精品解析：北京市良乡中学2025届高三上学期12月月考数学试题

良乡中学高三数学12月考试题 本试卷共8页，满分150分，考试时长120分钟.考生务必将答案填涂或书写在答题卡和答题纸上.考试结束，将答题卡、后3页试卷交回！ 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题.本题共10题每题4分，共计40分.在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次不等式结合补集运算即可得解. 【详解】由题意全集，集合，. 故选：B. 2. 在复平面内，复数和对应的点分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的几何意义可得复数，利用乘法运算，可得答案. 【详解】由题意可知：，， 则. 故选：A. 3. 若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A. y=±2x B. y= C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】双曲线的离心率为，渐进性方程为，计算得，故渐进性方程为. 【考点定位】本小题考查了离心率和渐近线等双曲线的性质. 4. 已知，则（ ） A. B. 32 C. 495 D. 585 【答案】C 【解析】 【分析】利用赋值法，分别将赋值为，利用方程的思想，可得答案. 【详解】令，可得，解得； 令，可得，则； 令，可得，则； 令，，则. 故选：C. 5. 下列函数中，在区间上为减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】AB可根据函数图象直接得到在上的单调性；C选项，求导得到单调性；D选项，根据复合函数单调性满足同增异减求出答案. 【详解】A选项，在上单调递增，不合要求，错误； B选项，在上单调递增，在上单调递减，故B错误； C选项，在上恒成立， 故在上单调递增，C错误； D选项，令得，， 在上单调递增， 而在上单调递减， 由复合函数单调性可知，在上单调递减，D正确. 故选：D 6. 设函数的定义域为，则“”是“为减函数”的（ ） A. 充分必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分而不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的单调性及充分、必要条件的定义判定选项即可. 【详解】若，则， 作出函数图象， ， 由图象可知成立，但显然不为减函数； 若为减函数，又，则， 所以“”是“为减函数”的必要不充分条件. 故选：B 7. 已知点在圆上，点的坐标为为原点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，利用平面向量数量积的坐标运算结合直线与圆的位置关系可得结果. 【详解】设，因点的坐标为，所以， 则， 设，即， 依题意，求t的范围即求直线与圆有公共点时在y轴上截距的范围， 即圆心到的距离，解得， 所以的取值范围为， 故选：D. 8. “三斜求积术”是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长求三角形面积，即．现有面积为的满足，则的周长是（ ） A. 9 B. 12 C. 18 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】利用已知及正弦定理计算即可. 【详解】根据正弦定理可知，不妨设， 由， 所以的周长是. 故选：C 9. 已知函数，.若对于图象上的任意一点，在的图象上总存在一点，满足，且.则实数（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】设点，点，分类讨论和两种情况，结合已知条件可以得到的关系式，分析化简知，代入化简即可得解. 【详解】设点，点 当时，点，根据指数函数与对数函数的性质知，此时，显然满足条件； 当，，由，知，即，即（*） 又，知，即 将（*）式代入，得 由于，有 因此有，即，即 由于，所以（*）式可知不满足条件，则有 代入（*）式得 所以，故 故选：B 10. 在正方体中，为棱上的动点，为线段的中点.给出下列四个 ①； ②直线与平面所成角不变； ③点到直线的距离不变； ④点到四点的距离相等. 其中，所有正确结论的序号为（ ） A. ②③ B. ③④ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据的变化情况并找出的轨迹就可判定①③④是否正确，作出直线与平面所成的角，就可判定②是否正确. 【详解】如下图，当在棱上运动时，始终在平面中，由，可得，所以，故①正确， 此时点的轨迹为线段，如下图可知，，过正方形中心且，故③④正确， 如下图，延长与的延长线交于，连接，则即为直线与平面所成角， 当点在上运动时，不变而在变，所以不是定值， 故②错误. 故选：C. 【点睛】(1)判定和动点相关的问题时，只要找出动点的轨迹，就可以根据轨迹的特点进行判断； (2)判定与动直线相关的位置关系问题时，可找出动直线所在的平面进行判定； (3)根据定义作出线面角可用来解决运动型的问题. 第Ⅱ卷（非选择题 共10分） 二、填空题（共5道小题，每题5分，共25分.把答案填在题中横线上.） 11. 已知，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用正切定义以及同角三角函数关系式即可求解. 【详解】由题知，， 又，所以， 所以. 故答案为： 12. 抛物线上一点到焦点的距离为8，则点到轴的距离为_______． 【答案】7 【解析】 【分析】根据抛物线的定义即可求解. 【详解】设，抛物线的焦点为， 则由抛物线的定义可得，所以， 故点到轴的距离为7， 故答案为：7. 13. 已知数列的前项和满足，且成等差数列，则__________；__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意，得到，得到为等比数列，列出方程组，求得，再由等比数列的通项公式，即可求解. 【详解】由数列的前项和满足， 当时，，两式相减可得， 又由成等差数列，所以，即， 解得，所以数列是以2为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为. 故答案为：；. 14. 若实数，满足方程组，则的一个值是_______. 【答案】（满足或的值均可） 【解析】 【分析】直接利用三角函数关系式的变换的应用求出结果． 【详解】解：实数，满足方程组， 则， 由于， 所以，则； 所以，整理得， 所以或， 即得或. 故可以取时，． 故答案为：（满足或的值均可） 15. 在现实世界，很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列，分别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度，数列模型：，描述了这两组信息在互相影响之下的传播演化过程.若两组信息的初始信息强度满足，则在该模型中，关于两组信息，给出如下结论： ①； ②； ③，使得当时，总有 ④，使得当时，总有． 其中，所有正确结论的序号是_________ 【答案】①②③ 【解析】 【分析】由得即可判断①正确；由，即可判断②正确；由，当时，，即可判断③正确；由，当时，，即可判断④错误. 【详解】因为，两式作差得，故为常数列， 即，故，①正确； 因为，又，为正实数数列，故，故，②正确； 由上知，，因为为常数，为单增数列，故当时，， 又，故，使得当时，总有，③正确； ，又，故，因为为常数， 为单增数列，故当时，，，故④错误. 故答案为：①②③. 三、解答题 16. 已知函数 （1）求函数的最小正周期； （2）设函数，求的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦的和差公式，二倍角公式化简，再用求解最小正周期；（2）化简，化为关于的二次函数，再利用三角函数的有界性求值域. 【小问1详解】 ∴ ∴函数的最小正周期为 【小问2详解】 由第一问可知， 设，则 ∴当时，取得最小值，；当时，取得最大值，，所以的值域为. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，Q为棱的中点. （1）求证：平面； （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：直线与平面所成角的正弦值. 条件①：； 条件②：平面. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） 连接与相交点，连接， 因为底面为正方形，所以为的中点，又Q为棱的中点， 所以为的中位线，所以， 又平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接与相交点，连接，由三角形中位线的性质结合线面平行的判定定理证明即可； （2）条件①，由线面垂直的判定定理证明平面，进而得到为等腰直角三角形，然后建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量方法求解线面角即可； 条件②，利用线面垂直的性质定理得到，进而得到为等腰直角三角形，然后建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量方法求解线面角即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 选条件①： 易知平面，面，所以， 又平面，， 所以平面， 又平面，所以，由于Q为棱的中点，所以为等腰直角三角形， 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方形的边长为1， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，可取， 设直线与平面所成角为， 则； 选条件②： 因为平面，平面，所以， 由于Q为棱的中点，所以为等腰直角三角形， 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方形的边长为1， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，可取， 设直线与平面所成角为， 则. 18. 某汽车生产企业对一款新上市的新能源汽车进行了市场调研，统计该款车车主对所购汽车性能的评分，将数据分成5组：，并整理得到如下频率分布直方图： （1）求的值； （2）该汽车生产企业在购买这款车的车主中任选3人，对评分低于110分的车主送价值3000元的售后服务项目，对评分不低于110分的车主送价值2000元的售后服务项目．若为这3人提供的售后服务项目总价值为元，求的分布列和数学期望； （3）用随机抽样的方法从购买这款车的车主中抽取10人，设这10人中评分不低于110分的人数为，问为何值时，的值最大？（结论不要求证明 【答案】（1）； （2） 9000 8000 7000 6000 0.027 0.189 0.441 0.343 期望6900； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质计算即可； （2）利用频率分布直方图及离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可； （3）利用二项分布的概率公式计算即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知； 【小问2详解】 根据频率分布直方图可知评分低于110分的占比，评分不低于110分的占比， 任选3人中其评分情况有四种：3人均低于110分；2人低于110分，1人不低于110分；1人低于110分，2人不低于110分；3人均不低于110分， 所以可取四种情况， ，， ，， 故的分布列为： 9000 8000 7000 6000 0.027 0.189 0.441 0.343 则； 【小问3详解】 由题意可知， 可知当时取得最大值. 证明如下：设最大，即， 所以， 化简得，因为，故. 19. 已知椭圆经过点，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设过点的直线与椭圆有两个不同的交点（均不与点重合），若以线段为直径的圆恒过点，求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的性质计算即可； （2）设点坐标及设直线方程，利用结合韦达定理计算即可. 【小问1详解】 由题意可知， 又离心率为， 即椭圆方程为：； 【小问2详解】 设直线，， 则， 因为以线段为直径的圆恒过点，所以， 联立直线与椭圆， 所以，则， 由， ， 整理得或， 易知时不符题意，所以. 20. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）设函数，求的单调区间； （3）判断极值点的个数，并说明理由． 【答案】（1） （2）在，单调递增，在单调递减. （3）个极值点，理由如下： 由（2）知当时，在区间上单调递增， ，， 所以存在唯一，使； 当时，在区间上单调递减， ，， 所以存在唯一，使； 当时，，，所以 所以在区间无零点； 综上，当，， 当，， 当，， 所以当时，取到极小值；当时，取到极大值； 故有个极值点. 【解析】 【分析】（1）求出导数，然后求出，从而求解. （2）由（1）知，然后求出导数，从而可求解. （3）根据（2）中分类讨论的情况，然后求出相应的解，从而求出单调区间，从而求解. 【小问1详解】 由题意知，定义域为，所以， 所以直线的斜率，， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 由（1）知，所以， 令，即，解得或， 当，， 当，， 当，， 所以在，单调递增，在单调递减. 【小问3详解】 略 21. 已知为有穷正整数数列，且，集合．若存在，使得，则称为可表数，称集合为可表集． （1）若，判定31，1024是否为可表数，并说明理由； （2）若，证明：； （3）设，若，求的最小值． 【答案】（1）31是可表数，1024不是可表数， 理由：31是，1024不是，理由如下： 由题意可知， 当时，有， 显然若时，， 而， 故31是可表数，1024不是可表数； （2） 由题意可知若，即， 设，即使得， 所以，且成立，故， 所以若，则， 即中的元素个数不能超过中的元素， 对于确定的，中最多有个元素， 所以； （3）8 【解析】 【分析】（1）根据定义赋值及数列求和计算验证即可； （2）根据定义判定则有，从而可知，利用集合间的基本关系得出中最多含有个元素，解不等式即可证明； （3）利用第二问的结论可设，有，然后利用定义先证为可表数，再根据三进制的基本事实确定的最小值为满足成立的，代入求即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意可设，使， 又， 所以，即， 而， 即当时，取时，为可表数， 因为， 由三进制的基本事实可知，对任意的，存在， 使， 所以 ， 令，则有， 设， 由的任意性，对任意的， 都有， 又因为，所以对于任意的，为可表数， 综上，可知的最小值为，其中满足， 又当时，， 所以的最小值为. 【点睛】难点点睛：第二问关键是根据定义可确定中元素互为相反数，再利用集合间的基本关系确定元素个数的关系计算即可；第三问利用第二问的结论可设，有，利用定义先证为可表数，再根据三进制的基本事实设任意的，存在，使，得出并结合定义确定为可表数，从而确定的最小值为满足成立的，代入求即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 良乡中学高三数学12月考试题 本试卷共8页，满分150分，考试时长120分钟.考生务必将答案填涂或书写在答题卡和答题纸上.考试结束，将答题卡、后3页试卷交回！ 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题.本题共10题每题4分，共计40分.在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数和对应的点分别为，则（ ） A. B. C. D. 3. 若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A. y=±2x B. y= C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. 32 C. 495 D. 585 5. 下列函数中，在区间上为减函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 设函数的定义域为，则“”是“为减函数”的（ ） A. 充分必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分而不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知点在圆上，点的坐标为为原点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. “三斜求积术”是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长求三角形面积，即．现有面积为的满足，则的周长是（ ） A. 9 B. 12 C. 18 D. 36 9. 已知函数，.若对于图象上的任意一点，在的图象上总存在一点，满足，且.则实数（ ） A. B. C. 2 D. 4 10. 在正方体中，为棱上的动点，为线段的中点.给出下列四个 ①； ②直线与平面所成角不变； ③点到直线的距离不变； ④点到四点的距离相等. 其中，所有正确结论的序号为（ ） A. ②③ B. ③④ C. ①③④ D. ①②④ 第Ⅱ卷（非选择题 共10分） 二、填空题（共5道小题，每题5分，共25分.把答案填在题中横线上.） 11. 已知，则__________． 12. 抛物线上一点到焦点的距离为8，则点到轴的距离为_______． 13. 已知数列的前项和满足，且成等差数列，则__________；__________． 14. 若实数，满足方程组，则的一个值是_______. 15. 在现实世界，很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列，分别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度，数列模型：，描述了这两组信息在互相影响之下的传播演化过程.若两组信息的初始信息强度满足，则在该模型中，关于两组信息，给出如下结论： ①； ②； ③，使得当时，总有 ④，使得当时，总有． 其中，所有正确结论的序号是_________ 三、解答题 16. 已知函数 （1）求函数的最小正周期； （2）设函数，求的值域. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，Q为棱的中点. （1）求证：平面； （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：直线与平面所成角的正弦值. 条件①：； 条件②：平面. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18. 某汽车生产企业对一款新上市的新能源汽车进行了市场调研，统计该款车车主对所购汽车性能的评分，将数据分成5组：，并整理得到如下频率分布直方图： （1）求的值； （2）该汽车生产企业在购买这款车的车主中任选3人，对评分低于110分的车主送价值3000元的售后服务项目，对评分不低于110分的车主送价值2000元的售后服务项目．若为这3人提供的售后服务项目总价值为元，求的分布列和数学期望； （3）用随机抽样的方法从购买这款车的车主中抽取10人，设这10人中评分不低于110分的人数为，问为何值时，的值最大？（结论不要求证明 19. 已知椭圆经过点，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设过点的直线与椭圆有两个不同的交点（均不与点重合），若以线段为直径的圆恒过点，求的值． 20. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）设函数，求的单调区间； （3）判断极值点的个数，并说明理由． 21. 已知为有穷正整数数列，且，集合．若存在，使得，则称为可表数，称集合为可表集． （1）若，判定31，1024是否为可表数，并说明理由； （2）若，证明：； （3）设，若，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $