精品解析：重庆市九龙坡区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

2024-2025学年教育质量全面监测（中学）九年级（上）数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答答题卡的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将答题卡收回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 2. 在下列事件中，可以确定其为必然事件的是（ ） A. 明年农历“大雪”节气那天下雪 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C. 旭日东升 D. 掷一枚刻有1到6点数的骰子，向上一面的点数一定是6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、明年农历“大雪”节气那天下雪是随机事件，不符合题意； B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，不符合题意； C、旭日东升是必然事件，符合题意； D、掷一枚刻有1到6点数的骰子，向上一面的点数一定是6是随机事件，不符合题意； 故选：C． 3. 如图，直线，射线绕点A逆时针旋转与直线相交于点O，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、平行线的性质，熟练掌握旋转的性质、平行线的性质是解答本题的关键． 由旋转得，，由平行线的性质可得，再根据可得答案． 【详解】解：由旋转得，， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 4. 下列各点不在反比例函数图象上是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点．根据反比例函数的解析式可知，根据此特点对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、∵，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； B、∵，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项符合题意； C、∵，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； D、∵，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； 故选：B． 5. 若二次函数（b为常数）关于y轴对称，则b的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握抛物线的对称轴为直线是解题关键． 由二次函数（b为常数）关于y轴对称，则对称轴为y轴，即可求解． 【详解】解：∵二次函数（b为常数）关于y轴对称，即二次函数对称轴为直线， ∴， 解得． 故选：B． 6. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 当时，方程无解 B. 当时，方程有一个实数解 C. 当时，方程有两个相等的实数解 D. 当时，方程总有两个不相等的实数解 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．分类讨论：当时和当时，结合一元二次方程根的判别式判断即可． 【详解】解：①当时，原方程为， 解得：，则方程有1个解，故A错误，不符合题意； ②当时，， ∴， ∴当时，，此时方程有两个相等的实数解，则C正确、D错误，故C符合题意、D不符合题意． 当时，，则方程有2个解，故B错误，不符合题意． 故选C． 7. 如图，正方形的边长为8，以为直径的半圆O交对角线于点E，则阴影部分的面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，正方形的性质，解题的关键是修改利用分割法求阴影部分面积．据图形可得，阴影部分的面积等于三角形的面积减去扇形的面积，代入面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 8. 如图，小红在练习簿的横线上取点为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出同心圆与横线的一些交点．她发现这些点的位置有一定的规律，于是以圆心为原点，如图建立平面直角坐标系，相邻横线的间距为一个单位长度．则所描的点都在二次函数（ ）的图象上． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设在半径为的同心圆上，与直线的交点为，利用勾股定理可得横纵坐标间的关系，即可求解． 【详解】解：设在半径为的同心圆上，与直线的交点为， ， ，即， ， 点在抛物线上， 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，二次函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 9. 图， 点E为正方形的边上的一点， DE=1，CD=4，连接为边延长线上一点，且，连接，过点作交 于点，连接，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点G作GH⊥BC于点H，先证明△ADE≌△ABF，可得AE=AF，从而得到EG=FG，再根据△FGH∽△FEC，可得，，进而得到，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，过点G作GH⊥BC于点H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠D=∠ABC=∠ABF=90°， ∴GH∥CD， ∵DE=BF=1，AD=CD=4， ∴CF=5，CE=3， 在△ADE和△ABF中， ∵AD=AB，∠D=∠ABF，DE=BF， ∴△ADE≌△ABF（SAS）， ∴AE=AF， ∵AG⊥EF， ∴EG=FG， ∵GH∥CE， ∴△FGH∽△FEC， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，证明△FGH∽△FEC是解题的关键． 10. 已知多项式（m，n为常数），若点的横坐标x、纵坐标y满足，则称这样的点为“零和点”．下列说法： ①直线上存在“零和点”； ②若且，则点为“零和点”； ③若二次函数的图象上有且只有一个“零和点”，当时，二次函数的最小值为，最大值为，则实数k的取值范围是． 其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】令代入，求得，，即可判定①正确；由，，，得到，即，求得，，则点为“零和点”， 即可判定②正确；把代入二次函数，求得，根据二次函数的图象上有且只有一个“零和点”，则即有且只有一个根，所以，求得，，从而求得，根据二次函数的增减性即可求得当或时，二次函数的最小值为，最大值为，即可求出当时，二次函数的最小值为，最大值为，则实数k的取值范围是，可判定③正确． 【详解】解：把，代入，得 解得： ∴ 即点在直线上， ∴直线上存在“零和点”，故①正确； ∵，， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵，，， ∴，， ∴ ∴点为“零和点”，故②正确； ∵点是二次函数的图象上的“零和点”， ∴ ∴ ∵二次函数的图象上有且只有一个“零和点” ∴即有且只有一个根， ∴ ∴ 解得： ∴ ∴ ∴二次函数图象的对称轴为直线，函数的最大值为， ∵ ∴当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， 当时，则， 解得：，， ∴当或时，二次函数的最小值为，最大值为， ∵当时，二次函数的最小值为，最大值为， ∴实数k的取值范围是，故③正确； ∴①②③都要正确，共3个正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了新定义的理解和应用，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象性质，二次函数的最值，一元二次方程根的判别式等知识．第（3）题的解题关键是由点的坐标求出a与c的关系，再根据二次函数图象上有且只有一个“零和点”，结合求出a、c的值，然后根据二次函数的性质解答． 二、填空题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将每小题的答案直接填在答题卡对应的横线上． 11. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出m的值即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，将绕点B逆时针旋转一定的角度得到，当点在边上且时，的长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，理解旋转前后的对应线段相等是解题的关键．由旋转的性质可得，，即可求解． 【详解】解：将绕点逆时针旋转一定的角度得到， ，， ． 故答案为：5． 13. 已知反比例函数的图象在第二、四象限内，那么的取值范围是________． 【答案】k＜1 【解析】 【详解】分析：根据k＜0时，反比例函数的图象位于二、四象限即可得出结果． 详解：∵反比例函数y=的图象在第二、四象限内， ∴k-1＜0， 则k＜1． 故答案为k＜1． 点睛：反比例函数图象的性质：（1）k＞0时，图象是位于一、三象限．（2）k＜0时，图象是位于二、四象限． 14. 《九章算术》《周髀算经》《孙子算经》《海岛算经》是中国古代的数学名著．若从这四部著作中随机抽取两本(先随机抽取一本，不放回再随机抽取另一本)，则抽取的两本恰好是《九章算术》和《孙子算经》的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列举法求概率．正确画树状图是解题的关键． 根据题意画树状图，然后求概率即可． 【详解】解：记《九章算术》《周髀算经》《孙子算经》《海岛算经》分别为， 依题意画树状图如下； 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《九章算术》和《孙子算经》共有2种等可能的结果， ∴抽取的两本恰好是《九章算术》和《孙子算经》的概率是， 故答案为：． 15. 一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离（单位：）之间的关系是，则铅球推出的距离为________m． 【答案】10 【解析】 【分析】推出的距离就是当高度时x的值，所以解方程可求解． 【详解】解：当时， 解得：（不合题意，舍去）， 则铅球推出的距离为是10m 故答案为：10 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，此题把函数问题转化为方程问题来解，渗透了函数与方程相结合的解题思想方法． 16. 若二次函数的图象与轴有两个公共点，且关于的不等式组至少有两个整数解，则符合条件的所有整数的和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，解一元一次不等式组，分别由二次函数的图象与轴有两个公共点和不等式组求出的取值范围，再结合二次函数二次项系数即可确定的取值范围，得到符合条件的所有整数，相加即可求解，由二次函数与轴的交点情况及不等式组确定的取值范围是解题的关键． 详解】解：当时，， ∵二次函数的图象与轴有两个公共点， ∴， ∴， 由∵， ∴， 解不等式组得，， ∵关于的不等式组至少有两个整数解， ∴， 解得， ∴，且， ∴符合条件的整数有， ∴符合条件的所有整数的和为， 故答案为：． 17. 如图，在半径为4的中，，点B为的中点，点E为弦的中点，点F为弦的中点，则点O到的距离为______，线段______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查垂径定理及其推论，直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 连接，，过点F作交的延长线于H，根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，同理求出、，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：连接，，过点F作交的延长线于H，如图， ∵，点B为的中点， ∴， ∵点E为弦的中点， ∴，， ∴， ∴，即点O到的距离为； ∵点F为弦的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；． 18. 对于一个四位自然数，满足各数位上数字均不为零且千位上的数字与个位上的数字之和等子百位上的数字与十位上的数字之和，那么就称这个数为“九龙和谐数”．例如，，因为，所以是“九龙和谐数”，则最小的“九龙和谐数”是______；已知“九龙和谐数”，其中均为不大于的正整数，若二次函数与轴有且只有一个交点，且满足，则满足条件的的最大值与最小值的差为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了实数的新定义，二次函数与轴的交点问题，根据一个四位数，当各个数位上的数字最小时，这个四位数最小，再结合“九龙和谐数”的定义可得千位上的数字为，百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为，即可得到最小的“九龙和谐数”；由，可得，，，，且均为整数，，又由二次函数与轴有且只有一个交点，可得，进而得到，即得，得到，再由的最大值求出的最大值与最小值，相减即可求解，理解“九龙和谐数”的定义是解题的关键． 【详解】解：对于一个四位数，当各个数位上的数字最小时，这个四位数最小， ∴千位上的数字为，百位上的数字为， 又∵千位上的数字与个位上的数字之和等于百位上的数字与十位上的数字之和， ∴十位上的数字为，个位上的数字为， ∴最小的“九龙和谐数”是； ∵“九龙和谐数” ， ∴，，，，且均为整数， 由“九龙和谐数”定义得，， ∵二次函数与轴有且只有一个交点， ∴， ∴， 整理得，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的最大值为，最小值为， ∴的最大值为，最小值为， 又∵的最大值为，最小值为， 当，，时，， ∴的最大值为， 当，，时，， ∴的最小值为， ∴满足条件的的最大值与最小值的差为， 故答案为：，． 三、解答题：本大题共8个小题，第19题8分，其余每小题10分，共78分．解答每小题时应写出必要的演算过程或推理步骤，画出必要图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡对应的位置上． 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）用直接开平方法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解∶， 解得， 所以； 【小问2详解】 解∶ ， ， 或， 所以． 20. 某校“优秀中华文化传承”合作学习小组准备制作“A：蛇腾龙跃，福星高照，B：蛇有智慧，吉祥常在，C：蛇盘蛰伏，吉运将至，D：蛇蜕旧皮，新生吉祥”四种祝福热词书签送给同学们，为了解同学们对这四种祝福热词书签的喜爱程度，随机对部分学生进行调查，要求每名学生从中选择自己最喜欢的一种，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中所给信息解答下列问题： （1）这次抽样调查共抽取______人，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数） （2）若该校有3500名学生，估计喜爱“蛇有智慧，吉祥常在”祝福热词书签的学生共有多少人？ （3）学校要从A，B，C，D四种祝福热词书签中，随机抽出两张送给九（1）班的同学，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两种祝福热词书签恰好是“蛇腾龙跃，福星高照”和“蛇有智慧，吉祥常在”的概率． 【答案】（1）200，补全的条形统计图见解析 （2）估计喜爱热词“蛇有智慧，吉祥常在”的学生约有1400人 （3）抽出的两种祝福热词书签恰好是“蛇腾龙跃，福星高照”和“蛇有智惹，吉祥常在”的概率为 【解析】 【分析】（1）用条形统计图中D的人数除以扇形统计图中D的百分比可得这次抽样调查共抽取的学生人数；求出选择C的人数，补全条形统计图即可． （2）根据用样本估计总体，用1000乘以样本中A级的学生人数所占的百分比，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及抽出的两种祝福热词书签恰好是“蛇腾龙跃，福星高照”和“蛇有智慧，吉祥常在”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：这次抽样调查共抽取的人数为：（人）， 则C：蛇盘蛰伏，吉运将至的人数为：（人）， 补全的条形统计图如下： 被抽到的学生喜爱的祝福热词条形统计图 【小问2详解】 解：（名）， 即估计喜爱热词“蛇有智慧，吉祥常在”的学生约有1400人． 【小问3详解】 解：列表如下： A B C D A B C D 由表可知，共有12种等可能的结果，其中抽出的两种祝福热词书签恰好是“蛇腾龙跃，福星高照”和“蛇有智慧，吉祥常在”的结果有2种． ∴抽出的两种祝福热词书签恰好是“蛇腾龙跃，福星高照”和“蛇有智惹，吉祥常在”的概率为． 【点睛】本题考查用列表法与树状图法求概率、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． 21. 在学习了直线与圆的位置关系相关知识后，创新小分队结合直角三角形进行深入探究发现：在直角三角形中，圆心在角所对直角边上且与这个直角三角形另两边都相切的圆，圆心分这条边所得两条线段的比等于与这两条线段相邻的三角形的边之比．可利用证明三角形全等、证明切线和计算面积得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在中，，用无刻度直尺和圆规作的平分线，交于点O，以点O为圆心、为半径作圆（不写作法，保留作图痕迹）；） （2）在（1）的条件下，过点O作于点F．证明：与相切；． 证明：过点O作于点F， ， 平分， ① ， 在与中， ， ③ ， 与相切于点F； ， ， ． 进一步思考，从作图过程可以发现：一个角的平分线与对边相交的交点为圆心，交点到这个角两边距离为半径的圆与这个角的两边相切，圆心分圆心所在边的两条线段长度之比等于④ ． 【答案】（1）见解析 （2）①；②；③；④与这两条线段相邻的三角形的边之比 【解析】 【分析】本题考查尺规基本作图——作已知角的平分线，作圆，全等三角形的判定与性质，切线的判定 （1）按尺规基本作图作的平分线，再以点O为圆心、为半径作即可； （2）证明，得，即可得出与相切于点F；再根据，得到，即圆心分圆心所在边的两条线段长度之比等于与这两条线段相邻的三角形的边之比． 【小问1详解】 解：如图，射线、即为所求． 【小问2详解】 证明：过点O作于点F， ， 平分， ， 在与中， ， ， 与相切于点F； ， ， ， 即圆心分圆心所在边的两条线段长度之比等于与这两条线段相邻的三角形的边之比． 故答案为：①；②；③；④与这两条线段相邻的三角形的边之比． 22. 我区某种植基地种植的葡萄颗粒饱满味道甘甜，深得人们喜爱．种植基地2022年开始种植葡萄150亩，到2024年葡萄的种植面积达到亩． （1）求该基地这两年葡萄种植面积的平均年增长率； （2）市场调查发现，当葡萄的售价为14元/千克时，每天能售出300千克，售价每千克降价1元，每天可多售出60千克．为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地葡萄的平均成本价为6元/千克，若每天获利2520元，则售价应为多少元？ 【答案】（1）该基地这两年葡萄种植面积的平均增长率为 （2）售价应为12元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该基地这两年葡萄种植面积的平均年增长率为x，利用该种植基地2024年的种植面积=该种植基地2022年的种植面积×（1+该基地这两年葡萄种植面积的平均年增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设售价应降低y元，则每天可售出千克，利用总利润=每千克的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要尽量减少库存，即可确定结论． 【小问1详解】 解：设该基地这两年葡萄种植面积的平均年增长率x， 根据题意，得， 解得：或（舍去）， ， 答：该基地这两年葡萄种植面积的平均增长率为； 【小问2详解】 解：设售价应降低y元，则每天可售出千克， ∵当葡萄的售价为14元/千克时，每天能售出300千克，售价每降价1元，每天可多售出60千克， ， 整理，得：，解得：或， ∵要尽量减少库存， ∴（元）， 答：售价应为12元． 23. 如图，中，．动点P从点A出发，沿着折线方向运动，到达点C时停止运动．设点P运动的路程为x，记以点A、P、C为顶点的三角形面积为y，请解答下列问题： （1）直接写出y关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）将的面积与点P运动的路程x之比记作，写出与x的函数关系并画出的图象，结合你所画的函数图象，请直接估计当时x的取值（结果保留一位小数，误差范围不超过）． 【答案】（1） （2）画出函数的图象见解析；当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小（答案不唯一） （3）两个函数的交点的横坐标估值为 【解析】 【分析】本题考查了求函数解析式，画函数图象，反比例函数与一次函数交点问题，掌握三角形的面积公式和数形结合思想是解题的关键． （1）根据三角形的面积公式求解； （2）根据描点法作图象，根据图象求解； （3）根据题意求出解析式，再根据图象求解． 【小问1详解】 解：根据题意，当点P在上运动时， 解析式为： 当点P在上运动时，解析式为：， ． 【小问2详解】 解：图象如图所示， 性质如下：当时，y随x的增大而增大； 当时，y随x的增大而减小（答案不唯一）． 【小问3详解】 解：， 根据图象所示， 两个函数的交点的横坐标估值为：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点（点A在点B左侧），已知A点的横坐标为． （1）求反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出的解集； （3）将直线沿y轴向上平移，若平移后的直线与反比例函数在第四象限内交于点C，如果的面积为10，求平移后的直线的函数表达式． 【答案】（1）反比例函数的表达式为 （2）不等式的解集为或 （3）平移后的直线的函数表达式为 【解析】 【分析】（1）把代入得到，把代入，求出k值，即可求解； （2）解方程组得到， 利用数形结合，由图象可得到的解集为或； （3）设直线l2与y轴交于D，设平移后的直线的函数表达式为，求得，连接，根据，列方程即可得到结论． 【小问1详解】 解 ∶ 直线经过点A，A点的横坐标是， 当时，， ， 反比例函数的图象经过点A， ， 反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：直线与反比例函数的图象交于A，B两点， ∴联立，得，解得：或， ， 不等式解集为或； 【小问3详解】 解：如图，设平移后的直线与y轴交于点D，连接， ∵由平移可得， ∴， ， 即， ， ， 设平移后的直线的函数表达式为， 把代入，可得， 解得：， ∴平移后的直线的函数表达式为． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的图象的交点问题，用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图形平移，直线与坐标轴围成的图形的面积 ，求出A、B的坐标是解决本题的关键． 25. 如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，过点作直线的平行线，交抛物线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点为直线下方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，过点作于点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标． （3）如图2，在（2）问条件下，将原抛物线向右平移1个单位，使抛物线再次经过（2）问条件下的点时，新抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，连接，点为新抛物线上一点，连接交直线于点，使得，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）面积的最大值为，点的坐标为； （3）点的坐标为或，过程见解析． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式即可解题； （2）设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，根据平行设直线的解析式为，利用抛物线为得到，将代入求得直线的解析式，设，则，过点作交于点，记交于点，证明为等腰直角三角形，，再根据面积公式得到 ，最后利用二次函数的最值，即可解题； （3）利用平移的特点得到平移后的拋物线解析式为，以及，，，①连接，作的垂直平分线交于点，利用垂直平分线性质，等腰三角形性质，以及三角形外角定理得到，设，利用勾股定理建立等式，得到点，利用待定系数法求直线的解析式，根据点为新拋物线上的一点，连接交直线于点，联立平移后的拋物线解析式和直线的解析式求解，即可解题，②作关于的对称点，连接，求解过程与①类似． 【小问1详解】 解：抛物线与直线交于点， ，解得， 抛物线为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 过点点， ，解得， 直线的解析式为， ， 设直线的解析式为， 当时，，解得，， ， ，解得， 设，则， 过点作交于点，记交于点， 由平移的性质可知， ， ， 即， ，轴交直线于点， ， ， 即为等腰直角三角形， ， ， ， 当时，面积的最大值为，点的坐标为； 【小问3详解】 解：原拋物线向右平移1个单位， 平移后的拋物线解析式为， 平移后的拋物线解析式为， 同理，求得，，， ①连接，作的垂直平分线交于点， 有， ， ， 设直线的解析式为， 过点， ，解得， 直线的解析式为， 设，则，， ，解得， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 点为新拋物线上的一点，连接交直线于点， ， 整理得， 解得，， 当时，， 点的坐标为， ②作关于的对称点，连接、，交抛物线于点， ，，， ， ， 由对称性可知， ， 设， ，， ， 整理得， 解得，， 当时，， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， ， 整理得， 解得，， 当时，， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解函数解析式，一次函数与二次函数交点情况，等腰三角形性质，对称的性质，勾股定理求两点间距离，垂直平分线性质，三角形外角定理，函数平移的规律，熟练掌握相关性质是解题的关键． 26. 如图1，在等边中，点是边上一动点（点不与，重合），连接，过点作于点，将线段绕点逆时针旋转60°得到线段，连接，． （1）若，求线段的长； （2）如图2，连接，延长交于点，当取最大值时，求证：； （3）在（2）的条件下，当取最大值时，连接，将绕点旋转，连接，，分别取，的中点，，连接，若的边长为4，当点落在直线上时，直接写出长． 【答案】（1） （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据线段绕点逆时针旋转60°得到线段，可知为等边三角形，再证，可知，从而求得答案； （2）过点作交的延长线于点，由（1）可知，，，从而知道，推出，借助平角可求得，借助证明，可知为中点，，，推出当最大时，与重合，又因为，， 那么此时点在的中点，从而得证； （3）当点在线段的延长线时，取的中点，连接，，过点作交的延长线于点，先求得，利用三角形中位线，求得、以及，在用勾股定理，求得，最后在用勾股定理，求得；当点在线段时，连接，过点作交的延长线于点，取的中点，连接，取的中点，连接，作交于点，先求得和的长度，然后计算出，然后在中用勾股定理求得和，然后利用是三角形中位线求得，从而求得，，然后判定为等边三角形，推导出，从而得到，，最后在中用勾股定理求得，从而得到． 【小问1详解】 解：是等边三角形 ， 线段绕点逆时针旋转得到线段 ， 【小问2详解】 解：过点作交的延长线于点 由（1）可知， ， 线段绕点逆时针旋转得到线段 ， 是等边三角形 ， ， 又 ， 最大时，与重合 又， 那么此时点在的中点，如图所示： ， 【小问3详解】 解：①当点在线段的延长线时，如图所示： 由（1）可知，是等边三角形， 等边的边长为4， ，，， ， ， 取的中点，连接，，过点作交的延长线于点 ，， ， ， ， ， ， ②当点在线段时，连接，如图所示： 由（1）可知，是等边三角形，，是等边三角形， ， 是中点 是的中点 是等边三角形，是中点 ， 过点作交的延长线于点 在中，， ， 在中， 取的中点，连接 ，， ， 取的中点，连接 ， ， 是等边三角形 作交于点 ， ， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，平角的定义，三角形内角和定理等，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年教育质量全面监测（中学）九年级（上）数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答答题卡的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将答题卡收回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 在下列事件中，可以确定其为必然事件的是（ ） A. 明年农历“大雪”节气那天下雪 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C. 旭日东升 D. 掷一枚刻有1到6点数的骰子，向上一面的点数一定是6 3. 如图，直线，射线绕点A逆时针旋转与直线相交于点O，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各点不在反比例函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 5. 若二次函数（b为常数）关于y轴对称，则b的值为（ ） A B. 0 C. 1 D. 1 6. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 当时，方程无解 B. 当时，方程有一个实数解 C. 当时，方程有两个相等的实数解 D. 当时，方程总有两个不相等的实数解 7. 如图，正方形的边长为8，以为直径的半圆O交对角线于点E，则阴影部分的面积是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，小红在练习簿的横线上取点为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出同心圆与横线的一些交点．她发现这些点的位置有一定的规律，于是以圆心为原点，如图建立平面直角坐标系，相邻横线的间距为一个单位长度．则所描的点都在二次函数（ ）的图象上． A. B. C. D. 9. 图， 点E为正方形的边上的一点， DE=1，CD=4，连接为边延长线上一点，且，连接，过点作交 于点，连接，则线段的长度为（ ） A B. C D. 10. 已知多项式（m，n为常数），若点的横坐标x、纵坐标y满足，则称这样的点为“零和点”．下列说法： ①直线上存在“零和点”； ②若且，则点为“零和点”； ③若二次函数的图象上有且只有一个“零和点”，当时，二次函数的最小值为，最大值为，则实数k的取值范围是． 其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将每小题的答案直接填在答题卡对应的横线上． 11. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为________． 12. 如图，将绕点B逆时针旋转一定的角度得到，当点在边上且时，的长为______． 13. 已知反比例函数的图象在第二、四象限内，那么的取值范围是________． 14. 《九章算术》《周髀算经》《孙子算经》《海岛算经》是中国古代数学名著．若从这四部著作中随机抽取两本(先随机抽取一本，不放回再随机抽取另一本)，则抽取的两本恰好是《九章算术》和《孙子算经》的概率是________． 15. 一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离（单位：）之间的关系是，则铅球推出的距离为________m． 16. 若二次函数的图象与轴有两个公共点，且关于的不等式组至少有两个整数解，则符合条件的所有整数的和为______． 17. 如图，在半径为4的中，，点B为的中点，点E为弦的中点，点F为弦的中点，则点O到的距离为______，线段______． 18. 对于一个四位自然数，满足各数位上的数字均不为零且千位上的数字与个位上的数字之和等子百位上的数字与十位上的数字之和，那么就称这个数为“九龙和谐数”．例如，，因为，所以是“九龙和谐数”，则最小的“九龙和谐数”是______；已知“九龙和谐数”，其中均为不大于的正整数，若二次函数与轴有且只有一个交点，且满足，则满足条件的的最大值与最小值的差为______． 三、解答题：本大题共8个小题，第19题8分，其余每小题10分，共78分．解答每小题时应写出必要的演算过程或推理步骤，画出必要图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡对应的位置上． 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 某校“优秀中华文化传承”合作学习小组准备制作“A：蛇腾龙跃，福星高照，B：蛇有智慧，吉祥常在，C：蛇盘蛰伏，吉运将至，D：蛇蜕旧皮，新生吉祥”四种祝福热词书签送给同学们，为了解同学们对这四种祝福热词书签的喜爱程度，随机对部分学生进行调查，要求每名学生从中选择自己最喜欢的一种，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中所给信息解答下列问题： （1）这次抽样调查共抽取______人，并补全条形统计图（要求条形图上方注明人数） （2）若该校有3500名学生，估计喜爱“蛇有智慧，吉祥常在”祝福热词书签的学生共有多少人？ （3）学校要从A，B，C，D四种祝福热词书签中，随机抽出两张送给九（1）班的同学，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两种祝福热词书签恰好是“蛇腾龙跃，福星高照”和“蛇有智慧，吉祥常在”的概率． 21. 在学习了直线与圆的位置关系相关知识后，创新小分队结合直角三角形进行深入探究发现：在直角三角形中，圆心在角所对直角边上且与这个直角三角形另两边都相切的圆，圆心分这条边所得两条线段的比等于与这两条线段相邻的三角形的边之比．可利用证明三角形全等、证明切线和计算面积得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在中，，用无刻度直尺和圆规作的平分线，交于点O，以点O为圆心、为半径作圆（不写作法，保留作图痕迹）；） （2）在（1）的条件下，过点O作于点F．证明：与相切；． 证明：过点O作于点F， ， 平分， ① ， 在与中， ， ③ ， 与相切于点F； ， ， ． 进一步思考，从作图过程可以发现：一个角的平分线与对边相交的交点为圆心，交点到这个角两边距离为半径的圆与这个角的两边相切，圆心分圆心所在边的两条线段长度之比等于④ ． 22. 我区某种植基地种植的葡萄颗粒饱满味道甘甜，深得人们喜爱．种植基地2022年开始种植葡萄150亩，到2024年葡萄的种植面积达到亩． （1）求该基地这两年葡萄种植面积的平均年增长率； （2）市场调查发现，当葡萄的售价为14元/千克时，每天能售出300千克，售价每千克降价1元，每天可多售出60千克．为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地葡萄的平均成本价为6元/千克，若每天获利2520元，则售价应为多少元？ 23. 如图，中，．动点P从点A出发，沿着折线方向运动，到达点C时停止运动．设点P运动的路程为x，记以点A、P、C为顶点的三角形面积为y，请解答下列问题： （1）直接写出y关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）将的面积与点P运动的路程x之比记作，写出与x的函数关系并画出的图象，结合你所画的函数图象，请直接估计当时x的取值（结果保留一位小数，误差范围不超过）． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点（点A在点B左侧），已知A点的横坐标为． （1）求反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出的解集； （3）将直线沿y轴向上平移，若平移后的直线与反比例函数在第四象限内交于点C，如果的面积为10，求平移后的直线的函数表达式． 25. 如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，过点作直线的平行线，交抛物线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点为直线下方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，过点作于点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标． （3）如图2，在（2）问条件下，将原抛物线向右平移1个单位，使抛物线再次经过（2）问条件下的点时，新抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，连接，点为新抛物线上一点，连接交直线于点，使得，直接写出所有符合条件的点的坐标． 26. 如图1，在等边中，点是边上一动点（点不与，重合），连接，过点作于点，将线段绕点逆时针旋转60°得到线段，连接，． （1）若，求线段的长； （2）如图2，连接，延长交于点，当取最大值时，求证：； （3）在（2）的条件下，当取最大值时，连接，将绕点旋转，连接，，分别取，的中点，，连接，若的边长为4，当点落在直线上时，直接写出长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$