安徽省马鞍山市红星中学2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题

马鞍山红星中学2024-2025学年高一上学期期末考试 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 第I卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则(     ) A. B. C. D. 【答案】B  解：；  ，即． 故选：． 2.函数的零点所在的区间是(     ) A. B. C. D. 【答案】C  解：易得函数在上单调递增，且函数连续， 由题意可得， ， ， ， 显然满足， 故函数的零点所在的区间为， 3.若，且，则下列不等式中，恒成立的是(     ) A. B. C. D. 【答案】B  【详解】对于，因，则同号，但由题不能判断同为正或同为负， 当为负数时，，则 A错误； 对于，，当且仅当，即时，取等号，故 B正确 对于，，故 C错误； 对于，由分析，当为负数时，，则 D错误； 4.已知函数为上的偶函数，且在上单调递增，若，，为自然对数的底数，则，，的大小关系为(     ) A. B. C. D. 【答案】C  解：因为函数为上的偶函数，且在上单调递增， ，，， 又， 所以，即． 5.已知，则(     ) A. B. C. D. 【答案】B  解：由，得， ． 6.设，不等式恒成立的一个充分条件可以是(     ) A. B. C. D. 【答案】C  解：不等式对恒成立时，当时恒成立，当时对恒成立只需解得，综上有当不等式对恒成立 ，而，，故由选项推出题中不等式对恒成立． 7.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是(     ) A. B. C. D. 【答案】B  解：要使函数在上单调递减，则在上单调递减，且在上恒成立， 故且在上恒成立，又时，， 所以且，故， 8.已知函数，若关于的方程有个不同的实根，则实数的取值范围是(     ) A. B. C. D. 【答案】C  解：由，可得， 所以或，在同一直角坐标系中作出，，的图象， 由图可知与的图象有个交点，则只需与的图象有个交点即可， 所以，即 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列命题为真命题的是(     ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC  解：对于、当时，显然A错误； 对于、若，则， 所以，故B正确； 对于、若，，则， 故C正确； 对于、若，则， 故 ，故D错误； 10.已知函数，则(     ) A. 若函数的周期为，则 B. 若，则函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到 C. 若且直线是函数的一条对称轴，则在上单调递增 D. 若函数在区间上没有零点，则 【答案】BCD  解：， 对于、若函数的周期为，则，故A错误； 对于、若，则， 故函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到，故B正确； 对于、若且直线是函数的一条对称轴， 则且，解得，则， 由，得，递增，故C正确； 对于、当时， 若函数在区间上没有零点，则， 又，则，故D正确 11.已知是上不恒为零的函数，且，都有，则下列说法正确的是(     ) A. B. 是奇函数 C. 若，则 D. 若当时，，则在上单调递减 【答案】BCD  解：因为， 令，得，所以，故A错误； 令，得，所以， 令，得， 又，所以，又因为定义域为，所以函数是奇函数，故B正确； 令，，得， 又，，则，故C正确； 当，时，由，可得，又， 则，在上任取，，不妨设， 则， 因为，所以， 所以， 所以，即在单调递减，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.玉璜，是一种佩戴饰物在中国古代，玉璜与玉琮、玉璧、玉圭、玉璋、玉琥等总称为“六瑞”，被周礼一书称为是“六器礼天地四方”的玉礼器，多作为宗教礼仪挂饰现有一弧形玉璜呈扇环形，已知，弧长为，弧长为，此玉璜的面积为________． 【答案】  解：玉璜的面积为 13.函数的定义域为________． 【答案】  解：函数， 则，解得， 所以函数的定义域为． 14.函数是定义在上的奇函数，且关于的不等式有解，则实数的取值范围为________． 【答案】  解：若函数是定义在实数集上的奇函数， 可得， 即，即， 由，可得； 所以， 任取，，设，则， ，， ，则， 所以， 则函数为上的增函数， 又函数为上的奇函数， 所以不等式有解，转化为，即有解， 所以有解，即， 令，因，则，即， 则，当且仅当时取等号， 由双勾函数的单调性知：，函数单调递减，，函数单调递增， 当时，，当时，， 所以， 所以， 故实数的取值范围为 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 设全集为，已知集合，． 当时，求 若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】解：当时，， 或， 又因为， 则或． 因为“”是“”成立的充分条件，则， 集合，， 当时，，即符合题意； 当时，，解得：． 综上所述，实数的取值范围是  16.本小题分 求函数的最小值； 若，，求的最大值． 【答案】解：令，， 则，当且仅当，即时等号成立， 故函数的最小值为； 因为，，所以，当且仅当时等号成立， 所以，即的最大值为．  17.本小题分 已知函数． 