精品解析：上海市宝山区海滨中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷

2024-2025海滨中学高一上12月月考 数学试卷 本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟 一､填空题（本大题共有10题，满分35分，其中1-5题每题3分，6-10题每题4分）考生应在答题卷的相应位置直接填写结果． 1. 函数y＝的定义域为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由函数的解析式和偶次根号下被开方数大于等于0，列出不等式求出x即可． 【详解】解：若函数有意义，则， 解得， 故函数的定义域为． 故答案为：． 2. 已知幂函数的图象经过点，则此幂函数的表达式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设出所求幂函数表达式，将点代入求得的值即可求解. 【详解】设所求为，由题意，解得， 所以此幂函数的表达式为. 故答案为：. 3. 若指数函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数单调性列不等式即可求解. 【详解】指数函数在上是严格增函数，所以，解得， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 4. 已知实数，而函数是偶函数，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据偶函数的性质即可求解. 【详解】因为实数，而函数是偶函数， 所以，且由，解得，经检验符合题意， 所以. 故答案为：3. 5. 已知且，函数的图象恒过一个定点，则该定点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由恒等式，在函数表达式中令即可得解. 【详解】因为，所以当时，，故所求定点为. 故答案为：. 6. 设是定义域为的奇函数，若当时，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用奇函数的性质以及对数的运算即可得解. 【详解】因为是定义域为的奇函数，若当时，， 则. 故答案为：. 7. 若函数是定义在上的偶函数，在上为严格减函数，且，则不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到函数在上为严格增函数，且，进一步即可求解. 【详解】若函数是定义在上的偶函数，在上为严格减函数，且， 则函数在上为严格增函数，且， 所以， 故所求为. 故答案为：. 8. 若函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】分三种情况讨论. 【详解】当时，满足在上严格单调递增； 当时，要想满足题目要求，只需，解得：，所以此时； 当时，显然不存在满足题目要求的； 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 9. 已知函数与，若对任意的，总有恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】. 【解析】 【分析】将条件转换为若对任意的，总有恒成立，分离参数结合基本不等式即可求解. 【详解】， 所以若对任意的，总有恒成立， 即对任意的，总有恒成立， 即对任意的，总有恒成立， 而当时，，等号成立当且仅当， 所以当时，有最小值且最小值是2， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 10. 若直角坐标平面内两点满足条件：①都在函数的图像上；②关于原点对称，则对称点是函数的一个“友好点对”（点对与看作同一个“友好点对”）．已知函数，则的“友好点对”有__________个． 【答案】2 【解析】 【分析】作出函数关于原点的对称图象，观察其与的图象交点个数可得结果. 【详解】如图： 设函数为奇函数，当时，， 当时，，所以， 又，所以，. 作出函数图象， 因为，， 所以函数与在和上各有一个交点. 故答案为：2 【点睛】方法点睛：根据“友好点对”的概念，把问题转化成两个函数图象的交点个数，数形结合，即可得到结论. 二､选择题（本大题共有4题，满分14分，第13-14题每题3分，第15-16题每题4分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题卷的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 11. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由两个函数定义域相同且对应关系相同，则这两个函数相同，进而判断各选项的正误. 【详解】A：的定义域为，的定义域为，则A错误； B：的定义域为的定义域为，则B错误； C：和的定义域均为，且，则C正确； D：的定义域为的定义域为，则D错误. 故选：C 12. 已知函数的图象关于点对称，则以下说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分离常数，结合中心对称的定义即可求解. 【详解】由题意可得， 注意到， 所以函数的图象关于点对称， 所以. 故选：D. 13. 在同一平面直角坐标系中，指数函数且和一次函数的图像关系可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据一次函数的横截距和纵截距的大小，结合幂函数的图象的增减性可得选项. 【详解】由得，所以一次函数与x轴交于，与y轴交于，故排除B选项； 对于A选项，一次函数的纵截距，而幂函数的图象中的，故A选项不正确；对于D选项，一次函数的纵截距，而幂函数的图象中的，故D选项不正确；对于C选项，一次函数的纵截距，而幂函数的图象中的，故C选项正确； 故选：C. 14. 下列叙述正确的是（ ） ①； ②海滨中学将于近期召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于5时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数）可以表示为． A. ①正确，②不正确 B. ①不正确，②正确 C. ①正确，②正确 D. ①不正确，②不正确 【答案】A 【解析】 【分析】①利用作商比较大小，②用除以所得余数为，其中余数为时结果就是商，当余数为时结果就是商加，因此可以用除以取整得. 【详解】①由已知得， ， 所以，即，故①正确； ②根据规定每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于5时再增选一名代表，即余数可以为增选一名代表，也就是要进一位，所以最小应该加，因此利用取整函数可以表示为，故②不正确， 故选：. 【点睛】第②考察函数的应用，解题的关键就是怎样确定人数除以的余数大于时在增加名代表，即余数为增选名代表，函数值在商的基础上加，也可以利用特殊值检验，当时，，即可验证错误. 三､解答题（本大题共有5题，满分51分）解答下列各题必须在答题卷的相应位置写出必要的步骤． 15. 已知函数的图象过点． （1）求实数的值； （2）解不等式． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）根据在对数函数图象上即可列方程求解； （2）根据对数函数单调性列不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意，解得； 【小问2详解】 由（1）可得是增函数， 从而成立，当且仅当，解得， 所以不等式的解集是. 16. 已知函数的表达式为． （1）求的值； （2）作出该函数的图象，判断并证明其奇偶性． 【答案】（1） （2） 是上的奇函数. 【解析】 【分析】（1）代入求值即可； （2）画出函数图象即可判断奇偶性，利用定义法证明即可. 【小问1详解】 由题意； 【小问2详解】 的函数图象如图 由图可知是上的奇函数，定义法证明如下： 显然，定义域是， 若，则，此时， 若，则，此时， 综上所述，是上的奇函数. 17. 已知函数为定义域上的奇函数． （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并加以证明． 【答案】（1）； （2） 函数在上单调递增，证明如下： 由（1）可知， 任取，且， 则 . 因为， 所以， 所以， 即， 所以， 所以函数在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义求解即可； （2）根据函数单调性的定义证明即可. 【小问1详解】 因为为定义域上的奇函数， 易知函数的定义域为， 则， 所以， 即有， 解得； 【小问2详解】 略 18. 若不等式的解集是． （1）求实数的值； （2）当的解集为时，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题得出的两个解为，代入即可； （2）分类讨论是否为0，然后结合二次函数图像判断取值范围. 【小问1详解】 由题得的两个解为， 代入得，解得, 所以. 【小问2详解】 由（1）得的解集为， 当时： 当时，原不等式等价为，显然为，合题意； 当，原不等式等价为，显然不为，舍去； 当时，要想的解集为， 需要，解得，即， 综上b的取值范围为. 19. 若函数满足对任意的都有成立，则称函数为“倒函数”． （1）判断函数和是否为“倒函数”； （2）若为“倒函数”，求实数的值； （3）若（为正数），其中是偶函数，是奇函数，求证：是“倒函数”． 【答案】（1）函数和都不是“倒函数” （2） （3） 因函数是偶函数，是奇函数，则它们的定义域必关于数0对称， 依题意，的定义域是函数与定义域的交集，也必关于数0对称， 因此，， 所以是倒函数. 【解析】 【分析】（1）求出函数定义域即可判断；利用给定定义计算判断即可作答. （2）利用给定定义直接计算可得m、n的值. （3）探讨的定义域，再利用给定的定义计算即可作答. 【小问1详解】 依题意，函数为“倒函数”，函数的定义域必关于数0对称， 函数的定义域为，显然在定义域内，而1不在定义域内， 即不是“倒函数”， 函数定义域为R，而，即不是“倒函数”， 所以函数和都不是“倒函数”. 【小问2详解】 显然，函数的定义域关于数0对称，又是倒函数， 于是得，则，又，解得， 所以实数m、n的值分别为； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：正确理解给定定义，是解决新定义题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025海滨中学高一上12月月考 数学试卷 本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟 一､填空题（本大题共有10题，满分35分，其中1-5题每题3分，6-10题每题4分）考生应在答题卷的相应位置直接填写结果． 1. 函数y＝的定义域为_____． 2. 已知幂函数的图象经过点，则此幂函数的表达式为__________． 3. 若指数函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是__________． 4. 已知实数，而函数是偶函数，则__________． 5. 已知且，函数的图象恒过一个定点，则该定点的坐标是__________． 6. 设是定义域为的奇函数，若当时，，则__________． 7. 若函数是定义在上的偶函数，在上为严格减函数，且，则不等式的解集为__________． 8. 若函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是__________． 9. 已知函数与，若对任意的，总有恒成立，则实数的取值范围是__________． 10. 若直角坐标平面内两点满足条件：①都在函数的图像上；②关于原点对称，则对称点是函数的一个“友好点对”（点对与看作同一个“友好点对”）．已知函数，则的“友好点对”有__________个． 二､选择题（本大题共有4题，满分14分，第13-14题每题3分，第15-16题每题4分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题卷的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 11. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 12. 已知函数的图象关于点对称，则以下说法正确的是（ ） A. B. C. D. 13. 在同一平面直角坐标系中，指数函数且和一次函数的图像关系可能是（ ） A. B. C. D. 14. 下列叙述正确的是（ ） ①； ②海滨中学将于近期召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于5时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数）可以表示为． A. ①正确，②不正确 B. ①不正确，②正确 C. ①正确，②正确 D. ①不正确，②不正确 三､解答题（本大题共有5题，满分51分）解答下列各题必须在答题卷的相应位置写出必要的步骤． 15. 已知函数的图象过点． （1）求实数的值； （2）解不等式． 16. 已知函数的表达式为． （1）求的值； （2）作出该函数的图象，判断并证明其奇偶性． 17. 已知函数为定义域上的奇函数． （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并加以证明． 18. 若不等式的解集是． （1）求实数的值； （2）当的解集为时，求实数的取值范围． 19. 若函数满足对任意的都有成立，则称函数为“倒函数”． （1）判断函数和是否为“倒函数”； （2）若为“倒函数”，求实数的值； （3）若（为正数），其中是偶函数，是奇函数，求证：是“倒函数”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $