精品解析：广东省肇庆市肇庆鼎湖中学2024-2025学年高二上学期12月质量检测数学试题

肇庆鼎湖中学2024-2025学年第一学期12月质量检测 高二年级 数学学科 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 点关于坐标平面的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为5，弧长为的扇形，则此圆锥的侧面积和体积分别是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）． A. 1 B. 2 C. D. 4 4. 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 设点、，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 6. 已知圆和交于A，B两点，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正三棱柱的各棱长相等，D为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 0 8. 设点P为直线l：上任意一点，过点P作圆O：的切线，切点分别为A，B，则直线AB必过定点（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对，得部分分） 9. 已知空间向量，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若在上的投影向量为，则 D. 若与夹角为锐角，则 10. 已知直线：与圆：．则下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 直线与圆相离 C. 圆心到直线距离的最大值是 D. 直线被圆截得的弦长最小值为 11. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，分别是，的中点，则（ ） A. ∥平面 B. 三棱锥与三棱锥的体积之比为 C. ∥ D. A，E，G，F四点共面 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）. 12. 过点，且在两坐标轴上截距之和等于6的直线一般方程是______. 13. 已知为圆C：上任意一点，则的最大值为______. 14. 如图，在直角梯形中，，，，若以为圆心，为半径的圆与相切，切点为，则的值为__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知的三个顶点为，，. （1）求过点A且平行于BC的直线的一般方程； （2）求过点B且与A，C距离相等的直线的一般方程. 16. 已知圆C：，点.点在圆上运动，为线段的中点. （1）求点的轨迹方程，并说明其轨迹； （2）若过点的直线l被曲线（点为轨迹中心）截得的弦长为4，求直线的一般方程. 17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，， （Ⅰ）设分别为的中点，求证：平面； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知圆过点，，且圆心在直线：上. （1）求圆的方程； （2）若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线的一般方程. （3）若点在直线上运动，求的最小值. 19. 如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面BEF； （3）求二面角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 肇庆鼎湖中学2024-2025学年第一学期12月质量检测 高二年级 数学学科 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 点关于坐标平面的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点关于坐标平面的对称点的坐标为，即可求解. 【详解】点关于坐标平面的对称点的坐标为. 故选：C. 2. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为5，弧长为的扇形，则此圆锥的侧面积和体积分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接由扇形面积公式得圆锥侧面积，进一步得圆锥底面圆半径以及高即可求得圆锥体积. 【详解】由扇形面积公式得此圆锥的侧面积为， 圆锥底面圆的半径为，又圆锥母线长为5，所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积为. 故选：C. 3. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）． A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行求出参数的值，再将直线方程化为、对应系数一致，最后利用距离公式计算可得. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得， 所以直线，即，即， 所以两平行线之间的距离. 故选：B 4. 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】结合图形，利用向量的线性运算，即可求解. 【详解】 在四棱锥P-ABCD中，有， 再由点E为棱PC的中点，，所以， ， 由底面ABCD是平行四边形，得， 所以， 又因为，所以，即， 故选：A. 5. 设点、，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出图形，由题意得所求直线的斜率满足或，用直线的斜率公式求出 和的值，求出直线的斜率的取值范围. 【详解】解：如图所示：由题意得，所求直线的斜率满足或， ∵，， ∴直线的斜率的取值范围是或 ， 故选：A. 6. 已知圆和交于A，B两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】两圆方程相减求得直线方程，然后求得一个圆心到直线的距离，由勾股定理求得弦长． 【详解】由已知，两圆方程相减得，这是两圆公共弦所在直线方程， 圆的圆心为，半径为， 到直线的距离为， 所以， 故选：B． 7. 如图，正三棱柱的各棱长相等，D为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】构建空间直角坐标系，求直线的方向向量，应用空间向量数量积的坐标表示可得，即知异面直线的夹角. 【详解】以为坐标原点，为轴，为轴，在平面内， 过点作垂直于的直线为轴，构建如下图示的空间直角坐标系， 设正三棱柱的棱长为2，则，，，， ，，则， 所以异面直线与所成的角为，余弦值为0， 故选：D. 8. 设点P为直线l：上任意一点，过点P作圆O：的切线，切点分别为A，B，则直线AB必过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，设为直线上的一点，由切线的性质得点、在以为直径的圆上，求出该圆的方程，与圆的方程联立可得直线的方程，将其变形分析可得直线恒过的定点. 【详解】如图，连接，， 根据题意，设为直线上的一点，则， 由于为圆的切线，则有，， 则点、在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为，半径， 则其方程为，变形可得， 联立可得直线AB：， 又由，则有AB：， 变形可得， 则有，解可得，故直线恒过定点. 故选：B. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对，得部分分） 9. 已知空间向量，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若在上的投影向量为，则 D. 若与夹角为锐角，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，结合向量垂直的性质即可求解；对于B，结合向量的四则运算即可求解；对于C，利用投影的几何意义即可求解； 对于D，根据向量的夹角公式即可求解. 【详解】对于A，，， 又，， 即， 解得，故A正确， 对于B，， ， ，解得，故B正确， 对于C，在上的投影向量为，即， 代入坐标化简可得， 故，无解，故C错误， 对于D，与夹角为锐角， ，解得， 且与不共线，即，解得， 则与夹角为锐角，解得，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知直线：与圆：．则下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 直线与圆相离 C. 圆心到直线距离的最大值是 D. 直线被圆截得的弦长最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线与圆的相关知识对各选项逐一判断即可. 【详解】对于A，因为：，即， 令，即，得，所以直线过定点，故A正确； 对于B，因为， 所以定点在圆：内部，所以直线与圆相交，故B错误； 对于C，因为圆：，可化为，圆心， 当圆心与定点的连线垂直于直线时，圆心到直线距离取得最大值， 此时其值为，故C错误； 对于D，由弦长公式可知，当圆心到直线距离最大时，弦长取得最小值， 所以直线被圆截得的弦长的最小值为，故D正确. 故选：AD. 11. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，分别是，的中点，则（ ） A. ∥平面 B. 三棱锥与三棱锥的体积之比为 C. ∥ D. A，E，G，F四点共面 【答案】ABD 【解析】 【分析】A项，通过证明∥即可得出结论；B项，求出的面积关系和点到底面的高之间的关系，即可求出体积之比；C项，通过证明两向量不平行，即可得出结论；D项，通过求解三向量之间的关系。即可得出结论. 【详解】由题意， A项，在中，，分别是，的中点, ∴∥, ∵面，面， ∴∥平面，A正确； B项，在三棱锥中，设点到的距离为， ， 在三棱锥中，设点到的距离为， ∵，，分别是，的中点, ∴,, ， ∴,故B正确， 对C项，, , ∴与不平行，与不平行，C错误； D项，由几何知识得，， , ∴即， ∴三向量共面，即A，E，G，F四点共面，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题考查线面平行，等体积法，线线平行的判定，向量法证明四点共面，考查学生分析和处理问题的能力，具有很强的综合性. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）. 12. 过点，且在两坐标轴上截距之和等于6的直线一般方程是______. 【答案】 【解析】 【分析】设直线的方程为，根据条件列方程组求解即可. 【详解】由题意，设直线的方程为， 则，解得， 所以直线的方程为，即. 故答案为：. 13. 已知为圆C：上任意一点，则的最大值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用，把问题转化为求直线的斜率的最值，且当直线为圆的切线时，斜率取最值.设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，即可求解最值. 【详解】由可以看成圆上的动点与定点的两点斜率， 从而转化为直线的斜率的最值，且当直线为圆的切线时，斜率取最值. 即可设直线的方程为，即. 由，化标准方程得：， 则圆心，半径为， 所以当直线与圆相切时，圆心到直线的距离. 两边平方，即，解得，或. 所以的最大值和最小值分别为和. 故答案为： 14. 如图，在直角梯形中，，，，若以为圆心，为半径的圆与相切，切点为，则的值为__________. 【答案】9 【解析】 【分析】利用向量的数量积运算代入即可求出结果. 【详解】 连接，则,, 所以， 故答案为：9. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知的三个顶点为，，. （1）求过点A且平行于BC的直线的一般方程； （2）求过点B且与A，C距离相等的直线的一般方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据直线平行得斜率相等，再根据点斜式方程即可求解； （2）根据题意可知所求直线与AC平行或者过A，C中点，分类求解即可. 【小问1详解】 ，∴直线BC的斜率为：. ∴过点A且平行于BC的直线的方程为：，即. 【小问2详解】 由题知可知：的中点坐标为：，直线的方程为：. 当直线与AC平行时，直线的一般方程为：； 当直线经过A，C中点时，，此时直线的方程为：，即. 综上所述：过点B且与A，C距离相等的直线的一般方程为：或. 16. 已知圆C：，点.点在圆上运动，为线段的中点. （1）求点的轨迹方程，并说明其轨迹； （2）若过点的直线l被曲线（点为轨迹中心）截得的弦长为4，求直线的一般方程. 【答案】（1），轨迹为以为圆心，以为半径的圆. （2）或 【解析】 【分析】（1）设，，根据为线段的中点，可得，再结合点在圆上可得点轨迹方程，再进一步分析其轨迹. （2）结合（1）的结论，按直线的斜率是否存在分类，结合弦心距求直线方程. 【小问1详解】 如图： 设，，因为为线段的中点， 所以. 又点在圆：上，所以. 所以，即. 所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆. 【小问2详解】 由（1）可知，点到直线的距离：. 点到直线的距离为2，因此直线的方程可以为； 当直线的斜率存在时，设其方程为：，即. 由， 此时直线的方程为：. 故直线的方程为或. 17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，， （Ⅰ）设分别为的中点，求证：平面； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（I）连接，易知，， 又由，故， 又因为平面，平面， 所以平面. （II）取棱的中点，连接， 依题意，得， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面，又平面，故， 又已知，， 所以平面. （III）. 【解析】 【分析】（I）连接，结合平行四边形的性质，以及三角形中位线的性质，得到，利用线面平行的判定定理证得结果； （II）取棱的中点，连接，依题意，得，结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质得到，利用线面垂直的判定定理证得结果； （III）利用线面角的平面角的定义得到为直线与平面所成的角，放在直角三角形中求得结果. 【详解】（I）略 （II）略 （III）解：连接， 由（II）中平面， 可知为直线与平面所成的角. 因为为等边三角形，且为的中点， 所以，又， 在中，， 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理能力. 18. 已知圆过点，，且圆心在直线：上. （1）求圆的方程； （2）若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线的一般方程. （3）若点在直线上运动，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可求线段的中垂线方程，联立直线方程可得圆心，进而可得半径与圆的方程； （2）由恰好平分圆的圆周，得经过圆心，求点关于直线的对称点，求出直线即为； （3）由题意设点的坐标为，根据两点间距离公式可得，进而可得最小值. 【小问1详解】 由，，得直线的斜率为，线段中点， 所以，直线的方程为，即， 联立，解得，即， 所以半径， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 由恰好平分圆的圆周，得经过圆心， 设点关于直线的对称点， 则直线与直线垂直，且线段的中点在上， 即，解得， 所以， 所以直线即为直线，且， 直线方程为，即； 【小问3详解】 由已知点在直线上， 设， 则， 所以当时，取最小值为. 19. 如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面BEF； （3）求二面角的正弦值. 【答案】（1） 连接，设，则，，， 则， 解得，则为的中点，由分别为的中点， 于是，即，则四边形为平行四边形， ，又平面平面， 所以平面. （2） 法一：由（1）可知，则，得， 因此，则，有， 又，平面， 则有平面，又平面，所以平面平面. 法二：因为，过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系， ， 在中，， 在中，， 设，所以由可得：， 可得：，所以， 则，所以，， 设平面的法向量为， 则，得， 令，则，所以， 设平面的法向量为， 则，得， 令，则，所以， ， 所以平面平面BEF； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答. （2）法一：由（1）的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直、面面垂直的判定推理作答.法二：过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系，设，所以由求出点坐标，再求出平面与平面BEF的法向量，由即可证明； （3）法一：由（2）的信息作出并证明二面角的平面角，再结合三角形重心及余弦定理求解作答.法二：求出平面与平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 法一：过点作交于点，设， 由，得，且， 又由（2）知，，则为二面角的平面角， 因为分别为的中点，因此为的重心， 即有，又，即有， ，解得，同理得， 于是，即有，则， 从而，， 在中，， 于是，， 所以二面角的正弦值为. 法二：平面的法向量为， 平面的法向量为， 所以， 因为，所以， 故二面角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $