，79，82，84，84，85，85，85， 85，86，88，88，89，89，89，93，95，96，96，97 抽取的八年级学生的艺术测评成绩中，组包含的所有数据为： 80，82，85，85，86，87，87，87，87，87，87，87 抽取的七、八年级学生的艺术测评成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 84 85 八年级 84 87 （1）填空并补全条形统计图：_____，_____，_____； （2）根据以上数据，你认为哪个年级的美育教育推动得更好？说明理由（写出一条即可）； （3）若该校参加测评的七年级学生有400名，八年级学生有500名，规定成绩达到80分及以上即为合格，估计本次测评该校七、八年级合格的总人数大约有多少？ 【答案】（1）85；87；24；条形统计图见解析 （2）八年级的美育教育推动得更好；理由见解析 （3）668人 【解析】 【分析】（1）根据中位数，众数定义求出a、b的值，求出八年级学生的艺术测评成绩在的范围内的人数，再求出优秀率，得出m的值，补全条形统计图即可； （2）根据中位数和平均数进行分析，得出答案即可； （3）估算出七、八年级合格的人数，相加即可． 【小问1详解】 解：七年级学生的艺术测评成绩中85分出现的最多，因此众数； 将八年级学生的艺术测评成绩从小到大进行排序，排在第13位的是87分，因此中位数； 八年级学生的艺术测评成绩在的范围内的人数为： （人）， ∴优秀率为：， ∴； 补全条形统计图，如图所示： 【小问2详解】 解：八年级的美育教育推动得更好，理由如下： 因为抽取的七、八年级学生的艺术测评成绩中平均数相同，而八年级学生的测评成绩的中位数大于七年级的中位数，且八年级学生的测评成绩的优秀率也比较高； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计本次测评该校七、八年级合格的总人数大约有668人． 【点睛】本题主要考查了中位数、众数定义，画条形统计图，用样本估计总体，解题的关键是熟练掌握相关的定义． 22. 在学习了等边三角形相关知识后，数学学习小组进行了深入的探究后发现：在等腰中，，，为中点，过点作于点，过点作于点，连接，则为等边三角形． （1）用尺规完成以下操作：过点作的垂线交于点，连接（只保留作图痕迹）； （2）根据（1）中所作图形，数学学习小组发现是等边三角形的结论成立，并给出了证明，请补全证明过程． 证明： ， ①__________ ， 为中点 ②__________ 在和中 ④__________ 为等边三角形 【答案】（1）图见详解 （2）；；； 【解析】 【分析】（1）根据垂线的画法作出垂线，连接即可． （2）根据等腰三角形的性质可得，，再根据为中点，可得，从而证明，根据全等三角形的性质得出，即可证明为等边三角形,即可得出答案． 【小问1详解】 解：以点为圆心画弧，交于两个点，再分别以两个交点为圆心，以大于两个交点长度的二分之一画弧交于一点，连接交点和点，交于点，连接即可，如图： 【小问2详解】 证明：，， ①， ，， ， ， ， 为中点， ②， 在和中， ， ， ④， 为等边三角形． 故答案为：；；；． 【点睛】本题考查了垂线的画法，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 23. 如图，在四边形中，，，，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线的方向运动，运动到点停止，设运动时间为秒，的面积为． （1）直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质： （3）若一次函数的图像与该函数图像有且只有一个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）作图见详解，当时，随的增大而增大；当时，有最大值，最大值为；当时，随的增大而减小 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查动点与函数图象的性质，两直线交点求二元一次方程组，掌握几何图形面积的计算，函数图象的性质，两直线的交点的计算方法是解题的关键． （1）当点在上时，，则，由，可得；当点在上时，，∴，，则有；由此即可求解； （2）根据解析式作图即可，根据图示得到性质； （3）根据题意可得一次函数的图象经过，，随的增大而增大，当时，即一次函数与有1个交点，且另一个交点式；当在一次函数的图象上时，解得，，即当时，一次函数的图像与该函数图像有且只有一个交点；由即可求解． 【小问1详解】 解： ∵四边形，， ∴， ∴四边形是梯形， ∴， 已知动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线的方向运动，运动到点停止，设运动时间为秒，， 当点在上时，，则， ∴，， ∵， ∴； 当点在上时，， ∴，， ∴； 综上所述，； 【小问2详解】 解：根据（1）中的解析式，作图如下， ∴当时，随的增大而增大；当时，有最大值，最大值为；当时，随的增大而减小； 【小问3详解】 解：由（2）可得，时，，当时，，时，， 在中，时，，当时，， ∴一次函数的图象经过，，随的增大而增大， 当时，一次函数解析式为，如图所示， 联立方程组得，， 解得，， 即一次函数与有1个交点，且另一个交点式，如直线； ∴当时，一次函数的图像与该函数图像有且只有一个交点； 当在一次函数的图象上时，， 解得，， 即当时，一次函数的图像与该函数图像有且只有一个交点，如直线； 当时，时，， 解得，，一次函数的图像与该函数图像有且只有一个交点，如直线； 综上所述，当时或时，一次函数的图像与该函数图像有且只有一个交点． 24. 随着科技的飞速发展，新能源汽车将我们带入一个新的出行时代，新能源汽车无疑将成为交通领域的主角．某电车生产车间现有、两个工种的工人，其中工种有300人，工种有200人，且同类工种工人月工资相同．已知6个种工人的月工资与5个种工人的月工资相同，该生产车间每月共付工资总额540万元． （1）、两个工种工人的月工资分别为多少万元； （2）由于市场部订单数量增多，该生产车间计划再招聘、两个工种工人共60人．其中，再招聘的工种工人不超过再招聘的工种工人的，且最终车间所有工种工人的数量与车间所有工种工人的数量之差不高于80人．那么该车间有几种招聘方案，哪种方案可使每月付给这60个工人工资总额最少，最少为多少？ 