求函数的最小正周期和单调递增区间； 若，求函数的值域； 若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值． 【答案】解：， 即，最小正周期为， 令 ，解得，， 故单调递增区间为； 因为， 所以， 所以， 即的值域为； 时，， 因为在上有两个不相等的实数根，， 所以， 则， 所以， 所以．  18.本小题分 已知函数． 当时，求的取值范围； 若函数在上的最大值为，求实数的值； 通过软件作图发现，当时，试利用上述结论证明：． 【答案】由题意函数的定义域为，的定义域为， 由得， 故，得， 又，故的取值范围为． 设，因，故， 则， 当，即时，当时，取得最大值，故，得， 当即时，当时，取得最大值，故，得， 故实数的值为或． 当时，试利用上述结论证明：， ， 当时，由可得，故， 当时，由可得故， 故． 19.本小题分 设定义在上的函数和定义在上的函数，对任意的，存在，使得为非零常数恒成立，则称与为异自变量定值函数组合，其中叫作这两个函数的恒定比数值． 若函数，，，，判断与是否是恒定比数值为的异自变量定值函数组合，并说明理由； 若函数，，，，与是恒定比数值为的异自变量定值函数组合，求的取值范围； 若函数，，，，且与是恒定比数值为的异自变量定值函数组合，求的取值范围． 【答案】与是恒定比数值为的异自变量定值函数组合，理由如下： 是增函数，所以函数在上单调递增， ，， 则的取值范围是， ，， 则的取值范围为， 若与是恒定比数值为的异自变量定值函数组合， 则对任意的，存在，使得， 根据与的取值范围分别是，， 因此，对于的取值范围内的所有的值，都可以找到一个的值，使其满足， 故与是恒定比数值为的异自变量定值函数组合； ，都是增函数， 所以在上为增函数， ，， 因此的取值范围是， 若与是恒定比数值为的异自变量定值函数组合， 则有， 由于的取值范围是， 所以的值域为， 为了使等式符合定义要求，的值域也必须包含于， 由于的值域为， 因此满足：，解得， 故的取值范围为； 在上， ， 当时，， 当时，， 因此的值域为， ，在上， ， ， 因此的值域为， 若与是恒定比数值为的异自变量定值函数组合， ， 为了使等式符合定义要求， 的值域也必须包含， 当时，满足，解得：； 当时，满足，解得：； 综上的取值范围为：．  1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 马鞍山红星中学2024-2025学年高一上学期期末考试 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 第I卷 1、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 2.函数的零点所在的区间是( ) A. B. C. D. 3.若，且，则下列不等式中，恒成立的是( ) A. B. C. D. 4.已知函数为上的偶函数，且在上单调递增，若，，为自然对数的底数，则，，的大小关系为( ) A. B. C. D. 5.已知，则( ) A. B. C. D. 6.设，不等式恒成立的一个充分条件可以是( ) A. B. C. D. 7.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.已知函数，若关于的方程有个不同的实根，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列命题为真命题的是( ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10.已知函数，则(     ) A. 若函数的周期为，则 B. 若，则函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到 C. 若且直线是函数的一条对称轴，则在上单调递增 D. 若函数在区间上没有零点，则 11.已知是上不恒为零的函数，且，都有，则下列说法正确的是(     ) A. B. 是奇函数 C. 若，则 D. 若当时，，则在上单调递减 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.玉璜，是一种佩戴饰物在中国古代，玉璜与玉琮、玉璧、玉圭、玉璋、玉琥等总称为“六瑞”，被周礼一书称为是“六器礼天地四方”的玉礼器，多作为宗教礼仪挂饰现有一弧形玉璜呈扇环形，已知，弧长为，弧长为，此玉璜的面积为________． 13.函数的定义域为________． 14.函数是定义在上的奇函数，且关于的不等式有解，则实数的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 设全集为，已知集合，． 当时，求 若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 16.本小题分 求函数的最小值； 若，，求的最大值． 17.本小题分 已知函数． 求函数的最小正周期和单调递增区间； 若，求函数的值域； 若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值． 18.本小题分 已知函数． 当时，求的取值范围； 若函数在上的最大值为，求实数的值； 通过软件作图发现，当时，试利用上述结论证明：． 19.本小题分 设定义在上的函数和定义在上的函数，对任意的，存在，使得为非零常数恒成立，则称与为异自变量定值函数组合，其中叫作这两个函数的恒定比数值． 若函数，，，，判断与是否是恒定比数值为的异自变量定值函数组合，并说明理由； 若函数，，，，与是恒定比数值为的异自变量定值函数组合，求的取值范围； 若函数，，，，且与是恒定比数值为的异自变量定值函数组合，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$