【答案】（1）A工种工人的月工资为1万元，B工种工人的月工资为1.2万元 （2）三种招聘方案：①招聘工种工人人，工种工人人；②招聘工种工人人，工种工人人；③招聘工种工人人，工种工人人；方案③可使每月付给这60个工人的工资总额最少，最少为68万元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用（其他问题），一元一次不等式组的其他应用等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程或不等式组是解题的关键． （1）设工种工人的月工资为万元，则工种工人的月工资为万元，根据题意列方程求解即可； （2）设再招聘工种工人人，则再招聘工种工人人，根据题意列不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：设工种工人的月工资为万元，则工种工人的月工资为万元， 根据题意可列方程：， 解得：， 则， 、两个工种工人的月工资分别为1万元、1.2万元； 【小问2详解】 解：设再招聘工种工人人，则再招聘工种工人人， 根据题意可列不等式组： ， 解得：， 为整数， 的值为、、， 该车间共有三种招聘方案： ①招聘工种工人人，工种工人人； ②招聘工种工人人，工种工人人； ③招聘工种工人人，工种工人人； 工种工人的月工资比工种工人的月工资低， 招聘工种工人越多，每月付给这个工人的工资总额越少， 招聘工种工人人，工种工人人时，每月付给这个工人的工资总额最少，最少为万元， 答：该车间共有三种招聘方案：①招聘工种工人人，工种工人人；②招聘工种工人人，工种工人人；③招聘工种工人人，工种工人人；方案③可使每月付给这个工人的工资总额最少，最少为68万元． 25. 如图1，直线交轴，轴于点和点，直线交轴，轴于点和点，和交于点，已知． （1）求直线的解析式； （2）如图2，已知点是轴上一动点，点在直线上，且在点的右侧，连接，当的面积为时，连接，，当取最小值时，求点的坐标； （3）如图3，连接，将绕点顺时针旋转得到，所在直线交轴于点，连接，点是轴上的一点，是否存在点使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先求解，，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）由题意设，结合的面积为，求解，，如图，作关于轴的对称点，可得，当三点共线时，最小，再进一步求解即可； （3）由旋转可得，，，过作轴于，证明，可得，求解的解析式为，直线的解析式为：，结合，再分两种情况解答即可． 【小问1详解】 解：∵直线交轴，轴于点和点， ∴当，则，当，则， ∴，， ∵， ∴，， ∵和交于点， ∴， ∴， ∵为， ∴，解得：， ∴直线为：． 【小问2详解】 解：由题意设， ∵的面积为， ∴， 解得：， ∴， ∵直线为：． ∴当时，， ∴， 如图，作关于轴的对称点， ∴， ∴， 当三点共线时，最小， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 当时，， 解得：， ∴． 【小问3详解】 解：如图，∵，，，将绕点顺时针旋转得到， ∴，，， 过作轴于， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 同理可得：的解析式为， 同理可得：， 同理可得：直线的解析式为：， ∵， ∴， ∴直线的解析式为：， ∴当时，解得， ∴， 如图，当时，记的交点为， ∴， 设， ∴， 解得：， ∴， ∴， 同理可得：的解析式为：， 当时，解得：， ∴， 综上：或． 【点睛】本题考查的是一次函数的几何应用，旋转的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，坐标与图形面积，轴对称的性质，本题的难度很大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 26. 在中，，，为直线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，过点分别作交于点，交于点． （1）如图1，若点在线段上，且，，，求的长度； （2）如图2，若点为线段中点，连接，与交于点，若，用等式表示线段和之间的数量关系，并证明； （3）如图3，若，连接，将沿直线翻折至所在平面内得到，同时线段、上分别有两个动点、，且，连接、，当最大，同时最小时，求的值． 【答案】（1） （2），见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可证，得到，在中，运用勾股定理可得，根据等面积法可得，由此即可求解； （2）点为线段中点，设，则，在中，由等面积法可得，在中，由勾股定理可得，则有，如图所示，延长至点使得，，过点作于点，则，可证，得到，,再证，得到，则有，证明，得到，，在中，由勾股定理可得，由此即可求解； （3）证明是等边三角形，得出，结合，得出，设，则，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于，由旋转的性质可得，，证明得出，从而得出，此时最小，作交的延长线于，于，结合勾股定理和等面积法得出，由三角形三边关系可得，当且仅当点、、在同一直线上时成立，连接，由折叠的性质可得：，，则为等腰直角三角形，点在的垂直平分线上，作交于，延长交的延长线于，此时最大，作交的延长线于，设，则，，由等腰直角三角形的性质得出，再由，，计算即可得解． 【小问1详解】 解：将线段绕点顺时针旋转至线段， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，证明如下， 在中，，，点为线段中点， ∴， 设，则， 在中，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 如图所示，延长至点使得，，过点作于点，则， ∵将线段绕点顺时针旋转至线段， ∴， 在和中， ∴， ∴，, ∵点是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴，且， ∴； 【小问3详解】 解：∵段绕点顺时针旋转至线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 设，则，， 如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于，则此时最小， ， 由旋转的性质可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴，此时最小， 作交的延长线于，于， ∵， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由三角形三边关系可得：，当且仅当点、、在同一直线上时成立，连接， 由折叠的性质可得：，， ∴为等腰直角三角形，点在的垂直平分线上， 作交于，延长交的延长线于，此时最大，作交的延长线于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、三角形面积公式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $